نظرية تيتز للتمديد

في علم الطوبولوجيا ، تنص نظرية تمديد تيتز (المعروفة أيضًا باسم نظرية تمديد تيتز- أوريسون - بروير أو ليمّا أوريسون-بروير ^{[ 1 ]} ) على أنه يمكن تمديد أي دالة حقيقية القيمة ومستمرة على مجموعة فرعية مغلقة من فضاء طوبولوجي طبيعي إلى الفضاء بأكمله، مع الحفاظ على التقييد إذا لزم الأمر.

لو${\displaystyle X}$هو فضاء عادي و $${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$$ هي دالة متصلة من مجموعة جزئية مغلقة${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X}$إلى الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا حملنا الطوبولوجيا القياسية ، فإنه يوجد امتداد متصل لـ${\displaystyle f}$ل${\displaystyle X;}$أي أن هناك خريطة $${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$$ بشكل مستمر على جميع${\displaystyle X}$مع${\displaystyle F(a)=f(a)}$للجميع${\displaystyle a\in A.}$علاوة على ذلك،${\displaystyle F}$يمكن اختيارها بحيث $${\displaystyle \sup\{|f(a)|:a\in A\}~=~\sup\{|F(x)|:x\in X\},}$$ أي إذا${\displaystyle f}$إذا كانت محدودة${\displaystyle F}$يمكن اختيارها لتكون محدودة (بنفس الحد مثل${\displaystyle f}$).

نبرهن على النظرية في الحالة التي${\displaystyle f}$محدود.

الوظيفة${\displaystyle F}$يتم بناؤها بشكل تكراري. أولاً، نُعرّف $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=\sup\{|f(a)|:a\in A\}\\E_{0}&=\{a\in A:f(a)\geq c_{0}/3\}\\F_{0}&=\{a\in A:f(a)\leq -c_{0}/3\}.\end{aligned}}}$$ لاحظ ذلك${\displaystyle E_{0}}$و${\displaystyle F_{0}}$هي مجموعات فرعية مغلقة ومنفصلة من${\displaystyle A}$بأخذ توليفة خطية للدالة التي تم الحصول عليها من برهان ليمّة أوريسون ، توجد دالة متصلة${\displaystyle g_{0}:X\to \mathbb {R} }$بحيث $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\frac {c_{0}}{3}}{\text{ على }}E_{0}\\g_{0}&=-{\frac {c_{0}}{3}}{\text{ على }}F_{0}\end{aligned}}}$$ وعلاوة على ذلك $${\displaystyle -{\frac {c_{0}}{3}}\leq g_{0}\leq {\frac {c_{0}}{3}}}$$ على${\displaystyle X}$وعلى وجه الخصوص، يترتب على ذلك أن $$\displaystyle \begin{aligned}|g_{0}|&\leq {\frac {c_{0}}{3}}\\|f-g_{0}|&\leq {\frac {2c_{0}}{3}}\end{aligned}}}$$ على${\displaystyle A}$نستخدم الآن الاستقراء لبناء متتالية من الدوال المتصلة${\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}$بحيث $$\displaystyle \begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {2^{n}c_{0}}{3^{n+1}}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2^{n+1}c_{0}}{3^{n+1}}}.\end{aligned}}}$$ لقد أثبتنا أن هذا ينطبق على${\displaystyle n=0}$وافترض أن${\displaystyle g_{0},...,g_{n-1}}$تم بناؤها. عرّف $${\displaystyle c_{n-1}=\sup\{|f(a)-g_{0}(a)-...-g_{n-1}(a)|:a\in A\}}$$ وكرر الحجة السابقة مع استبدال${\displaystyle c_{0}}$مع${\displaystyle c_{n-1}}$واستبدالها${\displaystyle f}$مع${\displaystyle f-g_{0}-...-g_{n-1}}$ثم نجد أنه توجد دالة متصلة${\displaystyle g_{n}:X\to \mathbb {R} }$بحيث $$\displaystyle \begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {c_{n-1}}{3}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2c_{n-1}}{3}}.\end{aligned}}}$$ بحسب الفرضية الاستقرائية،${\displaystyle c_{n-1}\leq 2^{n}c_{0}/3^{n}}$وبذلك نحصل على المتطابقات المطلوبة، وبذلك يكتمل الاستقراء. الآن، نُعرّف دالة متصلة.${\displaystyle F_{n}:X\to \mathbb {R} }$مثل $${\displaystyle F_{n}=g_{0}+...+g_{n}.}$$ منح${\displaystyle n\geq m}$، $$\displaystyle \begin{aligned}|F_{n}-F_{m}|&=|g_{m+1}+...+g_{n}|\\&\leq \left(\left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}+...+\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}\right){\frac {c_{0}}{3}}\\&\leq \left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}c_{0}.\end{aligned}}}$$ لذلك، فإن التسلسل${\displaystyle (F_{n})_{n=0}^{\infty }}$هو كوشي . بما أن فضاء الدوال المتصلة على${\displaystyle X}$بالإضافة إلى أن معيار sup هو فضاء متري كامل ، فإنه يترتب على ذلك وجود دالة متصلة${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle F_{n}}$يتقارب بانتظام إلى${\displaystyle F}$. منذ $${\displaystyle |f-F_{n}|\leq {\frac {2^{n+1}c_{0}}{3^{n+1}}}}$$ على${\displaystyle A}$وبناءً على ذلك${\displaystyle F=f}$على${\displaystyle A}$وأخيراً، نلاحظ أن $${\displaystyle |F_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }|g_{n}|\leq c_{0}}$$ لذلك${\displaystyle F}$محدودة ولها نفس الحد مثل${\displaystyle f}$.${\displaystyle \square }$

أثبت إل إي جيه بروير وهنري لوبيغ حالة خاصة من النظرية، عندما${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي حقيقي ذو أبعاد منتهية . قام هاينريش تيتزه بتوسيعه ليشمل جميع الفضاءات المترية ، وأثبت بافيل أوريسون النظرية كما هي مذكورة هنا، بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية العادية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تُكافئ هذه النظرية ليمّة أوريسون (التي تُكافئ أيضًا معيارية الفضاء) وهي قابلة للتطبيق على نطاق واسع، لأن جميع الفضاءات المترية وجميع فضاءات هاوسدورف المدمجة هي فضاءات معيارية. ويمكن تعميمها باستبدال${\displaystyle \mathbb {R} }$مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{J}}$لبعض مجموعات الفهرسة${\displaystyle J,}$أي تراجع عن${\displaystyle \mathbb {R} ^{J},}$أو أي نوع من أنواع التراجع المطلق الطبيعي .

لو${\displaystyle X}$هو فضاء متري،${\displaystyle A}$مجموعة فرعية غير فارغة من${\displaystyle X}$و${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$هي دالة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز وثابت ليبشيتز${\displaystyle K,}$ثم${\displaystyle f}$يمكن توسيعها لتصبح دالة متصلة من نوع ليبشيتز${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$مع ثبات الحدود${\displaystyle K.}$ تنطبق هذه النظرية أيضًا على الدوال المتصلة وفقًا لشرط هولدر ، أي إذا${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$هل دالة هولدر متصلة بثابت أقل من أو يساوي${\displaystyle 1,}$ثم${\displaystyle f}$يمكن توسيعها لتصبح دالة هولدر متصلة${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$بنفس الثابت. ^{[ 4 ]}

هناك صيغة أخرى (في الواقع، تعميم) لنظرية تيتز تعود إلى هـ. تونغ وز. إركان: ^{[ 5 ]} ليكن${\displaystyle A}$ليكن مجموعة جزئية مغلقة من فضاء طوبولوجي طبيعي${\displaystyle X.}$لو${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$هي دالة شبه متصلة من الأعلى ،${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$دالة شبه متصلة سفلية ، و${\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }$دالة متصلة بحيث${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$لكل${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle f(a)\leq h(a)\leq g(a)}$لكل${\displaystyle a\in A}$ثم يكون هناك امتداد مستمر${\displaystyle H:X\to \mathbb {R} }$ل${\displaystyle h}$بحيث${\displaystyle f(x)\leq H(x)\leq g(x)}$لكل${\displaystyle x\in X.}$ تسري هذه النظرية أيضًا مع بعض الفرضيات الإضافية إذا${\displaystyle \mathbb {R} }$يتم استبدالها بفضاء ريز صلب محلي عام . ^{[ 5 ]}

قام دوجوندجي (1951) بتوسيع النظرية على النحو التالي: إذا${\displaystyle X}$هو فضاء متري،${\displaystyle Y}$هو فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا ،${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X}$و${\displaystyle f:A\to Y}$إذا كانت الدالة متصلة، فيمكن توسيعها لتصبح دالة متصلة.${\displaystyle {\tilde {f}}}$محدد على جميع${\displaystyle X}$علاوة على ذلك، يمكن اختيار الامتداد بحيث${\displaystyle {\tilde {f}}(X)\subseteq {\text{conv}}f(A)}$

• نظرية بلومبرغ – أي دالة حقيقية على R تقبل قيدًا مستمرًا على مجموعة جزئية كثيفة من R 
• نظرية هان-باناخ – نظرية حول تمديد الدوال الخطية المحدودة 
• نظرية ويتني للتمديد – عكس جزئي لنظرية تايلور 
• نظرية دوجونجي للتمديد

• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )

• وايسشتاين، إريك دبليو. " نظرية تمديد تيتز ". من MathWorld
• إثبات نظام الميزار : http://mizar.org/version/current/html/tietze.html#T23
• Bonan، Edmond ( 1971)، “Relèvements-Prolongements à valeurs dans les espaces de Fréchet”، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série I ، 272 : 714–717.