التليف المشترك

فيما يلي، دعونا${\displaystyle I=[0,1]}$يرمز إلى فترة الوحدة.

خريطة${\displaystyle i\colon A\to X}$يُطلق على الفضاءات الطوبولوجية اسم التليف المشترك ^{[ 1 ] صفحة 51} إذا كان لأي تطبيق${\displaystyle f:A\to S}$بحيث يكون هناك امتداد لـ${\displaystyle X}$(المعنى: توجد خريطة)${\displaystyle f':X\to S}$بحيث${\displaystyle f'\circ i=f}$)، يمكننا توسيع تماثل الخرائط${\displaystyle H:A\times I\to S}$إلى تماثل الخرائط${\displaystyle H':X\times I\to S}$، أين

${\displaystyle {\begin{aligned}H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}}$

يمكننا ترميز هذا الشرط في المخطط التبادلي التالي

أين${\displaystyle S^{I}}$هو فضاء المسار لـ${\displaystyle S}$مجهزة ببنية مفتوحة مضغوطة.

للاطلاع على مفهوم التليف المشترك في فئة نموذجية، انظر الفئة النموذجية .

لطالما درس علماء الطوبولوجيا مفاهيم "التضمين الجيد للفضاء الجزئي"، والتي يشير العديد منها إلى أن التطبيق عبارة عن تليف مشترك، أو العكس، أو أن لها خصائص شكلية مماثلة فيما يتعلق بالتماثل. في عام 1937، أثبت بورزوك أنه إذا${\displaystyle X}$هو فضاء ثنائي التناظر (${\displaystyle X}$طبيعي، وحاصل ضربه في الفترة 1${\displaystyle X\times I}$إذا كان طبيعيًا) فإن كل فضاء جزئي مغلق من${\displaystyle X}$تتمتع بخاصية التمديد المتجانس بالنسبة لأي جوار مطلق قابل للتراجع. وبالمثل، إذا${\displaystyle A}$هو فضاء جزئي مغلق من${\displaystyle X}$وإدراج الفضاء الفرعي${\displaystyle A\times I\cup X\times {1}\subset X\times I}$إذا كان الأمر يتعلق بتراجع مطلق في الحي، فإن إدراج${\displaystyle A}$داخل${\displaystyle X}$هو تليف مشترك. ^{[ 2 ] [ 3 ]} يستخدم كتاب هاتشر التمهيدي في الطوبولوجيا الجبرية مفهومًا تقنيًا للزوج الجيد، وهو الذي له نفس المتتالية التامة الطويلة في علم التماثل المفرد المرتبط بالتليف المشترك، ولكنه ليس مكافئًا له. يتميز مفهوم التليف المشترك عن هذه المفاهيم لأن تعريفه في نظرية التماثل أكثر ملاءمة للتحليل الرسمي والتعميم.

لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت دالة متصلة بين الفضاءات الطوبولوجية، فهناك فضاء طوبولوجي مرتبط بها${\displaystyle Mf}$يُطلق عليه اسم أسطوانة رسم الخرائط الخاصة بـ${\displaystyle f}$يوجد تضمين فضاء فرعي متعارف عليه${\displaystyle i:X\to Mf}$وخريطة إسقاط${\displaystyle r:Mf\to Y}$بحيث${\displaystyle r\circ i=f}$كما هو موضح في الرسم التخطيطي التبادلي أدناه. علاوة على ذلك،${\displaystyle i}$هو تليف مشترك و${\displaystyle r}$هو تكافؤ تماثلي. يمكن تلخيص هذه النتيجة بالقول إن "كل خريطة مكافئة في فئة التماثل لـ cofibration".

أثبت آرني ستروم تعزيز هذه النتيجة، وهي أن كل خريطة${\displaystyle f:X\to Y}$عوامل مثل تكوين التليف المشترك وتكافؤ التماثل الذي هو أيضًا تليف . ^{[ 4 ]}

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$مع نقطة أساس مميزة${\displaystyle x}$يقال إنها ذات نقاط جيدة إذا كانت خريطة التضمين${\displaystyle {x}\to X}$هو تليف مشترك.

خريطة الإدماج${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}$إن الكرة الحدودية لقرص صلب هي تليف مشترك لكل${\displaystyle n}$.

من الحقائق الشائعة أن التضمين الخلوي هو تليف مشترك (على سبيل المثال، إذا${\displaystyle (X,A)}$إذا كان زوجًا متزامنًا مع عقارب الساعة ، فـ${\displaystyle A\to X}$(وهو تليف مشترك). وينتج هذا من الحقيقة السابقة وحقيقة أن التليفات المشتركة مستقرة تحت تأثير الدفع الخارجي، لأن عمليات الدفع الخارجي هي خرائط اللصق إلى${\displaystyle n-1}$هيكل عظمي.

يترك${\displaystyle {\mathcal {A}}}$أن تكون فئة أبيلية تحتوي على عدد كافٍ من الإسقاطات.

إذا سمحنا${\displaystyle C_{+}({\mathcal {A}})}$تُصنف ضمن فئة المركبات المتسلسلة التي هي${\displaystyle 0}$بالدرجات${\displaystyle q<<0}$ثم هناك بنية فئة نموذجية ^{[ 5 ] صفحة 1.2} حيث تكون التكافؤات الضعيفة هي التشاكلات شبهية ، والتليفات هي التشاكلات فوقية، والتليفات المشتركة هي تطبيقات.

${\displaystyle i:C_{\bullet }\to D_{\bullet }}$

وهي أحادية الدرجة ومركب النواة المشتركة${\displaystyle {\text{Coker}}(i)_{\bullet }}$هو مجموعة من الأجسام الإسقاطية في${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ويترتب على ذلك أن الأشياء المتوافقة هي المركبات التي تكون جميع أشياءها إسقاطية.

الفئة${\displaystyle {\textbf {SSet}}}$من المجموعات التبسيطية ^{[ 5 ] صفحة 1.3} يوجد هيكل فئة نموذجية حيث تكون التليفات هي تليفات كان بالضبط، والتليفات المشتركة هي جميع الخرائط الحقنية، والتكافؤات الضعيفة هي خرائط تبسيطية تصبح تكافؤات تماثلية بعد تطبيق دالة التحقيق الهندسي.

لاحظ أنه في فئة نموذجية${\displaystyle {\mathcal {M}}}$لو${\displaystyle i:*\to X}$إذا لم يكن تليفًا مشتركًا، فإن أسطوانة التخطيط${\displaystyle Mi}$يشكل استبدالًا متوافقًا . في الواقع، إذا اقتصر عملنا على فئة الفضاءات الطوبولوجية فقط، فإن الاستبدال المتوافق لأي تطبيق من نقطة إلى فضاء يشكل استبدالًا متوافقًا.

للحصول على ألياف مشتركة${\displaystyle A\to X}$نُعرّف الليف المشترك بأنه فضاء القسمة المستحث${\displaystyle X/A}$بشكل عام، بالنسبة لـ${\displaystyle f:X\to Y}$، يُعرَّف الليف المشترك ^{[ 1 ] صفحة 59 على أنه فضاء القسمة}

${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})}$

وهو مخروط رسم الخرائط لـ${\displaystyle f}$من الناحية التماثلية، يعمل الليف المشترك كنواة تماثلية مشتركة للخريطة${\displaystyle f:X\to Y}$في الواقع، بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية المدببة، فإن النهاية المشتركة للتماثل لـ

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}\left({\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\downarrow &&\\\end{matrix}}\right)=C_{f}}$

في الواقع، تسلسل الخرائط${\displaystyle X\to Y\to C_{f}}$يأتي مزودًا بتسلسل الألياف المشتركة الذي يعمل كمثلث مميز في الفئات المثلثية.