توازن مثالي في اللعبة الفرعية

في نظرية الألعاب ، يُعدّ توازن اللعبة الفرعية الأمثل ( SPE )، أو توازن ناش الأمثل في اللعبة الفرعية ( SPNE )، تطويرًا لمفهوم توازن ناش ، وهو مصمم خصيصًا للألعاب الديناميكية التي يتخذ فيها اللاعبون قرارات متسلسلة. يُعتبر ملف تعريف الاستراتيجية توازن لعبة فرعية مثاليًا إذا كان يُمثل توازن ناش في كل لعبة فرعية ممكنة من اللعبة الأصلية. بعبارة أخرى، يعني هذا أنه في أي مرحلة من مراحل اللعبة، يجب أن يُمثل سلوك اللاعبين من تلك المرحلة فصاعدًا توازن ناش في لعبة الاستمرار (أي في اللعبة الفرعية)، بغض النظر عما حدث سابقًا. يضمن هذا أن تكون الاستراتيجيات ذات مصداقية وعقلانية طوال اللعبة، مما يُزيل التهديدات غير المنطقية.

كل لعبة محدودة ذات نطاق واسع ومعلومات كاملة (يعرف جميع اللاعبين حالة اللعبة بالكامل) وذاكرة مثالية (يتذكر كل لاعب جميع أفعاله ومعرفته السابقة طوال اللعبة) لها توازن مثالي في اللعبة الفرعية. ^{[ 1 ]} إحدى الطرق الشائعة لإيجاد هذا التوازن في الألعاب المحدودة هي الاستقراء العكسي ، حيث يبدأ الباحث بتحليل آخر الإجراءات التي يجب على اللاعب الأخير اتخاذها لتعظيم منفعته ، ثم يعمل بشكل عكسي. مع أن الاستقراء العكسي طريقة شائعة لإيجاد التوازن المثالي في الألعاب المحدودة، إلا أنه لا ينطبق دائمًا على الألعاب ذات الآفاق اللانهائية، أو تلك التي تفتقر إلى المعلومات الكاملة أو غير التامة . في الألعاب ذات الآفاق اللانهائية، تُستخدم تقنيات أخرى، مثل مبدأ الانحراف لمرة واحدة ، للتحقق من التوازن المثالي.

يُحقق توازن اللعبة الفرعية المثالي بالضرورة مبدأ الانحراف لمرة واحدة ، وهو دائمًا مجموعة فرعية من توازنات ناش للعبة معينة. تُعد لعبة الإنذار النهائي مثالًا كلاسيكيًا على لعبة ذات توازنات فرعية مثالية أقل من توازنات ناش.

يوضح الشكل 1 أدناه كيفية تحديد توازن اللعبة الفرعية الأمثل باستخدام الاستقراء العكسي. استراتيجيات اللاعب 1 هي {Up, Uq, Dp, Dq}، بينما استراتيجيات اللاعب 2 هي {TL, TR, BL, BR}. يوجد في هذا المثال 4 ألعاب فرعية، منها 3 ألعاب فرعية أساسية.

باستخدام الاستقراء العكسي، سيتخذ اللاعبون الإجراءات التالية لكل لعبة فرعية:

• لعبة فرعية للإجراءات p و q: سيقوم اللاعب 1 باتخاذ الإجراء p مع العائد (3، 3) لزيادة عائد اللاعب 1 إلى أقصى حد، وبالتالي يصبح العائد للإجراء L (3،3).
• لعبة فرعية للإجراءات L و R: سيقوم اللاعب 2 باتخاذ الإجراء L من أجل 3 > 2، وبالتالي يصبح العائد من الإجراء D هو (3، 3).
• لعبة فرعية للإجراءات T و B: سيقوم اللاعب 2 باتخاذ الإجراء T لزيادة عائد اللاعب 2 إلى أقصى حد، وبالتالي يصبح العائد للإجراء U (1، 4).
• لعبة فرعية للإجراءات U و D: سيقوم اللاعب 1 باتخاذ الإجراء D لزيادة عائد اللاعب 1 إلى أقصى حد.

وبالتالي، فإن توازن اللعبة الفرعية المثالي هو {Dp, TL} مع العائد (3، 3).

يوضح الشكل 2 أدناه لعبة ذات شكل موسع بمعلومات غير كاملة. لاحظ أن عقدة اللاعب 1 التي تتضمن الإجراءين أ و ب، وجميع الإجراءات اللاحقة، تُشكل لعبة فرعية. أما عقد اللاعب 2 فلا تُشكل لعبة فرعية لأنها جزء من نفس مجموعة المعلومات.

تمثل اللعبة الأولى في شكلها الطبيعي تمثيلاً طبيعياً للعبة الكاملة في شكلها الموسع. وبناءً على المعلومات المتوفرة، فإن (UA, X) و(DA, Y) و(DB, Y) جميعها نقاط توازن ناش للعبة بأكملها.

اللعبة الثانية ذات الشكل الطبيعي هي تمثيل الشكل الطبيعي للعبة الفرعية التي تبدأ من العقدة الثانية للاعب 1 مع الإجراءات A و B. بالنسبة للعبة الثانية ذات الشكل الطبيعي، فإن توازن ناش للعبة الفرعية هو (A، X).

في اللعبة بأكملها، لا تُعتبر توازنات ناش (DA, Y) و(DB, Y) توازنات مثالية في اللعبة الفرعية، لأن حركة اللاعب الثاني لا تُشكّل توازن ناش. أما توازن ناش (UA, X) فهو مثالي في اللعبة الفرعية لأنه يتضمن توازن ناش في اللعبة الفرعية (A, X) كجزء من استراتيجيته. ^{[ 2 ]}

لحل هذه اللعبة، ابحث أولاً عن توازنات ناش من خلال أفضل استجابة متبادلة للعبة الفرعية 1. ثم استخدم الاستقراء العكسي وقم بالتعويض بـ (A,X) → (3,4) بحيث تصبح (3,4) هي العوائد للعبة الفرعية 2. ^{[ 2 ]}

يشير الخط المتقطع إلى أن اللاعب 2 لا يعرف ما إذا كان اللاعب 1 سيلعب A أو B في لعبة متزامنة.

يختار اللاعب الأول الخيار U بدلاً من D لأن 3 > 2 بالنسبة لعائد اللاعب الأول. ويكون التوازن الناتج هو (A, X) → (3,4).

وبالتالي، فإن التوازن الأمثل للعبة الفرعية من خلال الاستقراء العكسي هو (UA، X) مع العائد (3، 4).

في الألعاب ذات التكرار المحدود، إذا كانت مرحلة اللعبة تحتوي على توازن ناش فريد واحد فقط، فإن التوازن الأمثل في اللعبة الفرعية هو اللعب دون النظر إلى الأفعال السابقة، مع اعتبار اللعبة الفرعية الحالية لعبة لمرة واحدة. مثال على ذلك لعبة معضلة السجين ذات التكرار المحدود . تستمد معضلة السجين اسمها من موقف يتضمن متهمين اثنين. عند استجوابهما، يكون لديهما خياران: الصمت أو الإفصاح. إذا صمت كلاهما، يقضيان عقوبة قصيرة. إذا أفصح كلاهما، يقضيان عقوبة متوسطة. إذا اختارا خيارين متناقضين، فإن المتهم الذي أفصح يكون حراً، بينما يقضي المتهم الذي صمت عقوبة طويلة. في النهاية، باستخدام الاستقراء العكسي، تتطلب اللعبة الفرعية الأخيرة في معضلة السجين ذات التكرار المحدود من اللاعبين الوصول إلى توازن ناش الفريد (إفصاح كلا اللاعبين). ونتيجةً لذلك، ستلعب جميع الألعاب السابقة للعبة الفرعية الأخيرة توازن ناش لتعظيم عوائدها في الفترة الواحدة. ^{[ 3 ]} إذا كانت لعبة المرحلة في لعبة متكررة بشكل محدود تحتوي على توازنات ناش متعددة، فيمكن بناء توازنات مثالية للعبة الفرعية للعب إجراءات توازن ناش غير الخاصة بلعبة المرحلة، من خلال هيكل "الترغيب والترهيب". يمكن لأحد اللاعبين استخدام توازن ناش الخاص بلعبة المرحلة لتحفيزه على لعب إجراء غير توازن ناش، بينما يستخدم توازن ناش الخاص بلعبة المرحلة بعائد أقل للاعب الآخر إذا اختار الانشقاق. ^{[ 4 ]}

أثبت راينهارد سيلتن أن أي لعبة يمكن تقسيمها إلى "ألعاب فرعية" تحتوي على مجموعة فرعية من جميع الخيارات المتاحة في اللعبة الرئيسية، ستمتلك استراتيجية توازن ناش مثالية في الألعاب الفرعية (ربما كاستراتيجية مختلطة تُعطي قرارات غير حتمية في الألعاب الفرعية). يُستخدم مفهوم التوازن المثالي في الألعاب الفرعية فقط مع الألعاب ذات المعلومات الكاملة . ويمكن استخدامه أيضًا مع ألعاب الشكل الموسع ذات المعلومات الكاملة ولكن غير الكاملة .

يُستنتج توازن ناش الأمثل في الألعاب الفرعية عادةً عن طريق " الاستقراء العكسي " من مختلف النتائج النهائية للعبة، وذلك باستبعاد الفروع التي قد تتضمن قيام أي لاعب بحركة غير منطقية (لأنها ليست مثالية) من تلك العقدة . تُعد لعبة إكس-أو إحدى الألعاب التي يُعرف حلها بالاستقراء العكسي ، ولكن نظريًا، حتى لعبة غو تمتلك استراتيجية مثالية لجميع اللاعبين. وقد حُسمت مسألة العلاقة بين كمال الألعاب الفرعية والاستقراء العكسي بواسطة كامينسكي (2019)، الذي أثبت أن إجراءً معمّمًا للاستقراء العكسي يُنتج جميع توازنات الألعاب الفرعية المثالية في الألعاب التي قد تكون ذات طول لانهائي، وعدد لا نهائي من الحركات كمجموعة معلومات، ومعلومات غير كاملة إذا تحقق شرط الدعم النهائي.

يكمن الجانب المثير للاهتمام في كلمة "موثوق" في الفقرة السابقة في أنه عند النظر إليها ككل (بغض النظر عن استحالة الوصول إلى الألعاب الفرعية)، توجد استراتيجيات تتفوق على الاستراتيجيات المثالية في الألعاب الفرعية، لكنها تفتقر إلى المصداقية بمعنى أن التهديد بتنفيذها سيضر باللاعب المُهدِّد ويمنع هذا المزيج من الاستراتيجيات. على سبيل المثال، في لعبة " التحدي "، إذا كان لدى أحد اللاعبين خيار انتزاع عجلة القيادة من سيارته، فعليه دائمًا اختياره لأنه يؤدي إلى "لعبة فرعية" يُمنع فيها خصمه العقلاني من فعل الشيء نفسه (وقتلهما معًا). سيفوز من ينتزع عجلة القيادة دائمًا (مما يجبر خصمه على الانحراف)، وتهديد الخصم بالانتحار على غراره ليس ذا مصداقية.

• لعبة المئوية
• عدم الاتساق الديناميكي
• مسرد مصطلحات نظرية الألعاب
• نظرية مينيمكس
• التحليل الرجعي
• مفهوم الحل
• مبدأ بلمان الأمثل

• سيلتين، ر. (1965). يتم التعامل مع الألعاب النظرية من خلال نماذج قليلة مع نفاذية الهواء. Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft/مجلة الاقتصاد المؤسسي والنظري ، (H.2)، 301–324، 667–689. [باللغة الألمانية - الجزء 1 ، الجزء 2 ]
• مثال على ألعاب ذات شكل موسع بمعلومات غير كاملة
• تطبيق جافا صغير لإيجاد حل توازن ناش المثالي للعبة ذات الشكل الموسع من موقع gametheory.net.
• تطبيق جافا صغير لإيجاد حل توازن ناش المثالي للعبة ذات الشكل الموسع من موقع gametheory.net.
• كامينسكي، إم إم. الاستقراء العكسي المعمم: تبرير لخوارزمية شعبية . ألعاب 2019، 10، 34.