جبر باناخ

في الرياضيات ، وخاصة التحليل الوظيفي ، فإن جبر باناخ ، الذي سمي على اسم ستيفان باناخ ، هو جبر ترابطي${\displaystyle A}$على الأعداد الحقيقية أو المركبة (أو على حقل معياري كامل غير أرخميدسي ) والذي هو في الوقت نفسه فضاء باناخ ، أي فضاء معياري كامل في المقياس المستحث بواسطة المعيار. ويشترط أن يحقق المعيار $${\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ لجميع }}x,y\in A.}$$

وهذا يضمن أن عملية الضرب مستمرة بالنسبة للطوبولوجيا المترية .

يُطلق على جبر باناخ اسم الجبر الأحادي إذا كان يحتوي على عنصر محايد لعملية الضرب يكون معياره${\displaystyle 1,}$ويكون تبادليًا إذا كانت عملية الضرب فيه تبادلية . أي جبر باناخ${\displaystyle A}$(سواء كان أحاديًا أم لا) يمكن تضمينه بشكل متساوي القياس في جبر باناخ أحادي${\displaystyle A_{e}}$وذلك لتشكيل مثال مغلق لـ${\displaystyle A_{e}}$غالباً ما يُفترض مسبقاً أن الجبر قيد الدراسة أحادي، لأنه يمكن تطوير جزء كبير من النظرية من خلال النظر في${\displaystyle A_{e}}$ثم تطبيق النتيجة في الجبر الأصلي. مع ذلك، لا ينطبق هذا الأمر دائمًا. على سبيل المثال، لا يمكن تعريف جميع الدوال المثلثية في جبر باناخ دون وجود دالة محايدة.

قد تختلف نظرية جبر باناخ الحقيقي اختلافًا كبيرًا عن نظرية جبر باناخ المركب. فعلى سبيل المثال، لا يمكن أن يكون طيف عنصر من جبر باناخ مركب غير تافه فارغًا أبدًا، بينما في جبر باناخ الحقيقي، قد يكون فارغًا لبعض العناصر.

يمكن أيضًا تعريف جبر باناخ على حقول من${\displaystyle p}$الأعداد -adic . هذا جزء من${\displaystyle p}$التحليل -adic .

المثال النموذجي لجبر باناخ هو${\displaystyle C_{0}(X)}$، فضاء الدوال المتصلة (ذات القيم المركبة)، المعرفة على فضاء هاوسدورف محليًا مضغوطًا${\displaystyle X}$، التي تتلاشى عند اللانهاية .${\displaystyle C_{0}(X)}$يكون أحاديًا إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$مضغوطة . بما أن الاقتران المركب هو عملية عكسية ،${\displaystyle C_{0}(X)}$هي في الواقع جبر C* . وبشكل أعم، فإن كل جبر C* هو جبر باناخ بحكم التعريف.

• مجموعة الأعداد الحقيقية (أو المركبة) هي جبر باناخ بمعيار معطى بالقيمة المطلقة .
• مجموعة جميع الأعداد الحقيقية أو المركبة${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$تصبح المصفوفات جبر باناخ أحادي إذا قمنا بتزويدها بمعيار مصفوفة فرعي ضربي .
• استغل مساحة باناش${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(أو${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) مع المعيار${\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}$وعرّف عملية الضرب عنصرًا عنصرًا:${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}$
• تشكل الكواترنيونات جبر باناخ حقيقي رباعي الأبعاد، حيث يتم تحديد المعيار من خلال القيمة المطلقة للكواترنيونات.
• إن جبر جميع الدوال الحقيقية أو المركبة المحدودة المعرفة على مجموعة ما (مع الضرب النقطي ومعيار السوبريموم ) هو جبر باناخ أحادي.
• إن جبر جميع الدوال الحقيقية أو المركبة المحدودة والمستمرة على بعض الفضاء المدمج محليًا (مرة أخرى مع العمليات النقطية ومعيار القيمة العليا) هو جبر باناخ.
• جبر جميع المؤثرات الخطية المتصلة على فضاء باناخ${\displaystyle E}$(مع التركيب الوظيفي كضرب ومعيار المؤثر كمعيار) هو جبر باناخ أحادي. مجموعة جميع المؤثرات المدمجة على${\displaystyle E}$هي جبر باناخ ومثالية مغلقة. وهي بلا عنصر محايد إذا${\displaystyle \dim E=\infty .}$^{[ 1 ]}
• لو${\displaystyle G}$هي مجموعة طوبولوجية هاوسدورف متراصة محليًا و${\displaystyle \mu }$إذا كان مقياس هار الخاص به ، فإن فضاء باناخ${\displaystyle L^{1}(G)}$من بين الجميع${\displaystyle \mu }$- وظائف قابلة للتكامل على${\displaystyle G}$يتحول إلى جبر باناخ تحت عملية الالتفاف${\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)}$ل${\displaystyle x,y\in L^{1}(G).}$^{[ 2 ]}
• الجبر المنتظم : جبر باناخ وهو جبر فرعي من الجبر المركب${\displaystyle C(X)}$بمعيار القيمة العليا والذي يحتوي على الثوابت ويفصل نقاط${\displaystyle X}$(والتي يجب أن تكون مساحة هاوسدورف مدمجة).
• جبر دوال باناخ الطبيعية : جبر منتظم تكون جميع خصائصه عبارة عن تقييمات عند نقاط${\displaystyle X.}$
• الجبر C* : جبر باناخ الذي هو جبر فرعي مغلق * لجبر المؤثرات المحدودة على بعض فضاء هيلبرت .
• جبر القياس : جبر باناخ يتكون من جميع قياسات رادون على مجموعة متراصة محليًا ، حيث يتم إعطاء حاصل ضرب قياسين عن طريق التفاف القياسات . ^{[ 2 ]}
• جبر الأعداد الرباعية${\displaystyle \mathbb {H} }$هو جبر باناخ حقيقي، ولكنه ليس جبرًا معقدًا (وبالتالي ليس جبر باناخ معقدًا) لسبب بسيط هو أن مركز الكواترنيونات هو الأعداد الحقيقية، والتي لا يمكن أن تحتوي على نسخة من الأعداد المركبة.
• الجبر الأفينويدي هو نوع معين من جبر باناخ على حقل غير أرخميدسي. وتُعدّ الجبر الأفينويدية اللبنات الأساسية في الهندسة التحليلية الصلبة .

يمكن تعريف العديد من الدوال الأولية ، التي تُعرَّف عبر متسلسلات القوى ، في أي جبر باناخ أحادي؛ ومن الأمثلة على ذلك الدالة الأسية والدوال المثلثية ، وبشكل أعم أي دالة كاملة . (على وجه الخصوص، يمكن استخدام الدالة الأسية لتعريف مجموعات المؤشرات المجردة ). تبقى صيغة المتسلسلة الهندسية صالحة في جبر باناخ الأحادي العام. كما تنطبق نظرية ذات الحدين على عنصرين تبادليين في جبر باناخ.

مجموعة العناصر القابلة للعكس في أي جبر باناخ أحادي هي مجموعة مفتوحة ، وعملية العكس على هذه المجموعة متصلة (وبالتالي فهي تماثل طوبولوجي)، بحيث تشكل زمرة طوبولوجية تحت الضرب. ^{[ 3 ]}

إذا كان لجبر باناخ وحدة${\displaystyle \mathbf {1} ,}$ثم${\displaystyle \mathbf {1} }$لا يمكن أن يكون مبدلًا ؛ أي،${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }$لأي${\displaystyle x,y\in A.}$وذلك لأن${\displaystyle xy}$و${\displaystyle yx}$لها نفس الطيف باستثناء ربما${\displaystyle 0.}$

تختلف خصائص جبر الدوال المختلفة المذكورة في الأمثلة أعلاه اختلافًا كبيرًا عن خصائص الأمثلة القياسية للجبر، مثل جبر الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال:

• كل جبر باناخ حقيقي يُعد جبر قسمة يكون متماثلاً مع الأعداد الحقيقية، أو الأعداد المركبة، أو الأعداد الرباعية. وبالتالي، فإن جبر باناخ المركب الوحيد الذي يُعد جبر قسمة هو الأعداد المركبة. (وهذا ما يُعرف بنظرية جيلفاند-مازور ).
• كل جبر باناخ حقيقي أحادي بدون قواسم صفرية ، ويكون فيه كل مثالي رئيسي مغلقًا ، يكون متماثلًا مع الأعداد الحقيقية، أو المركبات، أو الكواترنيونات. ^{[ 4 ]}
• كل جبر باناخ حقيقي تبادلي أحادي نوثيري بدون قواسم صفرية يكون متماثلاً مع الأعداد الحقيقية أو المركبة.
• كل جبر باناخ نوثري حقيقي تبادلي أحادي (ربما يحتوي على قواسم صفرية) يكون محدود الأبعاد.
• العناصر المنفردة الدائمة في جبر باناخ هي قواسم طوبولوجية للصفر ، أي بالنظر إلى الامتدادات${\displaystyle B}$جبر باناخ${\displaystyle A}$بعض العناصر التي تكون شاذة في الجبر المعطى${\displaystyle A}$يحتوي على عنصر معكوس ضربي في امتداد جبر باناخ${\displaystyle B.}$ القواسم الطوبولوجية للصفر في${\displaystyle A}$تكون مفردة بشكل دائم في أي امتداد باناش${\displaystyle B}$ل${\displaystyle A.}$

توفر جبر باناخ الموحد على الحقل المركب إطارًا عامًا لتطوير نظرية الأطياف. طيف عنصر ما${\displaystyle x\in A,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \sigma (x)}$، يتكون من كل تلك الكميات القياسية المعقدة${\displaystyle \lambda }$بحيث${\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }$غير قابل للعكس في${\displaystyle A.}$ طيف أي عنصر${\displaystyle x}$هي مجموعة فرعية مغلقة من القرص المغلق في${\displaystyle \mathbb {C} }$بنصف قطر${\displaystyle \|x\|}$والمركز${\displaystyle 0,}$وبالتالي فهو مضغوط . علاوة على ذلك، فإن الطيف${\displaystyle \sigma (x)}$عنصر${\displaystyle x}$غير فارغة وتفي بصيغة نصف القطر الطيفي : $${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$$

منح${\displaystyle x\in A,}$يسمح حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي بتعريف${\displaystyle f(x)\in A}$لأي وظيفة${\displaystyle f}$هولومورفي في جوار من${\displaystyle \sigma (x).}$ علاوة على ذلك، فإن نظرية التعيين الطيفي صحيحة: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}$$

عندما يكون جبر باناخ${\displaystyle A}$الجبر${\displaystyle L(X)}$المؤثرات الخطية المحدودة على فضاء باناخ معقد${\displaystyle X}$(على سبيل المثال، جبر المصفوفات المربعة)، مفهوم الطيف في${\displaystyle A}$يتطابق مع المعتاد في نظرية المؤثرات .${\displaystyle f\in C(X)}$(مع مساحة هاوسدورف المدمجة)${\displaystyle X}$، يرى المرء أن: $${\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}$$

معيار العنصر الطبيعي${\displaystyle x}$يتطابق نصف قطر طيف جبر C* مع نصف قطره الطيفي. وهذا يعمم حقيقة مماثلة للمؤثرات العادية.

يترك${\displaystyle A}$ليكن جبر باناخ أحادي معقد يكون فيه كل عنصر غير صفري${\displaystyle x}$قابلة للعكس (جبر القسمة). لكل${\displaystyle a\in A,}$هنالك${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$بحيث ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$لا يمكن عكسها (لأن طيف${\displaystyle a}$(ليس فارغًا) وبالتالي${\displaystyle a=\lambda \mathbf {1}$ هذا الجبر${\displaystyle A}$متماثل الشكل بشكل طبيعي مع${\displaystyle \mathbb {C} }$(الحالة المعقدة لنظرية جيلفاند-مازور).

يترك${\displaystyle A}$ليكن جبر باناخ تبادلي أحادي على${\displaystyle \mathbb {C} .}$منذ${\displaystyle A}$إذن، هي حلقة تبديلية ذات عنصر محايد، وكل عنصر غير قابل للعكس فيها${\displaystyle A}$ينتمي إلى مثال أعلى من${\displaystyle A.}$بما أن المثالي الأقصى${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$في${\displaystyle A}$مغلق،${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$هي جبر باناخ الذي هو حقل، ويترتب على ذلك من نظرية جيلفاند-مازور وجود تقابل بين مجموعة جميع المُثُل القصوى لـ${\displaystyle A}$والمجموعة${\displaystyle \Delta (A)}$من جميع التشاكلات غير الصفرية من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle \mathbb {C} .}$المجموعة${\displaystyle \Delta (A)}$يُطلق عليه اسم فضاء البنية أو فضاء الأحرف لـ${\displaystyle A}$.

شخصية​${\displaystyle \chi \in \Delta (A)}$دالة خطية على${\displaystyle A}$وهذا في الوقت نفسه ضربي،${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}$ويرضي${\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1.}$ كل حرف متصل تلقائيًا من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle \mathbb {C} ,}$بما أن نواة المؤثر هي مثالي أعظمي، وهو مغلق. علاوة على ذلك، فإن معيار المؤثر (أي معيار المؤثر) يساوي واحدًا. مزودًا بطوبولوجيا التقارب النقطي على${\displaystyle A}$(أي، الطوبولوجيا الناتجة عن الطوبولوجيا الضعيفة* لـ${\displaystyle A^{*}}$مساحة الأحرف،${\displaystyle \Delta (A),}$مساحة هاوسدورف صغيرة الحجم.

لأي${\displaystyle x\in A,}$$${\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}$$ أين${\displaystyle {\hat {x}}}$هو تمثيل جيلفاند لـ${\displaystyle x}$تم تعريفها على النحو التالي:${\displaystyle {\hat {x}}}$هي دالة متصلة من${\displaystyle \Delta (A)}$ل${\displaystyle \mathbb {C} }$مقدم من${\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x).}$ طيف${\displaystyle {\hat {x}},}$في الصيغة أعلاه، يمثل الطيف عنصرًا من عناصر الجبر${\displaystyle C(\Delta (A))}$من الدوال المتصلة المعقدة على الفضاء المضغوط${\displaystyle \Delta (A).}$ بشكل صريح، $${\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}$$

كجبر، يكون جبر باناخ التبادلي الأحادي شبه بسيط (أي أن جذر جاكوبسون الخاص به يساوي صفرًا) إذا وفقط إذا كان تمثيله في جيلفاند ذا نواة تافهة. ومن الأمثلة المهمة على هذا النوع من الجبر جبر C* التبادلي. في الواقع، عندما${\displaystyle A}$إذا كانت C*-جبرًا تبديليًا أحاديًا، فإن تمثيل جيلفاند يكون تماثلًا متساوي القياس بين${\displaystyle A}$و${\displaystyle C(\Delta (A)).}$^{[ أ ]}

جبر باناخ *${\displaystyle A}$هي جبر باناخ على حقل الأعداد المركبة ، بالإضافة إلى خريطة${\displaystyle {}^{*}:A\to A}$والتي لها الخصائص التالية:

1. ${\displaystyle \left(x^{*}\right)^{*}=x}$للجميع${\displaystyle x\in A}$(إذن الخريطة عبارة عن انقلاب ).
2. ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$للجميع${\displaystyle x,y\in A.}$
3. ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$لكل${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$وكل${\displaystyle x\in A;}$هنا،${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$يرمز إلى المرافق المعقد لـ${\displaystyle \lambda .}$
4. ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$للجميع${\displaystyle x,y\in A.}$

بمعنى آخر، جبر باناخ * هو جبر باناخ على${\displaystyle \mathbb {C} }$وهذا أيضاً جبر *- .

في معظم الأمثلة الطبيعية، يكون الانعكاس متساوي القياس أيضًا ، أي $${\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$ يدرج بعض المؤلفين هذه الخاصية المتساوية القياس في تعريف جبر باناخ *.

جبر باناخ *- الذي يحقق${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$هو جبر C* .

• الهوية التقريبية – الشبكة في الجبر المعياري 
• حدسية كابلانسكي – العديد من الحدسيات التي وضعها عالم الرياضيات إيرفينغ كابلانسكي. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• جبر المؤثرات – فرع من التحليل الوظيفي 
• حدود شيلوف