مجموعات التماثل الكروي

في مجال الطوبولوجيا الجبرية ، تصف مجموعات التماثل الكروي كيفية التفاف الكرات ذات الأبعاد المختلفة حول بعضها البعض. وهي أمثلة على الثوابت الطوبولوجية ، التي تعكس، من الناحية الجبرية ، بنية الكرات باعتبارها فضاءات طوبولوجية ، متجاهلةً هندستها الدقيقة.

تحاكي هذه الصورة جزءًا من تليف هوبف، وهو تحويل مثير للاهتمام من الكرة ثلاثية الأبعاد إلى الكرة ثنائية الأبعاد. هذا التحويل هو مولد مجموعة التماثل الثالثة للكرة ثنائية الأبعاد.

تُعمم الكرة الوحدة ذات البعد $n$ - والتي تُسمى اختصارًا الكرة $n ، ويُرمز لها بـ$ $Sn$ $-$ الدائرة المألوفة ( $S1$ ) والكرة العادية ( $S2$ $)$ . يمكن تعريف الكرة $n$ هندسيًا على أنها مجموعة النقاط في فضاء إقليدي ذي بُعد $n$ $+ 1،$ $والواقعة$ على بُعد وحدة واحدة من نقطة الأصل. تُجسد زمرة التماثل $πi$ $($ $Sn$ $)$ $من الرتبة$ $i$ الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها $تحويل$ الكرة ذات البعد $i$ $، Si$ $،$ بشكل متصل إلى الكرة $ذات$ البعد $n، Sn$ $.$ وهي لا تُميز بين التحويلات التي يمكن تحويلها بشكل متصل إلى بعضها البعض؛ ولذلك، فإن عناصرها هي فئات تكافؤ للتحويلات تحت التماثل. تُحوّل عملية الجمع هذه المجموعة من فئات التكافؤ إلى زمرة تبديلية، عنصرها المحايد هو فئة أي تحويل ثابت، أي تحويل يُحول جميع عناصر $Si$ $إلى$ نقطة واحدة من $Sn$ $.$

تندرج مشكلة تحديد $π i (S n)$ ضمن ثلاثة أنظمة، اعتمادًا على ما إذا كان $i$ أقل من أو يساوي أو أكبر من $n$ :

بالنسبة لـ $0 < i < n$ ، فإن أي تطبيق من $S i$ إلى $S n$ يكون متماثلًا (أي قابلًا للتشويه المستمر) مع تطبيق ثابت، لذا فإن $π i (S n)$ هي المجموعة التافهة . هذه نتيجة لنظرية التقريب الخلوي .
عندما يكون $i = n$ ، يمكن إسناد درجة لكل تطبيق من $S n$ إلى نفسه ، وهي درجة تقيس بشكل بديهي عدد مرات التفاف الكرة حول نفسها. تُعرّف هذه الدرجة مجموعة التماثل $π$ $n$ $($ $S$ $n$ $)$ بأنها مجموعة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع.
بالنسبة لـ $i > n$ ، تعتمد المجموعات $π i (S n) بشدة على$ $i$ و $n$ . أول مثال تاريخي مثير للاهتمام هو المجموعة $π 3 (S 2)$ التي يتم توليدها بواسطة تليف هوبف .

تُعدّ مسألة حساب الزمر $π n + k (S n) لقيم$ $k$ الموجبة مسألةً بالغة الصعوبة وذات أهمية مركزية في مجال الطوبولوجيا الجبرية، ولذا فقد حفّزت تطوير العديد من الأدوات والتقنيات الأساسية. ومن النتائج المهمة المبكرة نظرية تعليق فرويدنتال ، التي تنص على أن $π n + k (S n)$ مستقلة عن $n$ لقيم $n \geq k + 2.$ ويمكن دراسة هذه الزمر، المعروفة بزمر التماثل المستقر للكرات ، باستخدام أدوات نظرية التماثل المستقر ، وهي معروفة تمامًا لقيم $k$ حتى 90. ^{[ 1 ]} أما الزمر في النطاق غير المستقر $n < k + 2$ فهي أقل سهولة في الوصول إليها، ولكن تم تدوينها على الأقل لجميع قيم $k < 19.$ ^{[ 2 ]}

خلفية

تعتمد دراسة مجموعات التماثل الكروي على قدر كبير من المعلومات الأساسية، والتي سنستعرضها بإيجاز هنا. يوفر علم الطوبولوجيا الجبرية السياق الأوسع، وهو بدوره مبني على الطوبولوجيا والجبر المجرد ، مع اعتبار مجموعات التماثل مثالاً أساسياً.

كرة من النوع $n$

الكرة العادية في الفضاء ثلاثي الأبعاد - السطح، وليس الكرة المصمتة - هي مجرد مثال واحد على معنى الكرة في علم الطوبولوجيا. يُعرّف علم الهندسة الكرة تعريفًا دقيقًا، كشكل. إليك بعض البدائل.

$السطح$ الضمني : $x²₀ + x²₁ + x²₂ = 1 $

هذه هي مجموعة النقاط في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد التي تبعد وحدة واحدة بالضبط عن نقطة الأصل. تُسمى هذه المجموعة بالكرة ثنائية الأبعاد،

S₂

، للأسباب

المذكورة أدناه. وينطبق المبدأ نفسه على أي بُعد

n

؛ فالمعادلة

x₀ + x₁ + ... + xₙ = 1

تُنتج الكرة

n

كشكل هندسي في فضاء ذي ( ⁿ

+ 1 ) بُعد.

على

سبيل

المثال، الكرة أحادية البُعد

S₁

هي دائرة . ^[³

]

قرص ذو حافة منهارة : يُكتب في علم الطوبولوجيا على النحو التالي: $D 2 / S 1$

ينتقل هذا البناء من الهندسة إلى الطوبولوجيا البحتة. القرص

D₂

هو المنطقة المحصورة داخل دائرة، موصوفة بالمتباينة

x₀

+ x₁ \leq 1 ،

وحافته (أو "

حدوده

"

)

هي الدائرة

S₁ ،

الموصوفة بالمساواة

x₀

+

x₁

=

1.

إذا ثُقب بالون وفُتح بشكل مسطح

،

فإنه يُنتج قرصًا؛ يُصلح هذا البناء الثقب، كما لو كان يُشدّ خيطًا.

تعني

علامة القسمة

، التي تُنطق "

مودولو"، أخذ الفضاء الطوبولوجي على اليسار (القرص) وضم جميع النقاط على اليمين (الدائرة) إليه. المنطقة ثنائية الأبعاد، ولهذا يُطلق على الفضاء الطوبولوجي الناتج اسم الكرة ثنائية الأبعاد. بشكل عام،

ينتج

عن

Dₙ / Sₙ₋₁

الدائرة

Sₙ

.

على

سبيل

المثال

،

D₁

هي

قطعة مستقيمة ، ويصل البناء طرفيها لتكوين دائرة. ويمكن وصف ذلك بشكل مكافئ بأنه يتم لصق حدود قرص ذي أبعاد

n

بنقطة، مما ينتج عنه مركب CW . ^[⁴^]

تعليق خط الاستواء : يُكتب في علم الطوبولوجيا على النحو التالي: $Σ S 1$

هذا البناء، على بساطته، ذو أهمية نظرية بالغة. لنفترض أن

الدائرة

S1

هي خط الاستواء ، ولنقم بمسح كل نقطة عليها إلى نقطة واحدة فوقها (القطب الشمالي)، مما ينتج عنه نصف الكرة الشمالي، وإلى نقطة واحدة تحتها (القطب الجنوبي)، مما ينتج عنه نصف الكرة الجنوبي. لكل عدد صحيح موجب

n

، فإن الكرة

ذات

البعد

n

، x²₀

+ x²₁ + ... + x²ₙ = 1 ، يكون

خط استوائها هو ^الكرة

ذات

البعد

(

n - 1

)

،

x²₀ + x²₁ +

...

+

x²ₙ₋₁

= 1

،

وينتج

عن التعليق

Σ

Sₙ₋₁

النقطة

Sₙ

.

^[⁵

]

تتطلب بعض النظريات اختيار نقطة ثابتة على الكرة، ويُطلق على الزوج $(الكرة، النقطة) اسم$ الكرة المدببة . في بعض الفضاءات، يُعدّ هذا الاختيار مهمًا، ولكن بالنسبة للكرة، تكون جميع النقاط متكافئة، لذا فإن الاختيار مسألة ملائمة. ^{[ 6 ]} بالنسبة للكرات المُنشأة كتعليق متكرر، تُعدّ النقطة $(1، 0، 0، ...، 0)$ ، الواقعة على خط استواء جميع مستويات التعليق، خيارًا مناسبًا؛ أما بالنسبة للقرص ذي الحافة المنهارة، فإن النقطة الناتجة عن انهيار الحافة تُعدّ خيارًا بديهيًا آخر.

مجموعة متجانسة

السمة المميزة للفضاء الطوبولوجي هي بنيته المتصلة، والتي تُصاغ بدلالة المجموعات المفتوحة أو الجوارات . الدالة المتصلة هي دالة بين فضاءات تحافظ على الاتصال. التماثل هو مسار متصل بين دوال متصلة؛ ويُقال إن دالتين متصلتين بتماثل متماثلتان. ^{[ 7 ]} الفكرة المشتركة بين كل هذه المفاهيم هي استبعاد التغيرات التي لا تؤثر على النتائج المطلوبة. ومن الأمثلة العملية المهمة نظرية البواقي في التحليل العقدي ، حيث تُعرَّف "المنحنيات المغلقة" بأنها دوال متصلة من الدائرة إلى المستوى العقدي، وحيث يُنتج منحنيان مغلقان نفس النتيجة التكاملية إذا كانا متماثلين في الفضاء الطوبولوجي المكون من المستوى باستثناء نقاط التفرد. ^{[ 8 ]}

تبدأ المجموعة التماثلية الأولى، أو المجموعة الأساسية ، $π₁ (X)$ للفضاء الطوبولوجي $X$ $($ المتصل مساريًا ) بتطبيقات متصلة من دائرة مدببة $($ $S₁$ $,$ $s$ $)$ إلى الفضاء المدبب $($ $X$ $,$ $x$ $)$ ، حيث تُسقط التطبيقات من زوج إلى آخر $s$ على $x$ . تُجمع هذه التطبيقات (أو ما يُكافئها، المنحنيات المغلقة) في $فئات$ تكافؤ بناءً على التماثل (مع تثبيت "نقطة الأساس" $x$ )، بحيث يكون تطبيقان في نفس الفئة إذا كانا متماثلين. وكما تُميز نقطة واحدة، تُميز فئة واحدة أيضًا: تُسمى جميع التطبيقات (أو المنحنيات) المتماثلة مع التطبيق الثابت $S₁$ $\mapsto$ $x$ بالتطبيقات المتماثلة الصفرية. تُصبح الفئات مجموعة جبرية مجردة مع إدخال الجمع، المُعرّف عبر "انضغاط خط الاستواء". يُسقط هذا الانضغاط خط استواء كرة مدببة (هنا دائرة) على النقطة المميزة، مُنتجًا " $باقة$ من الكرات " - كرتان مدببتان متصلتان عند نقطتهما المميزة. تقوم الخريطتان المراد جمعهما برسم الكرتين العلوية والسفلية بشكل منفصل، وتتفقان على النقطة المميزة، ويعطي التركيب مع نقطة التضييق خريطة المجموع. ^[⁹^]

بشكلٍ أعم، تبدأ زمرة التماثل من الرتبة $i$ $،$ $πᵢ (X)$ $، بالكرة المدببة من الرتبة i (Sᵢ,$ $s$ ) $، وتتبع الإجراء نفسه فيما$ عدا ذلك. تعمل فئة التماثل الصفرية كعنصر محايد في عملية جمع الزمر، وبالنسبة لـ $X$ التي تساوي $Sⱼ ($ $لـ n$ موجب ) - وهي زمر التماثل للكرات - تكون الزمر تبديلية ومولدة توليدًا نهائيًا . إذا كانت جميع التطبيقات لبعض $i$ متماثلة صفرية، فإن الزمرة $πᵢ تتكون من عنصر واحد ،$ وتُسمى الزمرة التافهة .

يُنشئ التطبيق المتصل بين فضاءين طوبولوجيين تماثلًا زمرًا بين زمر التماثل المرتبطة بهما. على وجه الخصوص، إذا كان التطبيق تقابلًا متصلًا له دالة عكسية متصلة ( تماثلًا طوبولوجيًا )، بحيث يكون للفضاءين نفس الطوبولوجيا، فإن زمر التماثل من الرتبة $i$ متماثلة لجميع قيم $i . مع ذلك، يمتلك$ المستوى الحقيقي نفس زمر التماثل لنقطة منفردة (كما هو الحال في أي فضاء إقليدي ذي بُعد)، ويمتلك المستوى الحقيقي بعد إزالة نقطة منه نفس زمر الدائرة، لذا فإن الزمر وحدها لا تكفي لتمييز الفضاءات. على الرغم من أن فقدان القدرة على التمييز أمر مؤسف، إلا أنه قد يُسهّل بعض العمليات الحسابية.

أمثلة منخفضة الأبعاد

تُقدّم الأمثلة منخفضة الأبعاد لمجموعات التماثل الكروي فكرةً عن الموضوع، إذ يُمكن تصوّر هذه الحالات الخاصة في الفضاء ثلاثي الأبعاد العادي. مع ذلك، لا تُعدّ هذه التصوّرات براهين رياضية، ولا تُجسّد التعقيد المُحتمل للخرائط بين الكرات.

$π 1 (S 1) = Z$

تتعلق أبسط الحالات بالطرق التي يمكن بها لف دائرة (كرة أحادية البعد) حول دائرة أخرى. يمكن تصور ذلك بلف شريط مطاطي حول إصبع: يمكن لفه مرة، مرتين، ثلاث مرات، وهكذا. يمكن أن يكون اللف في أي من اتجاهين، وتلغي اللفات في الاتجاهين المتعاكسين بعضها بعضًا بعد التشوه. وبالتالي، فإن زمرة التماثل $π 1 (S 1) هي$ زمرة دورية لانهائية ، وهي متماثلة مع زمرة الأعداد الصحيحة $Z$ تحت عملية الجمع: يتم تحديد فئة التماثل بعدد صحيح عن طريق حساب عدد مرات التفاف تطبيق في فئة التماثل حول الدائرة. يمكن أيضًا اعتبار هذا العدد الصحيح بمثابة عدد لفات حلقة حول نقطة الأصل في المستوى . ^[¹⁰^]

غالبًا ما يُكتب تعريف مجموعة التماثل ( التماثل الجماعي ) مع الأعداد الصحيحة على شكل مساواة: وبالتالي $π$ $1$ $($ $S$ $1$ $) = Z$ . ^[¹¹^]

$π 2 (S 2) = Z$

يمكن تصور التحويلات من كرة ثنائية الأبعاد إلى كرة ثنائية الأبعاد أخرى على أنها لف كيس بلاستيكي حول كرة ثم إغلاقه. الكيس المغلق مكافئ طوبولوجيًا للكرة ثنائية الأبعاد، وكذلك سطح الكرة. يمكن لف الكيس أكثر من مرة عن طريق لفه ثم لفه مرة أخرى فوق الكرة. (لا يُشترط أن يكون التحويل المستمر أحاديًا ، لذا يُسمح للكيس بالمرور عبر نفسه). يمكن أن يكون اللف في أحد اتجاهين، ويمكن أن يلغي اللفان المتعاكسان بعضهما البعض بالتشويه. العدد الإجمالي للّفات بعد الإلغاء هو عدد صحيح، يُسمى درجة التحويل . كما هو الحال في التحويلات من دائرة إلى دائرة، تُحدد هذه الدرجة مجموعة التماثل مع مجموعة الأعداد الصحيحة ، $Z.$

هاتان النتيجتان تعممان: لكل $n > 0$ ، $π n (S n) = Z$ (انظر أدناه ).

$π 1 (S 2) = 0$

أي تطبيق متصل من دائرة إلى كرة عادية يمكن تحويله باستمرار إلى تطبيق بنقطة واحدة، وبالتالي فإن فئة التماثل الخاصة به تافهة. إحدى طرق تصور ذلك هي تخيل شريط مطاطي ملفوف حول كرة عديمة الاحتكاك: يمكن دائمًا إزالة الشريط عن الكرة. لذلك، فإن زمرة التماثل هي زمرة تافهة ، تحتوي على عنصر واحد فقط، وهو العنصر المحايد، وبالتالي يمكن تعريفها على أنها الزمرة الجزئية من $Z$ التي تتكون فقط من العدد صفر. غالبًا ما يُرمز لهذه الزمرة بالرمز 0. ومع ذلك، يتطلب إثبات ذلك بدقة مزيدًا من العناية، نظرًا لوجود منحنيات تملأ الفراغ . ^{[ 12 ]}

تُعمَّم هذه النتيجة على الأبعاد الأعلى. جميع التحويلات من كرة ذات بُعد أقل إلى كرة ذات بُعد أعلى تكون بديهية بالمثل: إذا كان $i < n$ ، فإن $π i (S n) = 0.$ يمكن إثبات ذلك كنتيجة لنظرية التقريب الخلوي . ^{[ 13 ]}

$π 2 (S 1) = 0$

تتضمن جميع الحالات المثيرة للاهتمام لمجموعات التماثل الكروي تحويلات من كرة ذات أبعاد أعلى إلى كرة ذات أبعاد أقل. لسوء الحظ، المثال الوحيد الذي يمكن تصوره بسهولة ليس مثيرًا للاهتمام: لا توجد تحويلات غير تافهة من الكرة العادية إلى الدائرة. وبالتالي، $π²$ $($ $S₁ ) = 0.$ هذا لأن $S₁$ لها خط الأعداد الحقيقية $كغطاء$ شامل قابل للانكماش (له نوع تماثل نقطة). بالإضافة إلى ذلك، ولأن $S₂$ $متصلة$ ببساطة، وفقًا لمعيار الرفع ^{[ 14 ]} $،$ يمكن رفع أي تحويل من $S₂$ إلى $S₁ إلى تحويل إلى خط الأعداد الحقيقية$ $،$ وينزل التماثل الصفري إلى الفضاء السفلي (عن طريق التركيب).

$π 3 (S 2) = Z$

أول مثال غير تافه حيث $i > n$ يتعلق بالتحويلات من الكرة ثلاثية الأبعاد إلى الكرة ثنائية الأبعاد العادية، وقد اكتشفه هاينز هوبف ، الذي أنشأ تحويلاً غير تافه من $S³$ $إلى$ S² $، يُعرف$ الآن باسم ^تليف هوبف . ^{[ 15 ]} يُولّد هذا التحويل مجموعة التماثل $π³ (S²) = Z.$ ^[¹⁶ ]

تاريخ

في أواخر القرن التاسع عشر، قدّم كاميل جوردان مفهوم التماثل واستخدم مفهوم مجموعة التماثل، دون استخدام مصطلحات نظرية المجموعات. ^{[ 17 ]} وقد تبنى هنري بوانكاريه منهجًا أكثر دقة في مجموعة أوراقه البحثية "التحليل المكاني" (Analysis situs) عام 1895، حيث قدّم أيضًا المفاهيم ذات الصلة، وهي التماثل والمجموعة الأساسية . ^{[ 18 ]}

عرّف إدوارد تشيك مجموعات التماثل العليا لأول مرة عام 1932. ^{[ 19 ]} (تم سحب بحثه الأول بناءً على نصيحة بافيل سيرجيفيتش ألكساندروف وهاينز هوبف، بحجة أن هذه المجموعات تبادلية، وبالتالي لا يمكن أن تكون تعميمات صحيحة للمجموعة الأساسية). يُنسب الفضل أيضًا إلى فيتولد هوريفيتش في تقديم مجموعات التماثل العليا في بحثه عام 1935. ^{[ 20 ]} من الطرق المهمة لحساب المجموعات المختلفة مفهوم الطوبولوجيا الجبرية المستقرة، الذي يحدد خصائص مستقلة عن الأبعاد. عادةً ما تنطبق هذه الخصائص فقط على الأبعاد الكبيرة. كانت أول نتيجة من هذا القبيل هي نظرية التعليق لهانز فرويدنتال ، التي نُشرت عام 1937. ازدهرت الطوبولوجيا الجبرية المستقرة بين عامي 1945 و1966، وحققت العديد من النتائج المهمة. ^[²⁰^] في عام 1953، $أثبت$ جورج دبليو وايتهيد وجود نطاق شبه مستقر لمجموعات التماثل الكروي. استخدم جان بيير سير المتتاليات الطيفية لإثبات أن معظم هذه المجموعات منتهية، باستثناء $πⁿ$ $($ $Sₙ$ $)$ و $π⁴ⁿ⁻¹$ $($ $S₂ⁿ$ $)$ $.$ ومن بين الباحثين الآخرين الذين عملوا في هذا المجال: $خوسيه$ أديم ، وهيروشي تودا ، وفرانك آدامز ، $وج$ $.$ بيتر ماي ، ومارك ماهوالد ، ودانيال إيزاكسن ، وغوتشين وانغ ، وتشولي شو . تُعرف مجموعات التماثل المستقرة $πⁿ⁺ⁿ$ $($ $Sₙ$ $)$ $لقيم$ $k$ $حتى$ 90، بينما لا تزال غير معروفة ^لقيم $k$ ^الأكبر $حتى$ $عام$ 2023. $[$ ¹ $]$

النظرية العامة

كما ذُكر سابقًا، عندما يكون $i$ أقل من $n$ ، $فإن$ $πi (Sn) = 0$ ، وهي المجموعة التافهة . والسبب هو أن أي تطبيق متصل من كرة $i$ إلى كرة $n$ $،$ حيث $i < n،$ يمكن تشويهه دائمًا بحيث لا يكون شاملًا . وبالتالي، فإن صورته موجودة في $Sn$ بعد إزالة نقطة؛ وهذا فضاء قابل للانكماش ، ويمكن $تشويه$ أي تطبيق إلى هذا الفضاء ليصبح تطبيقًا بنقطة واحدة. ^{[ 13 ]}

عندما $i = n$ ، $فإن π n (S n) = Z$ ، وهي المجموعة الدورية اللانهائية المولدة بواسطة دالة التطابق من الكرة $n$ إلى نفسها. ويترتب على تعريف مجموعات التماثل أن دالة التطابق ومضاعفاتها عناصر من $π n (S n)$ . ويمكن إثبات أن هذه هي العناصر الوحيدة باستخدام نظرية التعليق لفرويدنتال ، التي تربط مجموعات التماثل لفضاء ما بتعليقه. في حالة الكرات، يكون تعليق الكرة $n كرة$ $(n +1)-$ ، وتنص نظرية التعليق على وجود تشاكل زمر $π i (S n) \to π i +1 (S n +1 )$ وهو تشاكل لجميع $i < 2 n -1$ وشامل لـ $i = 2 n -1$ . وهذا يعني وجود متتالية من تشاكلات الزمر.

\pi _{1}(S^{1})\to \pi _{2}(S^{2})\to \pi _{3}(S^{3})\to \cdots

$حيث يكون التشاكل الأول شاملاً ،$ أما البقية فهي تشاكلات. وكما ذُكر سابقاً، $فإن$ $π₁ (S₁$ $)$ $= Z$ ، و $π₂ (S₂)$ تحتوي على نسخة من $Z$ مُولَّدة بواسطة دالة التطابق، لذا فإن وجود تشاكل شامل من $π₁ (S₁)$ إلى $π₂ (S₂)$ يستلزم أن $π₂ ($ $S₂$ $)$ $= Z.$ $أما$ $بقية$ التشاكلات في المتتالية فهي تشاكلات $،$ $لذا$ $فإن$ $πₙ (Sₙ$ $)$ $=$ $Z$ لجميع ^قيم $n$ . ^[²¹ $]$

جميع مجموعات التماثل $Hᵢ (Sₙ) ،$ حيث $i > n$ ، تافهة، مما يوحي بأن مجموعات التماثل المقابلة قد تكون تافهة أيضًا. مع ذلك، فإن مجموعات التماثل المقابلة ليست تافهة بشكل عام. هذه هي الحالة ذات الأهمية الحقيقية: مجموعات التماثل العليا $πᵢ$ $($ $Sₙ$ $)$ $،$ حيث $i > n$ $، معقدة بشكل مدهش ويصعب حسابها،$ $وقد$ أدى الجهد المبذول لحسابها إلى ظهور كم هائل من الرياضيات الجديدة.

طاولة

يُقدّم الجدول التالي فكرةً عن تعقيد مجموعات التماثل العليا حتى بالنسبة للكرات ذات البُعد 8 أو أقل. في هذا الجدول، تكون المدخلات إما: أ) المجموعة التافهة 0، أو المجموعة الدورية اللانهائية $Z$ ، أو ب) المجموعات الدورية المنتهية $من$ الرتبة n $($ المكتوبة على النحو $Zn)$ ، أو ج) $الضرب$ المباشر لهذه المجموعات (المكتوبة، على سبيل المثال، على النحو $Z₂₄$ $\times Z₃ أو$ Z₂₂ $= Z₂ \times Z₂)$ . تُقدّم جداول موسعة لمجموعات التماثل للكرات في نهاية المقال .

	π ₁	π ₂	π ₃	π ₄	π ₅	π ₆	π ₇	π ₈	π ₉	π ₁₀	π ₁₁	π ₁₂	π ₁₃	π ₁₄	π ₁₅
S ¹	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S ²	0	Z	Z	Z ₂	Z ₂	Z ₁₂	Z ₂	Z ₂	Z ₃	Z ₁₅	Z ₂	Z ²₂	Z ₁₂ × Z ₂	Z ₈₄ × Z ²₂	Z ²₂
S ³	0	0	Z	Z ₂	Z ₂	Z ₁₂	Z ₂	Z ₂	Z ₃	Z ₁₅	Z ₂	Z ²₂	Z ₁₂ × Z ₂	Z ₈₄ × Z ²₂	Z ²₂
S ⁴	0	0	0	Z	Z ₂	Z ₂	Z×Z ₁₂	Z ²₂	Z ²₂	Z ₂₄ × Z ₃	Z ₁₅	Z ₂	Z ³₂	^{Z ₁₂₀ ×}_{Z ₁₂ × Z ₂}	Z ₈₄ × Z ⁵₂
S ⁵	0	0	0	0	Z	Z ₂	Z ₂	Z ₂₄	Z ₂	Z ₂	Z ₂	Z ₃₀	Z ₂	Z ³₂	Z ₇₂ × Z ₂
S ⁶	0	0	0	0	0	Z	Z ₂	Z ₂	Z ₂₄	0	Z	Z ₂	Z ₆₀	Z ₂₄ × Z ₂	Z ³₂
S ⁷	0	0	0	0	0	0	Z	Z ₂	Z ₂	Z ₂₄	0	0	Z ₂	Z ₁₂₀	Z ³₂
S ⁸	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z ₂	Z ₂	Z ₂₄	0	0	Z ₂	Z×Z ₁₂₀

الصف الأول من هذا الجدول واضح. مجموعات التماثل $π i (S 1)$ للكرة أحادية البعد تافهة بالنسبة لـ $i > 1 ، لأن$ فضاء التغطية الشامل ، $\mathbb {R}$ ^[²²^]

بعد الصف الأول، تبدو مجموعات التماثل الأعلى ( $i > n ) فوضوية، ولكن في الواقع هناك العديد من الأنماط، بعضها واضح وبعضها دقيق للغاية.$

المجموعات الموجودة أسفل الخط الأسود المتعرج ثابتة على طول الأقطار (كما هو موضح بالألوان الأحمر والأخضر والأزرق).
معظم المجموعات منتهية. المجموعات اللانهائية الوحيدة هي إما على القطر الرئيسي أو مباشرة فوق الخط المتعرج (المميز باللون الأصفر).
$الصفان الثاني والثالث$ من الجدول متطابقان بدءًا من العمود الثالث (أي، $πᵢ$ $( S₂) = πᵢ$ $($ $S₃$ $)$ $لـ$ $i$ ≥ $3$ $)$ $.$ هذا التماثل ناتج عن تليف هوبف $S₃$ $\to$ $S₂$ $.$
بالنسبة لـ $n = 2، 3، 4، 5$ و $i \geq n،$ فإن مجموعات التماثل $π i (S n)$ لا تتلاشى. ومع ذلك، فإن $π n +4 (S n) = 0$ لـ $n \geq 6$ .

تنبع هذه الأنماط من العديد من النتائج النظرية المختلفة.

المجموعات المستقرة وغير المستقرة

إن ثبات المجموعات أسفل الخط المتقطع في الجدول أعلاه على طول الأقطار يُفسَّر بنظرية التعليق لهانز فرويدنتال ، التي تنص على أن تشاكل التعليق من $π (n + k) (Sn)$ إلى $π (n + k +1) (Sn +1) هو$ تشاكل متماثل لـ $n > k +1$ . تُسمى المجموعات $π (n + k) (Sn)$ حيث $n > k +1$ بمجموعات التماثل المستقرة للكرات ، ويُرمز لها بـ $πSk$ $:$ وهي مجموعات أبيلية منتهية لـ $k \neq 0$ $،$ وقد حُسبت في حالات عديدة، على الرغم من أن النمط العام لا يزال غير واضح. ^{[ 23 ]} أما بالنسبة لـ $n \leq k +1$ ، فتُسمى هذه المجموعات بمجموعات التماثل غير المستقرة للكرات .

تليفات هوبف

التليف الكلاسيكي لهوبف عبارة عن حزمة من الألياف :

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}.

تُظهر النظرية العامة لحزم الألياف $F \to E \to B$ وجود تسلسل دقيق طويل من مجموعات التماثل

\cdots \to \pi _{i}(F)\to \pi _{i}(E)\to \pi _{i}(B)\to \pi _{i-1}(F)\to \cdots .

$بالنسبة لهذه الحزمة$ $تحديدًا، فإن$ كل تشاكل زمرة $πᵢ (S₁) \to πᵢ (S₃) ،$ الناتج عن التضمين $S₁ \to$ $S₃$ $،$ يُسقط جميع عناصر $πᵢ (S₁)$ إلى الصفر، نظرًا لإمكانية تشويه $الكرة ذات الأبعاد الأقل S₁$ $إلى$ $نقطة$ $داخل الكرة ذات الأبعاد الأعلى$ $S₃$ . وهذا يُقابل تلاشي $πᵢ ($ $S₃$ $)$ $. وبالتالي$ $،$ تنقسم المتتالية التامة الطويلة إلى $متتاليات$ تامة قصيرة $.$

0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.

بما أن $S n +1$ عبارة عن تعليق لـ $S n$ ، فإن هذه المتتاليات تنقسم بواسطة تماثل التعليق $π i -1 (S 1) \to π i (S 2)$ ، مما ينتج عنه تماثلات.

\pi _{i}(S^{2})=\pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).

بما أن $π i -1 (S 1)$ يتلاشى عندما يكون $i$ على الأقل 3 ، فإن الصف الأول يوضح أن $π i (S 2)$ و $π i (S 3)$ متماثلان عندما يكون $i$ على الأقل 3 ، كما لوحظ أعلاه.

يمكن بناء تليف هوبف على النحو التالي: أزواج الأعداد المركبة $(z₀, z₁)$ $التي يكون فيها |z₀$ $|$ ² $+$ $|$ $z₁$ $|$ $²$ $=$ $1$ $تُشكّل$ $كرة$ $ثلاثية$ $الأبعاد$ ، ونسبها $z₀ / z₁ تُغطي$ المستوى المركب بالإضافة إلى ما لا نهاية $، أي$ $كرة$ $ثنائية الأبعاد$ . يُحوّل تطبيق هوبف $S₃ \to S₂ أي زوج$ $من$ $هذه$ $الأعداد$ إلى نسبته. ^{[ 24 ]}

وبالمثل (بالإضافة إلى تليف هوبف) $S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}$ (حيث يكون إسقاط الحزمة عبارة عن تغطية مزدوجة)، توجد تليفات هوبف المعممة

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

تم بناؤها باستخدام أزواج من الكواترنيونات أو الأوكتونيونات بدلاً من الأعداد المركبة. ^{[ 25 ]} هنا أيضًا، $π 3 (S 7)$ و $π 7 (S 15)$ يساويان صفرًا. وبالتالي، تنقسم المتتاليات التامة الطويلة مرة أخرى إلى عائلات من المتتاليات التامة القصيرة المنفصلة، مما يعني وجود عائلتين من العلاقات.

\pi _{i}(S^{4})=\pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3}),

\pi _{i}(S^{8})=\pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).

تشترك التليفات الثلاثة في فضاء أساسي $S n$ حيث $n = 2 m$ ، وذلك لقيم $m = 1، 2، 3.$ يوجد تليف لـ $S 1$ ( $m = 0$ ) كما ذُكر سابقًا، ولكنه غير موجود لـ $S 16$ ( $m = 4$ ) وما بعدها. على الرغم من أن تعميمات العلاقات على $S 16$ غالبًا ما تكون صحيحة، إلا أنها قد تفشل أحيانًا؛ على سبيل المثال،

\pi _{30}(S^{16})\neq \pi _{30}(S^{31})\oplus \pi _{29}(S^{15}).

وبالتالي لا يمكن أن يكون هناك تليف.

S^{15}\hookrightarrow S^{31}\rightarrow S^{16},

أول حالة غير تافهة لمشكلة ثابت هوبف واحد، لأن مثل هذا التليف سيؤدي إلى أن العلاقة الفاشلة صحيحة.

التناغم المؤطر

ترتبط مجموعات التماثل الكروي ارتباطًا وثيقًا بفئات التماثل المشترك للمشعبات. في عام 1938، أثبت ليف بونترياغين وجود تماثل بين مجموعة التماثل $π n + k (Sn )$ ومجموعة $Ω framedk (S n + k)$ لفئات التماثل المشترك للمشعبات الفرعية التفاضلية من الرتبة $k$ في $S n + k$ ، والتي تُعتبر "مؤطرة"، أي لها حزمة طبيعية مُبسطة . كل تطبيق $f : S n + k \to S n$ متماثل مع تطبيق تفاضلي $M k = f -1 (1, 0, ..., 0) \subset S n + k$ ، وهو مشعب فرعي مؤطر من الرتبة $k$ . على سبيل المثال، $π n (S n) = Z$ هي مجموعة التماثل المشترك للمشعبات الفرعية المؤطرة من الرتبة 0 في $S n$ ، والتي تُحسب بالمجموع الجبري لنقاطها، وهو ما يتوافق مع درجة التطبيقات $f : S n \to S n$ . يمثل إسقاط تليف هوبف $S3 \to S2$ مولدًا لـ $π3$ $( S2) = Ω المؤطر 1 (S3) = Z،$ $والذي$ يتوافق مع الفضاء الفرعي أحادي البعد المؤطر لـ $S3$ $،$ المعرف بالتضمين القياسي $S1$ $\subset$ $S3 مع تبسيط غير قياسي للحزمة ثنائية المستوى العادية$ . حتى ظهور طرق جبرية أكثر تطورًا في أوائل الخمسينيات (سير)، كان تماثل بونترياجين الأداة الرئيسية لحساب مجموعات التماثل للكرات. في عام 1954، عمم رينيه ثوم تماثل بونترياجين ليصبح $تماثلًا$ يعبر $عن$ $مجموعات$ أخرى من فئات التماثل المشترك (مثل جميع الفضاءات) كمجموعات تماثل للفضاءات والأطياف . في الأعمال الحديثة، عادةً ما يُعكس هذا المنطق، حيث تُحسب مجموعات التماثل المشترك بدلالة مجموعات التماثل. ^{[ 26 ]}

التناهي والالتواء

في عام ١٩٥١، أثبت جان بيير سير أن زمر التماثل الكروي جميعها منتهية باستثناء تلك التي تأخذ الشكل $πⁿ$ $( Sⁿ) أو$ π⁴ⁿ⁻¹ $( S²ⁿ) ($ لـ n الموجب $)$ $،$ $عندما$ تكون الزمرة ناتج ضرب زمرة دورية لانهائية في زمرة أبيلية منتهية. ^{[ ٢٧ ]} $وبالتحديد ،$ تُحدد زمر التماثل بمكوناتها من الرتبة $p$ $لجميع$ الأعداد الأولية $p . وتُعد المكونات$ $من$ $الرتبة$ 2 الأصعب حسابًا، وتختلف في عدة جوانب عن المكونات من الرتبة $p$ للأعداد الأولية الفردية.

في الورقة البحثية نفسها، اكتشف سير أول موضع يحدث فيه $الالتواء$ من الرتبة p في مجموعات التماثل للكرات ذات البعد $n$ ، وذلك بإثبات أن $π n + k (S n)$ لا تحتوي على التواء من الرتبة $p$ إذا كان $k$ $< 2$ $p$ $- 3$ ، وتحتوي على مجموعة فرعية وحيدة من الرتبة $p$ إذا كان $n$ $\geq 3$ و $k$ $= 2$ $p$ $- 3.$ يختلف الوضع قليلاً بالنسبة للكرات ثنائية الأبعاد: إذ يحدث أول التواء من الرتبة $p عندما$ $k$ $= 2$ $p$ $- 3 + 1.$ في حالة الالتواء الفردي، توجد نتائج أكثر دقة؛ وفي هذه الحالة، يوجد فرق كبير بين الكرات ذات الأبعاد الفردية والزوجية. إذا كان $p$ عددًا أوليًا فرديًا و $n$ $= 2$ $i$ $+ 1$ ، فإن عناصر المكون $p$ من $π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)$ تكون رتبتها على الأكثر $p$ $i$ . ^[²⁸^] وهذه، بمعنى ما، أفضل نتيجة ممكنة، إذ من المعروف أن هذه المجموعات تحتوي على عناصر من هذه الرتبة لبعض قيم $k$ . ^[²⁹^] علاوة على ذلك، يمكن توسيع نطاق الاستقرار في هذه الحالة: إذا كان $n فرديًا$ $،$ فإن التعليق المزدوج من $πk$ $($ $Sn$ $)$ $إلى$ πk $+$ $2$ $($ $Sn$ $+$ $2$ $)$ يكون تماثلًا للمكونات $p$ إذا كان $k$ $<$ $p$ $($ $n$ $+1) - 3$ ، ويكون تماثلًا فوقيًا إذا تحققت المساواة. $[$ ³⁰^]^يمكن أن يكون الالتواء $p$ للمجموعة الوسيطة $πk$ $+$ $1$ $($ $Sn$ $+$ $1$ $)$ أكبر تمامًا.

النتائج المذكورة أعلاه حول الالتواء الفردي تنطبق فقط على الكرات ذات الأبعاد الفردية: بالنسبة للكرات ذات الأبعاد الزوجية، فإن تليف جيمس يعطي الالتواء عند الأعداد الأولية الفردية $p$ بدلالة الالتواء في الكرات ذات الأبعاد الفردية.

\pi _{2m+k}(S^{2m})(p)=\pi _{2m+k-1}(S^{2m-1})(p)\oplus \pi _{2m+k}(S^{4m-1})(p)

(حيث $(p)$ تعني أخذ المركبة $p$ ). ^{[ 31 ]} هذا التسلسل الدقيق مشابه لتلك الناتجة عن تليف هوبف؛ والفرق هو أنه يعمل مع جميع الكرات ذات الأبعاد الزوجية، وإن كان ذلك على حساب تجاهل الالتواء من الدرجة الثانية. يُظهر الجمع بين نتائج الكرات ذات الأبعاد الفردية والزوجية أن جزءًا كبيرًا من الالتواء الفردي لمجموعات التماثل غير المستقرة يتحدد بالالتواء الفردي لمجموعات التماثل المستقرة.

$بالنسبة لمجموعات التماثل المستقرة ،$ توجد نتائج أكثر دقة حول الالتواء من الرتبة $p$ . على سبيل المثال، إذا كان $k < 2p (p - 1) - 2$ لعدد أولي $p$ $،$ فإن المكون الأولي من الرتبة $p$ لمجموعة التماثل المستقرة $πSk$ يتلاشى ما لم يكن $k + 1$ قابلاً للقسمة على $2(p - 1)$ ، وفي هذه الحالة تكون المجموعة دورية من الرتبة $p$ . ^{[ 32 ]}

التماثل J

تُعدّ صورة التشاكل J $:$ $π$ $k$ $(SO($ $n$ $)$ $)$ $\to π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S n$ $)$ زمرة فرعية مهمة من $π n$ $+$ $k$ $( S$ $n$ $)$ ، حيث k $\geq 2 ، و$ $SO($ $n$ $)$ ترمز إلى الزمرة المتعامدة الخاصة . ^[³³^] في النطاق المستقر $n$ $\geq$ $k$ $+ 2$ ، تعتمد زمر التماثل $π$ $k$ $(SO($ $n$ $))$ فقط على $k$ $(mod 8)$ . يُعرف هذا النمط الدوري 8 بدورية بوت ، وينعكس في زمر التماثل المستقرة للكرات عبر صورة التشاكل $J،$ وهي:

زمرة دورية من الرتبة 2 إذا كان $k$ متطابقًا مع 0 أو 1 modulo 8؛
يكون الأمر تافهاً إذا كان $k$ متطابقاً مع 2 أو 4 أو 5 أو 6 بتردد 8؛ و
مجموعة دورية من الرتبة تساوي مقام $⁠$ $B$ $2$ $m$ $/$ $4$ $m$ $⁠$ ، حيث $B$ $2$ $m$ هو عدد برنولي ، إذا كان $k$ $= 4$ $m$ $- 1 \equiv 3 (mod 4)$ .

تُفسر هذه الحالة الأخيرة وجود عناصر ذات رتبة محدودة كبيرة بشكل غير عادي في $π n + k (S n)$ لقيم $k$ هذه . على سبيل المثال، تحتوي المجموعات المستقرة $π n +11 (S n)$ على مجموعة فرعية دورية من الرتبة 504، ومقام $⁠$ $B$ $6$ $/$ $12$ $⁠$ $=$ $⁠$ $1$ $/$ $504$ $⁠$ .

تُمثل مجموعات التماثل المستقرة للكرات المجموع المباشر لصورة التماثل $J$ ، ونواة ثابت آدمز $e$ ، وهو تماثل من هذه المجموعات إلى $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ بصورة عامة، تُعدّ صورة التشاكل $J$ مجموعة فرعية من العناصر "المفهومة جيدًا" أو "السهلة" في مجموعات التماثل المستقرة. تُشكّل هذه العناصر المفهومة جيدًا معظم عناصر مجموعات التماثل المستقرة للكرات في الأبعاد الصغيرة. يُعتبر ناتج قسمة $πSn$ $على$ صورة التشاكل $J$ هو الجزء "الصعب" من مجموعات التماثل المستقرة للكرات ( آدامز، 1966 ) . (قدّم آدامز أيضًا عناصر معينة من الرتبة 2، $μn،$ $من$ $πSn$ حيث $n$ ≡ $1 أو 2 (mod 8)$ ، وتُعتبر هذه أيضًا "مفهومة جيدًا"). في بعض الأحيان، تُحذف جداول مجموعات التماثل للكرات الجزء "السهل" $im$ $($ $J) اختصارًا$ للمساحة.

بنية حلقية

المجموع المباشر

\pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}

من مجموعات التماثل المستقرة للكرات هي حلقة متدرجة فائقة التبديل ، حيث يتم إعطاء الضرب عن طريق تركيب الخرائط التمثيلية، وأي عنصر من الدرجة غير الصفرية يكون عديم القوة ؛ ^[³⁴^] نظرية انعدام القوة على التماثل المركب تستلزم نظرية نيشيدا.

مثال: إذا كان $η$ هو مولد $π S 1$ (من الرتبة 2)، فإن $η 2$ غير صفري ويولد $π S 2$ ، و $η 3$ غير صفري وهو مولد $π S 3$ 12 مرة ، بينما $η 4$ يساوي صفرًا لأن المجموعة $π S 4$ تافهة.

إذا كانت $f$ و $g$ و $h$ عناصر من $π S *$ حيث $f g = 0$ و $g \cdot h = 0$ ، فإنه يوجد قوس تودا $⟨ f, g, h ⟩$ لهذه العناصر. ^{[ 2 ]} قوس تودا ليس عنصرًا من زمرة التماثل المستقرة، لأنه مُعرَّف فقط حتى جمع نواتج عناصر أخرى معينة. استخدم هيروشي تودا ناتج التركيب وأقواس تودا لتسمية العديد من عناصر زمر التماثل. توجد أيضًا أقواس تودا أعلى لعدة عناصر، تُعرَّف عندما تتلاشى أقواس تودا الأدنى المناسبة. هذا يُوازي نظرية نواتج ماسي في علم التماثل . يمكن التعبير عن كل عنصر من زمر التماثل المستقرة للكرات باستخدام نواتج التركيب وأقواس تودا الأعلى بدلالة عناصر معروفة تُسمى عناصر هوبف. ^[³⁵^]

الأساليب الحسابية

إذا كان $X$ أي مُركّب تبسيطي محدود ذو زمرة أساسية محدودة، وخاصةً إذا كان $X$ كرة ذات بُعد لا يقل عن 2، فإن زمر التماثل الخاصة به هي جميعها زمر تبديلية مُولّدة توليدًا محدودًا . لحساب هذه الزمر، غالبًا ما تُحلّل إلى $مُركّباتها$ من الرتبة p لكل عدد أولي $p$ ، ثم تُحسب كل زمرة من هذه الزمر من الرتبة $p$ على حدة. يمكن حساب زمر التماثل القليلة الأولى للكرات باستخدام تعديلات مُخصصة للأفكار المذكورة أعلاه؛ بعد هذه النقطة، تعتمد معظم طرق حساب زمر التماثل للكرات على المتتاليات الطيفية . ^{[ 36 ]} يتم ذلك عادةً عن طريق إنشاء تليفات مناسبة وأخذ المتتاليات التامة الطويلة المرتبطة بها من زمر التماثل؛ تُعد المتتاليات الطيفية طريقة منهجية لتنظيم المعلومات المُعقدة التي تُنتجها هذه العملية.

تعتمد "طريقة إقصاء زمر التماثل"، التي ابتكرها كارتان وسير ( 1952أ ، 1952 ب ) ، على استخدام نظرية هوريفيتش بشكل متكرر لحساب أول زمرة تماثل غير تافهة، ثم إقصائها (حذفها) باستخدام تليف يتضمن فضاء إيلنبرغ-ماكلين . من حيث المبدأ، تُقدم هذه الطريقة خوارزمية فعالة لحساب جميع زمر التماثل لأي مُركب تبسيطي بسيط الاتصال محدود، ولكن عمليًا، تُصبح هذه الطريقة مُرهقة للغاية بحيث لا يُمكن استخدامها لحساب أي شيء آخر غير زمر التماثل غير التافهة القليلة الأولى، حيث يُصبح المُركب التبسيطي أكثر تعقيدًا في كل مرة يتم فيها إقصاء زمرة تماثل.
استخدم سير متتالية سير الطيفية لإثبات بعض النتائج المذكورة سابقًا. استند في ذلك إلى حقيقة أن تحويل فضاء الحلقات لفضاء منتظم السلوك يُزيح جميع مجموعات التماثل إلى الأسفل بمقدار 1، وبالتالي فإن مجموعة التماثل النونية لفضاء $X$ هي مجموعة التماثل الأولى لفضاء الحلقات المتكرر ذي ( $n$ $-1$ ) ضعف، والتي تُساوي مجموعة التماثل الأولى لفضاء الحلقات ذي ( $n$ $-$ $1$ ) ضعف وفقًا لنظرية هوريفيتش. يُختزل هذا حساب مجموعات التماثل لـ $X$ إلى حساب مجموعات التماثل لفضاءات الحلقات المتكررة الخاصة به. تربط متتالية سير الطيفية تماثل الفضاء بتماثل فضاء الحلقات الخاص به، لذا يُمكن استخدامها أحيانًا لحساب تماثل فضاءات الحلقات. تميل متتالية سير الطيفية إلى احتواء العديد من التفاضلات غير الصفرية، والتي يصعب التحكم بها، كما تظهر العديد من حالات الغموض لمجموعات التماثل العليا. وبالتالي، فقد تم استبدالها بتسلسلات طيفية أكثر قوة ذات عدد أقل من الفروق غير الصفرية، والتي تعطي معلومات أكثر.
يمكن استخدام التسلسل الطيفي EHP لحساب العديد من مجموعات التماثل الكروي؛ وهو يعتمد على بعض التليفات التي استخدمها تودا في حساباته لمجموعات التماثل. ^{[ 37 ]}^{[ 2 ]}
تحتوي متتالية آدمز الطيفية الكلاسيكية على $حد$ $E2$ مُعطى بواسطة مجموعات Ext $Ext *,* A (p) (Z p, Z p) على$ جبر ستينرود mod $p$ $A$ $($ $p$ $)$ ، وتتقارب إلى شيء وثيق الصلة بالمكون $p$ لمجموعات التماثل المستقرة. يصعب حساب الحدود الأولية لمتتالية آدمز الطيفية نفسها: ويتم ذلك أحيانًا باستخدام متتالية طيفية مساعدة تُسمى متتالية ماي الطيفية . ^[³⁸^]
عند الأعداد الأولية الفردية، تُعدّ متتالية آدمز-نوفيكوف الطيفية نسخةً أكثر قوةً من متتالية آدمز الطيفية، حيث تستبدل علم التماثل العادي modulo $p$ بنظرية تماثل معممة، مثل التماثل المركب أو، في الغالب، جزء منه يُسمى تماثل براون-بيترسون . ويصعب حساب الحد الأولي، ويمكن استخدام متتالية الطيف اللوني لحسابه . ^{[ 39 ]}

يستخدم أحد أشكال هذا النهج الأخير نسخة معكوسة من متتالية آدمز-نوفيكوف الطيفية لعلم التماثل براون-بيترسون: النهاية معروفة، وتتضمن الحدود الأولية مجموعات تماثل مستقرة غير معروفة للكرات التي يحاول المرء إيجادها. ^{[ 40 ]}

يتقارب تسلسل آدمز الطيفي التحفيزي إلى مجموعات التماثل المستقرة التحفيزية للكرات. وبمقارنة التسلسل التحفيزي على الأعداد المركبة مع التسلسل الكلاسيكي، يقدم إيزاكسن برهانًا دقيقًا للحسابات حتى الجذع ذي 59. وعلى وجه الخصوص، يحسب إيزاكسن أن قيمة Coker J للجذع ذي 56 تساوي صفرًا، وبالتالي، وفقًا لعمل كيرفاير-ميلنور، فإن الكرة $S 56$ لها بنية ملساء فريدة. ^{[ 41 ]}

تُنتج خريطة كان-بريدي خريطةً لمتتاليات أطياف آدامز من طيف التعليق للفضاء الإسقاطي الحقيقي اللانهائي إلى طيف الكرة. وهي شاملة على صفحة آدامز $E 2$ على السيقان الموجبة. طوّر وانغ وشو طريقةً باستخدام خريطة كان-بريدي لاستنتاج تفاضلات آدامز لطيف الكرة استقرائيًا. وقدّما حُجّةً مُفصّلةً لعدة تفاضلات آدامز، وحسبا ساقي 60 و61. ومن النتائج الهندسية المترتبة على نتيجتهما أن الكرة $S 61$ لها بنية ملساء فريدة، وهي آخر كرة ذات بُعد فردي - الكرات الوحيدة ذات الأبعاد الفردية ^هي $S 1$ و $S 3$ و $S 5$ و $S 61.$ ^[⁴² ]

تُعدّ طريقة الألياف المشتركة الموتيفية لـ $τ$ حتى الآن الطريقة الأكثر كفاءة عند العدد الأولي 2. الفئة $τ$ هي دالة بين الكرات الموتيفية. تُحدد نظرية جورج-وانغ-شو متتالية آدمز الطيفية الموتيفية للألياف المشتركة لـ $τ$ على أنها متتالية نوفيكوف الطيفية الجبرية لـ $BP *$ ، مما يسمح باستنتاج تفاضلات آدمز الموتيفية للألياف المشتركة لـ $τ$ من بيانات جبرية بحتة. يمكن بعد ذلك سحب تفاضلات آدمز الموتيفية هذه إلى الكرة الموتيفية، ثم استخدام دالة تحقيق بيتي لدفعها إلى الكرة الكلاسيكية. ^{[ 43 ]} باستخدام هذه الطريقة، قام إيزاكسن ووانغ وشو (2023) بالحساب حتى جذع التسعين. ^{[ 1 ]}

اختُزلت عملية حساب مجموعات التماثل لـ $S²$ $إلى$ مسألة في نظرية المجموعات التوافقية . وقد حدد بيريك وآخرون (2006) هذه المجموعات على $أنها$ نواتج قسمة معينة لمجموعات الجدائل البرونية لـ $S²$ . وبموجب هذا التناظر، يمكن تمثيل كل عنصر غير تافه $في$ $πⁿ$ $($ $S²$ $)$ حيث $n$ ^> $2$ بجديلة برونية على $S²$ ليست برونية على القرص ^D² $.$ $على$ $سبيل$ المثال، تتوافق خريطة هوبف $S³$ $\to$ $S²$ $مع$ حلقات بوروميان . ^[ $44$ $]$

التطبيقات

يمكن استخدام رقم اللف (المقابل لعدد صحيح من $π 1 (S 1) = Z)$ لإثبات النظرية الأساسية للجبر ، والتي تنص على أن كل متعدد حدود عقدي غير ثابت له جذر. ^[⁴⁵^]
إن حقيقة أن $π n - 1 (S n - 1) = Z$ تستلزم نظرية براور للنقطة الثابتة التي تنص على أن كل تطبيق متصل من الكرة ذات البعد $n$ إلى نفسها له نقطة ثابتة. ^[⁴⁶^]
تُعدّ مجموعات التماثل المستقرة للكرات مهمة في نظرية التفرد ، التي تدرس بنية النقاط المتفردة للتطبيقات الملساء أو الأصناف الجبرية . تنشأ هذه التفردات كنقاط حرجة للتطبيقات الملساء من $\mathbb {R} ^{m}$ ل $\mathbb {R} ^{n}$ . يمكن وصف الهندسة بالقرب من نقطة حرجة لمثل هذه الخريطة بواسطة عنصر من $π m - 1 (S n - 1)$ ، من خلال النظر في الطريقة التي يتم بها تحويل كرة صغيرة $m - 1$ حول النقطة الحرجة إلى كرة طوبولوجية $n - 1$ حول القيمة الحرجة .
إن حقيقة أن مجموعة التماثل المستقرة الثالثة للكرات هي دورية من الرتبة 24، والتي أثبتها فلاديمير روخلين لأول مرة ، تشير إلى نظرية روخلين التي تنص على أن توقيع مشعب الدوران الأملس المضغوط 4 قابل للقسمة على 16. ^{[ 26 ]}
تُستخدم مجموعات التماثل المستقرة للكرات لوصف المجموعة $Θ n$ لفئات التماثل المشترك h للكرات الموجهة ذات التماثل $n$ (عندما $n \neq 4$ ، تكون هذه المجموعة هي مجموعة البنى الملساء على الكرات ذات التماثل $n$ ، حتى التماثل التفاضلي الحافظ للاتجاه؛ وتُمثل العناصر غير التافهة لهذه المجموعة بكرات غريبة ). وبشكل أدق، توجد خريطة حقنية

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,

حيث

bP n +1

هي المجموعة الفرعية الدورية المُمثلة بكرات التماثل التي تُحيط بمتشعب قابل للتوازي ، و

π S n

هي مجموعة التماثل المستقرة من الرتبة

n للكرات، و

J

هي صورة التشاكل

J.

هذا التشاكل متماثل إلا إذا كان

n

من الشكل

2 k - 2

، وفي هذه الحالة يكون لصورة التشاكل فهرس 1 أو 2. ^{[ 47 ]}

تُستخدم المجموعات $Θ n$ المذكورة أعلاه، وبالتالي مجموعات التماثل المستقرة للكرات، في تصنيف الهياكل الملساء الممكنة على مشعب طوبولوجي أو مشعب خطي متقطع . ^{[ 26 ]}
يمكن اختزال مسألة ثوابت كيرفاير ، المتعلقة بوجود مشعبات ذات ثابت كيرفاير 1 في الأبعاد $2k - 2 ،$ إلى سؤال حول مجموعات التماثل المستقرة للكرات. على سبيل المثال، استُخدمت معرفة مجموعات التماثل المستقرة من الدرجة حتى 48 لحل مسألة ثوابت كيرفاير في البعد $2⁶ - 2 = 6²$ . (كانت هذه أصغر قيمة لـ $k$ التي كانت المسألة مفتوحة عندها في ذلك الوقت) $.$ ^{[ 48 ]}
تنص نظرية بارات -بريدي على أنه يمكن التعبير عن مجموعات التماثل المستقرة للكرات بدلالة البناء الزائد المطبق على فضاء التصنيف للمجموعة المتناظرة ، مما يؤدي إلى تحديد نظرية K للحقل بعنصر واحد مع مجموعات التماثل المستقرة. ^{[ 49 ]}

جدول مجموعات التماثل

يتم تنظيم جداول مجموعات التماثل للكرات بشكل ملائم من خلال إظهار $π n + k (S n)$ .

يُبيّن الجدول التالي العديد من المجموعات $π n + k (S n)$ . تم تمييز مجموعات التماثل المستقرة باللون الأزرق، وغير المستقرة باللون الأحمر. كل مجموعة تماثل هي ناتج ضرب المجموعات الدورية ذات الرتب المذكورة في الجدول، باستخدام الاصطلاحات التالية: ^{[ 50 ]}

يشير الرمز "⋅" إلى المجموعة التافهة.
عندما يكون المدخل عددًا صحيحًا ، $m$ ، فإن مجموعة التماثل هي المجموعة الدورية من تلك الرتبة (تكتب عمومًا $Z m$ ).
عندما يكون المدخل ∞، فإن مجموعة التماثل هي المجموعة الدورية اللانهائية ، $Z.$
عندما يكون المدخل ناتج ضرب، فإن زمرة التماثل هي حاصل الضرب الديكارتي (أو المجموع المباشر ) للزمر الدورية من تلك الرتب. تشير الأسس إلى عمليات الضرب المتكررة. (لاحظ أنه عندما لا يكون لـ $a$ و $b$ عامل مشترك ، فإن $Z a \times Z b$ متماثل مع $Z ab$ ).

مثال : $π 19 (S 10) = π 9+10 (S 10) = Z\timesZ 2 \timesZ 2 \timesZ 2$ ، وهو ما يرمز إليه بـ $\infty\cdot2 3$ في الجدول.

S ⁿ →	S ⁰	S ¹	S ²	S ³	S ⁴	S ⁵	S ⁶	S ⁷	S ⁸	S ⁹	S ¹⁰	S ¹¹	S ¹²	S ^≥13
π _{< n} ( S ⁿ )		⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π _{0+ n} ( S ⁿ )	2	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
π _{1+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	∞	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π _{2+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π _{3+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	2	12	∞⋅12	24	24	24	24	24	24	24	24	24
π _{4+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	12	2	2 ²	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π _{5+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	2	2	2 ²	2	∞	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π _{6+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	2	3	24⋅3	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π _{7+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	3	15	15	30	60	120	∞⋅120	240	240	240	240	240
π _{8+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	15	2	2	2	24⋅2	2 ³	2 ⁴	2 ³	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²
π _{9+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	2	2 ²	2 ³	2 ³	2 ³	2 ⁴	2 ⁵	2 ⁴	∞⋅2 ³	2 ³	2 ³	2 ³
π _{10+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	2 ²	12⋅2	120⋅12⋅2	72⋅2	72⋅2	24⋅2	24 ² ⋅2	24⋅2	12⋅2	6⋅2	6	6
π _{11+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	12⋅2	84⋅2 ²	84⋅2 ⁵	504⋅2 ²	504⋅4	504⋅2	504⋅2	504⋅2	504	504	∞⋅504	504
π _{12+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	84⋅2 ²	2 ²	2 ⁶	2 ³	240	⋅	⋅	⋅	12	2	2 ²	انظر أدناه
π _{13+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	2 ²	6	24⋅6⋅2	6⋅2	6	6	6⋅2	6	6	6⋅2	6⋅2
π _{14+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	6	30	2520⋅6⋅2	6⋅2	12⋅2	24⋅4	240⋅24⋅4	16⋅4	16⋅2	16⋅2	48⋅4⋅2
π _{15+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	30	30	30	30⋅2	60⋅6	120⋅2 ³	120⋅2 ⁵	240⋅2 ³	240⋅2 ²	240⋅2	240⋅2
π _{16+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	30	6⋅2	6 ² ⋅2	2 ²	504⋅2 ²	2 ⁴	2 ⁷	2 ⁴	240⋅2	2	2
π _{17+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	6⋅2	12⋅2 ²	24⋅12⋅4⋅2 ²	4⋅2 ²	2 ⁴	2 ⁴	6⋅2 ⁴	2 ⁴	2 ³	2 ³	2 ⁴
π _{18+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	12⋅2 ²	12⋅2 ²	120⋅12⋅2 ⁵	24⋅2 ²	24⋅6⋅2	24⋅2	504⋅24⋅2	24⋅2	24⋅2 ²	8⋅4⋅2	480⋅4 ² ⋅2
π _{19+ n} ( S ⁿ )	⋅	⋅	12⋅2 ²	132⋅2	132⋅2 ⁵	264⋅2	1056⋅8	264⋅2	264⋅2	264⋅2	264⋅6	264⋅2 ³	264⋅2 ⁵

S ⁿ →	S ¹³	S ¹⁴	S ¹⁵	S ¹⁶	S ¹⁷	S ¹⁸	S ¹⁹	S ²⁰	S ^≥21
π _{12+ n} ( S ⁿ )	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π _{13+ n} ( S ⁿ )	6	∞⋅3	3	3	3	3	3	3	3
π _{14+ n} ( S ⁿ )	16⋅2	8⋅2	4⋅2	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²
π _{15+ n} ( S ⁿ )	480⋅2	480⋅2	480⋅2	∞⋅480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2
π _{16+ n} ( S ⁿ )	2	24⋅2	2 ³	2 ⁴	2 ³	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²
π _{17+ n} ( S ⁿ )	2 ⁴	2 ⁴	2 ⁵	2 ⁶	2 ⁵	∞⋅2 ⁴	2 ⁴	2 ⁴	2 ⁴
π _{18+ n} ( S ⁿ )	8 ² ⋅2	8 ² ⋅2	8 ² ⋅2	24⋅8 ² ⋅2	8 ² ⋅2	8⋅4⋅2	8⋅2 ²	8⋅2	8⋅2
π _{19+ n} ( S ⁿ )	264⋅2 ³	264⋅4⋅2	264⋅2 ²	264⋅2 ²	264⋅2 ²	264⋅2	264⋅2	∞⋅264⋅2	264⋅2

جدول مجموعات التماثل المستقر

مجموعات التماثل المستقرة $π S k$ هي نواتج مجموعات دورية من رتب قوى لانهائية أو أولية كما هو موضح في الجدول. (لأسباب تاريخية في الغالب، تُعطى مجموعات التماثل المستقرة عادةً كنواتج لمجموعات دورية من رتبة قوى أولية، بينما تُعطى جداول مجموعات التماثل غير المستقرة غالبًا كنواتج لأصغر عدد من المجموعات الدورية). بالنسبة لـ $p > 5$ ، يكون جزء المكون $p$ الذي يُمثله التماثل $J$ دوريًا من الرتبة $p$ إذا كان $2(p - 1)$ يقسم $k + 1،$ و0 فيما عدا ذلك. ^{[ 51 ]} يأتي سلوك الجدول modulo 8 من دورية بوت عبر التماثل J ، الذي تم تسطير صورته.

ن →	0	1	2	3	4	5	6	7
π _{0+ n}^S	∞	2	2	8⋅3	⋅	⋅	2	16⋅3⋅5
π _{8+ n}^S	2 ⋅2	2 ⋅2 ²	2⋅3	8⋅9⋅7	⋅	3	2 ²	32 ⋅2⋅ 3⋅5
π _{16+ n}^S	2 ⋅2	2 ⋅2 ³	8⋅2	8 ⋅2⋅ 3⋅11	8⋅3	2 ²	2⋅2	16 ⋅8⋅2⋅ 9 ⋅3⋅ 5⋅7⋅13
π _{24+ n}^S	2 ⋅2	2 ⋅2	2 ² ⋅3	8⋅3	2	3	2⋅3	64 ⋅2 ² ⋅ 3⋅5⋅17
π _{32+ n}^S	2 ⋅2 ³	2 ⋅2 ⁴	4⋅2 ³	8 ⋅2 ² ⋅ 27⋅7⋅19	2⋅3	2 ² ⋅3	4⋅2⋅3⋅5	16 ⋅2 ⁵ ⋅3⋅ 3⋅25⋅11
π _{40+ n}^S	2 ⋅4⋅2 ⁴ ⋅3	2 ⋅2 ⁴	8⋅2 ² ⋅3	8⋅3⋅23	8	16⋅2 ³ ⋅9⋅5	2 ⁴ ⋅3	32 ⋅4⋅2 ³ ⋅ 9 ⋅3⋅ 5⋅7⋅13
π _{48+ n}^S	2 ⋅4⋅2 ³	2 ⋅2⋅3	2 ³ ⋅3	8 ⋅8⋅2⋅ 3	2 ³ ⋅3	2 ⁴	4⋅2	16 ⋅3⋅ 3⋅5⋅29
π _{56+ n}^S	2	2 ⋅2 ²	2 ²	8 ⋅2 ² ⋅ 9⋅7⋅11⋅31	4	⋅	2 ⁴ ⋅3	128 ⋅4⋅2 ² ⋅ 3⋅5⋅17
π _{64+ n}^S	2 ⋅4⋅2 ⁵	2 ⋅4⋅2 ⁸ ⋅3	8⋅2 ⁶	8 ⋅4⋅2 ³ ⋅ 3	2 ³ ⋅3	2 ⁴	4 ² ⋅2 ⁵	16 ⋅8⋅4⋅2 ⁶ ⋅ 27⋅5⋅7⋅13⋅19⋅37
π _{72+ n}^S	2 ⋅2 ⁷ ⋅3	2 ⋅2 ⁶	4 ³ ⋅2⋅3	8 ⋅2⋅9⋅ 3	4⋅2 ² ⋅5	4⋅2 ⁵	4 ² ⋅2 ³ ⋅3	32 ⋅4⋅2 ⁶ ⋅ 3⋅25⋅11⋅41

مراجع

ملحوظات

1 2 3 إيزاكسين ووانغ وشو 2023 .
1 2 3 اليوم 1962 .
↑ هاتشر 2002 ، ص. 12.
↑ هاتشر 2002 ، مثال 0.3، ص. 6.
↑ هاتشر 2002 ، ص 129.
↑ هاتشر 2002 ، ص 28.
↑ هاتشر 2002 ، ص 3.
^ ميراندا 1995 ، ص 123 – 125.
↑ هو 1959 ، ص 107 .
↑ هاتشر 2002 ، ص 29.
↑ انظر، على سبيل المثال، نظرية نوع التماثل 2013 ، القسم 8.1، " ${\textstyle \pi _{1}(S^{1})}$ ".
↑ هاتشر 2002 ، ص 348.
1 2 هاتشر 2002 ، ص 349.
↑ هاتشر 2002 ، ص 61.
↑ هوبف 1931 .
↑ Walschap 2004 ، ص 90.
↑ أوكونور وروبرتسون 2001 .
↑ أوكونور وروبرتسون 1996 .
↑ تشيك 1932 ، ص 203.
1 2 مايو 1999أ .
↑ هاتشر 2002 ، ص 361.
↑ هاتشر 2002 ، ص 342.
↑ هاتشر 2002 ، مجموعات التماثل المستقرة، ص 385-393.
↑ كروسلي 2005 ، أساسيات الطوبولوجيا. خطأ في sfn: لا يوجد هدف: CITEREFCrossley2005 ( مساعدة )
↑ هاتشر 2002 .
1 2 3 سكوربان 2005 .
↑ سير 1951 .
↑ كوهين، مور ونيسيندورفر 1979 .
↑ رافينيل 2003 ، ص 4.
↑ سير 1952 .
↑ رافينيل 2003 ، ص 25.
↑ فوكس 2001 .
↑ آدامز 1966 .
↑ نيشيدا 1973 .
↑ كوهين 1968 .
↑ رافينيل 2003 .
↑ ماهوالد 2001 .
↑ رافينيل 2003 ، ص 67-74.
↑ رافينيل 2003 ، الفصل 5.
↑ كوخمان 1990 .
↑ إيساكسن 2019 .
^ وانغ وشو 2017 .
↑ جورجي ووانغ وشو 2021 .
↑ بيريك وآخرون 2006 .
↑ فاين وروزنبرغر 1997 .
↑ هاتشر 2002 ، ص 32.
↑ كيرفاير وميلنور 1963 .
^ بارات وجونز وماهوالد 1984 .
↑ ديتمار 2006 .
↑ تستند هذه الجداول إلى جدول مجموعات التماثل للكرات في تودا (1962) .
↑ Fuks 2001. يمكن العثور على المكونين في Isaksen و Wang و Xu (2023) ، والمكونات الثلاثة والخمسة في Ravenel (2003) .

مصادر

آدامز، ج. فرانك (1966)، "حول المجموعات J(X) IV"، علم الطوبولوجيا ، 5 (1): 21-71 ، doi : 10.1016/0040-9383(66)90004-8انظر أيضًا: Adams, J (1968), "Correction", Topology , 7 (3): 331, doi : 10.1016/0040-9383(68)90010-4.
بارات، مايكل ج.؛ جونز، جون د.س.؛ ماهوالد، مارك إي. (1984)، "العلاقات بين أقواس تودا وثابت كيرفاير في البعد 62"، مجلة جمعية لندن الرياضية ، 30 (3): 533-550 ، CiteSeerX 10.1.1.212.1163 ، doi : 10.1112/jlms/s2-30.3.533 ، MR 0810962 .
بيريك، أ. ج.؛ كوهين، فريدريك ر .؛ وونغ، يان لوي؛ وو، جي (2006)، "التكوينات، والضفائر، ومجموعات التماثل" ، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 19 (2): 265-326 ، doi : 10.1090/S0894-0347-05-00507-2 ، MR 2188127 .
Cartan, هنري ; Serre، Jean-Pierre (1952a)، “Espaces fibrés et groupes d’homotopie. I. Constructions générales”، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série I ، 234 ، Paris: 288– 290، ISSN 0764-4442 ، MR 0046045 .
Cartan, هنري ; Serre، Jean-Pierre (1952b)، “Espaces fibrés et groupes d’homotopie. II. التطبيقات”، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série I ، 234 ، Paris: 393– 395، ISSN 0764-4442 ، MR 0046046 .
كوهين، فريدريك ر .؛ مور، جون س .؛ نايسندورفر، جوزيف أ. (نوفمبر 1979)، "التعليق المزدوج وأسس مجموعات التماثل الكروي"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 110 (3): 549-565 ، doi : 10.2307/1971238 ، JSTOR 1971238 ، MR 0554384 .
كوهين، جويل م. (1968)، "تحليل التماثل المستقر"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 87 (2): 305-320 ، doi : 10.2307/1970586 ، JSTOR 1970586 ، MR 0231377 ، PMC 224450 ، PMID 16591550 .
ديتمار، أنطون (2006)، " ملاحظات حول دوال زيتا ونظرية K على F1 _" ، وقائع الأكاديمية اليابانية، السلسلة أ، العلوم الرياضية ، 82 (8): 141-146 ، arXiv : math/0605429 ، doi : 10.3792/pjaa.82.141 ، ISSN 0386-2194 ، MR 2279281 .
فاين، بنيامين؛ روزنبرغر، جيرهارد (1997)، "8.1 عدد اللفات والبرهان الخامس"، النظرية الأساسية للجبر ، نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، ص 134-136 ، doi : 10.1007/978-1-4612-1928-6 ، ISBN 0-387-94657-8MR 1454356
فوكس، ديمتري ب. (2001) [1994]، "الكرات، مجموعات التماثل لـ" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
هو، سزي-تسن (1959)، نظرية التماثل ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد 8، نيويورك ولندن: أكاديميك برس، MR 0106454
إيزاكسن، دانيال سي. (2019)، الجذور الثابتة ، مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 262، العدد 1269، الجمعية الرياضية الأمريكية، doi : 10.1090/memo/1269 ، ISBN 978-1-4704-3788-6MR 4046815 .
إيزاكسين، دانييل سي؛ وانغ، جوزين؛ Xu، Zhouli (2023)، “مجموعات متجانسة مستقرة من المجالات: من البعد 0 إلى 90”، منشورات رياضيات de l'IHÉS ، 137 : 107–243 ، أرخايف : 2001.04511 ، دوى : 10.1007 / s10240-023-00139-1.
كيرفاير، ميشيل أ .؛ ميلنور، جون و. (1963)، "مجموعات كرات التماثل: الجزء الأول"، حوليات الرياضيات ، 77 (3): 504-537 ، doi : 10.2307/1970128 ، JSTOR 1970128 ، MR 0148075 .
كوخمان، ستانلي أو. (1990)، مجموعات التماثل المستقرة للكرات: منهج بمساعدة الحاسوب ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1423، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/BFb0083795 ، ISBN 978-3-540-52468-7، MR 1052407 انظر أيضًا إلى التصحيحات الواردة في ( Kochman & Mahowald 1995 )
كوخمان، ستانلي أو.؛ ماهوالد، مارك إي. (1995)، "حول حساب السيقان المستقرة" ، الذكرى المئوية لتشيك (بوسطن، ماساتشوستس، 1993) ، الرياضيات المعاصرة، المجلد 181، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، الصفحات 299-316 ، ISBN 978-0-8218-0296-0MR 1320997
ماهوالد، مارك (1998)، "نحو فهم عالمي لـ π _∗ ( S ⁿ )" ، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات (برلين، 1998) ، دوكومنتا ماثيماتيكا، المجلد الإضافي، المجلد الثاني، الصفحات 465-472 ، MR 1648096
ماهوالد، مارك (2001) [1994]، "متتالية طيفية EHP" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
ميلنور، جون دبليو (2011)، "الطوبولوجيا التفاضلية بعد ستة وأربعين عامًا" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 58 ( 6): 804-809
ميراندا، ريك (1995)، المنحنيات الجبرية وأسطح ريمان ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد 5، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، doi : 10.1090/gsm/005 ، ISBN 0-8218-0268-2MR 1326604
نيشيدا، غورو (1973)، "عدمية عناصر مجموعات التماثل المستقرة للكرات"، مجلة الجمعية الرياضية اليابانية ، 25 (4): 707-732 ، doi : 10.2969/jmsj/02540707 ، hdl : 2433/220059 ، ISSN 0025-5645 ، MR 0341485 .
بونترياغين، ليف ، المشعبات الملساء وتطبيقاتها في نظرية التماثل ، ترجمات الجمعية الرياضية الأمريكية، السلسلة 2، المجلد 11، الصفحات 1-114 (1959)
رافينيل، دوغلاس سي. (2003)، التماثل المعقد ومجموعات التماثل المستقرة للكرات (الطبعة الثانية )، الجمعية الأمريكية للرياضيات، تشيلسي، ISBN 978-0-8218-2967-7، MR 0860042 .
سكوربان، ألكسندرو (2005)، العالم الجامح للمتشعبات الرباعية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات ، ISBN 978-0-8218-3749-8MR 2136212 .
Serre، Jean-Pierre (1951)، “Homologie Singulière des espaces fibrés. التطبيقات”، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 54 (3): 425–505 ، دوى : 10.2307/1969485 ، JSTOR 1969485 ، MR 0045386 .
Serre، Jean-Pierre (1952)، “Sur la Suspension de Freudenthal”، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série I ، 234 ، Paris: 1340–1342 ، ISSN 0764-4442 ، MR 0046048 .
تودا، هيروسي (1962)، طرق التركيب في مجموعات التماثل الكروي ، حوليات دراسات الرياضيات، المجلد 49، مطبعة جامعة برينستون ، MR 0143217 .
والشاب، جيرارد (2004)، "الفصل 3: مجموعات التماثل والحزم فوق الكرات"، البنى المترية في الهندسة التفاضلية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 224، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، doi : 10.1007/978-0-387-21826-7 ، ISBN 0-387-20430-XMR 2045823
وانغ، غوتشن؛ شو، تشولي (2017)، "تفاهة الجذع ذي الـ 61 في مجموعات التماثل المستقرة للكرات"، حوليات الرياضيات ، 186 (2): 501-580 ، arXiv : 1601.02184 ، doi : 10.4007/annals.2017.186.2.3 ، MR 3702672 ، S2CID 119147703 .
جورجي، بوجدان؛ وانغ، جوزين؛ Xu، Zhouli (2021)، “الألياف الخاصة للتشوه الدافع لفئة التجانس المستقر هي جبرية”، اكتا ماثيماتيكا ، 226 (2): 319–407 ، أرخايف : 1809.09290 ، دوى : 10.4310/ACTA.2021.v226.n2.a2 ، S2CID 119303902 .
نظرية نوع التماثل - الأسس الأحادية للرياضيات ، برنامج الأسس الأحادية ومعهد الدراسات المتقدمة، 2013، MR 3204653

مراجع الطوبولوجيا الجبرية العامة

هاتشر، ألين (2002)، الطوبولوجيا الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-79540-1، MR 1867354 .
ماي، ج. بيتر (1999ب)، دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية ، محاضرات شيكاغو في الرياضيات ( طبعة منقحة)، مطبعة جامعة شيكاغو ، رقم ISBN 978-0-226-51183-2MR 1702278 .

الوثائق التاريخية

Čech، Eduard (1932)، “Höher Dimensione Homopiegruppen”، Verhandlungen des Internationalen Mathematicerkongress، زيورخ.
هوبف، هاينز (1931)، “Über die Abbildungen der drei Dimensionen Sphäre auf die Kugelfläche” ، مجلة الرياضيات ، 104 (1): 637–665 ، دوى : 10.1007 / BF01457962 ، S2CID 123533891 .
ماي، ج. بيتر (1999أ)، "الطوبولوجيا الجبرية المستقرة 1945-1966" ، في آي إم جيمس (محرر)، تاريخ الطوبولوجيا ، إلسيفير ساينس ، ص 665-723 ، ISBN 978-0-444-82375-5.

روابط خارجية

بايز، جون (21 أبريل 1997)، اكتشافات هذا الأسبوع في الفيزياء الرياضية 102 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 أكتوبر 2007
هاتشر، ألين ، مجموعات التماثل المستقرة للكرات (ملف PDF) ، تم استرجاعه في 20 أكتوبر 2007
أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف (1996)، تاريخ علم الطوبولوجيا ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 14-11-2007في أرشيف تاريخ الرياضيات في ماك تيوتور .
أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف (2001)، ماري إينيموند كاميل جوردان ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 نوفمبر 2007في أرشيف تاريخ الرياضيات في ماك تيوتور.

[FOOTNOTEIsaksenWangXu2023-1] 1 2 3 إيزاكسين ووانغ وشو 2023 .

[FOOTNOTEToda1962-2] 1 2 3 اليوم 1962 .

[FOOTNOTEHatcher2002xii-3] هاتشر 2002 ، ص. 12.

[FOOTNOTEHatcher2002Example_0.3,_p._6-4] هاتشر 2002 ، مثال 0.3، ص. 6.

[FOOTNOTEHatcher2002129-5] هاتشر 2002 ، ص 129.

[FOOTNOTEHatcher200228-6] هاتشر 2002 ، ص 28.

[FOOTNOTEHatcher20023-7] هاتشر 2002 ، ص 3.

[FOOTNOTEMiranda1995123–125-8] ميراندا 1995 ، ص 123 – 125.

[FOOTNOTEHu1959[httpsbooksgooglecombooksidiVhMPU0X2G4CpgPA107_107]-9] هو 1959 ، ص 107 .

[FOOTNOTEHatcher200229-10] هاتشر 2002 ، ص 29.

[11] انظر، على سبيل المثال، نظرية نوع التماثل 2013 ، القسم 8.1، " ${\textstyle \pi _{1}(S^{1})}$ ".

[FOOTNOTEHatcher2002348-12] هاتشر 2002 ، ص 348.

[FOOTNOTEHatcher2002349-13] 1 2 هاتشر 2002 ، ص 349.

[FOOTNOTEHatcher200261-14] هاتشر 2002 ، ص 61.

[FOOTNOTEHopf1931-15] هوبف 1931 .

[FOOTNOTEWalschap200490-16] Walschap 2004 ، ص 90.

[FOOTNOTEO'ConnorRobertson2001-17] أوكونور وروبرتسون 2001 .

[FOOTNOTEO'ConnorRobertson1996-18] أوكونور وروبرتسون 1996 .

[FOOTNOTEČech1932203-19] تشيك 1932 ، ص 203.

[FOOTNOTEMay1999a-20] 1 2 مايو 1999أ .

[FOOTNOTEHatcher2002361-21] هاتشر 2002 ، ص 361.

[FOOTNOTEHatcher2002342-22] هاتشر 2002 ، ص 342.

[FOOTNOTEHatcher2002Stable_homotopy_groups,_pp._385–393-23] هاتشر 2002 ، مجموعات التماثل المستقرة، ص 385-393.

[FOOTNOTECrossley2005Essential_Topology-24] كروسلي 2005 ، أساسيات الطوبولوجيا. خطأ في sfn: لا يوجد هدف: CITEREFCrossley2005 ( مساعدة )

[FOOTNOTEHatcher2002-25] هاتشر 2002 .

[FOOTNOTEScorpan2005-26] 1 2 3 سكوربان 2005 .

[FOOTNOTESerre1951-27] سير 1951 .

[FOOTNOTECohenMooreNeisendorfer1979-28] كوهين، مور ونيسيندورفر 1979 .

[FOOTNOTERavenel20034-29] رافينيل 2003 ، ص 4.

[FOOTNOTESerre1952-30] سير 1952 .

[FOOTNOTERavenel200325-31] رافينيل 2003 ، ص 25.

[FOOTNOTEFuks2001-32] فوكس 2001 .

[FOOTNOTEAdams1966-33] آدامز 1966 .

[FOOTNOTENishida1973-34] نيشيدا 1973 .

[FOOTNOTECohen1968-35] كوهين 1968 .

[FOOTNOTERavenel2003-36] رافينيل 2003 .

[FOOTNOTEMahowald2001-37] ماهوالد 2001 .

[FOOTNOTERavenel200367–74-38] رافينيل 2003 ، ص 67-74.

[FOOTNOTERavenel2003Chapter_5-39] رافينيل 2003 ، الفصل 5.

[FOOTNOTEKochman1990-40] كوخمان 1990 .

[FOOTNOTEIsaksen2019-41] إيساكسن 2019 .

[FOOTNOTEWangXu2017-42] وانغ وشو 2017 .

[FOOTNOTEGheorgheWangXu2021-43] جورجي ووانغ وشو 2021 .

[FOOTNOTEBerrickCohenWongWu2006-44] بيريك وآخرون 2006 .

[FOOTNOTEFineRosenberger1997-45] فاين وروزنبرغر 1997 .

[FOOTNOTEHatcher200232-46] هاتشر 2002 ، ص 32.

[FOOTNOTEKervaireMilnor1963-47] كيرفاير وميلنور 1963 .

[FOOTNOTEBarrattJonesMahowald1984-48] بارات وجونز وماهوالد 1984 .

[FOOTNOTEDeitmar2006-49] ديتمار 2006 .

[50] تستند هذه الجداول إلى جدول مجموعات التماثل للكرات في تودا (1962) .

[51] Fuks 2001. يمكن العثور على المكونين في Isaksen و Wang و Xu (2023) ، والمكونات الثلاثة والخمسة في Ravenel (2003) .

[ 1 ]

[ 2 ]

n

[

الكرة

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[

[

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

تليف

[ 15 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

قيم

[

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ ٢٧ ]

[

[

30

[ 31 ]

[ 32 ]

[

[

[

[ 36 ]

[ 37 ]

[

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

هي

[ 43 ]

>

[

[

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗