ميكانيكا الكم الفائقة التناظر

في الفيزياء النظرية ، تُعدّ ميكانيكا الكم الفائقة التناظر مجالًا بحثيًا يُطبّق فيه التناظر الفائق على إطار أبسط لميكانيكا الكم العادية ، بدلًا من نظرية الحقل الكمومي . وقد وجدت ميكانيكا الكم الفائقة التناظر تطبيقات خارج نطاق فيزياء الطاقة العالية ، مثل توفير طرق جديدة لحل مسائل ميكانيكا الكم، وتقديم امتدادات مفيدة لتقريب WKB ، والميكانيكا الإحصائية .

لقد أثبت فهم تبعات التناظر الفائق (SUSY) أنه أمرٌ بالغ الصعوبة من الناحية الرياضية، كما كان من الصعب تطوير نظريات تُفسّر كسر التناظر، أي عدم وجود جسيمات مُصاحبة مُرصودة ذات كتلة مُساوية. ولإحراز تقدم في حل هذه المشكلات، طوّر الفيزيائيون ميكانيكا الكم المتناظرة الفائقة ، وهي تطبيقٌ لجبر التناظر الفائق الفائق على ميكانيكا الكم بدلاً من نظرية الحقل الكمومي. وكان الأمل معقوداً على أن دراسة تبعات التناظر الفائق في هذا الإطار الأبسط ستؤدي إلى فهمٍ جديد؛ ومن اللافت للنظر أن هذا الجهد قد أوجد مجالات بحثية جديدة في ميكانيكا الكم نفسها.

على سبيل المثال، يُعلَّم الطلاب عادةً "حل" معادلة ذرة الهيدروجين من خلال عملية تبدأ بإدخال جهد كولوم في معادلة شرودنغر . بعد استخدام معادلات تفاضلية متعددة، ينتج عن التحليل علاقة تكرارية لكثيرات حدود لاغير . والنتيجة هي طيف حالات طاقة ذرة الهيدروجين (المُصنَّفة بالأعداد الكمية n و l ). باستخدام أفكار مُستقاة من نظرية التناظر الفائق (SUSY)، يُمكن اشتقاق النتيجة النهائية بسهولة أكبر، بنفس الطريقة التي تُستخدم بها طرق المؤثرات لحل معادلة المذبذب التوافقي . ^{[ 1 ]} يُمكن أيضًا استخدام نهج مماثل للتناظر الفائق لإيجاد طيف الهيدروجين بدقة أكبر باستخدام معادلة ديراك. ^{[ 2 ]} ومن المُثير للاهتمام أن هذا النهج يُشابه الطريقة التي حل بها إرفين شرودنغر معادلة ذرة الهيدروجين لأول مرة. ^{[ 3 ] [ 4 ]} لم يُطلق شرودنغر على حله اسم التناظر الفائق، لأن نظرية التناظر الفائق كانت مُتاحة بعد ثلاثين عامًا.

إن حل SUSY لذرة الهيدروجين ليس سوى مثال واحد على الفئة العامة جدًا من الحلول التي يوفرها SUSY للجهود الثابتة الشكل ، وهي فئة تشمل معظم الجهود التي يتم تدريسها في دورات ميكانيكا الكم التمهيدية.

تتضمن ميكانيكا الكم الفائقة التناظر أزواجًا من الهاميلتونيانات التي تشترك في علاقة رياضية محددة، وتُسمى هذه الأزواج بالهاميلتونيانات المترافقة . ( وتُسمى حدود طاقة الوضع التي تظهر في الهاميلتونيانات بجهود الوضع المترافقة ). تُبين نظرية تمهيدية أنه لكل حالة ذاتية لهاميلتونيان، فإن للهاميلتونيان المترافق معه حالة ذاتية مقابلة لها بنفس الطاقة (باستثناء الحالات الذاتية ذات الطاقة الصفرية). يمكن استغلال هذه الحقيقة لاستنتاج العديد من خصائص طيف الحالات الذاتية. وهذا يُشابه الوصف الأصلي للتناظر الفائق، الذي أشار إلى البوزونات والفيرميونات. يمكننا تخيل "هاميلتونيان بوزوني"، تكون حالاته الذاتية هي البوزونات المختلفة في نظريتنا. سيكون شريك التناظر الفائق لهذا الهاميلتونيان "فيرميونيًا"، وستكون حالاته الذاتية هي الفيرميونات في النظرية. سيكون لكل بوزون شريك فرميوني ذو طاقة متساوية - ولكن في العالم النسبي، الطاقة والكتلة قابلتان للتبادل، لذلك يمكننا بسهولة القول أن الجسيمات الشريكة لها كتلة متساوية.

قدمت مفاهيم التناظر الفائق (SUSY) امتدادات مفيدة لتقريب WKB في صورة نسخة معدلة من شرط بور-سومرفيلد للتكميم . إضافةً إلى ذلك، طُبقت مفاهيم التناظر الفائق على الميكانيكا الإحصائية غير الكمومية من خلال معادلة فوكر-بلانك ، مما يُظهر أنه حتى لو تبين أن الإلهام الأصلي في فيزياء الجسيمات عالية الطاقة طريق مسدود، فإن البحث فيه قد أثمر فوائد جمة.

تأخذ معادلة شرودنغر للمذبذب التوافقي الشكل التالي:

${\displaystyle H^{\rm {HO}}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{\rm {HO}}\psi _{n}(x),}$

أين${\displaystyle \psi _{n}(x)}$هو${\displaystyle n}$الحالة الذاتية للطاقة رقم 1 لـ${\displaystyle H^{\text{HO}}}$مع الطاقة${\displaystyle E_{n}^{\text{HO}}}$نريد إيجاد تعبير لـ${\displaystyle E_{n}^{\rm {HO}}}$من ناحية${\displaystyle n}$نُعرّف المؤثرات

${\displaystyle A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)}$

و

${\displaystyle A^{\dagger }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x),}$

أين${\displaystyle W(x)}$والتي نحتاج إلى اختيارها، تسمى الجهد الفائق لـ${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$كما نُعرّف الهاميلتونيين الشريكين المذكورين آنفًا.${\displaystyle H^{(1)}}$و${\displaystyle H^{(2)}}$مثل

${\displaystyle H^{(1)}=A^{\dagger }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)}$

${\displaystyle H^{(2)}=AA^{\dagger }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).}$

حالة أرضية ذات طاقة صفرية${\displaystyle \psi _{0}^{(1)}(x)}$ل${\displaystyle H^{(1)}}$سيحقق ذلك المعادلة

${\displaystyle H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x){\bigg )}\psi _{0}^{(1)}(x)=0.}$

بافتراض أننا نعرف الحالة الأرضية للمذبذب التوافقي${\displaystyle \psi _{0}(x)}$يمكننا حل المشكلة.${\displaystyle W(x)}$مثل

${\displaystyle W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m}}}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\psi _{0}(x)}}{\bigg )}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}}$

ثم نجد أن

${\displaystyle H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}}$

${\displaystyle H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.}$

يمكننا الآن أن نرى ذلك

${\displaystyle H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{\rm {HO}}-{\frac {\hbar \omega }{2}}.}$

هذه حالة خاصة من ثبات الشكل، والتي سنناقشها لاحقًا. وبالنظر إلى النظرية التمهيدية المذكورة أعلاه دون برهان، يتضح أن طيف${\displaystyle H^{(1)}}$سيبدأ بـ${\displaystyle E_{0}=0}$واستمر في الصعود على مراحل من${\displaystyle \hbar \أوميغا .}$أطياف${\displaystyle H^{(2)}}$و${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$ستكون لها نفس المسافة المتساوية، ولكن سيتم تحريكها لأعلى بمقادير محددة.${\displaystyle \hbar \omega }$و${\displaystyle \hbar \أوميغا /2}$على التوالي. ويترتب على ذلك أن طيف${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$لذلك فهو المألوف${\displaystyle E_{n}^{\rm {H2O}}=\hbar \omega (n+1/2)}$.

في ميكانيكا الكم الأساسية، نتعلم أن جبر المؤثرات يُعرَّف بعلاقات التبادل بين تلك المؤثرات. على سبيل المثال، المؤثرات الأساسية للموضع والزخم لها مُبدِّل${\displaystyle [x,p]=i}$(هنا، نستخدم " الوحدات الطبيعية " حيث يُساوي ثابت بلانك 1). أما حالة جبر مؤثرات الزخم الزاوي فهي أكثر تعقيدًا ؛ إذ ترتبط هذه الكميات ارتباطًا وثيقًا بالتناظرات الدورانية للفضاء ثلاثي الأبعاد. ولتعميم هذا المفهوم، نُعرّف مُبدِّلًا مضادًا ، يربط المؤثرات بنفس طريقة المُبدِّل العادي ، ولكن بإشارة معاكسة.

${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA.}$

إذا كانت المؤثرات مرتبطة بمضادات التبادل بالإضافة إلى التبادل، فإننا نقول إنها جزء من جبر لي الفائق . لنفترض أن لدينا نظامًا كميًا موصوفًا بواسطة هاميلتوني${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ومجموعة من${\displaystyle N}$المشغلين${\displaystyle Q_{i}}$سنطلق على هذا النظام اسم النظام الفائق التناظر إذا كانت علاقة التبادل المضاد التالية صالحة لجميع${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$:

${\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}^{\dagger }\}={\mathcal {H}}\delta _{ij}.}$

إذا كان الأمر كذلك، فإننا نسمي${\displaystyle Q_{i}}$شحنات النظام الفائقة .

لننظر إلى مثال جسيم أحادي البعد غير نسبي ذي درجة حرية داخلية ثنائية الأبعاد ( أي حالتين) تسمى "اللف المغزلي" (وهو ليس لفًا مغزليًا حقيقيًا لأن اللف المغزلي "الحقيقي" هو خاصية للجسيمات ثلاثية الأبعاد).${\displaystyle b}$ليكن عاملًا يحول جسيمًا ذا دوران مغزلي لأعلى إلى جسيم ذي دوران مغزلي لأسفل. ومرافقه${\displaystyle b^{\dagger }}$ثم يحول جسيمًا ذو دوران سفلي إلى جسيم ذي دوران علوي؛ ويتم تطبيع المؤثرات بحيث يكون مضاد التبادل${\displaystyle \{b,b^{\dagger }\}=1}$. و${\displaystyle b^{2}=0}$. يترك${\displaystyle p}$ليكن زخم الجسيم و${\displaystyle x}$موقفها مع${\displaystyle [x,p]=i}$. يترك${\displaystyle W}$(الجهد الفائق ) دالة تحليلية عقدية اختيارية لـ${\displaystyle x}$وتعريف المؤثرات المتناظرة الفائقة

${\displaystyle Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]}$

${\displaystyle Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]}$

لاحظ أن${\displaystyle Q_{1}}$و${\displaystyle Q_{2}}$هي ذاتية الترافق. ليكن الهاميلتوني

${\displaystyle H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2}}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

حيث W ′ هي مشتقة W. لاحظ أيضًا أن { Q1 , Q2 } = 0. وهذا ليس إلا تناظرًا فائقًا من _الرتبة N = _2. لاحظ أن${\displaystyle \Im \{W\}}$يتصرف مثل جهد متجه كهرومغناطيسي .

لنُسمِّ الحالة ذات الدوران السفلي "بوزونية" والحالة ذات الدوران العلوي "فرميونية". هذا تشبيهٌ فقط بنظرية الحقل الكمومي، ولا ينبغي أخذه حرفيًا. عندئذٍ، _{يُحوِّل Q1} و Q2 الحالات "البوزونية" إلى حالات "فرميونية" والعكس صحيح.

إعادة صياغة هذا قليلاً:

يُعرِّف

${\displaystyle Q=(p-iW)b}$

و،

${\displaystyle Q^{\dagger }=(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }}$

${\displaystyle \{Q,Q\}=\{Q^{\dagger },Q^{\dagger }\}=0}$

و

${\displaystyle \{Q^{\dagger },Q\}=2H}$

يُسمى المؤثر "بوزونيًا" إذا كان يُحول الحالات "البوزونية" إلى حالات "بوزونية"، والحالات "الفرميونية" إلى حالات "فرميونية". ويُسمى المؤثر "فرميونيًا" إذا كان يُحول الحالات "البوزونية" إلى حالات "فرميونية"، والعكس صحيح. يمكن التعبير عن أي مؤثر بشكل فريد كمجموع مؤثر بوزوني ومؤثر فرميوني. يُعرّف المُبدِّل الفائق [,} كما يلي: بين مؤثرين بوزونيين، أو بين مؤثر بوزوني ومؤثر فرميوني، يكون مُبدِّلًا، أما بين مؤثرين فرميونيين، فيكون مُبدِّلًا مضادًا .

إذن، x و p هما مؤثران بوزوني و b ،${\displaystyle b^{\dagger }}$، كيو و${\displaystyle Q^{\dagger }}$هي مؤثرات فرميونية.

لنعمل في صورة هايزنبرغ حيث x و b و${\displaystyle b^{\dagger }}$هي دوال للزمن.

ثم،

${\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0}$

هذا غير خطي بشكل عام: أي أن x(t) و b(t) و${\displaystyle b^{\dagger }(t)}$لا تشكل تمثيلاً خطياً للتناظر الفائق لأن${\displaystyle \Re \{W\}}$ليس بالضرورة أن يكون خطيًا في x . لتجنب هذه المشكلة، عرّف المؤثر الذاتي المرافق${\displaystyle F=\Re \{W\}}$. ثم،

${\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-iF}$

${\displaystyle [Q,F\}=-{\frac {db}{dt}}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+iF}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },F\}={\frac {db^{\dagger }}{dt}}}$

ونرى أن لدينا تمثيلًا خطيًا للتناظر الفائق.

والآن دعونا نقدم كميتين "رسميتين"،${\displaystyle \theta }$؛ و${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ويكون الأخير مرافقاً للأول بحيث

${\displaystyle \{\theta ,\theta \}=\{{\bar {\theta }},{\bar {\theta }}\}=\{{\bar {\theta }},\theta \}=0}$

وكلاهما يتبادل مع المؤثرات البوزونية ولكنه يتبادل عكسياً مع المؤثرات الفرميونية.

بعد ذلك، نُعرّف بنية تُسمى الحقل الفائق :

${\displaystyle f(t,{\bar {\theta }},\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t)+{\bar {\theta }}\theta F(t)}$

الدالة f ذاتية الترافق. إذن،

${\displaystyle [Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}f-i{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }}}}f-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}f.}$

وبالمناسبة، هناك أيضًا تناظر U(1) _R ، حيث يكون لـ p و x و W شحنات R صفرية و${\displaystyle b^{\dagger }}$بشحنة R تساوي 1 و ب بشحنة R تساوي -1.

يفترض${\displaystyle W}$هو حقيقي للجميع الحقيقيين${\displaystyle x}$ثم يمكننا تبسيط تعبير الهاميلتوني إلى

${\displaystyle H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

توجد فئات معينة من الكمونات الفائقة بحيث يكون لكل من الهاميلتونيان البوزوني والهاميلتونيان الفرميوني أشكال متشابهة. على وجه التحديد

${\displaystyle V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})}$

حيث${\displaystyle a}$تمثل هذه المعاملات. على سبيل المثال، جهد ذرة الهيدروجين مع الزخم الزاوي${\displaystyle l}$يمكن كتابتها بهذه الطريقة.

${\displaystyle {\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+1)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}}$

وهذا يتوافق مع${\displaystyle V_{-}}$بالنسبة للجهد الفائق

${\displaystyle W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)}}-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}}$

${\displaystyle V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2}h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}}$

هذا هو احتمال${\displaystyle l+1}$الزخم الزاوي مُزاح بمقدار ثابت. بعد حل المعادلة${\displaystyle l=0}$في الحالة الأرضية، يمكن استخدام المؤثرات المتناظرة الفائقة لبناء بقية طيف الحالة المقيدة.

بشكل عام، بما أن${\displaystyle V_{-}}$و${\displaystyle V_{+}}$تُعتبر هذه الجهود مُرتبطة، فهي تشترك في نفس طيف الطاقة باستثناء طاقة الأرض الإضافية. يُمكننا مُواصلة عملية إيجاد الجهود المُرتبطة مع شرط ثبات الشكل، مما يُعطي الصيغة التالية لمستويات الطاقة بدلالة مُعاملات الجهد.

${\displaystyle E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})}$

أين${\displaystyle a_{i}}$هي المعايير الخاصة بالإمكانيات المتعددة للشراكة.

• جبر التناظر الفائق
• الجبر الفائق
• نظرية القياس الفائقة التناظر

• F. Cooper, A. Khare and U. Sukhatme, “Supersymmetry and Quantum Mechanics”, Phys.Rept.251:267–385, 1995.
• DS Kulshreshtha و JQ Liang و HJW Muller-Kirsten، "معادلات التقلب حول تكوينات المجال الكلاسيكية وميكانيكا الكم الفائقة التناظر"، حوليات الفيزياء 225:191-211، 1993.
• جي. يونكر، "الأساليب المتناظرة الفائقة في الفيزياء الكمية والإحصائية"، سبرينغر-فيرلاغ، برلين، 1996
• ب. ميلنيك و أ. روزاس-أورتيز، "التحليل إلى عوامل: خوارزمية صغيرة أم كبيرة؟"، مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 37: 10007-10035، 2004

• مراجع من INSPIRE-HEP