المضاعف الفائق

الحقل الفائق (المضاد) للكيرالية هو مضاعف فائق لـ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$التناظر الفائق.

في أربعة أبعاد، الحد الأدنى${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$يمكن كتابة التناظر الفائق باستخدام مفهوم الفضاء الفائق . يحتوي الفضاء الفائق على إحداثيات الزمكان المعتادة.${\displaystyle x^{\mu }}$،${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$وأربع إحداثيات فرميونية إضافية${\displaystyle \theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}}$مع${\displaystyle \alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2}$، يتحول إلى سبينور ثنائي المكونات (ويل) ومرافقه.

في${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$في التناظر الفائق ، الحقل الفائق الكيرالي هو دالة على الفضاء الفائق الكيرالي . يوجد إسقاط من الفضاء الفائق (الكامل) إلى الفضاء الفائق الكيرالي. لذا، يمكن سحب دالة على الفضاء الفائق الكيرالي إلى الفضاء الفائق الكامل. هذه الدالة${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$يفي بشرط التغاير المشترك${\displaystyle {\overline {D}}\Phi =0}$، أين${\displaystyle {\bar {D}}}$هي المشتقة المتغيرة، المعطاة برمز الفهرس كما يلي:

${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}=-{\bar {\partial}} _ {\dot {\alpha }}-i\theta ^{\alpha }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\partial _{\mu }.}$

مجال فائق كيرالي${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ويمكن توسيعها بعد ذلك على النحو التالي

${\displaystyle \Phi (y,\theta )=\phi (y)+{\sqrt {2}}\theta \psi (y)+\theta ^{2}F(y),}$

أين${\displaystyle y^{\mu }=x^{\mu }+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}}$. المجال الفائق مستقل عن "إحداثيات الدوران المترافقة".${\displaystyle {\bar {\theta }}}$بمعنى أنه يعتمد على${\displaystyle {\bar {\theta }}}$فقط من خلال${\displaystyle y^{\mu }}$يمكن التحقق من ذلك${\displaystyle {\bar {D}} _ {\dot {\alpha }}y^{\mu }=0.}$

يُفسَّر هذا التوسع على النحو التالي:${\displaystyle \phi }$هو حقل قياسي معقد،${\displaystyle \psi }$هو سبينور فايل. يوجد أيضًا حقل قياسي معقد مساعد${\displaystyle F}$، المسمى${\displaystyle F}$بحسب الاصطلاح: هذا هو الحد F الذي يلعب دورًا مهمًا في بعض النظريات.

ويمكن بعد ذلك التعبير عن المجال بدلالة الإحداثيات الأصلية${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$عن طريق استبدال التعبير بـ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+{\sqrt {2}}\theta \psi (x)+\theta ^{2}F(x)+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\theta ^{2}\partial _{\mu }\psi (x)\sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}-{\frac {1}{4}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}\square \phi (x).}$

الحقل الفائق المتجهي هو مضاعف فائق لـ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$التناظر الفائق.

الحقل الفائق المتجهي (المعروف أيضًا باسم الحقل الفائق الحقيقي) هو دالة${\displaystyle V(x,\theta ,{\bar {\theta }})}$الذي يحقق شرط الواقع${\displaystyle V=V^{\dagger }}$يسمح هذا المجال بالتوسع

${\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}A_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}+{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right).}$

الحقول المكونة هي

• حقلان قياسيان حقيقيان${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$
• حقل قياسي معقد${\displaystyle M+iN}$
• حقلان سبينور من نوع فايل${\displaystyle \chi _{\alpha }}$و${\displaystyle \lambda ^{\alpha }}$
• حقل متجه حقيقي ( حقل قياس )${\displaystyle A_{\mu }}$

تتم مناقشة خصائص التحويل واستخداماتها بشكل أكبر في نظرية القياس الفائقة التناظر .

باستخدام تحويلات القياس، الحقول${\displaystyle C,\chi }$و${\displaystyle M+iN}$يمكن ضبطها على الصفر. يُعرف هذا باسم مقياس ويس-زومينو . في هذا المقياس، يأخذ التوسع شكلاً أبسط بكثير.

${\displaystyle V_{\text{WZ}}=\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}A_{\mu }+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\lambda }}+{\bar {\theta }}^{2}\theta \lambda +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D.}$

ثم${\displaystyle \lambda }$هو الشريك المتميز لـ${\displaystyle A_{\mu }}$، بينما${\displaystyle D}$هو حقل قياسي مساعد. ويُطلق عليه اصطلاحًا اسم${\displaystyle D}$، ويُعرف باسم الحد D.

ال${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$متجه أو متعدد كيرالي${\displaystyle \Psi }$يحتوي على حقل قياس${\displaystyle A_{\mu }}$اثنين من فرميونات فايل${\displaystyle \lambda ,\psi }$وكمية قياسية${\displaystyle \phi }$(والتي تتحول أيضًا في التمثيل المرافق لمجموعة القياس ). ويمكن تنظيم هذه أيضًا في زوج من${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$التوائم المتعددة،${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$مضاعف متجهي${\displaystyle W=(A_{\mu },\lambda )}$ومتعددة كيرالية${\displaystyle \Phi =(\phi ,\psi )}$. يمكن استخدام مثل هذه المجموعة المتعددة لتعريف نظرية سيبرغ-ويتن بإيجاز.

ال${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$تتكون المضاعفة الفائقة أو المضاعفة العددية من اثنين من فرميونات فايل واثنين من الكميات العددية المعقدة، أو اثنين${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$المضاعفات الكيرالية.

ال${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$تحتوي المضاعفة المتجهة على حقل قياس واحد، وأربعة فرميونات فايل، وستة كميات قياسية، ومترافقات CPT . يظهر هذا في نظرية يانغ-ميلز الفائقة التناظر N = 4 .