القطاع الكروي

في الهندسة ، يُعرف القطاع الكروي ^{[ 1 ]} ، أو المخروط الكروي ^{[ 2 ]،} بأنه جزء من كرة محصور بين غطاء كروي ومخروط يصل مركز الكرة بحدود الغطاء. وهو النظير ثلاثي الأبعاد لقطاع الدائرة .

إذا رمزنا لنصف قطر الكرة بـ r وارتفاع غطائها بـ h ، فإن حجم القطاع الكروي هو $${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\,.}$$

ويمكن كتابة ذلك أيضاً على النحو التالي: $${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,}$$ حيث φ هي نصف زاوية فتحة المخروط ، أي أن φ هي الزاوية بين حافة الغطاء واتجاه المحور إلى منتصف الغطاء كما يُرى من مركز الكرة. وتكون الحالة الحدية عندما تقترب φ من 180 درجة، مما يُشكل كرة كاملة.

الارتفاع، h، يُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle h=r(1-\cos \varphi )\,.}$$

يرتبط حجم القطاع V بمساحة الغطاء A بالعلاقة التالية:$${\displaystyle V={\frac {rA}{3}}\,.}$$

مساحة السطح المنحني للغطاء الكروي (على سطح الكرة، باستثناء سطح المخروط) هي $${\displaystyle A=2\pi rh\,.}$$

وهو كذلك $${\displaystyle A=\Omega r^{2}}$$ حيث Ω هي الزاوية المجسمة للقطاع الكروي بوحدة الستراديان ، وهي وحدة قياس الزاوية المجسمة في النظام الدولي للوحدات. ويُعرَّف الستراديان الواحد بأنه الزاوية المجسمة التي تغطيها مساحة غطاء ^{مقدارها} A = r² .

يمكن حساب الحجم عن طريق تكامل عنصر الحجم التفاضلي$${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta }$$ على حجم القطاع الكروي، $${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi}\int _{0}^{\varphi}\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi \int _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho ={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,}$$ حيث تم فصل التكاملات، لأنه يمكن فصل الدالة المراد تكاملها إلى حاصل ضرب دوال، كل منها بمتغير وهمي واحد.

يمكن حساب المساحة بطريقة مماثلة عن طريق تكامل عنصر المساحة الكروية التفاضلية $${\displaystyle dA=r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta }$$ على القطاع الكروي، مما يعطي $$// ص ^ {2}(1-\cos \varphi )\,,}$$ حيث φ هي زاوية الميل (أو الارتفاع) و θ هي زاوية السمت (يمين). لاحظ أن r ثابت. مرة أخرى، يمكن فصل التكاملات.

• القطاع الدائري - الشكل ثنائي الأبعاد المماثل.
• غطاء كروي
• قطعة كروية
• إسفين كروي