المتوسط ​​الكروي

في الرياضيات ، المتوسط ​​الكروي لدالة حول نقطة ما هو متوسط ​​جميع قيم تلك الدالة على كرة ذات نصف قطر معين متمركزة عند تلك النقطة.

لنفترض مجموعة مفتوحة U في الفضاء الإقليدي Rⁿ ودالة متصلة u معرفة على U ^بقيم حقيقية أو مركبة . ولتكن x نقطة في U و r > 0 بحيث تكون الكرة المغلقة B ( x , r ) التي مركزها x ونصف قطرها r محتواة في U. يُعرَّف المتوسط ​​الكروي على الكرة التي نصف قطرها r ومركزها x كما يلي :   

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}(r)}}\int \limits _{\partial B(x,r)}\!u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$

حيث ∂ B ( x , r ) هي الكرة ( n − 1) التي تشكل حدود B ( x , r )، و d S تشير إلى التكامل بالنسبة للقياس الكروي و ω _{n − 1} ( r ) هي "مساحة السطح" لهذه الكرة ( n − 1).      

وبصورة مكافئة، يُعطى المتوسط ​​الكروي بالصيغة التالية

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int \limits _{\|y\|=1}\!u(x+ry)\,\mathrm {d} S(y)}$

حيث ω _{n − 1} هي مساحة الكرة ( n − 1) ذات نصف القطر 1.  

يُشار إلى المتوسط ​​الكروي غالبًا باسم

${\displaystyle \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$

كما يتم تعريف المتوسط ​​الكروي للمتشعبات الريمانية بطريقة طبيعية.

• من استمرارية${\displaystyle u}$ويترتب على ذلك أن الدالة$${\displaystyle r\to \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$$هي دالة متصلة، ونهايتها عندما${\displaystyle r\to 0}$يكون${\displaystyle u(x).}$
• يمكن استخدام الوسائل الكروية لحل مسألة كوشي لمعادلة الموجة${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=c^{2}\,\Delta u}$ في بُعد مكاني فردي. والنتيجة، المعروفة باسم صيغة كيرشوف، تُشتق باستخدام الوسائل الكروية لتبسيط معادلة الموجة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(للأعداد الفردية)${\displaystyle n}$) إلى معادلة الموجة في${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم باستخدام صيغة دالمبير . وقد ورد التعبير نفسه في مقالة معادلة الموجة .
• لو${\displaystyle U}$هي مجموعة مفتوحة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle u}$هي دالة C2 معرفة ^على${\displaystyle U}$، ثم${\displaystyle u}$تكون متناغمة إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle U}$وكل شيء${\displaystyle r>0}$بحيث تكون الكرة المغلقة${\displaystyle B(x,r)}$موجود في${\displaystyle U}$يمتلك المرء$${\displaystyle u(x)=\int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$$يمكن استخدام هذه النتيجة لإثبات مبدأ القيمة القصوى للدوال التوافقية.

• إيفانز، لورانس سي. (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-0772-9.

• سابيلفيلد، ك.ك.؛ شاليموفا، إ.أ. (1997). المتوسطات الكروية للمعادلات التفاضلية الجزئية . VSP. ISBN 978-90-6764-211-8.
• سونادا، توشيكازو (1981). "المتوسطات الكروية والسلاسل الجيوديسية في مشعب ريماني" . معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات 267 ( 2): 483-501 . doi : 10.1090/S0002-9947-1981-0626485-6 .

• المتوسط ​​الكروي في PlanetMath .