مشكلة الجسمين

على اليسار: جسمان متقاربان في الكتلة يدوران حول مركز ثقل مشترك خارج الجسمين، في مدارات إهليلجية . هذا النموذج شائع في النجوم الثنائية . على اليمين: جسمان بينهما فرق طفيف في الكتلة يدوران حول مركز ثقل مشترك. أحجامهما ونوع مدارهما مشابهة لنظام بلوتو-شارون (حيث يقع مركز الثقل خارج الجسمين)، وكذلك نظام الأرض - القمر (حيث يقع مركز الثقل داخل الجسم الأكبر).

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُستخدم مسألة الجسمين لحساب وتوقع حركة جسمين ضخمين يدوران حول بعضهما في الفضاء. تفترض هذه المسألة أن الجسمين كرويان مثاليان لا يتصادمان أبدًا، وأن جميع القوى الخارجية ضئيلة مقارنة بقوة التفاعل بينهما.

يُعدّ مثال مسألة الجسمين الكلاسيكية الأبرز هو حالة الجاذبية (انظر أيضًا مسألة كبلر )، والتي تظهر في علم الفلك للتنبؤ بمدارات (أو مسارات خروج) أجسام مثل الأقمار الصناعية والكواكب والنجوم . ويصف نموذج الجسيمين النقطيين لهذا النظام سلوكه بدقة كافية لتوفير رؤى وتنبؤات مفيدة.

يُعامل نموذج "الجسم الواحد" الأبسط، المعروف باسم " مسألة القوة المركزية "، أحد الجسمين كمصدر ثابت لقوة تؤثر على الآخر. ويسعى الباحث حينها إلى التنبؤ بحركة الجسم المتحرك الوحيد المتبقي. ويمكن لهذا التقريب أن يُعطي نتائج مفيدة عندما يكون أحد الجسمين أضخم بكثير من الآخر (كما هو الحال مع كوكب خفيف يدور حول نجم ثقيل، حيث يمكن اعتبار النجم ثابتًا تقريبًا).

مع ذلك، فإن تقريب الجسم الواحد غير ضروري عادةً إلا كخطوة تمهيدية. بالنسبة للعديد من القوى، بما في ذلك قوى الجاذبية، يمكن اختزال الصيغة العامة لمسألة الجسمين إلى مسألتين من مسائل الجسم الواحد ، مما يسمح بحلها بالكامل، ويُعطي حلاً بسيطاً بما يكفي لاستخدامه بفعالية.

وعلى النقيض من ذلك، لا يمكن حل مشكلة الأجسام الثلاثة (وبشكل أعم، مشكلة الأجسام n عندما يكون n  > 2) بشكل عام، إلا في حالات خاصة. 

يمكن حل مسألة الجسمين الكاملة بإعادة صياغتها كمسألتين لجسم واحد: مسألة بسيطة وأخرى تتضمن إيجاد حركة جسيم واحد في مجال جهد خارجي . وبما أن العديد من مسائل الجسم الواحد قابلة للحل بدقة، فإنه يمكن أيضاً حل مسألة الجسمين المقابلة لها.

لنفترض أن _x1 و x2 هما متجهي موضع الجسمين، و m1 و m2 هما كتلتيهما. الهدف هو تحديد مساري x1 ( t ₎ و _x2 ( _t ) لجميع الأزمنة t ، بمعلومية الموضعين الابتدائيين _x1 ( t ₌ 0) و x2 ( t = 0 ₎ والسرعتين الابتدائيتين v1 ( _t = 0 ₎ و _v2 ( t = 0 ) .

عند تطبيق قانون نيوتن الثاني على الكتلتين، فإنه ينص على أن

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}}$$

المعادلة 1

$${\displaystyle \mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}$$

المعادلة 2

حيث F ₁₂ هي القوة المؤثرة على الكتلة 1 نتيجة لتفاعلاتها مع الكتلة 2، و F ₂₁ هي القوة المؤثرة على الكتلة 2 نتيجة لتفاعلاتها مع الكتلة 1. تشير النقطتان الموجودتان أعلى متجهات الموضع x إلى مشتقتها الثانية بالنسبة للزمن، أو متجهات تسارعها.

يؤدي جمع وطرح هاتين المعادلتين إلى فصلهما إلى مسألتين منفصلتين لجسم واحد، يمكن حلهما بشكل مستقل. ينتج عن جمع المعادلتين (1) و( 2) معادلة تصف حركة مركز الكتلة. في المقابل، ينتج عن طرح المعادلة (2) من المعادلة (1) معادلة تصف كيفية تغير المتجه r = x₁ - _x₂ بين الكتلتين مع الزمن . يمكن دمج حلول هاتين المسألتين _{المنفصلتين} لجسم واحد للحصول على حلول المسارين x₁ ( t ) و x₂ ( _{t )} .

يترك${\displaystyle \mathbf {R} }$ليكن موضع مركز كتلة النظام ( مركز الثقل ). بجمع معادلات القوة (1) و(2) نحصل على$${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0}$$ حيث استخدمنا قانون نيوتن الثالث F ₁₂ = − F ₂₁ وحيث $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

المعادلة الناتجة: $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}=0}$$ يُظهر ذلك أن السرعة${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}}$_{بما أن} سرعة مركز الكتلة ثابتة، فإن الزخم الكلي m₁v₁ + m₂v₂ ثابت أيضًا ( _قانون حفظ الزخم ). _{وبالتالي ، يمكن} تحديد موضع مركز الكتلة R ( t ) في جميع الأوقات انطلاقًا من المواضع والسرعات الابتدائية.

حركة جسمين بالنسبة لبعضهما البعض تقع دائمًا في مستوى واحد (في إطار مركز الكتلة ).

البرهان: بتعريف الزخم الخطي p والزخم الزاوي L للنظام، بالنسبة لمركز الكتلة، من خلال المعادلات $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},}$$

حيث μ هي الكتلة المختزلة و r هي الموضع النسبي r ₂ − r ₁ (مع كتابة هذه القيم باعتبار مركز الكتلة هو نقطة الأصل، وبالتالي كلاهما موازٍ لـ r )، فإن معدل تغير الزخم الزاوي L يساوي عزم الدوران الكلي N$${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,}$$ وباستخدام خاصية الضرب الاتجاهي للمتجهات التي تنص على أن v × w = 0 لأي متجهين v و w يشيران في نفس الاتجاه،

$${\displaystyle \mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$ مع F = μ d ² r / dt ² .

بافتراض (وهو افتراض ينطبق على معظم القوى الفيزيائية، إذ تخضع لقانون نيوتن الثالث للحركة ) أن القوة بين جسيمين تؤثر على طول الخط الواصل بين موضعيهما، يترتب على ذلك أن r × F = 0 ، وأن متجه الزخم الزاوي L ثابت (محفوظ). وبالتالي، فإن متجه الإزاحة r وسرعته v يقعان دائمًا في المستوى العمودي على المتجه الثابت L.

إذا كانت القوة F ( r ) محافظة، فإن النظام يمتلك طاقة كامنة U ( r ) ، وبالتالي يمكن كتابة الطاقة الكلية على النحو التالي:$${\displaystyle E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$

في إطار مركز الكتلة، تكون الطاقة الحركية في أدنى مستوياتها، وتصبح الطاقة الكلية $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$يمكن التعبير عن الإحداثيات x1 و x2 على النحو _{التالي :}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r} }$$$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r} }$$ وبالمثل، ترتبط الطاقة _E بالطاقتين E1 و E2 اللتين تحتويان بشكل منفصل _على الطاقة الحركية لكل جسم: $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}}$$

في العديد من المسائل الفيزيائية، تكون القوة F ( r ) قوة مركزية ، أي أنها تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$ حيث r = | r | و r̂ = r / r هو متجه الوحدة المقابل . لدينا الآن: $${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$ حيث تكون F ( r ) سالبة في حالة قوة الجذب.

• انحراف الطاقة
• معادلة المركز
• مسألة الأجسام الثلاثة لأويلر
• مدار كبلر
• مشكلة كبلر
• مشكلة الأجسام المتعددة
• مشكلة الأجسام الثلاثة
• نظرية فيريال

• لاندو إل دي ؛ ليفشيتز إي إم (1976). الميكانيكا (الطبعة الثالثة  ). نيويورك: دار بيرغامون للنشر . ISBN 0-08-029141-4.
• جولدشتاين، هـ. (1980). الميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الثانية  ). نيويورك: أديسون-ويسلي . ISBN 0-201-02918-9.

• مسألة الجسمين في عالم إريك وايسشتاين للفيزياء