الزخم الزاوي النوعي

يبدأ البرهان بمعادلة الحركة لجسمين ، المشتقة من قانون نيوتن للجاذبية الكونية :

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

أين:

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$هو متجه الموضع من${\displaystyle m_{1}}$ل${\displaystyle m_{2}}$بمقدار قياسي${\displaystyle r}$.
• ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}}$هي المشتقة الزمنية الثانية لـ${\displaystyle \mathbf {r} }$( التسارع )
• ${\displaystyle G}$هو ثابت الجاذبية .

حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الموضع مع معادلة الحركة هو:

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

لأن${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {r} =0}$يختفي الحد الثاني:

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0}$$

ويمكن استنتاج ما يلي أيضاً: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}}$$

بدمج هاتين المعادلتين نحصل على: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$

بما أن المشتقة الزمنية تساوي صفرًا، فإن الكمية${\displaystyle \mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$ثابت. باستخدام متجه السرعة${\displaystyle \mathbf {v} }$بدلاً من معدل تغير الموضع، و${\displaystyle \mathbf {h} }$بالنسبة للزخم الزاوي النوعي: $${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$$ثابت.

يختلف هذا عن البناء المعتاد للزخم،${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {p} }$، لأنه لا يشمل كتلة الجسم المعني.

يبدأ البرهان مرة أخرى بمعادلة مسألة الجسمين. هذه المرة، يُضرب حاصل الضرب الاتجاهي في الزخم الزاوي النسبي المحدد. $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\times \mathbf {h} }$$

الطرف الأيسر يساوي المشتقة${\textstyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} t}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)}$لأن الزخم الزاوي ثابت.

بعد بعض الخطوات (والتي تتضمن استخدام الضرب الثلاثي المتجهي وتحديد الكمية العددية)${\displaystyle {\dot {r}}}$أن تكون السرعة الشعاعية ، على عكس معيار المتجه${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$) يصبح الجانب الأيمن: $${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {h} \right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {v} \right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}\mathbf {r} -{\frac {\mu }{r}}\mathbf {v} \right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} {r}}\يمين)}$$

بمساواة هذين التعبيرين وإجراء التكامل على مدى الزمن، نحصل على (مع ثابت التكامل)${\displaystyle \mathbf {C} }$) $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} }$$

الآن يتم ضرب هذه المعادلة ( الضرب القياسي ) في${\displaystyle \mathbf {r} }$وأعيد ترتيبها $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)&=\mathbf {r} \cdot \left(\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} \right)\\\Rightarrow \left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {h} &=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}}$$

وأخيراً نحصل على معادلة المدار ^{[ 1 ]}$${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}}$$

وهي معادلة القطع المخروطي في الإحداثيات القطبية مع نصف الوتر البؤري المستقيم${\textstyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$والغرابة​${\textstyle e={\frac {C}{\mu }}}$.

وينتج القانون الثاني مباشرة من المعادلة الثانية من المعادلات الثلاث لحساب القيمة المطلقة للزخم الزاوي النسبي المحدد. ^{[ 1 ]}

إذا ربطنا هذا الشكل من المعادلة${\textstyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\,\mathrm {d} \theta }$مع العلاقة${\textstyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta }$بالنسبة لمساحة قطاع بزاوية صغيرة للغاية${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$(مثلث ذو ضلع واحد صغير جدًا)، المعادلة $${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\,\mathrm {d} A}$$

يُعد قانون كبلر الثالث نتيجة مباشرة للقانون الثاني. ويعطي التكامل على مدار دورة واحدة الفترة المدارية ^{[ 1 ]}$${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$$

للمنطقة${\displaystyle \pi ab}$لقطع ناقص. استبدال المحور شبه الأصغر بـ${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$والزخم الزاوي النسبي المحدد مع${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$يحصل المرء $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$

وبالتالي توجد علاقة بين المحور شبه الرئيسي والفترة المدارية للقمر الصناعي يمكن اختزالها إلى ثابت للجسم المركزي.