نظرية التماثل المستقر

في الرياضيات ، تُعنى نظرية التماثل المستقر، وهي جزء من نظرية التماثل (وبالتالي الطوبولوجيا الجبرية )، بجميع البنى والظواهر التي تبقى بعد عدد كافٍ من تطبيقات دالة التعليق . ومن النتائج المؤسسة لهذه النظرية نظرية فرويدنتال للتعليق ، التي تنص على أنه لأي فضاء مُشار إليه، يكون التماثل المستقر ثابتًا.${\displaystyle X}$، مجموعات التماثل${\displaystyle \pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)}$استقرار لـ${\displaystyle n}$كبيرة بما يكفي. على وجه الخصوص، مجموعات التماثل الكروي${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$استقرار لـ${\displaystyle n\geq k+2}$. على سبيل المثال،

${\displaystyle \langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots }$

${\displaystyle \langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{5}(S^{4})\cong \cdots }$

في المثالين أعلاه، جميع التطبيقات بين مجموعات التماثل هي تطبيقات لدالة التعليق . المثال الأول هو نتيجة قياسية لنظرية هوريفيتش ، وهي أن${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$في المثال الثاني، خريطة هوبف ،${\displaystyle \eta }$، ويتم ربطها بنظام التعليق الخاص بها${\displaystyle \Sigma \eta }$، مما يؤدي إلى${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$.

تُعدّ مسألة حساب مجموعات التماثل المستقر للكرات من أهمّ المسائل في نظرية التماثل المستقر . ووفقًا لنظرية فرويدنتال، فإنّ مجموعات التماثل للكرات في النطاق المستقر لا تعتمد على الأبعاد المحددة للكرات في المجال والهدف، بل على الفرق بين هذين البُعدين. وبناءً على ذلك، فإنّ الجذع المستقر من الرتبة k هو

${\displaystyle \pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})}$.

هذه زمرة تبديلية لجميع قيم k . وهي نظرية لجان بيير سير ^{[ 1 ]} تنص على أن هذه الزمر منتهية لـ${\displaystyle k\neq 0}$في الواقع، التكوين يصنع${\displaystyle \pi _{*}^{S}}$إلى حلقة متدرجة . تنص نظرية غورو نيشيدا ^{[ 2 ]} على أن جميع عناصر التدرج الموجب في هذه الحلقة هي عناصر معدومة القوة. وبالتالي، فإن المثاليّات الأولية الوحيدة هي الأعداد الأولية في${\displaystyle \pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z} }$لذا فإن بنية${\displaystyle \pi _{*}^{s}}$الأمر معقد للغاية.

في المعالجة الحديثة لنظرية التماثل المستقر، تُستبدل الفضاءات عادةً بالأطياف . وبناءً على هذا المنطق، يمكن إنشاء فئة تماثل مستقرة كاملة . تتميز هذه الفئة بالعديد من الخصائص المميزة غير الموجودة في فئة التماثل (غير المستقر) للفضاءات، وذلك لأن دالة التعليق تصبح قابلة للعكس. على سبيل المثال، مفهوم متتالية التليف المشترك ومتتالية التليف متكافئان.

• ترشيح آدامز
• تسلسل أدامز الطيفي
• نظرية التماثل اللوني
• نظرية التماثل المستقر المتغير
• نظرية انعدام القوة

• Adams, J. Frank (1966), Stable homotopy theory, Second revised edition. Lectures delivered at the University of California at Berkeley, vol. 1961, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0196742
• May, J. Peter (1999), "Stable Algebraic Topology, 1945–1966"(PDF), Stable algebraic topology, 1945--1966, Amsterdam: North-Holland, pp. 665–723, CiteSeerX 10.1.1.30.6299, doi:10.1016/B978-044482375-5/50025-0, ISBN 9780444823755, MR 1721119
• Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 128, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02572-8, MR 1192553