مصطلح (منطقي)

في المنطق الرياضي ، يُعرَّف المصطلح بأنه مجموعة من الرموز المترابطة التي تدل على كائن رياضي ضمن تعبير أو صيغة رياضية. وتظهر المصطلحات تحديدًا كمكونات للصيغة. وهذا يُشابه اللغة الطبيعية، حيث تشير العبارة الاسمية إلى كائن، وتشير الجملة الكاملة إلى حقيقة.

يُبنى الحد من الدرجة الأولى بشكل تكراري من الرموز الثابتة، والرموز المتغيرة ، ورموز الدوال . يُطلق على التعبير المُشكَّل بتطبيق رمز مسند على عدد مناسب من الحدود اسم الصيغة الذرية ، والتي تُقيَّم إلى صواب أو خطأ في المنطق الثنائي ، بناءً على تفسير مُعطى . على سبيل المثال ، $(x+1)*(x+1)$ ⁠ هو مصطلح مُكوَّن من الثابت 1 والمتغير $x$ ورموز الدالة الثنائية ⁠ $+$ و $*$ ; إنه جزء من الصيغة الذرية $(x+1)*(x+1)\geq 0$ والتي تُقيّم إلى صحيح لكل قيمة حقيقية لـ $x$ .

إلى جانب المنطق ، تلعب المصطلحات أدوارًا مهمة في الجبر الشامل ، وأنظمة إعادة الكتابة .

تعريف

بالنظر إلى مجموعة V من الرموز المتغيرة، ومجموعة C من الرموز الثابتة، ومجموعات F _n من رموز الدوال n ، والتي تسمى أيضًا رموز المؤثرات، لكل عدد طبيعي n ≥ 1، يتم تعريف مجموعة الحدود (غير المرتبة من الدرجة الأولى) T بشكل متكرر على أنها أصغر مجموعة ذات الخصائص التالية: ^{[ 1 ]}

كل رمز متغير هو مصطلح: $V \subseteq T$ ،
كل رمز ثابت هو حد: $C \subseteq T$ ،
من كل n حد t ₁ ,..., t _n ، وكل رمز دالة n $\in$ $F n ،$ يمكن بناء حد أكبر f ( t ₁ , ..., t _{n ).}

باستخدام تدوين بديهي وشبه نحوي ، يُكتب هذا أحيانًا على النحو التالي:

t ::= x | c | f ( t ₁ , ..., t _n ).

يُشير مصطلح " اللغة" إلى مجموعات رموز الدوال التي تنتمي إليها F _n . ومن الأمثلة المعروفة رموز الدوال الأحادية $sin و cos \in F 1$ ، ورموز الدوال الثنائية $+ و - و \cdot و / \in F 2$ . العمليات الثلاثية والدوال ذات المعاملات الأعلى ممكنة، ولكنها غير شائعة في التطبيق العملي. يعتبر العديد من المؤلفين الرموز الثابتة رموز دوال صفرية F _0 ، وبالتالي لا تحتاج إلى فئة نحوية خاصة بها.

يشير المصطلح إلى كائن رياضي من مجال الخطاب . ويشير الثابت c إلى كائن مُسمى من ذلك المجال، بينما يشير المتغير x إلى نطاق الكائنات في ذلك المجال، وتربط الدالة f من الرتبة n بين n من الكائنات. على سبيل المثال، إذا كان $n$ $\in$ $V$ رمز متغير، $و1 \in$ $C$ رمز ثابت، و $add$ $\in$ $F$ $2$ رمز دالة ثنائية، فإن $n$ $\in$ $T$ $و1 \in$ $T$ ، وبالتالي $add$ $($ $n$ $, 1) \in$ $T،$ وذلك وفقًا لقواعد بناء المصطلحات الأولى والثانية والثالثة على التوالي. يُكتب المصطلح الأخير عادةً على الصورة n + 1، باستخدام الترميز الوسطي ورمز العملية + الأكثر شيوعًا للتسهيل.

بنية المصطلح مقابل التمثيل

في الأصل، عرّف علماء المنطق المصطلح بأنه سلسلة أحرف تلتزم بقواعد بناء معينة. ^{[ 2 ]} ومع ذلك، منذ أن أصبح مفهوم الشجرة شائعًا في علوم الحاسوب، أصبح من الأنسب اعتبار المصطلح شجرة. على سبيل المثال، هناك عدة سلاسل أحرف مميزة، مثل " $(n \cdot(n + 1))/2$ " و" $((n \cdot(n + 1)))/2$ " و" ${\frac {n(n+1)}{2}}$ تشير الأقواس إلى نفس المصطلح وتتوافق مع نفس الشجرة، أي الشجرة اليسرى في الصورة أعلاه. بفصل بنية الشجرة لمصطلح ما عن تمثيله البياني على الورق، يسهل أيضًا تفسير الأقواس (التي تمثل فقط، وليست جزءًا من البنية) وعوامل الضرب غير المرئية (الموجودة فقط في البنية، وليست في التمثيل).

المساواة الهيكلية

يُقال إن مصطلحين متساويان بنيويًا أو حرفيًا أو نحويًا إذا كانا يُمثلان الشجرة نفسها. على سبيل المثال، الشجرة اليسرى والشجرة اليمنى في الصورة أعلاه مصطلحان غير متساويين بنيويًا، على الرغم من أنه يُمكن اعتبارهما " متساويين دلاليًا " لأنهما يُعطيان دائمًا القيمة نفسها في الحساب الكسري . بينما يُمكن التحقق من التساوي البنيوي دون معرفة معنى الرموز، لا يُمكن التحقق من التساوي الدلالي. فإذا فُسِّرت الدالة /، على سبيل المثال، ليس كعملية قسمة كسرية بل كعملية قسمة عددية صحيحة مُقتطعة ، فعند n = 2 يُعطي المصطلح الأيسر 3 والمصطلح الأيمن 2. يجب أن تتطابق أسماء المتغيرات في المصطلحات المتساوية بنيويًا.

في المقابل، يُطلق على الحد t اسم إعادة تسمية ، أو صيغة بديلة ، للحد u إذا نتج الأخير عن إعادة تسمية جميع متغيرات الأول بشكل متسق، أي إذا كان u = tσ لبعض عمليات إعادة التسمية البديلة σ. في هذه الحالة، يُعد u إعادة تسمية لـ t أيضًا، لأن عملية إعادة التسمية البديلة σ لها معكوس σ⁻¹ ^، وبالتالي t = uσ⁻¹ ^. ويُقال حينها أن كلا الحدين متساويان بتردد إعادة التسمية . في كثير من السياقات، لا تهم أسماء المتغيرات المحددة في الحد، على سبيل المثال، يمكن صياغة بديهية التبديل للجمع على النحو التالي: x + y = y + x أو a + b = b + a ؛ في مثل هذه الحالات، يمكن إعادة تسمية الصيغة بأكملها، بينما لا يمكن عادةً إعادة تسمية حد فرعي عشوائي، على سبيل المثال، x + y = b + a ليست صيغة صحيحة لبديهية التبديل. ^{[ ملاحظة 1 ]}^{[ ملاحظة 2 ]}

المصطلحات الأرضية والخطية

يُرمز لمجموعة متغيرات الحد t بالرمز vars ( t ). يُسمى الحد الذي لا يحتوي على أي متغيرات حدًا أساسيًا ؛ ويُسمى الحد الذي لا يحتوي على تكرارات متعددة لمتغير ما حدًا خطيًا . على سبيل المثال، 2+2 حد أساسي وبالتالي حد خطي، و x ⋅( n +1) حد خطي، و n ⋅( n +1) حد غير خطي. تُعد هذه الخصائص مهمة في إعادة كتابة الحدود ، على سبيل المثال .

بفرض توقيع لرموز الدالة، تشكل مجموعة جميع الحدود جبر الحدود الحرة . وتشكل مجموعة جميع الحدود الأساسية جبر الحدود الأولية .

وباختصار عدد الثوابت بـ f ₀ ، وعدد رموز الدوال من الرتبة i بـ f _i ، يمكن حساب عدد الحدود الأرضية المتميزة θ _h التي يصل ارتفاعها إلى h باستخدام صيغة التكرار التالية:

θ ₀ = f ₀ ، لأن الحد الأرضي ذو الارتفاع 0 لا يمكن أن يكون إلا ثابتًا.
$\theta _{h+1}=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}\cdot \theta _{h}^{i}$ بما أنه يمكن الحصول على حد أساسي بارتفاع يصل إلى h + 1 عن طريق تركيب أي i حدود أساسية بارتفاع يصل إلى h ، باستخدام رمز دالة الجذر من الرتبة i ، فإن المجموع يكون ذا قيمة محدودة إذا كان عدد الثوابت ورموز الدوال محدودًا، وهو ما يحدث عادةً.

بناء الصيغ من الحدود

بفرض وجود مجموعة Rⁿ من رموز العلاقات من الرتبة n _لكل عدد طبيعي n ≥ 1، نحصل على صيغة ذرية (غير مرتبة من الرتبة الأولى) بتطبيق رمز علاقة من الرتبة n على n حدًا. وكما هو الحال مع رموز الدوال، فإن مجموعة رموز العلاقات Rⁿ _عادةً ما تكون غير فارغة فقط لقيم n الصغيرة . في المنطق الرياضي، تُبنى صيغ أكثر تعقيدًا من الصيغ الذرية باستخدام الروابط المنطقية والمكممات . على سبيل المثال، إذا رمزنا لمجموعة الأعداد الحقيقية بـ ℝ ، فإن الصيغة $\forall$ $x$ $:$ $x$ $\in ℝ \Rightarrow ($ $x$ $+ 1) \cdot ($ $x$ $+ 1) \geq 0$ هي صيغة رياضية صحيحة في جبر الأعداد المركبة . تُسمى الصيغة الذرية أساسًا إذا بُنيت بالكامل من حدود أساسية؛ وتشكل جميع الصيغ الذرية الأساسية القابلة للتركيب من مجموعة معينة من رموز الدوال والمسندات أساس هيربراند لهذه المجموعات الرمزية.

العمليات بشروط

{\displaystyle {\frac {a*((a+1)*(a+2))}{1*(2*3)}}} — بنية شجرية لمصطلح مثال أسود ${\frac {a*((a+1)*(a+2))}{1*(2*3)}}$ ، مع ريدكس أزرق $x*(y*z)$ ⁠

بما أن المصطلح له بنية هرمية شجرية، فإنه يمكن تعيين موضع أو مسار لكل عقدة من عقده ، أي سلسلة من الأعداد الطبيعية تشير إلى موقع العقدة في التسلسل الهرمي. تُعيّن السلسلة الفارغة، والتي يُرمز لها عادةً بالرمز ε، للعقدة الجذرية. تُشار إلى سلاسل المواضع داخل المصطلح الأسود باللون الأحمر في الصورة.
في كل موضع p من الحد t ، يبدأ حد فرعي فريد ، ويُرمز إليه عادةً بـ $t | p$ . على سبيل المثال، في الموضع 122 من الحد الأسود في الصورة، يوجد جذر الحد الفرعي a + 2. العلاقة "هو حد فرعي من" هي ترتيب جزئي على مجموعة الحدود؛ وهي علاقة انعكاسية لأن كل حد هو حد فرعي لنفسه بشكل بديهي.
يُرمز عادةً إلى الحد الناتج عن استبدال الحد الفرعي في الموضع p في الحد t بحد جديد u بالرمز $t [u] p$ . ويمكن أيضًا اعتبار الحد $t [u] p$ ناتجًا عن دمج مُعمم للحد u مع عنصر شبيه بالحد $t [.]$ ؛ يُسمى هذا العنصر الأخير سياقًا ، أو حدًا به ثقب (يُشار إليه بـ "."؛ وموضعه p )، حيث يُقال إن u مُضمن فيه . على سبيل المثال، إذا كان t هو الحد الأسود في الصورة، فإن $t [b +1]$ ينتج عنه $الحد$ ${\frac {a*(b+1)}{1*(2*3)}}$ وينتج المصطلح الأخير أيضًا عن تضمين المصطلح $b + 1$ في السياق . ${\frac {a*(\;.\;)}{1*(2*3)}}$ بمعنى غير رسمي، تُعتبر عمليتا التجسيد والتضمين متعاكستين: فبينما تُلحق الأولى رموز الدوال في أسفل المصطلح، تُلحقها الثانية في أعلاه. ويربط ترتيب التضمين المصطلح بأي نتيجة للإلحاق من كلا الجانبين.
يمكن تحديد عمق كل عقدة في المصطلح (يُطلق عليه بعض المؤلفين اسم الارتفاع )، أي المسافة (عدد الحواف) بينها وبين الجذر. في هذا السياق، يساوي عمق العقدة دائمًا طول سلسلة موقعها. في الصورة، تُشير المستويات الخضراء في المصطلح الأسود إلى مستويات العمق.
يشير حجم المصطلح عادةً إلى عدد عقده، أو بعبارة أخرى، إلى طول تمثيله الكتابي، مع احتساب الرموز بدون أقواس. المصطلح الأسود والأزرق في الصورة حجمهما 15 و5 على التوالي .
يتطابق الحد u مع الحد t إذا كان استبدال u مكافئًا بنيويًا لحد فرعي من t ، أو بصورة رسمية، إذا كان $u$ $σ =$ $t$ $|$ $p$ لموضع p في t واستبدال σ. في هذه الحالة، يُطلق على u و t و σ اسم حد النمط ، وحد الموضوع ، والاستبدال المطابق ، على التوالي. في الصورة، حد النمط الأزرق ⁠ $x*(y*z)$ يطابق هذا التعبير الحدّ الأسود في الموضع 1، مع استبدال مطابق ${x \mapsto a, y \mapsto a +1, z \mapsto a +2 }،$ المشار إليه بالمتغيرات الزرقاء الموجودة مباشرةً على يسار بدائلها السوداء. وبشكل بديهي، يجب أن يكون النمط، باستثناء متغيراته، موجودًا في الحدّ؛ فإذا تكرر متغير ما عدة مرات في النمط، فيجب أن تكون هناك حدود فرعية متساوية في المواضع المقابلة من الحدّ.
مصطلحات موحدة
إعادة صياغة المصطلحات

مفاهيم ذات صلة

المصطلحات المصنفة

عندما يحتوي مجال الخطاب على عناصر من أنواع مختلفة أساسًا، يكون من المفيد تقسيم مجموعة جميع المصطلحات وفقًا لذلك. ولتحقيق هذه الغاية، يُخصص نوع (يُسمى أحيانًا تصنيفًا ) لكل متغير ولكل رمز ثابت، ويُعلن ^{[ ملاحظة 3 ]} عن تصنيفات المجال وتصنيفات النطاق لكل رمز دالة. يمكن تكوين مصطلح مُصنَّف f ( t1 , ..., tn ₎_{من مصطلحات فرعية مُصنَّفة t1}_, ..., tn فقط إذا كان تصنيف المصطلح الفرعي $i$ يطابق تصنيف المجال المُعلن $i$ للدالة f . يُسمى هذا المصطلح أيضًا مُصنَّفًا جيدًا ؛ أما أي مصطلح آخر (أي الذي يخضع _لقواعد المصطلحات غير المُصنَّفة فقط) فيُسمى مُصنَّفًا بشكل سيئ .

على سبيل المثال، يأتي الفضاء المتجهي مصحوبًا بحقل من الأعداد القياسية. لنفترض أن W و N يمثلان نوع المتجهات والأعداد على التوالي، ولنفترض أن V _W و V _N هما مجموعتا متغيرات المتجهات والأعداد على التوالي، وأن C _W و C  _N هما مجموعتا ثوابت المتجهات والأعداد على التوالي. عندئذٍ، على سبيل المثال، ${\vec {0}}\in C_{W}$ و $0 \in C N$ ، ويتم تعريف جمع المتجهات والضرب القياسي والضرب الداخلي على النحو التالي : $+:W\times W\to W,*:W\times N\to W$ و $\langle .,.\rangle :W\times W\to N$ ، على التوالي. بافتراض رموز متغيرة ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V_{W}$ و $a و b \in V N ،$ الحد $\langle ({\vec {v}}+{\vec {0}})*a,{\vec {w}}*b\rangle$ مُرتب بشكل جيد، بينما ${\vec {v}}+a$ ليس كذلك (لأن علامة الجمع (+) لا تقبل مصطلحًا من النوع N كوسيط ثانٍ). من أجل جعل $a*{\vec {v}}$ مصطلح مُصنَّف جيدًا، وإعلان إضافي $*:N\times W\to W$ مطلوب . تُسمى رموز الدوال التي تحتوي على عدة تعريفات بالدوال المُحمّلة .

راجع منطق التصنيف المتعدد لمزيد من المعلومات، بما في ذلك امتدادات إطار عمل التصنيف المتعدد الموصوف هنا.

مصطلحات لامدا

المصطلحات ذات المتغيرات المقيدة
مثال على الترميز	المتغيرات المقيدة	المتغيرات الحرة	مكتوبة كمصطلح لامدا
$lim n \to\infty x / n$	ن	x	limit (λ n . div ( x , n ))
$\sum _{i=1}^{n}i^{2}$	أنا	ن	sum (1, n ,λ i . power ( i ,2))
$\int _{a}^{b}\sin(k\cdot t)dt$	ت	أ ، ب ، ك	∫ ( a , b , λt . sin ( k ⋅ t ) )

تحفيز

لا تتناسب الرموز الرياضية الموضحة في الجدول مع مخطط الحد من الدرجة الأولى كما هو مُعرَّف أعلاه ، لأنها جميعًا تُدخل متغيرًا محليًا خاصًا بها ، أو متغيرًا مقيدًا ، قد لا يظهر خارج نطاق الرمز، على سبيل المثال $t\cdot \int _{a}^{b}\sin(k\cdot t)\;dt$ هذا غير منطقي. في المقابل، تتصرف المتغيرات الأخرى، المشار إليها بالمتغيرات الحرة ، مثل متغيرات الحدود العادية من الدرجة الأولى، على سبيل المثال $k\cdot \int _{a}^{b}\sin(k\cdot t)\;dt$ هذا منطقي.

يمكن اعتبار جميع هذه المعاملات بمثابة دوال تأخذ دالة بدلاً من قيمة كمعامل. على سبيل المثال، يُطبق معامل النهاية (lim) على متتالية، أي على دالة تربط الأعداد الصحيحة الموجبة بالأعداد الحقيقية. كمثال آخر، دالة C لتنفيذ المثال الثاني من الجدول، Σ، ستأخذ مؤشر دالة كمعامل (انظر المربع أدناه).

يمكن استخدام مصطلحات لامدا للدلالة على الدوال المجهولة التي يتم توفيرها كوسائط لـ lim و Σ و ∫ وما إلى ذلك.

على سبيل المثال، يمكن كتابة دالة التربيع من برنامج C أدناه بشكل مجهول كرمز لامدا λᵢ . i 2. ^ويمكن اعتبار عامل الجمع العام Σ رمز دالة ثلاثية تأخذ قيمة حد أدنى، وقيمة حد أعلى، ودالة يتم جمعها. وبسبب وسيطها الأخير، يُطلق على عامل Σ رمز دالة من الدرجة الثانية . كمثال آخر، يرمز رمز لامدا λⱼ . x / n إلى دالة تربط 1، 2، 3، ... بـ x / 1، x / 2، x / 3، ... على التوالي، أي أنه يرمز إلى المتتالية ( x / 1، x / 2، x / 3، ...). يأخذ عامل النهاية (lim) هذه المتتالية ويعيد نهايتها (إن وُجدت).

يشير العمود الأيمن من الجدول إلى كيفية تمثيل كل مثال من أمثلة الترميز الرياضي بواسطة مصطلح لامدا، كما يقوم بتحويل عوامل التشغيل الشائعة في الوسط إلى شكل البادئة .

// تُنفّذ دالة الجمع العامة int sum ( int lwb , int upb , int fct ( int )) { int res = 0 ; for ( int i = lwb ; i <= upb ; ++ i ) res += fct ( i ); return res ; }// تُنفّذ الدالة المجهولة (lambda i. i*i)؛ ومع ذلك، تتطلب لغة C اسمًا لها int square ( int i ) { return i * i ; }#include <stdio.h> int main ( void ) { int n ; scanf ( " %d" , & n ); printf ( "%d \n " , sum ( 1 , n , square )); // تطبيق عامل الجمع لجمع المربعات return 0 ; }

تعريف

بالنظر إلى مجموعة V من الرموز المتغيرة، يتم تعريف مجموعة مصطلحات لامدا بشكل متكرر على النحو التالي:

كل رمز متغير x ∈ V هو مصطلح لامدا؛
إذا كان x ∈ V رمز متغير و t مصطلح لامدا، فإن λ x . t هو أيضًا مصطلح لامدا (تجريد)؛
إذا كان t ₁ و t ₂ مصطلحات لامدا، فإن ( t ₁t ₂ ) هو أيضًا مصطلح لامدا (تطبيق).

استخدمت الأمثلة التحفيزية المذكورة أعلاه أيضًا بعض الثوابت مثل div و power وما إلى ذلك، والتي لا يُسمح بها في حساب التفاضل والتكامل اللامدا البحت.

بشكلٍ بديهي، يُشير التجريد λ x . t إلى دالة أحادية تُعيد t عند إدخال x ، بينما يُشير التطبيق ( t ₁t ₂ ) إلى نتيجة استدعاء الدالة t ₁ مع المُدخل t _2. على سبيل المثال، يُشير التجريد λ x . x إلى دالة التطابق، بينما يُشير λ x . y إلى دالة ثابتة تُعيد y دائمًا . يأخذ الحد λ x .( x x ) دالة x ويُعيد نتيجة تطبيق x على نفسها.

انظر أيضاً

ملحوظات

بما أن الصيغ الذرية يمكن اعتبارها أشجارًا أيضًا، وإعادة التسمية مفهوم قائم على الأشجار، فإنه يمكن إعادة تسمية الصيغ الذرية (وبشكل أعم، الصيغ الخالية من المُكمِّمات ) بطريقة مشابهة لإعادة تسمية الحدود. في الواقع، يعتبر بعض المؤلفين الصيغة الخالية من المُكمِّمات حدًا (من النوع المنطقي بدلاً من النوع الصحيح مثلاً ، انظر #الحدود المصنفة أدناه).
↑ يمكن اعتبار إعادة تسمية بديهية التبادل بمثابة تحويل ألفا على الإغلاق الشامل للبديهية: " x + y = y + x " تعني في الواقع "∀ x , y : x + y = y + x "، وهو مرادف لـ $\forall a, b : a + b = b + a$ ؛ انظر أيضًا مصطلحات #Lambda أدناه.
↑ أي، "نوع الرمز" في قسم التوقيعات متعددة الأنواع من مقالة التوقيع (المنطق).

مراجع

فرانز بادر ؛ توبياس نيبكو (1999). إعادة صياغة المصطلحات وما إلى ذلك . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 1-2 و34-35. ISBN 978-0-521-77920-3.

↑ سي سي تشانغ ؛ إتش جيروم كيسلر (1977). نظرية النموذج . دراسات في المنطق وأسس الرياضيات. المجلد 73. نورث هولاند. هنا: القسم 1.3
↑ هيرمس، هانز (1973). مقدمة في المنطق الرياضي . سبرينغر لندن. ISBN 3540058192ISSN 1431-4657 هنا: القسم الثاني.1.3

[3] بما أن الصيغ الذرية يمكن اعتبارها أشجارًا أيضًا، وإعادة التسمية مفهوم قائم على الأشجار، فإنه يمكن إعادة تسمية الصيغ الذرية (وبشكل أعم، الصيغ الخالية من المُكمِّمات ) بطريقة مشابهة لإعادة تسمية الحدود. في الواقع، يعتبر بعض المؤلفين الصيغة الخالية من المُكمِّمات حدًا (من النوع المنطقي بدلاً من النوع الصحيح مثلاً ، انظر #الحدود المصنفة أدناه).

[4] يمكن اعتبار إعادة تسمية بديهية التبادل بمثابة تحويل ألفا على الإغلاق الشامل للبديهية: " x + y = y + x " تعني في الواقع "∀ x , y : x + y = y + x "، وهو مرادف لـ $\forall a, b : a + b = b + a$ ؛ انظر أيضًا مصطلحات #Lambda أدناه.

[5] أي، "نوع الرمز" في قسم التوقيعات متعددة الأنواع من مقالة التوقيع (المنطق).

[1] سي سي تشانغ ؛ إتش جيروم كيسلر (1977). نظرية النموذج . دراسات في المنطق وأسس الرياضيات. المجلد 73. نورث هولاند. هنا: القسم 1.3

[2] هيرمس، هانز (1973). مقدمة في المنطق الرياضي . سبرينغر لندن. ISBN 3540058192ISSN 1431-4657 هنا: القسم الثاني.1.3

[ 1 ]

[ 2 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ ملاحظة 3 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗