مقياس جيبس

في الفيزياء والرياضيات ، يُعدّ مقياس جيبس ، نسبةً إلى جوزيا ويلارد جيبس ، مقياسًا احتماليًا شائع الاستخدام في العديد من مسائل نظرية الاحتمالات ، والميكانيكا الإحصائية ، والأنظمة الديناميكية . ^{[ 1 ]} وهو تعميم للمجموعة الكنسية ليشمل الأنظمة اللانهائية. تُعطي المجموعة الكنسية احتمال وجود النظام X في الحالة x (أو ما يُكافئ ذلك، احتمال أن يكون للمتغير العشوائي X القيمة x ) على النحو التالي:

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x)).}$

هنا، E دالة من فضاء الحالات إلى الأعداد الحقيقية؛ في التطبيقات الفيزيائية، تُفسَّر E ( x ) على أنها طاقة التكوين x . المعامل β معامل حر؛ في الفيزياء، هو مقلوب درجة الحرارة . ثابت التوحيد Z ( β ) هو دالة التوزيع . مع ذلك، في الأنظمة اللانهائية، لم تعد الطاقة الكلية عددًا محدودًا، ولا يمكن استخدامها في البناء التقليدي لتوزيع الاحتمال لمجموعة متعارف عليها. درست المناهج التقليدية في الفيزياء الإحصائية نهاية الخصائص المكثفة عندما يقترب حجم نظام محدود من اللانهاية ( الحد الديناميكي الحراري ). عندما يمكن كتابة دالة الطاقة كمجموع حدود لا يتضمن كل منها سوى متغيرات من نظام فرعي محدود، فإن مفهوم مقياس جيبس ​​يوفر منهجًا بديلًا. اقترح مقاييس جيبس ​​علماء نظرية الاحتمالات مثل دوبروشين ، ولانفورد ، ورويل، ووفرت إطارًا لدراسة الأنظمة اللانهائية مباشرةً، بدلًا من حساب نهاية الأنظمة المحدودة.

يُعتبر المقياس مقياس جيبس ​​إذا كانت الاحتمالات الشرطية التي يُحدثها على كل نظام فرعي محدود تفي بشرط الاتساق: إذا تم تجميد جميع درجات الحرية خارج النظام الفرعي المحدود، فإن المجموعة الكنسية للنظام الفرعي الخاضع لهذه الشروط الحدية تتطابق مع الاحتمالات في مقياس جيبس ​​المشروط بدرجات الحرية المجمدة.

تنص نظرية هامرسلي -كليفورد على أن أي مقياس احتمالي يحقق خاصية ماركوفية يُعد مقياس جيبس ​​لاختيار مناسب لدالة الطاقة (المُعرَّفة محليًا). ولذلك، ينطبق مقياس جيبس ​​على مسائل واسعة الانتشار خارج نطاق الفيزياء ، مثل شبكات هوبفيلد ، وشبكات ماركوف ، وشبكات منطق ماركوف ، وألعاب الجهد العقلاني المحدود في نظرية الألعاب والاقتصاد. يعمل مقياس جيبس ​​في نظام ذي تفاعلات محلية (ذات مدى محدود) على تعظيم كثافة الإنتروبيا لكثافة طاقة متوقعة معينة ؛ أو، بصورة مكافئة، يُقلل من كثافة الطاقة الحرة .

إن مقياس جيبس ​​لنظام لانهائي ليس بالضرورة فريدًا، على عكس المجموعة الكنسية لنظام محدود، والتي تكون فريدة. ويرتبط وجود أكثر من مقياس جيبس ​​واحد بظواهر إحصائية مثل كسر التناظر وتعايش الأطوار .

تكون مجموعة مقاييس جيبس ​​على أي نظام محدبة دائمًا، ^{[ 2 ] [ 3 ]} لذا إما أن يكون هناك مقياس جيبس ​​فريد (وفي هذه الحالة يُقال إن النظام " إرجودي ")، أو أن يكون هناك عدد لا نهائي من المقاييس (ويُسمى النظام "غير إرجودي"). في حالة النظام غير الإرجودي، يمكن التعبير عن مقاييس جيبس ​​كمجموعة من التراكيب المحدبة لعدد أقل بكثير من مقاييس جيبس ​​الخاصة المعروفة باسم "الحالات النقية" (لا ينبغي الخلط بينها وبين المفهوم المشابه ولكن المختلف للحالات النقية في ميكانيكا الكم ). في التطبيقات الفيزيائية، عادةً ما يكون للهاميلتوني (دالة الطاقة) نوع من الموضعية ، وتتمتع الحالات النقية بخاصية تفكيك التجميع التي تعني أن "الأنظمة الفرعية المتباعدة" مستقلة. عمليًا، توجد الأنظمة الواقعية فيزيائيًا في إحدى هذه الحالات النقية.

إذا كان للهاميلتوني تناظر، فإن مقياس جيبس ​​فريدًا (أي إرجوديًا) سيكون بالضرورة ثابتًا تحت هذا التناظر. ولكن في حالة وجود مقاييس جيبس ​​متعددة (أي غير إرجودية)، فإن الحالات النقية عادةً لا تكون ثابتة تحت تناظر الهاميلتوني. على سبيل المثال، في نموذج إيزينغ المغناطيسي الحديدي اللانهائي تحت درجة الحرارة الحرجة، توجد حالتان نقيتان، هما حالة "الأعلى في الغالب" وحالة "الأسفل في الغالب"، واللتان تتبادلان في النموذج.${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$التناظر.

يمكن ملاحظة مثال على خاصية ماركوف في مقياس جيبس ​​لنموذج إيزينغ . من حيث المبدأ، قد يعتمد احتمال وجود عزم مغزلي معين σk في الحالة _s على حالات جميع العزوم المغزلية الأخرى في النظام. وبالتالي، يمكننا كتابة الاحتمال على النحو التالي :

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)}$.

مع ذلك، في نموذج إيزينغ الذي يحتوي فقط على تفاعلات محدودة المدى (على سبيل المثال، تفاعلات الجوار الأقرب)، لدينا في الواقع

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})}$،

حيث N _k هي جوار الموقع k . أي أن الاحتمالية عند الموقع k تعتمد فقط على اللف المغزلي في جوار محدود. هذه المعادلة الأخيرة هي شكل خاصية ماركوف محلية . تُسمى المقاييس التي تتمتع بهذه الخاصية أحيانًا بحقول ماركوف العشوائية . وبشكل أدق، فإن العكس صحيح أيضًا: أي توزيع احتمالي موجب (كثافة غير صفرية في كل مكان) يتمتع بخاصية ماركوف يمكن تمثيله كمقياس جيبس ​​لدالة طاقة مناسبة. ^{[ 4 ]} هذه هي نظرية هامرسلي-كليفورد .

فيما يلي تعريف رسمي للحالة الخاصة للحقل العشوائي على الشبكة. ومع ذلك، فإن فكرة مقياس جيبس ​​أكثر عمومية من ذلك بكثير.

يتطلب تعريف حقل جيبس ​​العشوائي على الشبكة بعض المصطلحات:

• الشبكة : مجموعة قابلة للعد${\displaystyle \mathbb {L} }$.
• فضاء الدوران الأحادي : فضاء احتمالي${\displaystyle (S,{\mathcal {S}},\lambda )}$.
• مساحة التكوين :${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$، أين${\displaystyle \Omega =S^{\mathbb {L} }}$و${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }}$.
• بفرض وجود تكوين ω ∈ Ω ومجموعة جزئية${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$، وتقييد ω إلى Λ هو${\displaystyle \omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }}$. لو${\displaystyle \Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset }$و${\displaystyle \Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L} }$ثم التكوين${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}}$هو التكوين الذي تكون قيوده على Λ ₁ و Λ ₂${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}}$و${\displaystyle \omega _{\Lambda _{2}}}$، على التوالى.
• المجموعة${\displaystyle {\mathcal {L}}}$من جميع المجموعات الجزئية المنتهية من${\displaystyle \mathbb {L} }$.
• لكل مجموعة فرعية${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$،${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Lambda }}$هي الجبر σ المتولد بواسطة عائلة الدوال${\displaystyle (\sigma (t))_{t\in \Lambda }}$، أين${\displaystyle \sigma (t)(\omega )=\omega (t)}$اتحاد هذه الجبريات σ كـ${\displaystyle \Lambda }$يختلف باختلاف${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هي جبر مجموعات الأسطوانات على الشبكة.
• الإمكانات : عائلة${\displaystyle \Phi =(\Phi _{A})_ {A\in {\mathcal {L}}}}$من الدوال Φ _A  : Ω → R بحيث
  1. لكل${\displaystyle A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}}$يكون${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$- قابل للقياس ، أي أنه يعتمد فقط على القيد.${\displaystyle \omega _{A}}$(ويفعل ذلك بشكل قابل للقياس).
  2. للجميع${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$و ω ∈ Ω ، توجد السلسلة التالية:

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega ).}$

نفسر Φ _A على أنها المساهمة في الطاقة الكلية (الهاميلتوني) المرتبطة بالتفاعل بين جميع نقاط المجموعة المحدودة A.${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )}$باعتبارها المساهمة في الطاقة الكلية لجميع المجموعات المنتهية A التي تلتقي${\displaystyle \Lambda }$لاحظ أن الطاقة الكلية عادةً ما تكون لانهائية، ولكن عندما "نُحدد" كل${\displaystyle \Lambda }$نأمل أن يكون الأمر محدوداً.

• الهاميلتوني في​${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$مع الشروط الحدية${\displaystyle {\bar {\أوميغا }}}$، بالنسبة للجهد المحتمل Φ ، يتم تعريفه بواسطة

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)}$

أين${\displaystyle \omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}}$يشير إلى التكوين الذي يأخذ قيم${\displaystyle \omega }$في${\displaystyle \Lambda }$وذاك من${\displaystyle {\bar {\أوميغا }}}$في${\displaystyle \Lambda ^{c}:=\mathbb {L} \setminus \Lambda }$.

• دالة التقسيم في${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$مع الشروط الحدية${\displaystyle {\bar {\أوميغا }}}$وتُعرَّف درجة الحرارة المعكوسة β > 0 (للجهد Φ و λ ) بواسطة

${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})),}$

أين

${\displaystyle \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t)),}$

هو مقياس المنتج

تكون قيمة Φ المحتملة مقبولة من النوع λ إذا${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})}$محدود للجميع${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega }$و β > 0 .

مقياس احتمالي μ على${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$يُعد مقياس جيبس ​​لجهد Φ مقبول من النوع λ إذا كان يحقق معادلة دوبروشين-لانفورد-رويل (DLR).

${\displaystyle \int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))\,1_{A}(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A),}$

للجميع${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$و${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$.

• جورجي، هـ.-أو. (2011) [1988]. مقاييس جيبس ​​والانتقالات الطورية (  الطبعة الثانية). برلين: دي جرويتر. ISBN 978-3-11-025029-9.
• فريدلي، س.؛ فيلينيك، ي. (2017). الميكانيكا الإحصائية لأنظمة الشبكة: مقدمة رياضية ملموسة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9781107184824.
• Le Ny, A (2008). مقدمة في مقاييس جيبس ​​(المعممة) ، Ensaios Matemáticos، المجلد 15.
• محمودوف، م (2025). حالات جيبس ​​في الميكانيكا الإحصائية والأنظمة الديناميكية . أطروحة دكتوراه.