مقطع مخروطي

المقطع المخروطي أو المنحنى المخروطي أو المنحنى التربيعي هو منحنى يتم الحصول عليه من تقاطع سطح المخروط مع المستوى . الأنواع الثلاثة للمقطع المخروطي هي القطع الزائد والقطع المكافئ والقطع الناقص ؛ الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص، على الرغم من أنها كانت تسمى أحيانًا بالنوع الرابع. درس علماء الرياضيات اليونانيون القدماء المقاطع المخروطية، وبلغت ذروتها حوالي عام 200 قبل الميلاد مع العمل المنهجي لأبولونيوس البيرجي على خصائصها.

تتمتع المقاطع المخروطية في المستوى الإقليدي بخصائص مميزة مختلفة، يمكن استخدام العديد منها كتعريفات بديلة. تحدد إحدى هذه الخصائص المخروط غير الدائري ^[1] على أنه مجموعة تلك النقاط التي تكون مسافاتها إلى نقطة معينة تسمى البؤرة وخط معين يسمى الدليل بنسبة ثابتة تسمى الانحراف . يتم تحديد نوع المخروط من خلال قيمة الانحراف. في الهندسة التحليلية ، يمكن تعريف المخروط على أنه منحنى جبري مستوي من الدرجة 2؛ أي كمجموعة النقاط التي تلبي إحداثياتها معادلة تربيعية في متغيرين يمكن كتابتها في شكل يمكن استنتاج الخصائص الهندسية للمخروط من معادلته. ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$

في المستوى الإقليدي، تبدو الأنواع الثلاثة من المقاطع المخروطية مختلفة تمامًا، لكنها تشترك في العديد من الخصائص. من خلال توسيع المستوى الإقليدي ليشمل خطًا في اللانهاية، والحصول على مستوى إسقاطي ، يختفي الاختلاف الواضح: تلتقي فروع القطع الزائد في نقطتين في اللانهاية، مما يجعلها منحنى مغلقًا واحدًا؛ ويلتقي طرفا القطع المكافئ لجعله منحنى مغلقًا مماسًا للخط في اللانهاية. يوفر التوسع الإضافي، من خلال توسيع الإحداثيات الحقيقية للسماح بالإحداثيات المعقدة ، الوسائل لرؤية هذا التوحيد جبريًا.

لقد تمت دراسة المقاطع المخروطية لآلاف السنين وكانت مصدرًا غنيًا للنتائج المثيرة للاهتمام والجميلة في الهندسة الإقليدية .

المخروط هو المنحنى الناتج عن تقاطع المستوى ، الذي يسمى المستوى القاطع ، مع سطح المخروط المزدوج (مخروط ذو طرفين ). من المفترض عادةً أن المخروط مخروط دائري قائم لغرض الوصف السهل، لكن هذا ليس ضروريًا؛ أي مخروط مزدوج به بعض المقطع العرضي الدائري سيكفي. ستتقاطع المستويات التي تمر عبر رأس المخروط مع المخروط في نقطة أو خط أو زوج من الخطوط المتقاطعة. تسمى هذه المخروطيات المتحللة ولا يعتبرها بعض المؤلفين مخروطية على الإطلاق. ما لم يُذكر خلاف ذلك، فإن "المخروطي" في هذه المقالة يشير إلى مخروط غير متحلل.

هناك ثلاثة أنواع من المخروطيات: القطع الناقص ، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد . الدائرة هي نوع خاص من القطع الناقص، على الرغم من أن أبولونيوس اعتبرها تاريخيًا نوعًا رابعًا. تنشأ القطع الناقص عندما يكون تقاطع المخروط والمستوى منحنى مغلقًا . يتم الحصول على الدائرة عندما يكون المستوى القاطع موازيًا لمستوى الدائرة المولدة للمخروط؛ بالنسبة للمخروط القائم، يعني هذا أن المستوى القاطع عمودي على المحور. إذا كان المستوى القاطع موازيًا لخط مولد واحد فقط للمخروط، فإن المخروط يكون غير محدود ويسمى قطعًا مكافئًا . في الحالة المتبقية، يكون الشكل قطعًا زائدًا : يتقاطع المستوى مع نصفي المخروط، مما ينتج عنه منحنيين غير محدودين منفصلين.

قارن أيضًا المقطع الكروي (تقاطع المستوى مع الكرة، مما ينتج دائرة أو نقطة)، والمخروطي الكروي (تقاطع المخروط الإهليلجي مع الكرة المتحدة المركز).

وبدلًا من ذلك، يمكننا تعريف المقطع المخروطي من حيث الهندسة المستوية البحتة: إنه موضع جميع النقاط P التي تكون المسافة بينها وبين نقطة ثابتة F (تسمى البؤرة ) مضاعفًا ثابتًا e (يسمى الانحراف المركزي ) للمسافة من P إلى خط ثابت L (يسمى الدليل ). بالنسبة إلى 0 < e < 1 نحصل على قطع ناقص، وبالنسبة إلى e = 1 نحصل على قطع مكافئ، وبالنسبة إلى e > 1 نحصل على قطع زائد.

الدائرة هي حالة محدودة ولا يتم تحديدها بواسطة بؤرة وموجه في المستوى الإقليدي. يتم تعريف انحراف الدائرة على أنه صفر وبؤرتها هي مركز الدائرة، ولكن لا يمكن اعتبار موجهها إلا كخط عند اللانهاية في المستوى الإسقاطي. ^[2]

يمكن اعتبار انحراف القطع الناقص كمقياس لمدى انحراف القطع الناقص عن كونه دائريًا. ^[3]

إذا كانت الزاوية بين سطح المخروط ومحوره هي والزاوية بين المستوى القاطع والمحور هي فإن الانحراف هو ^[4]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}$

إن إثبات أن المنحنيات المذكورة أعلاه والتي تم تحديدها بواسطة خاصية دليل التركيز هي نفس المنحنيات التي تم الحصول عليها من خلال المستويات التي تتقاطع مع المخروط يتم تسهيلها باستخدام كرات داندلين . ^[5]

يمكن تعريف القطع الناقص من ناحية أخرى من حيث نقطتي التركيز، حيث يكون موضع النقاط الذي يكون مجموع مسافتيهما إلى البؤرتين 2 أ ؛ في حين يكون القطع الزائد هو موضع النقاط الذي يكون فرق مسافتيهما 2 أ . (هنا أ هو المحور شبه الرئيسي المحدد أدناه). يمكن تعريف القطع المكافئ أيضًا من حيث بؤرته وخط المستقيم العريض (الموازي للخط الدليلي والمار عبر البؤرة): إنه موضع النقاط التي تكون مسافتها إلى البؤرة زائد أو ناقص المسافة إلى الخط مساوية لـ 2 أ ؛ زائد إذا كانت النقطة بين الخط الدليلي والخط المستقيم العريض، ناقص خلاف ذلك.

بالإضافة إلى الانحراف ( e )، والبؤر، والدليل، ترتبط العديد من السمات الهندسية والأطوال بالمقطع المخروطي.

المحور الرئيسي هو الخط الذي يصل بين بؤرتي القطع الناقص أو القطع الزائد، ونقطة منتصفه هي مركز المنحنى . القطع المكافئ ليس له مركز.

الانحراف الخطي ( ج ) هو المسافة بين المركز والبؤرة.

المستقيم العرضي هو الوتر الموازي للخط المباشر ويمر عبر بؤرة؛ ونصف طوله هو نصف المستقيم العرضي ( ℓ ).

المعلمة البؤرية ( p ) هي المسافة من البؤرة إلى الدليل المقابل.

المحور الرئيسي هو الوتر بين الرأسين: أطول وتر في القطع الناقص، وأقصر وتر بين فروع القطع الزائد. نصف طوله هو شبه المحور الرئيسي ( أ ). عندما يكون القطع الناقص أو القطع الزائد في وضع قياسي كما في المعادلات أدناه، مع بؤرتين على المحور السيني والمركز عند الأصل، فإن رؤوس المخروط لها إحداثيات (− أ ، 0) و ( أ ، 0) ، مع قيمة غير سالبة.

المحور الأصغر هو أقصر قطر للقطع الناقص، ونصف طوله هو المحور شبه الأصغر ( b )، وهو نفس القيمة b كما في المعادلة القياسية أدناه. وعلى سبيل القياس، بالنسبة للقطع الزائد، يُطلق على المعامل b في المعادلة القياسية أيضًا المحور شبه الأصغر.

العلاقات التالية صحيحة: ^[6]

• ${\displaystyle \ \ell =pe}$
• ${\displaystyle \c=ae}$
• ${\displaystyle \ p+c={\frac {a}{e}}}$

بالنسبة للمخروطيات في الوضع القياسي، فإن هذه المعلمات لها القيم التالية، مع الأخذ في الاعتبار . ${\displaystyle أ،ب>0}$

مقطع مخروطي	معادلة	الانحراف ( هـ )	الانحراف الخطي ( ج )	المستقيم شبه العريض ( ℓ )	معامل البؤرة ( ص )
دائرة	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
القطع الناقص	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
قطع مكافئ	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	غير متاح	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
القطع الزائد	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

بعد إدخال إحداثيات ديكارت ، يمكن استخدام خاصية دليل البؤرة لإنتاج المعادلات التي تلبيها نقاط المقطع المخروطي. ^[7] عن طريق تغيير الإحداثيات ( دوران وانتقال المحاور )، يمكن وضع هذه المعادلات في أشكال قياسية . ^[8] بالنسبة للقطع الناقص والقطع الزائد، يكون للشكل القياسي المحور السيني كمحور رئيسي والأصل (0,0) كمركز. الرؤوس هي (± أ ، 0) والبؤر (± ج ، 0) . عرف ب بالمعادلات ج ² = أ ² − ب ² للقطع الناقص وج 2 ⁼ أ 2 ⁺ ب 2 ^للقطع الزائد. بالنسبة للدائرة، ج = 0 لذا أ ² = ب ² ، بنصف قطر r = أ = ب . بالنسبة للمكافئ، يكون التركيز في الشكل القياسي على المحور السيني عند النقطة ( a , 0) ويكون الدليل هو الخط الذي معادلة x = −a . في الشكل القياسي، يمر المكافئ دائمًا عبر الأصل.

بالنسبة للقطع الزائد المستطيل أو المتساوي الأضلاع، والذي تكون مقارباته متعامدة، يوجد شكل قياسي بديل حيث تكون المقاربات هي محاور الإحداثيات ويكون الخط x = y هو المحور الرئيسي. يكون للبؤر إذن إحداثيات ( c , c ) و (− c , − c ) . ^[9]

• دائرة:

  ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

• القطع الناقص:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• القطع المكافئ:

  ${\displaystyle y^{2}=4ax,{\text{ مع }}a>0,}$

• القطع الزائد:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• القطع الزائد المستطيل: ^[10]

  ${\displaystyle xy=c^{2}}$

الأشكال الأربعة الأولى من هذه الأشكال متماثلة حول كل من المحور السيني والمحور الصادي (بالنسبة للدائرة والقطع الناقص والقطع الزائد)، أو حول المحور السيني فقط (بالنسبة للقطع المكافئ). أما القطع الزائد المستطيلي فهو متماثل بدلاً من ذلك حول الخطين y = x و y = − x .

يمكن كتابة هذه الأشكال القياسية بشكل معياري على النحو التالي:

• الدائرة :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta ),}$

• القطع الناقص :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta ),}$

• القطع المكافئ :

  ${\displaystyle (at^{2},2at),}$

• القطع الزائد :

  ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ أو }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )}$,

• القطع الزائد المستطيل :

  ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ حيث }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يكون رسم المعادلة التربيعية في متغيرين دائمًا مقطعًا مخروطيًا (رغم أنه قد يكون منحلًا)، ^[a] وتنشأ جميع المقاطع المخروطية بهذه الطريقة. المعادلة الأكثر عمومية هي من الشكل ^[11]

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

مع كل المعاملات أعداد حقيقية و A، B، C وليس كلها صفر.

يمكن كتابة المعادلة أعلاه في صيغة المصفوفة على النحو التالي ^[12] $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+F=0.}$$

يمكن أيضًا كتابة المعادلة العامة على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0.}$$

يعد هذا الشكل تخصصًا للشكل المتجانس المستخدم في الإطار الأكثر عمومية للهندسة الإسقاطية (انظر أدناه).

يمكن تصنيف المقاطع المخروطية الموصوفة بهذه المعادلة من حيث القيمة ، والتي تسمى مميز المعادلة. ^[13] وبالتالي، فإن المميز هو − 4Δ حيث Δ هو محدد المصفوفة${\displaystyle B^{2}-4AC}$ ${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.}$

إذا كان المخروط غير متحلل ، فإن: ^[14]

• إذا كانت B ² − 4 AC < 0 ، فإن المعادلة تمثل قطعًا ناقصًا ؛
  • إذا كانت A = C و B = 0 ، فإن المعادلة تمثل دائرة ، وهي حالة خاصة من القطع الناقص؛
• إذا كانت B ² − 4 AC = 0 ، فإن المعادلة تمثل قطع مكافئ ؛
• إذا كانت B ² − 4 AC > 0 ، فإن المعادلة تمثل قطعًا زائدًا ؛
  • إذا كانت A + C = 0 ، فإن المعادلة تمثل قطع زائد مستطيل .

في التدوين المستخدم هنا، A و B هما معاملات كثيرة الحدود، على النقيض من بعض المصادر التي تشير إلى المحاور شبه الرئيسية وشبه الثانوية على أنها A و B.

المميز B ² – 4 AC لمعادلة المقطع المخروطي التربيعية (أو ما يعادله المحدد AC – B ² /4 لمصفوفة 2 × 2) والكمية A + C ( أثر مصفوفة 2 × 2) ثابتان تحت الدورانات والترجمات التعسفية لمحاور الإحداثيات، ^{[14] [15] [16]} كما هو الحال مع محدد مصفوفة 3 × 3 أعلاه. ^{[17] : ص 60-62} الحد الثابت F والمجموع D ² + E ² ثابتان تحت الدوران فقط. ^{[17] : ص 60-62}

عندما يتم كتابة المقطع المخروطي جبريًا على النحو التالي

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,}$

يمكن كتابة الانحراف كدالة لمعاملات المعادلة التربيعية. ^[18] إذا كان 4 AC = B ² فإن المخروط هو قطع مكافئ واختلافه يساوي 1 (بشرط أن يكون غير متحلل). بخلاف ذلك، بافتراض أن المعادلة تمثل إما قطع زائد غير متحلل أو قطع ناقص، فإن الانحراف يُعطى بواسطة

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}},}$

حيث η = 1 إذا كان محدد المصفوفة 3 × 3 أعلاه سلبيًا و η = −1 إذا كان هذا المحدد موجبًا.

ويمكن أيضًا إظهار ^{[17] : ص 89} أن الانحراف هو حل موجب للمعادلة

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0, }$

حيث أن هذا له حل إيجابي واحد على وجه التحديد - الانحراف - في حالة القطع المكافئ أو القطع الناقص، بينما في حالة القطع الزائد يكون له حلين موجبين، أحدهما هو الانحراف. ${\displaystyle \Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.}$

في حالة القطع الناقص أو القطع الزائد، المعادلة

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

يمكن تحويلها إلى الشكل القانوني في المتغيرات المحولة مثل ^[19]${\displaystyle {\tilde {x}},{\tilde {y}}}$

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,}$

أو ما يعادله

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,}$

حيث و هما القيم الذاتية للمصفوفة - أي حلول المعادلة ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)}$

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$

— وهو محدد المصفوفة 3 × 3 أعلاه، وهو أيضًا محدد المصفوفة 2 × 2. وفي حالة القطع الناقص، يتم تحديد مربعي نصفي المحورين بواسطة المقامات في الشكل القانوني. ${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$

في الإحداثيات القطبية ، يتم إعطاء المقطع المخروطي مع وجود بؤرة واحدة عند الأصل، وإذا وجدت، الأخرى عند قيمة سالبة (للقطع الناقص) أو قيمة موجبة (للقطع الزائد) على المحور السيني ، بواسطة المعادلة

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

حيث e هو الانحراف و l هو المستقيم شبه العريض.

كما هو موضح أعلاه، بالنسبة إلى e = 0 ، يكون الرسم البياني عبارة عن دائرة، وبالنسبة إلى 0 < e < 1 يكون الرسم البياني عبارة عن قطع ناقص، وبالنسبة إلى e = 1 يكون قطع مكافئ، وبالنسبة إلى e > 1 يكون قطع زائد.

غالبًا ما يتم استخدام الشكل القطبي لمعادلة المخروط في الديناميكيات ؛ على سبيل المثال، تحديد مدارات الأجسام التي تدور حول الشمس. ^[20]

تمامًا كما تحدد نقطتان (متميزتان) خطًا مستقيمًا، تحدد خمس نقاط مخروطيًا . رسميًا، إذا أعطيت أي خمس نقاط في المستوى في وضع خطي عام ، أي لا يوجد ثلاث نقاط متوازية ، فهناك مخروطي فريد يمر عبرها، والذي سيكون غير متحلل؛ وهذا صحيح في كل من المستوى الإقليدي وامتداده، المستوى الإسقاطي الحقيقي. في الواقع، إذا أعطيت أي خمس نقاط فهناك مخروطي يمر عبرها، ولكن إذا كانت ثلاث من النقاط متوازية، فسيكون المخروط متحللًا (قابل للاختزال، لأنه يحتوي على خط)، وقد لا يكون فريدًا؛ راجع المناقشة الإضافية .

تحدد أربع نقاط في المستوى في وضع خطي عام مخروطًا فريدًا يمر عبر النقاط الثلاث الأولى ويكون النقطة الرابعة مركزه. وبالتالي فإن معرفة المركز تعادل معرفة نقطتين على المخروط لغرض تحديد المنحنى. ^[21]

علاوة على ذلك، يتم تحديد المخروط من خلال أي مجموعة من النقاط k في الموضع العام الذي يمر من خلاله و5 – k خطوط مماسة له، حيث 0 ≤ k ≤ 5. ^[22]

أي نقطة في المستوى تكون على صفر أو واحد أو اثنين من خطوط المماس للمخروطي. النقطة الموجودة على خط مماس واحد فقط تكون على المخروط. النقطة التي لا يوجد بها أي خط مماس يقال إنها نقطة داخلية (أو نقطة داخلية) للمخروطي، بينما النقطة الموجودة على خطي مماس تكون نقطة خارجية (أو نقطة خارجية).

تشترك جميع المقاطع المخروطية في خاصية انعكاس يمكن صياغتها على النحو التالي: تعكس جميع المرايا ذات شكل المقطع المخروطي غير المتحلل الضوء القادم من أو المتجه نحو إحدى البؤرتين باتجاه أو بعيدًا عن البؤرة الأخرى. في حالة القطع المكافئ، يجب التفكير في البؤرة الثانية على أنها بعيدة إلى ما لا نهاية، بحيث تكون أشعة الضوء المتجهة نحو أو القادمة من البؤرة الثانية متوازية. ^{[23] [24]}

تتعلق نظرية باسكال بالتوازي الخطي لثلاث نقاط مكونة من مجموعة من ست نقاط على أي مخروط غير متحلل. تنطبق النظرية أيضًا على المخروطيات المتحللة المكونة من خطين، ولكن في هذه الحالة تُعرف باسم نظرية بابوس .

تكون المقاطع المخروطية غير المتحللة دائمًا " ملساء ". وهذا مهم للعديد من التطبيقات، مثل الديناميكا الهوائية، حيث يلزم وجود سطح أملس لضمان التدفق الرقائقي ومنع الاضطرابات .

يُعتقد أن أول تعريف للقطع المخروطي قدمه ميناكم (توفي عام 320 قبل الميلاد) كجزء من حله لمشكلة ديليان ( تكرار المكعب ). ^{[ب] [25]} لم تنج أعماله، ولا حتى الأسماء التي استخدمها لهذه المنحنيات، ولا يُعرف إلا من خلال الروايات الثانوية. ^[26] يختلف التعريف المستخدم في ذلك الوقت عن التعريف المستخدم بشكل شائع اليوم. تم إنشاء المخاريط عن طريق تدوير مثلث قائم حول أحد أرجله بحيث يولد الوتر سطح المخروط (يُطلق على هذا الخط مولدًا). ​​تم تحديد ثلاثة أنواع من المخاريط من خلال زوايا رؤوسها (مقاسة بضعف الزاوية التي يشكلها الوتر والساق التي يتم تدويرها في المثلث القائم). ثم تم تحديد المقطع المخروطي عن طريق تقاطع أحد هذه المخاريط مع مستوٍ مرسوم عموديًا على مولد. يتم تحديد نوع المخروط حسب نوع المخروط، أي حسب الزاوية المتكونة عند رأس المخروط: إذا كانت الزاوية حادة فإن المخروط يكون قطع ناقص؛ إذا كانت الزاوية قائمة فإن المخروط يكون قطع مكافئ؛ وإذا كانت الزاوية منفرجة فإن المخروط يكون قطع زائد (ولكن فرع واحد فقط من المنحنى). ^[27]

يقال إن إقليدس (حوالي 300 قبل الميلاد) كتب أربعة كتب عن المخروطيات ولكنها ضاعت أيضًا. ^{[28] ومن المعروف أن} أرخميدس (توفي حوالي  212 قبل الميلاد) درس المخروطيات، بعد أن حدد المنطقة التي يحدها قطع مكافئ ووتر في تربيع القطع المكافئ . كان اهتمامه الرئيسي من حيث قياس مساحات وأحجام الأشكال المتعلقة بالمخروطيات، وجزء من هذا العمل موجود في كتابه عن الأجسام الصلبة لدوران المخروطيات، حول المخروطيات والكرات . ^[29]

يرجع أعظم تقدم في دراسة المخروطيات من قبل الإغريق القدماء إلى أبولونيوس من برجا (توفي حوالي  190 قبل الميلاد)، الذي لخص ووسع بشكل كبير المعرفة الموجودة في كتابه المقاطع المخروطية أو المخروطيات المكون من ثمانية مجلدات . ^[30] جعلت دراسة أبولونيوس لخصائص هذه المنحنيات من الممكن إظهار أن أي مستوى يقطع مخروطًا مزدوجًا ثابتًا (مخروطين)، بغض النظر عن زاويته، سينتج مخروطًا وفقًا للتعريف السابق، مما أدى إلى التعريف المستخدم بشكل شائع اليوم. الدوائر، التي لا يمكن إنشاؤها بالطريقة السابقة، يمكن الحصول عليها أيضًا بهذه الطريقة. قد يفسر هذا سبب اعتبار أبولونيوس للدوائر نوعًا رابعًا من المقطع المخروطي، وهو التمييز الذي لم يعد يُصنع. استخدم أبولونيوس أسماء "قطع ناقص" و"قطع مكافئ" و"قطع زائد" لهذه المنحنيات، مستعيرًا المصطلحات من أعمال فيثاغورس السابقة حول المساحات. ^[31]

يعود الفضل إلى بابوس الإسكندري (توفي حوالي عام  350 م) في شرح أهمية مفهوم بؤرة المخروط، وتفصيل المفهوم المرتبط بالخط المباشر، بما في ذلك حالة القطع المكافئ (التي تفتقر إليها أعمال أبولونيوس المعروفة). ^[32]

تُرجمت أعمال أبولونيوس إلى اللغة العربية، ولم يتبق الكثير من أعماله إلا من خلال النسخة العربية. وجد علماء الرياضيات الإسلاميون تطبيقات لهذه النظرية، وأبرزهم عالم الرياضيات والشاعر الفارسي عمر الخيام ، ^[33] الذي وجد طريقة هندسية لحل المعادلات التكعيبية باستخدام المقاطع المخروطية. ^{[34] [35]}

قبل قرن من العمل الأكثر شهرة لخيام، استخدم أبو الجود المخروطيات لحل المعادلات الرباعية والتكعيبية، ^[36] على الرغم من أن حله لم يتعامل مع جميع الحالات. ^[37]

تم وصف أداة لرسم المقاطع المخروطية لأول مرة في عام 1000 م من قبل الكوهي . ^{[38] [39]}

قام يوهانس كيبلر بتوسيع نظرية المخروطيات من خلال " مبدأ الاستمرارية "، وهو مقدمة لمفهوم الحدود. استخدم كيبلر مصطلح "البؤر" لأول مرة في عام 1604. ^[40]

طور جيرارد ديسارج وبليز باسكال نظرية المخروطيات باستخدام شكل مبكر من أشكال الهندسة الإسقاطية ، وقد ساعد هذا في توفير الزخم لدراسة هذا المجال الجديد. وعلى وجه الخصوص، اكتشف باسكال نظرية تُعرف باسم hexagrammum mysticum والتي يمكن من خلالها استنتاج العديد من خصائص المخروطيات الأخرى.

طبق كل من رينيه ديكارت وبيير فيرما الهندسة التحليلية التي اكتشفاها حديثًا على دراسة المخروطيات. وكان لهذا تأثير تقليص المشكلات الهندسية للمخروطيات إلى مشكلات في الجبر. ومع ذلك، كان جون واليس في أطروحته Tractatus de sectionibus conicis عام 1655 هو أول من عرف المقاطع المخروطية كأمثلة لمعادلات الدرجة الثانية. ^[41] بدأ كتاب جان دي ويت Elementa Curvarum Linearum، الذي كتب في وقت سابق، ولكن نُشر لاحقًا، بالبناء الحركي للمخروطيات الذي وضعه كبلر ثم طور المعادلات الجبرية. وُصف هذا العمل، الذي يستخدم منهجية فيرما وترميز ديكارت، بأنه أول كتاب مدرسي حول هذا الموضوع. ^[42] اخترع دي ويت مصطلح "الدليل". ^[42]

تعتبر المقاطع المخروطية مهمة في علم الفلك : فمدارات جسمين ضخمين يتفاعلان وفقًا لقانون نيوتن للجاذبية الكونية تكون مقاطع مخروطية إذا اعتبرنا أن مركز كتلتهما المشترك في حالة سكون. وإذا كانا مرتبطين ببعضهما البعض، فسوف يرسمان قطعًا ناقصًا؛ وإذا كانا يتحركان بعيدًا، فسوف يتبعان قطعًا مكافئة أو قطعًا زائدة. انظر مسألة الجسمين .

تُستخدم الخواص العاكسة للمقاطع المخروطية في تصميم كشافات الضوء والتلسكوبات الراديوية وبعض التلسكوبات البصرية. ^[43] يستخدم كشاف الضوء مرآة مكافئة كعاكس، مع وجود لمبة عند البؤرة؛ ويُستخدم تصميم مماثل للميكروفون المكافئ . يستخدم تلسكوب هيرشل البصري الذي يبلغ طوله 4.2 متر في لا بالما، في جزر الكناري، مرآة مكافئة أولية لعكس الضوء نحو مرآة زائدية ثانوية، والتي تعكسه مرة أخرى إلى بؤرة خلف المرآة الأولى.

تتمتع المقاطع المخروطية ببعض الخصائص المتشابهة جدًا في المستوى الإقليدي وتصبح أسباب ذلك أكثر وضوحًا عند النظر إلى المقاطع المخروطية من منظور هندسة أكبر. قد يكون المستوى الإقليدي مُضمنًا في المستوى الإسقاطي الحقيقي ويمكن اعتبار المقاطع المخروطية كأشياء في هذه الهندسة الإسقاطية. إحدى الطرق للقيام بذلك هي تقديم إحداثيات متجانسة وتعريف المخروط بأنه مجموعة النقاط التي تُرضي إحداثياتها معادلة تربيعية غير قابلة للاختزال في ثلاثة متغيرات (أو ما يعادلها، أصفار الشكل التربيعي غير القابل للاختزال ). من الناحية الفنية، تسمى مجموعة النقاط التي تكون أصفارًا في الشكل التربيعي (في أي عدد من المتغيرات) مقطعًا تربيعيًا ، وتُسمى المقاطع التربيعية غير القابلة للاختزال في فضاء إسقاطي ثنائي الأبعاد (أي، يحتوي على ثلاثة متغيرات) تقليديًا بالمخروطيات.

يتم تضمين المستوى الإقليدي R ² في المستوى الإسقاطي الحقيقي عن طريق ربط خط عند اللانهاية (ونقاطه المقابلة عند اللانهاية ) بحيث تلتقي جميع خطوط الفئة الموازية على هذا الخط. من ناحية أخرى، بدءًا من المستوى الإسقاطي الحقيقي، يتم الحصول على المستوى الإقليدي عن طريق تمييز بعض الخطوط كخط عند اللانهاية وإزالتها وإزالة جميع نقاطها.

في الفضاء الإسقاطي فوق أي حلقة تقسيم، ولكن بشكل خاص فوق الأعداد الحقيقية أو المركبة، تكون جميع المخروطيات غير المتحللة متكافئة، وبالتالي في الهندسة الإسقاطية نتحدث عن "مخروطي" دون تحديد نوع. أي أن هناك تحويل إسقاطي سيربط أي مخروطي غير متحلل بأي مخروطي غير متحلل آخر. ^[44]

ستظهر الأنواع الثلاثة من المقاطع المخروطية مرة أخرى في المستوى الأفيني الذي تم الحصول عليه باختيار خط من الفضاء الإسقاطي ليكون الخط عند اللانهاية. ثم يتم تحديد الأنواع الثلاثة من خلال كيفية تقاطع هذا الخط عند اللانهاية مع المخروط في الفضاء الإسقاطي. في الفضاء الأفيني المقابل، نحصل على قطع ناقص إذا لم يتقاطع المخروط مع الخط عند اللانهاية، وقطع مكافئ إذا تقاطع المخروط مع الخط عند اللانهاية في نقطة مزدوجة واحدة تتوافق مع المحور، وقطع زائد إذا تقاطع المخروط مع الخط عند اللانهاية في نقطتين تتوافقان مع الخطوط المقاربة. ^[45]

في الإحداثيات المتجانسة، يمكن تمثيل المقطع المخروطي على النحو التالي:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

أو في تدوين المصفوفة

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

المصفوفة 3 × 3 أعلاه تسمى مصفوفة المقطع المخروطي .

يفضل بعض المؤلفين كتابة المعادلة المتجانسة العامة على النحو التالي

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

(أو بعض الاختلافات في هذا) بحيث تكون مصفوفة المقطع المخروطي ذات الشكل الأبسط،

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

ولكن هذا الترميز لم يستخدم في هذه المقالة. ^[ج]

إذا كان محدد مصفوفة المقطع المخروطي يساوي صفرًا، يكون المقطع المخروطي متدهورًا.

نظرًا لأن ضرب جميع المعاملات الستة بنفس المقياس غير الصفري ينتج عنه معادلة بنفس مجموعة الأصفار، فيمكننا اعتبار المخروطيات، الممثلة بـ ( A ، B ، C ، D ، E ، F ) كنقط في الفضاء الإسقاطي الخماسي الأبعاد ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

لا يمكن توسيع المفاهيم المترية للهندسة الإقليدية (المفاهيم المعنية بقياس الأطوال والزوايا) على الفور لتشمل المستوى الإسقاطي الحقيقي. ^[د] يجب إعادة تعريفها (وتعميمها) في هذه الهندسة الجديدة. يمكن القيام بذلك لأي مستوى إسقاطي ، ولكن للحصول على المستوى الإسقاطي الحقيقي كمستوى إقليدي ممتد، يجب اتخاذ بعض الخيارات المحددة. ^[46]

حدد خطًا عشوائيًا في المستوى الإسقاطي يشار إليه بالخط المطلق . حدد نقطتين متميزتين على الخط المطلق وأشر إليهما كنقطتين مطلقتين . يمكن تعريف العديد من المفاهيم المترية بالإشارة إلى هذه الخيارات. على سبيل المثال، إذا كان هناك خط يحتوي على النقطتين A و B ، فإن نقطة منتصف القطعة المستقيمة AB تُعرف بأنها النقطة C وهي المترافق التوافقي الإسقاطي لنقطة تقاطع AB والخط المطلق، بالنسبة إلى A و B.

يُطلق على المخروط الموجود في المستوى الإسقاطي والذي يحتوي على نقطتين مطلقتين اسم الدائرة . ونظرًا لأن خمس نقاط تحدد المخروط، فإن الدائرة (التي قد تكون متحللة) يتم تحديدها بثلاث نقاط. للحصول على المستوى الإقليدي الممتد، يتم اختيار الخط المطلق ليكون الخط عند ما لا نهاية للمستوى الإقليدي والنقطتان المطلقتان هما نقطتان خاصتان على هذا الخط تسمى النقاط الدائرية عند ما لا نهاية . لا تمر الخطوط التي تحتوي على نقطتين بإحداثيات حقيقية عبر النقاط الدائرية عند ما لا نهاية، لذلك في المستوى الإقليدي، يتم تحديد الدائرة، وفقًا لهذا التعريف، بثلاث نقاط ليست على خط واحد . ^[47]

وقد ذُكر أن الدوائر في المستوى الإقليدي لا يمكن تعريفها بخاصية البؤرة-الدليل. ومع ذلك، إذا اعتبرنا الخط عند اللانهاية بمثابة الدليل، فعند أخذ الانحراف ليكون e = 0 ، ستتمتع الدائرة بخاصية البؤرة-الدليل، لكنها لا تزال غير محددة بهذه الخاصية. ^[48] يجب أن نكون حذرين في هذا الموقف لاستخدام تعريف الانحراف بشكل صحيح كنسبة مسافة نقطة على الدائرة إلى البؤرة (طول نصف القطر) إلى مسافة تلك النقطة إلى الدليل (هذه المسافة لا نهائية) مما يعطي القيمة الحدية صفرًا.

قدم جاكوب شتاينر في عام 1867 نهجًا تركيبيًا (خاليًا من الإحداثيات) لتحديد المقاطع المخروطية في المستوى الإسقاطي .

• إذا أعطينا قلمين من الخطوط عند نقطتين (كل الخطوط تحتوي على و على التوالي) ورسم إسقاطي ولكن ليس منظورًا لـ على . فإن نقاط تقاطع الخطوط المقابلة تشكل مقطعًا مخروطيًا إسقاطيًا غير متحلل. ^{[49] [50] [51] [52]}${\displaystyle B(U),B(V)}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$

إن رسم المنظور لقلم رصاص على قلم رصاص هو تطابق (مطابقة 1-1) بحيث تتقاطع الخطوط المتناظرة على خط ثابت ، والذي يسمى محور المنظور . ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi }$

إن التخطيط الإسقاطي هو عبارة عن سلسلة محدودة من التخطيطات المنظورية.

نظرًا لأن رسم الخرائط الإسقاطية في المستوى الإسقاطي فوق حقل ( المستوى البابي ) يتم تحديده بشكل فريد من خلال وصف صور ثلاثة خطوط، ^[53] لتوليد شتاينر للمقطع المخروطي، بالإضافة إلى نقطتين فقط، يجب تقديم صور ثلاثة خطوط. تحدد هذه العناصر الخمسة (نقطتان، ثلاثة خطوط) المقطع المخروطي بشكل فريد. ${\displaystyle U,V}$

وفقًا لمبدأ الثنائية في المستوى الإسقاطي، فإن ثنائي كل نقطة هو خط، ويسمى ثنائي محل النقاط (مجموعة من النقاط التي تلبي شرطًا ما) غلافًا من الخطوط. باستخدام تعريف شتاينر للمخروطي (سيتم الإشارة إلى محل النقاط هذا الآن باسم مخروطي نقطة ) باعتباره التقاء الأشعة المقابلة لقلمين رصاصيين مرتبطين، فمن السهل إجراء الثنائية والحصول على الغلاف المقابل المكون من وصلات النقاط المقابلة لنطاقين مرتبطين (نقطتين على خط) على قواعد مختلفة (الخطوط التي توجد عليها النقاط). يسمى هذا الغلاف مخروطي خطي (أو مخروطي مزدوج).

في المستوى الإسقاطي الحقيقي، تتمتع النقطة المخروطية بخاصية أن كل خط يلتقي بها في نقطتين (قد تتطابقان، أو قد تكونان معقدتين) وأي مجموعة من النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية هي نقطة مخروطية. ويترتب على ذلك بشكل ثنائي أن يكون للمخروطي المستقيم خطان من خطوطه عبر كل نقطة وأي غلاف من الخطوط التي تتمتع بهذه الخاصية هو مخروطي مستقيم. وفي كل نقطة من النقطة المخروطية يوجد خط مماس فريد، وبشكل ثنائي، يوجد على كل خط من الخط المخروطي المستقيم نقطة فريدة تسمى نقطة تماس . تنص نظرية مهمة على أن الخطوط المماسية للنقطة المخروطية تشكل خطًا مخروطيًا، وبشكل ثنائي، تشكل نقاط تماس الخط المخروطي المستقيم نقطة مخروطية. ^[54]

عرّف كارل جورج كريستيان فون ستودت المخروط بأنه مجموعة النقاط المعطاة بواسطة جميع النقاط المطلقة لقطبية لها نقاط مطلقة. قدم فون ستودت هذا التعريف في كتابه هندسة المكان (1847) كجزء من محاولته لإزالة جميع المفاهيم المترية من الهندسة الإسقاطية.

القطبية π للمستوى الإسقاطي P هي تقابل غير إرادي بين نقاط وخطوط P التي تحافظ على علاقة السقوط . وبالتالي، فإن القطبية تربط نقطة Q بالخط q بواسطة π ( Q ) = q و π ( q ) = Q. وفقًا لـ Gergonne، تسمى q قطب Q و Q قطب q . [ 55 ] النقطة المطلقة ( أو الخط ) للقطبية هي النقطة التي ^تقع مع قطبها ( قطبها ) . [ ^e]

مخروط فون ستودت في المستوى الإسقاطي الحقيقي يعادل مخروط شتاينر . ^[56]

لا يمكن إنشاء قوس متصل لمخروطي باستخدام المسطرة والبوصلة. ومع ذلك، هناك العديد من الطرق لإنشاء مسطرة وبوصلة لأي عدد من النقاط الفردية على القوس.

يعتمد أحدها على عكس نظرية باسكال، أي إذا كانت نقاط تقاطع الأضلاع المتقابلة للسداسي متوازية في خط مستقيم، فإن الرؤوس الستة تقع على مخروط. على وجه التحديد، إذا أعطيت خمس نقاط، A و B و C و D و E ومستقيم يمر عبر E ، لنقل EG ، فيمكن إنشاء نقطة F تقع على هذا الخط وتقع على المخروط المحدد بواسطة النقاط الخمس. دع AB يلتقي DE في L و BC يلتقي EG في M ودع CD يلتقي LM في N. ثم يلتقي AN مع EG عند النقطة المطلوبة F. ^[57] من خلال تغيير الخط عبر E ، يمكن إنشاء أكبر عدد ممكن من النقاط الإضافية على المخروط حسب الرغبة.

هناك طريقة أخرى، تعتمد على بناء شتاينر وهي مفيدة في التطبيقات الهندسية، وهي طريقة متوازي الأضلاع، حيث يتم إنشاء مخروط نقطة بنقطة عن طريق ربط نقاط معينة متباعدة بشكل متساوٍ على خط أفقي وخط رأسي. ^[58] على وجه التحديد، لإنشاء القطع الناقص باستخدام المعادلة ⁠× ²/أ ²+​​سنة ²/ب ²= 1 ، قم أولاً بإنشاء المستطيل ABCD برؤوس A ( a ، 0)، و B ( a ، 2b ) ، و C (−a ، 2b ) و D ( −a ، 0) . قسّم الضلع BC إلى n قطعة متساوية واستخدم الإسقاط الموازي، بالنسبة للقطر AC ، لتكوين قطع متساوية على الضلع AB (ستكون أطوال هذه القطع ⁠ب/أ⁠ مرات طول القطع على BC ). على الجانب BC، قم بتسمية نقاط النهاية اليسرى للقطع مع A ₁ إلى A _n بدءًا من B ومتجهًا نحو C . على الجانب AB، قم بتسمية نقاط النهاية العلوية D ₁ إلى D _n بدءًا من A ومتجهًا نحو B . ستكوننقاط التقاطع، AA _i ∩ DD _i لـ 1 ≤ i ≤ n نقاط القطع الناقص بين A و P (0، b ) . يربط التصنيف خطوط القلم الرصاص عبر A بخطوط القلم الرصاص عبر D بشكل إسقاطي ولكن ليس بشكل منظور. يتم الحصول على المخروط المطلوب من خلال هذا البناء حيث أن ثلاث نقاط A و D و P وظلان (الخطوط الرأسية عند A و D ) تحدد المخروط بشكل فريد. إذا تم استخدام قطر آخر (وقطره المترافق) بدلاً من المحورين الرئيسي والثانوي للقطع الناقص، فسيتم استخدام متوازي أضلاع ليس مستطيلًا في البناء، مما يعطي اسم الطريقة. يمكن توسيع ارتباط خطوط الأقلام للحصول على نقاط أخرى على القطع الناقص. إن إنشاءات القطع الزائد ^[59] والقطع المكافئ ^[60] متشابهة.

هناك طريقة عامة أخرى تستخدم خاصية القطبية لبناء الغلاف المماس للمخروطي (المخروطي الخطي). ^[61]

في المستوى المركب C ² ، القطع الناقص والقطع الزائد غير متميزين: يمكن للمرء أن يعتبر القطع الزائد قطعًا ناقصًا بطول محور وهمي. على سبيل المثال، يصبح القطع الناقص قطعًا زائدًا تحت الاستبدال هندسيًا لدوران معقد، مما ينتج عنه . وبالتالي، يوجد تصنيف ثنائي الاتجاه: القطع الناقص/القطع الزائد والقطع المكافئ. بتمديد المنحنيات إلى المستوى الإسقاطي المركب، يتوافق هذا مع تقاطع الخط عند اللانهاية إما في نقطتين متميزتين (تقابلان مقاربتين) أو في نقطة مزدوجة واحدة (تقابل محور القطع المكافئ)؛ وبالتالي فإن القطع الزائد الحقيقي هو صورة حقيقية أكثر إيحاءً للقطع الناقص/القطع الزائد المركب، لأنه يحتوي أيضًا على تقاطعين (حقيقيين) مع الخط عند اللانهاية. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle y=iw,}$${\displaystyle x^{2}-w^{2}=1}$

يحدث مزيد من التوحيد في المستوى الإسقاطي المعقد CP ² : لا يمكن تمييز المخروطيات غير المتحللة عن بعضها البعض، حيث يمكن أخذ أي منها إلى أي أخرى عن طريق تحويل خطي إسقاطي .

يمكن إثبات أنه في CP ² ، يكون لمقطعين مخروطيين أربع نقاط مشتركة (إذا أخذنا في الاعتبار التعدد )، وبالتالي يكون هناك ما بين 1 و4 نقاط تقاطع . احتمالات التقاطع هي: أربع نقاط مميزة، ونقطتان مفردتان ونقطة مزدوجة واحدة، ونقطتان مزدوجتان، ونقطة مفردة واحدة وواحدة ذات تعدد 3، ونقطة واحدة ذات تعدد 4. إذا كانت أي نقطة تقاطع ذات تعدد > 1، يقال إن المنحنيين مماسين . إذا كانت هناك نقطة تقاطع ذات تعدد 3 على الأقل، يقال إن المنحنيين متأرجحان . إذا كانت هناك نقطة تقاطع واحدة فقط، ذات تعدد 4، يقال إن المنحنيين متأرجحان بشكل فائق . ^[62]

علاوة على ذلك، يتقاطع كل خط مستقيم مع كل مقطع مخروطي مرتين. إذا كانت نقطة التقاطع مزدوجة، يكون الخط خط مماس . عند تقاطع الخط مع ما لا نهاية، يكون لكل مقطع مخروطي نقطتان عند ما لا نهاية. إذا كانت هاتان النقطتان حقيقيتان، يكون المنحنى قطعًا زائدًا ؛ إذا كانت مترافقات وهمية، يكون قطعًا ناقصًا ؛ إذا كانت هناك نقطة مزدوجة واحدة فقط، تكون قطعًا مكافئًا . إذا كانت النقاط عند ما لا نهاية هي النقاط الدائرية [1: i : 0] و [1: – i : 0] ، يكون المقطع المخروطي دائرة . إذا كانت معاملات المقطع المخروطي حقيقية، تكون النقاط عند ما لا نهاية إما مترافقة حقيقية أو مركبة .

يعتمد ما يجب اعتباره حالة منحلة للمخروط على التعريف المستخدم والإعداد الهندسي للمقطع المخروطي. هناك بعض المؤلفين الذين يعرّفون المخروط بأنه رباعي غير منحل ثنائي الأبعاد. مع هذا المصطلح لا توجد مخروطات منحلة (فقط رباعيات منحلة)، ولكننا سنستخدم المصطلحات الأكثر تقليدية ونتجنب هذا التعريف.

في المستوى الإقليدي، باستخدام التعريف الهندسي، تنشأ حالة منحلة عندما يمر المستوى القاطع عبر قمة المخروط. يكون المخروط المتحلل إما: نقطة ، عندما يتقاطع المستوى مع المخروط فقط عند القمة؛ أو خط مستقيم ، عندما يكون المستوى مماسًا للمخروط (يحتوي على مولد واحد فقط للمخروط)؛ أو زوج من الخطوط المتقاطعة (مولدان للمخروط). ^[63] تتوافق هذه على التوالي مع الأشكال المحددة للقطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد.

إذا تم تعريف مخروط في المستوى الإقليدي بأصفار معادلة تربيعية (أي كمخروط تربيعي)، فإن المخروطيات المتدهورة هي: المجموعة الفارغة ، أو نقطة، أو زوج من الخطوط التي قد تكون متوازية أو متقاطعة عند نقطة أو متطابقة. قد تتوافق حالة المجموعة الفارغة إما مع زوج من الخطوط المتوازية المركبة المترافقة كما هو الحال مع المعادلة أو مع قطع ناقص وهمي ، كما هو الحال مع المعادلة لا يفي القطع الناقص الوهمي بالتعريف العام للانحطاط ، وبالتالي لا يُعتبر عادةً متدهورًا. ^[64] تحدث حالة الخطين عندما يتحلل التعبير التربيعي إلى عاملين خطيين، حيث تعطي أصفار كل منهما خطًا. في حالة تساوي العاملين، تتطابق الخطوط المقابلة ونشير إلى الخط كخط مزدوج (خط ذو مضاعفات 2) وهذه هي الحالة السابقة لمستوى القطع المماس. ${\displaystyle x^{2}+1=0,}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0.}$

في المستوى الإسقاطي الحقيقي، بما أن الخطوط المتوازية تلتقي عند نقطة على الخط عند اللانهاية، يمكن اعتبار حالة الخطوط المتوازية في المستوى الإقليدي كخطوط متقاطعة. ومع ذلك، نظرًا لأن نقطة التقاطع هي قمة المخروط، فإن المخروط نفسه يتحلل إلى أسطوانة ، أي بقمة عند اللانهاية. تسمى الأقسام الأخرى في هذه الحالة أقسامًا أسطوانية . ^[65] الأقسام الأسطوانية غير المتحللة هي قطع ناقص (أو دوائر).

عند النظر إليها من منظور المستوى الإسقاطي المركب، يمكن اعتبار الحالات المتدهورة للمعادلة التربيعية الحقيقية (أي أن المعادلة التربيعية لها معاملات حقيقية) جميعها زوجًا من الخطوط، وربما تتطابق. قد تكون المجموعة الفارغة هي الخط عند اللانهاية الذي يُعتبر خطًا مزدوجًا، والنقطة (الحقيقية) هي تقاطع خطين مترافقين مركبين والحالات الأخرى كما ذكرنا سابقًا.

لتمييز الحالات المتدهورة عن الحالات غير المتدهورة (بما في ذلك المجموعة الفارغة مع الأخيرة) باستخدام تدوين المصفوفة، دع β يكون محدد مصفوفة 3 × 3 للمقطع المخروطي - أي β = ( AC − ⁠ب ²/4) ف +​​BED − CD ² − AE ²/4⁠ ؛ وليكنالمميز α = B ² − 4 AC . عندئذٍ يكون المقطع المخروطي غير منحط إذا وفقط إذا كان β ≠ 0. إذا كان β = 0 فلدينا نقطة عندما تكون α < 0 ، أو خطان متوازيان (ربما يتطابقان) عندما تكون α = 0 ، أو خطان متقاطعان عندما تكون α > 0. [ ^66]

يتم تحديد المخروط (غير المتحلل) تمامًا من خلال خمس نقاط في موضع عام (لا يوجد ثلاث نقاط متوازية ) في المستوى، ويُطلق على نظام المخروطيات التي تمر عبر مجموعة ثابتة من أربع نقاط (مرة أخرى في مستوى ولا يوجد ثلاث نقاط متوازية) اسم قلم المخروطيات . ^[67] تُسمى النقاط الأربع المشتركة نقاط قاعدة القلم. يمر مخروط واحد من القلم عبر أي نقطة بخلاف نقطة القاعدة. يعمم هذا المفهوم قلم الدوائر . ^[68]

يمكن اعتبار حلول نظام مكون من معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين بمثابة إحداثيات نقاط تقاطع مقطعين مخروطيين عامّين. وعلى وجه الخصوص، قد لا يمتلك مقطعان مخروطيان أي نقطة تقاطع، أو قد يمتلكان نقطتي تقاطع متزامنتين أو أربع نقاط تقاطع متزامنة. وتستغل إحدى الطرق الفعّالة لتحديد هذه الحلول التمثيل المصفوفي المتجانس للمقاطع المخروطية ، أي مصفوفة متماثلة 3 × 3 تعتمد على ستة معلمات.

تتبع عملية تحديد نقاط التقاطع الخطوات التالية، حيث يتم تمثيل المخروطيات بواسطة المصفوفات: ^[69]

• بالنظر إلى المخروطيين و ، ضع في اعتبارك قلم الرصاص للمخروطيين المعطى بواسطة تركيبتهما الخطية${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}.}$
• حدد المعلمات المتجانسة التي تتوافق مع المخروط المنحني للقلم الرصاص. ويمكن القيام بذلك عن طريق فرض الشرط و حل و . وتبين أن هذه هي حلول معادلة من الدرجة الثالثة.${\displaystyle [\lambda :\mu ]}$${\displaystyle \det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$
• بالنظر إلى المخروط المتدهور ، حدد الخطين المتطابقين اللذين يشكلانه.${\displaystyle C_{0}}$
• يتقاطع كل خط تم تحديده مع أحد المخروطيين الأصليين.
• ستمثل نقاط التقاطع الحلول لنظام المعادلات الأولية.

يمكن تعريف المخروطيات على حقول أخرى (أي في هندسات بابية أخرى ). ومع ذلك، يجب توخي بعض الحذر عندما يكون للحقل الخاصية 2، حيث لا يمكن استخدام بعض الصيغ. على سبيل المثال، تتطلب تمثيلات المصفوفة المستخدمة أعلاه القسمة على 2.

التعميم الخاص بالمخروط غير المتحلل في المستوى الإسقاطي هو الشكل البيضاوي . الشكل البيضاوي هو مجموعة من النقاط لها الخصائص التالية، والتي تتمتع بها المخروطيات: 1) أي خط يتقاطع مع شكل بيضاوي في أي نقطة، أو في نقطة واحدة أو نقطتين، 2) يوجد في أي نقطة من الشكل البيضاوي خط مماس فريد.

يؤدي تعميم خصائص التركيز للمخروطيات إلى الحالة التي يوجد فيها أكثر من بؤرتين إلى إنتاج مجموعات تسمى المخروطيات المعممة .

تقاطع المخروط الإهليلجي مع الكرة هو مخروط كروي ، والذي يشترك في العديد من الخصائص مع المخروطيات المستوية.

إن التصنيف إلى إهليلجي ومكافئ وزيادي منتشر في الرياضيات، وغالبًا ما يقسم المجال إلى حقول فرعية متميزة بشكل حاد. ينشأ التصنيف في الغالب بسبب وجود شكل تربيعي (في متغيرين يتوافق هذا مع المميز المرتبط )، ولكن يمكن أن يتوافق أيضًا مع الانحراف.

تصنيفات الشكل التربيعي:

الأشكال التربيعية

يتم تصنيف الأشكال التربيعية على الأعداد الحقيقية حسب قانون سيلفستر للقصور الذاتي ، أي حسب الفهرس الموجب، والفهرس الصفري، والفهرس السالب: يمكن تحويل الشكل التربيعي في المتغيرات إلى شكل قطري ، حيث يكون عدد المعاملات +1، هو الفهرس الموجب، وعدد المعاملات -1، هو الفهرس السالب، والمتغيرات المتبقية هي الفهرس الصفري، وبالتالي في متغيرين يتم تصنيف الأشكال التربيعية غير الصفرية على النحو التالي: ${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle \ell ,}$${\displaystyle m,}$${\displaystyle k+\ell +m=n.}$

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$- موجب محدد (السالب متضمن أيضًا)، يتوافق مع القطع الناقص،
• ${\displaystyle x^{2}}$- متدهور، يتوافق مع القطع المكافئ، و
• ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$- غير محدد، يتوافق مع القطع الزائد.

في متغيرين، يتم تصنيف الأشكال التربيعية حسب المميز، على غرار المخروطيات، ولكن في الأبعاد الأعلى يكون التصنيف الأكثر فائدة هو المحدد (كلها موجبة أو كلها سالبة)، أو متدهور (بعض الأصفار)، أو غير المحدد (مزيج من الموجب والسالب ولكن بدون أصفار). هذا التصنيف يشكل أساس العديد من التصنيفات التالية.

انحناء

يصف الانحناء الغاوسي لسطح ما الهندسة اللانهائية في الصغر، وقد يكون عند كل نقطة إما موجبًا - هندسة إهليلجية ، أو صفرًا - هندسة إقليدية (مسطحة، قطع مكافئ)، أو سالبًا - هندسة زائدية ؛ وبشكل لانهائي في الصغر، حتى الدرجة الثانية، يبدو السطح مثل الرسم البياني لـ (أو 0)، أو . في الواقع، وفقًا لنظرية التوحيد، يمكن اعتبار كل سطح عالميًا (عند كل نقطة) منحنيًا بشكل إيجابي أو مسطحًا أو منحنيًا سلبًا. في الأبعاد الأعلى، يكون موتر انحناء ريمان كائنًا أكثر تعقيدًا، ولكن المتشعبات ذات الانحناء المقطعي الثابت هي كائنات مثيرة للاهتمام للدراسة، ولها خصائص مختلفة بشكل لافت للنظر، كما تمت مناقشته في الانحناء المقطعي .${\displaystyle x^{2}+y^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

معادلات تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية

تُصنَّف المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية عند كل نقطة على أنها إهليلجية أو مكافئية أو زائدية، وفقًا لما تتوافق معه حدود الدرجة الثانية من المعادلات التفاضلية الجزئية من شكل تربيعي إهليلجي أو مكافئي أو زائدي. يختلف سلوك ونظرية هذه الأنواع المختلفة من المعادلات التفاضلية الجزئية بشكل ملحوظ - ومن الأمثلة التمثيلية على ذلك أن معادلة بواسون إهليلجية، ومعادلة الحرارة مكافئية، ومعادلة الموجة زائدية.

تتضمن تصنيفات الانحراف ما يلي :

تحولات موبيوس

يتم تصنيف تحويلات موبيوس الحقيقية (عناصر PSL ₂ ( R ) أو غلافها ثنائي الطي، SL ₂ ( R ) ) على أنها إهليلجية، أو مكافئة، أو زائدية وفقًا لنصف أثرها أو انعكاس التصنيف حسب الانحراف.${\displaystyle 0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2=1,}$${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2>1,}$

نسبة التباين إلى المتوسط

تصنف نسبة التباين إلى المتوسط ​​عدة عائلات مهمة من توزيعات الاحتمالات المنفصلة : التوزيع الثابت على أنه دائري (الانحراف 0)، والتوزيعات ثنائية الحدين على أنها إهليلجية، وتوزيعات بواسون على أنها مكافئة، والتوزيعات ثنائية الحدين السالبة على أنها زائدية. يتم شرح ذلك في تراكمات بعض توزيعات الاحتمالات المنفصلة .

• المقاطع المخروطية البؤرية
• مخروطي وغير مخروطي
• دائرة المدير
• نظام الإحداثيات الإهليلجية
• مجموعة متساوية البعد
• إحداثيات مكافئة
• دالة تربيعية
• مخروطي كروي

• أكوبيان، إيه في؛ زاسلافسكي، إيه إيه (2007). هندسة المخروطيات . الجمعية الرياضية الأمريكية . رقم ISBN 978-0-8218-4323-9.
• أرتزي، رافائيل (2008) [1965]، الهندسة الخطية ، دوفر، رقم ISBN 978-0-486-46627-9
• بوير، كارل ب. (2004) [1956]، تاريخ الهندسة التحليلية، دوفر، رقم ISBN 978-0-486-43832-0
• برينان، ديفيد أ.؛ إسبلين، ماثيو ف.؛ جراي، جيريمي ج. (1999)، الهندسة، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-59787-6
• كوكستر، إتش إس إم (1964)، الهندسة الإسقاطية، بلايزديل، رقم ISBN 9780387406237
• كوكستر، إتش إس إم (1993)، المستوى الإسقاطي الحقيقي ، سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا
• داونز، جيه دبليو (2003) [1993]، المقاطع المخروطية العملية: الخصائص الهندسية للمجسمات البيضاوية، والمكافئات، والقطع الزائد، دوفر، رقم ISBN 0-486-42876-1
• إيفز، هوارد (1963)، دراسة في الهندسة (المجلد الأول) ، بوسطن: ألين وبيكون
• جلايسر، جورج؛ ستاشيل، هلموت؛ أودينال، بوريس (2016)، عالم المخروطيات: من الإغريق القدماء إلى تطورات القرن الحادي والعشرين ، برلين: سبرينغر
• هارتمان، إيريش، هندسة الدوائر المستوية، مقدمة إلى مستويات موبيوس ولاغير ومينكوفسكي (PDF) ، تم الاسترجاع في 20 سبتمبر 2014(PDF؛ 891 كيلو بايت).
• كاتز، فيكتور ج. (1998)، تاريخ الرياضيات / مقدمة (الطبعة الثانية)، أديسون ويسلي لونجمان، ISBN 978-0-321-01618-8
• كينديج، كيث (2005)، المخروطيات ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-88385-335-1
• فوكنر، تي إي (1952)، الهندسة الإسقاطية (الطبعة الثانية)، إدنبرة: أوليفر وبويد، رقم ISBN 9780486154893
• ميرسيرف، بروس إي. (1983) [1959]، المفاهيم الأساسية للهندسة، دوفر، رقم ISBN 0-486-63415-9
• بروتر، موراي هـ.؛ موري، تشارلز ب. الابن. (1970)، حساب التفاضل والتكامل الجامعي مع الهندسة التحليلية (الطبعة الثانية)، ريدينغ: أديسون ويسلي ، LCCN  76087042
• ريختر-جيبرت، يورجن (2011). وجهات نظر حول الهندسة الإسقاطية: جولة إرشادية عبر الهندسة الحقيقية والمعقدة . سبرينغر. رقم ISBN 9783642172854.
• صموئيل، بيير (1988)، الهندسة الإسقاطية ، نصوص جامعية في الرياضيات (قراءات في الرياضيات)، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-96752-4
• توماس، جورج ب.؛ فيني، روس ل. (1979)، حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية (الطبعة الخامسة)، أديسون ويسلي، ص. 434، ISBN 0-201-07540-7
• ويلسون، دبليو إيه؛ تريسي، جي آي (1925)، الهندسة التحليلية (الطبعة المنقحة)، دي سي هيث آند كومباني

• وايسشتاين، إريك دبليو. "القسم المخروطي". MathWorld .
• حدوث المخروطيات. المخروطيات في الطبيعة وفي أماكن أخرى.