نظرية المعادلات
في الجبر ، تُعنى نظرية المعادلات بدراسة المعادلات الجبرية (وتُسمى أيضًا "معادلات كثيرات الحدود")، وهي المعادلات المُعرَّفة بواسطة كثير حدود . وكانت المشكلة الرئيسية في نظرية المعادلات هي معرفة متى يكون للمعادلة الجبرية حل جبري . وقد حُلّت هذه المشكلة حلاً كاملاً عام 1830 على يد إيفاريست غالوا ، من خلال تقديم ما يُعرف الآن بنظرية غالوا .
قبل غالوا، لم يكن هناك تمييز واضح بين "نظرية المعادلات" و"الجبر". ومنذ ذلك الحين، توسع الجبر بشكل كبير ليشمل العديد من المجالات الفرعية الجديدة، وأصبحت نظرية المعادلات الجبرية تحظى باهتمام أقل بكثير. لذا، يُستخدم مصطلح "نظرية المعادلات" بشكل أساسي في سياق تاريخ الرياضيات ، لتجنب الخلط بين المعاني القديمة والحديثة لمصطلح "الجبر".
تاريخ
حتى نهاية القرن التاسع عشر، كان مصطلح "نظرية المعادلات" مرادفًا تقريبًا لمصطلح "الجبر". ولزمن طويل، تمثلت المشكلة الرئيسية في إيجاد حلول لمعادلة متعددة الحدود غير خطية بمجهول واحد . إن حقيقة وجود حل مركب دائمًا هي النظرية الأساسية في الجبر ، والتي لم تُثبت إلا في بداية القرن التاسع عشر، ولا يوجد لها برهان جبري بحت. ومع ذلك، كان الشغل الشاغل لعلماء الجبر هو الحل بدلالة الجذور ، أي التعبير عن الحلول بصيغة مبنية على العمليات الحسابية الأربع والجذور النونية . وقد تم ذلك حتى الدرجة الرابعة خلال القرن السادس عشر. اكتشف سكيبيوني ديل فيرو ونيكولو فونتانا تارتاليا حلولًا للمعادلات التكعيبية . ونشرها جيرولامو كاردانو في كتابه "آرس ماجنا" عام 1545 ، إلى جانب حل للمعادلات الرباعية ، اكتشفه تلميذه لودوفيكو فيراري . في عام 1572 نشر رافائيل بومبيلي كتابه L'Algebra الذي أظهر فيه كيفية التعامل مع الكميات التخيلية التي يمكن أن تظهر في صيغة كاردانو لحل المعادلات التكعيبية.
ظلّت مسألة الدرجات الأعلى مفتوحة حتى القرن التاسع عشر، عندما قدّم باولو روفيني برهانًا غير مكتمل عام 1799 يُثبت أن بعض معادلات الدرجة الخامسة لا يمكن حلّها باستخدام الجذور، تلاه برهان نيلز هنريك أبيل الكامل عام 1824 (المعروف الآن باسم نظرية أبيل-روفيني ). ثمّ قدّم إيفاريست غالوا نظرية (تُعرف حاليًا بنظرية غالوا ) لتحديد المعادلات التي يمكن حلّها باستخدام الجذور.
مشاكل أخرى
من بين المشكلات الكلاسيكية الأخرى في نظرية المعادلات ما يلي:
- المعادلات الخطية : تم حل هذه المشكلة خلال العصور القديمة.
- المعادلات الخطية المتزامنة : تم تقديم الحل النظري العام بواسطة غابرييل كرامر في عام 1750. ومع ذلك، فإن ابتكار طرق فعالة ( خوارزميات ) لحل هذه الأنظمة لا يزال موضوعًا نشطًا للبحث يسمى الآن الجبر الخطي .
- إيجاد الحلول الصحيحة لمعادلة أو نظام من المعادلات. تُسمى هذه المسائل الآن بالمعادلات الديوفانتية ، والتي تُعتبر جزءًا من نظرية الأعداد (انظر أيضًا البرمجة العددية الصحيحة ).
- أنظمة المعادلات متعددة الحدود : نظراً لصعوبتها، لم تُدرس هذه الأنظمة، باستثناءات قليلة، إلا منذ النصف الثاني من القرن التاسع عشر. وقد أدت إلى تطور الهندسة الجبرية .
انظر أيضاً
مراجع
للمزيد من القراءة
- تاريخ الجبر
- كثيرات الحدود
- المعادلات