تزايد عدد الطلاب

في الإحصاء ، تُعرف عملية "التقسيم على أساس متوسط ​​العينة" ( Studentization )، نسبةً إلى ويليام سيلي جوسيت الذي كتب تحت اسم مستعار هو " الطالب" (Student )، بأنها عملية قسمة إحصائية مُستمدة من عينة (مثل متوسط ​​العينة) على تقدير قائم على العينة للانحراف المعياري للمجتمع . على عكس "التطبيع" (normalization)، حيث يكون البسط فقط غير مؤكد، فإن التقسيم على أساس متوسط ​​العينة يكون فيه كل من البسط والمقام غير مؤكدين، وعادةً (أي في ظل افتراضات التوزيع الطبيعي) يتبع توزيع Student-T. يُستخدم المصطلح أيضًا لتوحيد إحصائية ذات درجة أعلى بواسطة إحصائية أخرى من نفس الدرجة: ^{[ 1 ] [ 2 ]} على سبيل المثال، يتم توحيد تقدير العزم المركزي الثالث بقسمته على مكعب الانحراف المعياري للعينة.

بينما تتضمن عملية التقييس عادةً قسمة متغير مركزي على الانحراف المعياري المعروف للمجتمع (${\displaystyle \sigma }$)، يُشترط التماثل الطلابي عندما${\displaystyle \sigma }$غير معروف. مثال بسيط على ذلك هو عملية قسمة متوسط ​​العينة على انحرافها المعياري عندما تكون البيانات من عائلة بيانات مكانية-مقياسية . نتيجة "التطبيع" هي تبسيط تعقيد معالجة التوزيع الاحتمالي للمتوسط، الذي يعتمد على كل من معلمات الموقع والمقياس، إلى اعتبار توزيع يعتمد فقط على معلمة الموقع. مع ذلك، فإن استخدام الانحراف المعياري للعينة، بدلاً من الانحراف المعياري المجهول للمجتمع، يُعقّد العمليات الحسابية لإيجاد التوزيع الاحتمالي للإحصائية المُطَبَّعة. ولأن المقام نفسه متغير عشوائي يتذبذب من عينة إلى أخرى، فإن الإحصائية الناتجة عادةً ما تتبع توزيعًا أكثر انتشارًا، مثل توزيع t للطالب ، بدلاً من التوزيع الطبيعي القياسي .

إلى جانب الاختبارات الأساسية، يُعدّ استخدام الإحصاءات المعيارية أمرًا بالغ الأهمية في تشخيص الانحدار - عبر البواقي المعيارية - وفي المقارنات المتعددة ، حيث يُستخدم توزيع المدى المعياري للحفاظ على القوة الإحصائية مع التحكم في أخطاء النوع الأول . في الإحصاء الحاسوبي ، تُعتبر فكرة استخدام الإحصاءات المعيارية ذات أهمية في تطوير فترات الثقة ذات الخصائص المحسّنة في سياق إعادة التوزيع ، وخاصةً في عملية التمهيد . ^{[ 3 ]}

كان الدافع وراء تطوير مفهوم "التدريب العملي" هو الحاجة العملية إلى ضبط الجودة الصناعية خلال أوائل القرن العشرين. ويرتبط هذا المفهوم ارتباطًا وثيقًا بأعمال ويليام سيلي جوسيت ، الكيميائي والرياضي الذي درس في كلية نيو كوليدج بجامعة أكسفورد، وعمل في مصنع غينيس للجعة في دبلن. وقد واجه جوسيت مشاكل عملية في ضبط الجودة تتعلق بعينات صغيرة أثناء تحليل جودة المواد الخام مثل الشعير والجنجل.

في ذلك الوقت، كانت الأساليب الإحصائية السائدة، التي طورها كارل بيرسون إلى حد كبير ، تعتمد على مجموعات بيانات كبيرة حيث يكون الانحراف المعياري للمجتمع (${\displaystyle \sigma }$يمكن افتراض معرفة الانحراف المعياري للمجتمع. كان اختبار التوزيع الطبيعي المعياري (Z) شائع الاستخدام للاستدلال حول المتوسطات، ولكنه يتطلب معرفة الانحراف المعياري للمجتمع. مع ذلك، في السياقات الصناعية والمخبرية، غالبًا ما يكون تباين المجتمع غير معروف، ويتعين تقديره من العينة.

أدرك جوسيت أن استبدال الانحراف المعياري للمجتمع بالانحراف المعياري للعينة (${\displaystyle s}$أدى ذلك إلى تغيير توزيع إحصائية الاختبار، مما زاد من عدم اليقين، لا سيما عندما كانت أحجام العينات صغيرة جدًا. ولأن مصنع الجعة لم يكن بمقدوره سوى أخذ عينات صغيرة جدًا (غالبًا ما لا تتجاوز ثلاث أو أربع قياسات)، فقد قلل اختبار Z التقليدي باستمرار من تقدير الخطأ، مما أدى إلى استنتاجات خاطئة حول جودة الجعة.

لمعالجة هذه المشكلة، طوّر مجموعة من التوزيعات الاحتمالية التي أخذت هذا التباين الإضافي في الحسبان. نُشر عمله الرائد عام 1908 في مجلة Biometrika تحت اسم مستعار "Student" (بسبب سياسة غينيس في إبقاء الاكتشافات التقنية سرية)، مما أدى إلى ما يُعرف الآن بتوزيع Student's t . برزت عملية "Studentization" كآلية مركزية وراء هذا التعديل. لاحقًا، قام رونالد أ. فيشر بتطوير هذه الأفكار من خلال صياغة استخدام درجات الحرية ، عادةً${\displaystyle n-1}$والتي تحدد شكل توزيع t. ^{[ 4 ]}

في تحليل الانحدار ، تُعدّ البواقي المعيارية نوعًا من البواقي المعيارية، وهي مفيدة بشكل خاص لتحديد القيم الشاذة والملاحظات المؤثرة. في نموذج الانحدار الخطي النموذجي ، لا تتساوى جميع البواقي الخام (الفرق بين القيم المرصودة والقيم المتوقعة من النموذج) في التباين ، حتى لو كانت الأخطاء الأساسية متساوية في التباين. ويعود ذلك إلى أن تباين كل باقية يعتمد على " تأثير " نقطة البيانات المقابلة لها؛ فالنقاط الأبعد عن متوسط ​​المتغيرات المستقلة لها تأثير أكبر وتباين باقٍ أصغر.

لجعل البواقي قابلة للمقارنة وأسهل في التفسير، يستخدم الإحصائيون عملية التطبيع (studentization) لتسويتها. ويتم ذلك بقسمة كل قيمة باقية خام على تقدير لانحرافها المعياري. وهناك نوعان رئيسيان من البواقي المُطَبَّعة:

• البواقي المعيارية الداخلية : تستخدم هذه الطريقة تقديرًا للتباين بناءً على مجموعة البيانات بأكملها، بما في ذلك المشاهدة قيد الاختبار. ورغم فائدتها، إلا أن عيبها الرئيسي هو أن القيم المتطرفة قد تؤثر على النموذج، مما يؤدي إلى تضخيم تقدير التباين الكلي. يُعرف هذا بـ"التغطية"، حيث يجعل تأثير القيمة المتطرفة نفسها تبدو أقل تطرفًا مما هي عليه في الواقع. على سبيل المثال، في مجموعة بيانات تحتوي على قيمة متطرفة واحدة، قد تبدو البواقي المعيارية الداخلية معتدلة، بينما تكشفها البواقي المعيارية الخارجية بوضوح.
• البواقي المُعَدَّلة خارجيًا (المعروفة أيضًا بالبواقي المحذوفة ): للتغلب على تأثير الحجب، يتم استخدام التباين لـ${\displaystyle i}$يتم تقدير الباقي رقم -th عن طريق مطابقة النموذج مع مجموعة البيانات باستثناء${\displaystyle i}$الملاحظة رقم -th. وهذا يضمن عدم تلوث تقدير الخطأ الخاص بنقطة بيانات شاذة واحدة، مما يجعل هذه الطريقة أكثر حساسية بكثير لاكتشاف القيم الشاذة.

يُعد استخدام البواقي المعيارية جزءًا أساسيًا من تشخيصات الانحدار . ومن خلال رسم هذه البواقي مقابل القيم المتوقعة، يستطيع الباحثون التحقق مما إذا كانت افتراضات النموذج الخطي (مثل تجانس التباين ) صحيحة، أو ما إذا كانت نقاط بيانات محددة تشوه نتائج التحليل بأكمله.

إلى جانب أصولها التاريخية، يظهر مفهوم "التقسيم المعياري" في العديد من السياقات الإحصائية الحديثة، ولا يوجد سياق أكثر استخدامًا من "المدى المعياري". في الإحصاء، يُعرَّف المدى المعياري بأنه الفرق بين القيمتين القصوى والدنيا لعينة، مقسومًا على الخطأ المعياري المُقدَّر: q = (x_max − x_min) / s، حيث s هو الخطأ المعياري المُقدَّر للبيانات.

تُشكّل هذه الإحصائية أساس اختبار توكي HSD (الفرق المعنوي الصادق)، الذي يُتيح للباحثين مقارنة متوسطات عدة مجموعات لتحديد أيّها يختلف اختلافًا معنويًا عن الآخر. وبدون استخدام مقياس معياري، فإن مقارنة مجموعات متعددة ستزيد بشكل كبير من خطر الخطأ من النوع الأول (إيجاد فرق غير موجود). وباستخدام مقياس معياري، يُوفّر الاختبار عتبة ثابتة تُراعي عدد المجموعات المُقارنة، مما يضمن دقة مستوى الثقة الإجمالي للدراسة بأكملها.

في مجالات مثل علم الأحياء وعلم النفس، حيث تتضمن التجارب في كثير من الأحيان مجموعات علاجية متعددة، يوفر توزيع النطاق الموحد إطارًا أكثر قوة من إجراء اختبارات t الفردية المتعددة.

• نطاق الطلاب
• الباقي المُقاس بالطلاب

• الكمية المحورية