لوحة شابة

في الرياضيات ، تُعد لوحة يونغ ( / tæˈbloʊ ، ˈtæbloʊ / ؛ الجمع: tableaux ) كائنًا تركيبيًا مفيدًا في نظرية التمثيل وحساب شوبرت . وهي توفر طريقة ملائمة لوصف تمثيلات المجموعات للمجموعات الخطية المتماثلة والعامة ودراسة خصائصها .

تم تقديم لوحات يونغ بواسطة ألفريد يونغ ، وهو عالم رياضيات في جامعة كامبريدج ، في عام 1900. ^{[1] [2]} ثم تم تطبيقها على دراسة المجموعة المتماثلة بواسطة جورج فروبينيوس في عام 1903. تم تطوير نظريتهم من قبل العديد من علماء الرياضيات، بما في ذلك بيرسي ماكماهون ، دبليو في دي هودج ، جي دي بي روبنسون ، جيان كارلو روتا ، ألان لاسكو ، مارسيل بول شوتزينبرجر وريتشارد ب. ستانلي .

ملاحظة: تستخدم هذه المقالة الاتفاقية الإنجليزية لعرض المخططات والجداول يونغ .

مخطط يونغ (يُسمى أيضًا مخطط فيرير ، خاصةً عند تمثيله باستخدام النقاط) هو مجموعة محدودة من المربعات أو الخلايا، مرتبة في صفوف محاذية لليسار، مع أطوال الصفوف بترتيب غير متزايد. يُعطي سرد ​​عدد المربعات في كل صف قسمًا λ لعدد صحيح غير سالب n ، وهو العدد الإجمالي لمربعات الرسم البياني. يُقال إن مخطط يونغ له شكل λ ، وهو يحمل نفس المعلومات الموجودة في هذا القسم. يحدد احتواء مخطط يونغ واحد في آخر ترتيبًا جزئيًا لمجموعة جميع الأقسام، وهو في الواقع بنية شبكية ، تُعرف باسم شبكة يونغ . يُعطي سرد ​​عدد مربعات مخطط يونغ في كل عمود قسمًا آخر، وهو القسم المقترن أو المنقول لـ λ ؛ نحصل على مخطط يونغ لهذا الشكل من خلال عكس الرسم البياني الأصلي على طول قطره الرئيسي.

هناك اتفاق شبه عالمي على أنه عند وضع علامات على صناديق مخططات يونغ بأزواج من الأعداد الصحيحة، فإن الفهرس الأول يختار صف الرسم البياني، والفهرس الثاني يختار المربع داخل الصف. ومع ذلك، توجد اتفاقيتان متميزتان لعرض هذه المخططات، وبالتالي الجداول: الأولى تضع كل صف أسفل الصف السابق، والثانية تضع كل صف فوق الصف السابق. نظرًا لأن الاتفاقية الأولى تستخدم بشكل أساسي من قبل الناطقين باللغة الإنجليزية بينما يفضل الناطقون بالفرنسية غالبًا الاتفاقية الأخيرة ، فمن المعتاد الإشارة إلى هاتين الاتفاقيتين على التوالي باسم التدوين الإنجليزي والتدوين الفرنسي ؛ على سبيل المثال، في كتابه عن الدوال المتماثلة ، ينصح ماكدونالد القراء الذين يفضلون الاتفاقية الفرنسية "بقراءة هذا الكتاب رأسًا على عقب في المرآة" (ماكدونالد 1979، ص 2). ربما بدأ هذا المصطلح على سبيل المزاح. يتوافق التدوين الإنجليزي مع التدوين المستخدم عالميًا للمصفوفات، بينما يكون التدوين الفرنسي أقرب إلى اتفاقية إحداثيات ديكارت ؛ ومع ذلك، يختلف التدوين الفرنسي عن هذا العرف بوضع الإحداثيات الرأسية أولاً. يوضح الشكل الموجود على اليمين، باستخدام التدوين الإنجليزي، مخطط يونج المقابل للقسم (5، 4، 1) للعدد 10. والقسم المترافق، الذي يقيس أطوال الأعمدة، هو (3، 2، 2، 2، 1).

في العديد من التطبيقات، على سبيل المثال عند تعريف وظائف جاك ، من المناسب تعريف طول الذراع a _λ ( s ) لصندوق s على أنه عدد الصناديق إلى يمين s في الرسم البياني λ في التدوين الإنجليزي. وبالمثل، فإن طول الساق l _λ ( s ) هو عدد الصناديق أسفل s . طول الخطاف لصندوق s هو عدد الصناديق إلى يمين s أو أسفل s في التدوين الإنجليزي، بما في ذلك الصندوق s نفسه؛ بعبارة أخرى، طول الخطاف هو a _λ ( s ) + l _λ ( s ) + 1.

يتم الحصول على لوحة يونغ عن طريق ملء مربعات مخطط يونغ برموز مأخوذة من بعض الأبجدية ، والتي عادة ما تكون مطلوبة لتكون مجموعة مرتبة تمامًا . في الأصل كانت تلك الأبجدية عبارة عن مجموعة من المتغيرات المفهرسة x ₁ و x ₂ و x ₃ ...، ولكن الآن يستخدم المرء عادةً مجموعة من الأرقام للاختصار. في تطبيقها الأصلي على تمثيلات المجموعة المتماثلة ، تحتوي لوحات يونغ على n إدخالات مميزة، يتم تعيينها بشكل تعسفي لمربعات الرسم البياني. تسمى اللوحة قياسية إذا كانت الإدخالات في كل صف وكل عمود تتزايد. يتم تحديد عدد لوحات يونغ القياسية المميزة على n إدخال بواسطة أرقام الالتفاف

1، 1، 2، 4، 10، 26، 76، 232، 764، 2620، 9496، ... (التسلسل A000085 في OEIS ).

في التطبيقات الأخرى، من الطبيعي السماح لنفس الرقم بالظهور أكثر من مرة (أو عدم الظهور على الإطلاق) في جدول. يُطلق على الجدول اسم شبه قياسي ، أو عمود صارم ، إذا كانت الإدخالات تتزايد بشكل ضعيف على طول كل صف وتزداد بشكل صارم أسفل كل عمود. يؤدي تسجيل عدد مرات ظهور كل رقم في الجدول إلى إعطاء تسلسل يُعرف باسم وزن الجدول. وبالتالي فإن جداول يونغ القياسية هي على وجه التحديد جداول شبه قياسية لوزن (1،1،...،1)، والتي تتطلب حدوث كل عدد صحيح يصل إلى n مرة واحدة بالضبط.

في جدول يونغ القياسي، يكون العدد الصحيح تنازليًا إذا ظهر في صف أسفل . يسمى مجموع التنازلات المؤشر الرئيسي للجدول. ^[3]${\displaystyle k}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle k}$

هناك عدة أشكال مختلفة لهذا التعريف: على سبيل المثال، في لوحة الصفوف الصارمة، تتزايد الإدخالات بشكل صارم على طول الصفوف وتزداد بشكل ضعيف أسفل الأعمدة. كما تم النظر في اللوحات ذات الإدخالات المتناقصة ، ولا سيما في نظرية أقسام المستوي . هناك أيضًا تعميمات مثل لوحات الدومينو أو لوحات الشريط، حيث يمكن تجميع عدة مربعات معًا قبل تعيين الإدخالات لها.

الشكل المائل هو زوج من الأقسام ( λ ، μ ) بحيث يحتوي مخطط يونغ لـ λ على مخطط يونغ لـ μ ؛ ويُشار إليه بواسطة λ / μ . إذا كانت λ = ( λ ₁ ، λ ₂ ، ...) و μ = ( μ ₁ ، μ ₂ ، ...) ، فإن احتواء المخططات يعني أن μ _i  ≤  λ _i لجميع i . المخطط المائل لشكل مائل λ / μ هو الفرق النظري للمجموعة بين مخططي يونغ لـ λ و μ : مجموعة المربعات التي تنتمي إلى مخطط λ ولكن لا تنتمي إلى مخطط μ . يتم الحصول على جدول مائل للشكل λ / μ عن طريق ملء مربعات المخطط المائل المقابل؛ مثل هذا الجدول هو شبه قياسي إذا زادت الإدخالات بشكل ضعيف على طول كل صف، وزادت بشكل صارم أسفل كل عمود، وهو قياسي إذا حدثت جميع الأرقام من 1 إلى عدد مربعات الرسم البياني المائل مرة واحدة بالضبط. في حين أن الخريطة من الأقسام إلى مخططات يونغ الخاصة بها هي حقنية، فإن هذه ليست هي الحال بالنسبة للخريطة من الأشكال المائلة إلى المخططات المائلة؛ ^[4] وبالتالي لا يمكن دائمًا تحديد شكل الرسم البياني المائل من مجموعة المربعات المملوءة فقط. على الرغم من أن العديد من خصائص الجداول المائلة تعتمد فقط على المربعات المملوءة، فإن بعض العمليات المحددة عليها تتطلب معرفة صريحة بـ λ و μ ، لذلك من المهم أن تسجل الجداول المائلة هذه المعلومات: قد تختلف لوحتان مائلتان متميزتان فقط في شكلهما، بينما تشغلان نفس مجموعة المربعات، وكل منهما مملوءة بنفس الإدخالات. ^[5] يمكن التعرف على لوحات يونغ بلوحات مائلة حيث μ هو القسم الفارغ (0) (القسم الفريد لـ 0).

أي جدول شبه قياسي مائل T على شكل λ / μ مع إدخالات صحيحة موجبة يؤدي إلى تسلسل من الأقسام (أو مخططات يونغ)، من خلال البدء بـ μ ، وأخذ القسم i في أماكن أبعد في التسلسل الذي تم الحصول على مخططه من مخطط μ عن طريق إضافة جميع المربعات التي تحتوي على قيمة ≤  i في T ؛ يصبح هذا القسم في النهاية مساويًا لـ  λ . أي زوج من الأشكال المتعاقبة في مثل هذا التسلسل هو شكل مائل يحتوي مخططه على مربع واحد على الأكثر في كل عمود؛ تسمى هذه الأشكال شرائط أفقية . يحدد تسلسل الأقسام هذا T تمامًا ، ومن الممكن في الواقع تعريف الجداول شبه القياسية (المائلة) على أنها مثل هذه التسلسلات، كما فعل ماكدونالد (ماكدونالد 1979، ص 4). يتضمن هذا التعريف الأقسام λ و μ في البيانات التي تتكون منها اللوحة المائلة.

تستخدم لوحات يونغ في تطبيقات عديدة في التركيبات ونظرية التمثيل والهندسة الجبرية . وقد تم استكشاف طرق مختلفة للعد، مما أدى إلى تعريف وتعريفات لوظائف شور .

هناك العديد من الخوارزميات التوافقية المعروفة في الجداول، بما في ذلك لعبة التاكوين لشوتزنبرجر ومطابقة روبنسون-شينستيد-كنوث . درس لاسكو وشوتزنبرجر منتجًا ارتباطيًا على مجموعة جميع الجداول شبه القياسية ليونغ، وأعطوها البنية المسماة المونويد البلاستيكي (بالفرنسية: le monoïde plaxique ).

في نظرية التمثيل، تصف جداول يونغ القياسية بحجم k القواعد في التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعة المتماثلة على k حرف. يتم تحديد الأساس أحادي الحد القياسي في التمثيل غير القابل للاختزال ذي الأبعاد المحدودة للمجموعة الخطية العامة GL _n بواسطة مجموعة جداول يونغ شبه القياسية ذات الشكل الثابت على الأبجدية {1، 2، ...، n }. وهذا له عواقب مهمة على نظرية الثوابت ، بدءًا من عمل هودج على حلقة الإحداثيات المتجانسة لـ Grassmannian واستكشفها جيان كارلو روتا مع المتعاونين، دي كونسيني وبروسيسي ، وآيزنبود . تمت صياغة قاعدة ليتلوود-ريتشاردسون التي تصف (من بين أمور أخرى) تحلل المنتجات الموترية للتمثيلات غير القابلة للاختزال لـ GL n _إلى مكونات غير قابلة للاختزال من حيث جداول شبه قياسية مائلة معينة.

تدور تطبيقات الهندسة الجبرية حول حساب شوبرت على جراسمانيان وأصناف العلم . يمكن تمثيل فئات معينة من التماثل المهمة بواسطة كثيرات حدود شوبرت ووصفها من حيث جداول يونج.

تتوافق مخططات يونغ بشكل مباشر مع التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعة المتماثلة على الأعداد المركبة . وهي توفر طريقة ملائمة لتحديد متناظرات يونغ التي يتم بناء التمثيلات غير القابلة للاختزال منها . يمكن استنتاج العديد من الحقائق حول التمثيل من الرسم البياني المقابل. فيما يلي، نصف مثالين: تحديد أبعاد التمثيل والتمثيلات المقيدة. في كلتا الحالتين، سنرى أنه يمكن تحديد بعض خصائص التمثيل باستخدام الرسم البياني الخاص به فقط. تشارك لوحات يونغ في استخدام المجموعة المتماثلة في دراسات الكيمياء الكمومية للذرات والجزيئات والمواد الصلبة. ^{[6] [7]}

تقوم المخططات الشابة أيضًا بمعاملة التمثيلات متعددة الحدود غير القابلة للاختزال للمجموعة الخطية العامة GL _n (عندما يكون لديها على الأكثر n صفًا غير فارغ)، أو التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعة الخطية الخاصة SL _n (عندما يكون لديها على الأكثر n − 1 صفًا غير فارغ)، أو التمثيلات المعقدة غير القابلة للاختزال للمجموعة الوحدوية الخاصة SU _n (مرة أخرى عندما يكون لديها على الأكثر n − 1 صفًا غير فارغ). في هذه الحالات، تلعب اللوحات شبه القياسية ذات الإدخالات حتى n دورًا مركزيًا، بدلاً من اللوحات القياسية؛ وبشكل خاص، فإن عدد هذه اللوحات هو الذي يحدد أبعاد التمثيل.

إن بُعد التمثيل غير القابل للاختزال π _λ للمجموعة المتماثلة S _n المقابلة للقسم λ لـ n يساوي عدد لوحات يونغ القياسية المختلفة التي يمكن الحصول عليها من مخطط التمثيل. ويمكن حساب هذا العدد بواسطة صيغة طول الخطاف .

طول الخطاف ( x ) لصندوق x في مخطط يونغ Y ( λ ) على شكل λ هو عدد الصناديق الموجودة في نفس الصف إلى يمينه بالإضافة إلى تلك الصناديق الموجودة في نفس العمود أسفله، بالإضافة إلى واحد (للصندوق نفسه). وفقًا لصيغة طول الخطاف، فإن بُعد التمثيل غير القابل للاختزال هو n ! مقسومًا على حاصل ضرب أطوال الخطاف لجميع الصناديق في مخطط التمثيل:

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}\operatorname {hook} (x)}}.}$

يوضح الشكل الموجود على اليمين أطوال الخطاف لجميع الصناديق في مخطط التقسيم 10 = 5 + 4 + 1. وبالتالي

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=288.}$

على نحو مماثل، فإن بُعد التمثيل غير القابل للاختزال W ( λ ) لـ GL _r المقابل للقسم λ لـ n (بحد أقصى r أجزاء) هو عدد لوحات يونغ شبه القياسية ذات الشكل λ (تحتوي فقط على الإدخالات من 1 إلى r )، والتي يتم إعطاؤها بواسطة صيغة طول الخطاف:

${\displaystyle \dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}{\frac {r+ji}{\operatorname {hook} (i,j)}},}$

حيث يعطي المؤشر i الصف و j العمود في المربع. ^[8] على سبيل المثال، بالنسبة للقسم (5،4،1) نحصل على البعد للتمثيل غير القابل للاختزال المقابل لـ GL ₇ (عبر المربعات حسب الصفوف):

${\displaystyle \dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.}$

إن تمثيل المجموعة المتماثلة على n عنصر، S _n هو أيضًا تمثيل للمجموعة المتماثلة على n − 1 عنصر، S _{n −1} . ومع ذلك، فإن التمثيل غير القابل للاختزال لـ S _n قد لا يكون غير قابل للاختزال بالنسبة لـ S _{n −1} . وبدلاً من ذلك، قد يكون مجموعًا مباشرًا لعدة تمثيلات غير قابلة للاختزال بالنسبة لـ S _{n −1} . تسمى هذه التمثيلات بعد ذلك عوامل التمثيل المقيد (انظر أيضًا التمثيل المستحث ).

تتم الإجابة على سؤال تحديد هذا التحلل للتمثيل المقيد لتمثيل غير قابل للاختزال معين لـ S _n ، والذي يتوافق مع قسم λ لـ n ، على النحو التالي. يتم تكوين مجموعة جميع مخططات يونغ التي يمكن الحصول عليها من مخطط الشكل λ عن طريق إزالة مربع واحد فقط (يجب أن يكون في نهاية كل من صفه وعموده)؛ ثم يتحلل التمثيل المقيد كمجموع مباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال لـ S _{n −1} المقابلة لتلك المخططات، حيث يحدث كل منها مرة واحدة بالضبط في المجموع.

• مراسلات روبنسون-شينستيد
• ثنائية شور-ويل

• ويليام فولتون . لوحات يونغ، مع تطبيقات على نظرية التمثيل والهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج، 1997، ISBN 0-521-56724-6 . 
• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991). نظرية التمثيل. دورة أولى . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات. المجلد 129. نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. السيد  1153249. OCLC  246650103.المحاضرة 4
• هوارد جورجي، جبر الكذب في فيزياء الجسيمات، الطبعة الثانية - ويستفيو
• ماكدونالد، آي جي الدوال المتماثلة ومتعددات حدود هول. دراسات أكسفورد الرياضية. دار نشر كلارندون، دار نشر جامعة أكسفورد، أكسفورد، 1979. viii+180 صفحة. ISBN 0-19-853530-9 MR 553598 
• لوران مانيفيل. الدوال المتماثلة، ومتعددات حدود شوبرت، ومواضع الانحطاط . الجمعية الرياضية الأمريكية.
• جرين، كورتيس ؛ نيجينويس، ألبرت ؛ ويلف، هربرت س. (1979). "إثبات احتمالي لصيغة عدد لوحات يونج ذات الشكل المعطى". التقدم في الرياضيات . 31 (1). أمستردام: إلسفير : 104-109. doi : 10.1016/0001-8708(79)90023-9 . MR  0521470. Zbl  0398.05008.
• جان كريستوف نوفيلي، إيغور باك ، ألكسندر في. ستويانوفسكي، "إثبات ثنائي الاتجاه المباشر لصيغة طول الخطاف"، الرياضيات المنفصلة وعلوم الكمبيوتر النظرية 1 (1997)، ص 53-67.
• بروس إي ساجان . المجموعة المتماثلة . سبرينغر، 2001، ISBN 0-387-95067-2 
• فينبيرج، إي بي (2001) [1994]، "لوحة شابة"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
• يونج، ألكسندر (فبراير 2007). "ما هو... الجدول الصغير؟" (PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 54 (2): 240-241 . تم الاسترجاع في 2008-01-16 .
• بريدراج سفيتانوفيتش ، نظرية المجموعات: مسارات الطيور، والأكاذيب، والمجموعات الاستثنائية . مطبعة جامعة برينستون، 2008.

• إريك دبليو فايسشتاين. "مخطط فيرير". من موقع MathWorld—أحد موارد الويب من Wolfram.
• إريك دبليو فايسشتاين. "Young Tableau." من موقع MathWorld—أحد موارد الويب التابعة لشركة Wolfram.
• إدخال الجداول شبه القياسية في قاعدة بيانات FindStat
• إدخال الجداول القياسية في قاعدة بيانات FindStat