نظريات عدم إعادة التطبيع في التناظر الفائق

في أربعة أبعاد، العدد${\displaystyle {\mathcal {N}}}$يحسب عدد سبينورات ماجورانا ذات المكونات الأربعة للشحنات الفائقة. ومن أمثلة نظريات عدم إعادة التطبيع في النظريات الفائقة التناظر رباعية الأبعاد ما يلي:

في${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$في نظرية التناظر الفائق رباعية الأبعاد التي تتضمن فقط الحقول الفائقة الكيرالية، يكون الجهد الفائق محصنًا ضد إعادة التطبيع. ومع أي محتوى حقلي، يكون محصنًا ضد إعادة التطبيع في نظرية الاضطراب، ولكنه قد يُعاد تطبيعه بواسطة تأثيرات غير اضطرابية مثل الجسيمات الآنية .

في${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$في نظرية التناظر الفائق رباعية الأبعاد، يمتلك فضاء المعاملات للمضاعفات الفائقة ، المسمى فرع هيغز ، مقياسًا فائقًا من نوع كاهلر ولا يخضع لإعادة التطبيع. في مقالة " لاغرانجيان أنظمة المادة في نظرية الجاذبية الفائقة N=2"، تم إثبات أن هذا المقياس مستقل عن الكميات القياسية في المضاعفات المتجهة . كما أثبتوا أن مقياس فرع كولوم ، وهو مشعب كاهلر خاص صلب مُعامل بالكميات القياسية في${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$إنّ المضاعفات المتجهة مستقلة عن الكميات العددية في المضاعفات الفائقة. لذا، فإنّ فضاء الفراغ هو محليًا ناتج عن فرع كولوم وفرع هيغز. تظهر اشتقاقات هذه العبارات في كتاب " فضاء المعاملات في نظرية الكروموديناميكا الكمية الفائقة التناظر N=2 والازدواجية في نظرية الكروموديناميكا الكمية الفائقة التناظر N=1" .

في${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$في نظرية التناظر الفائق رباعية الأبعاد، يتحدد الجهد الفائق كليًا بمحتوى المادة في النظرية. كما لا توجد تصحيحات اضطرابية لدالة بيتا بعد الحلقة الواحدة، كما هو موضح في مقالة " الفضاء الفائق أو ألف درس ودرس في التناظر الفائق" لسيلفستر جيمس غيتس ، وماركوس غريزارو، ومارتن روك، ووارن سيغل، المنشورة عام 1983.

في${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$في نظرية يانغ-ميلز الفائقة، تكون دالة بيتا صفرًا لجميع الثوابت، مما يعني أن النظرية متماثلة . وقد برهن مارتن سوهنيوس وبيتر ويست على ذلك بطريقة اضطرابية في مقالتهما المنشورة عام 1981 بعنوان " الثبات المتماثل في نظرية يانغ-ميلز الفائقة التناظر N=4 في ظل افتراضات تناظر معينة على النظرية"، ثم برهن ستانلي ماندلستام على ذلك دون أي افتراضات في مقالته المنشورة عام 1983 بعنوان " الفضاء الفائق المخروطي الضوئي ومحدودية الأشعة فوق البنفسجية لنموذج N=4" . أما البرهان الكامل غير الاضطرابي فقد قدمه ناثان سيبرغ في مقالته المنشورة عام 1988 بعنوان " التناظر الفائق ودوال بيتا غير الاضطرابية" .

في ثلاثة أبعاد، العدد${\displaystyle {\mathcal {N}}}$يحسب عدد سبينورات ماجورانا ذات المكونين للشحنات الفائقة.

متى${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$لا توجد خاصية التماثل التام، والنتائج الدقيقة المعروفة قليلة.

متى${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$لا يمكن أن يعتمد الجهد الفائق على المضاعفات الخطية ، وهو على وجه الخصوص مستقل عن حدود فاييت-إليوبولوس (FI) وحدود كتلة ماجورانا . من ناحية أخرى، فإن الشحنة المركزية مستقلة عن المضاعفات الكيرالية، وبالتالي فهي توليفة خطية من حدود فاييت-إليوبولوس وحدود كتلة ماجورانا. وقد وردت هاتان النظريتان وأثبتتا في كتاب "جوانب من نظريات القياس الفائقة التناظر N=2 في ثلاثة أبعاد" .

متى${\displaystyle {\mathcal {N}}=3}$على عكس${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$في نظرية المجال التوافقي الفائق ، يكون التناظر R هو المجموعة غير التبديلية SU(2)، وبالتالي لا تتم إعادة تطبيع تمثيل كل حقل . في نظرية المجال التوافقي الفائق، يتحدد البعد التوافقي للمضاعف الكيرالي كليًا بشحنته R، وبالتالي لا تتم إعادة تطبيع هذه الأبعاد التوافقية. لذلك، لا تخضع حقول المادة لإعادة تطبيع دالة الموجة في${\displaystyle {\mathcal {N}}=3}$تُعرف نظريات الحقول فائقة التناظر، كما هو موضح في بحث "حول تناظر المرآة في نظريات القياس الأبيلية ثلاثية الأبعاد" ، بأنها نظريات حقول فائقة التناظر . تتكون هذه النظريات من مضاعفات متجهة ومضاعفات فائقة . مقياس المضاعف الفائق هو مقياس فائق الكاهلر ، ولا يمكن رفعه بواسطة التصحيحات الكمومية، ولكن يمكن تعديل مقياسه. لا يوجد تفاعل قابل لإعادة التطبيع بين المضاعفات المتجهة الفائقة والأبيلية باستثناء حدود تشيرن-سيمونز .

متى${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$على عكس${\displaystyle {\mathcal {N}}=3}$قد لا يتم تعديل مقياس المضاعف الفائق بواسطة التصحيحات الكمومية.

في${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$لقد جادل إدوارد ويتن في كتابه "أطوار نظريات N=2 في بعدين" بأن التصحيح الكمي المتباعد الوحيد هو التصحيح اللوغاريتمي ذو الحلقة الواحدة لمصطلح FI ، وذلك فيما يتعلق بنماذج سيجما الخطية ، وهي نظريات قياس أبيلية قابلة لإعادة التطبيع بشكل فائق مع المادة في مضاعفات فائقة كيرالية.