حلقة ويلسون

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 97 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الحقل الكمومي ، تُعدّ حلقات ويلسون مؤثرات ثابتة القياس ناتجة عن النقل المتوازي لمتغيرات القياس حول حلقات مغلقة . وهي تُشفّر جميع معلومات القياس في النظرية، مما يسمح ببناء تمثيلات حلقية تصف نظريات القياس وصفًا كاملًا بدلالة هذه الحلقات. في نظرية القياس البحتة، تؤدي حلقات ويلسون دور مؤثرات الترتيب للحصر ، حيث تُحقق ما يُعرف بقانون المساحة. وقد صاغها كينيث ج. ويلسون لأول مرة عام 1974، واستُخدمت لبناء الروابط والصفائح، وهي المعلمات الأساسية في نظرية قياس الشبكة . [ 1 ] تندرج حلقات ويلسون ضمن فئة أوسع من مؤثرات الحلقات ، ومن الأمثلة البارزة الأخرى حلقات هوفت ، وهي نظائر مغناطيسية لحلقات ويلسون، وحلقات بولياكوف ، وهي النسخة الحرارية لحلقات ويلسون.

تعريف

مثال على حزمة رئيسية تُظهر فضاء الزمكان الأساسي مع أليافه. كما يُظهر كيف يمكن تقسيم الفضاء المماسي عند كل نقطة على طول الليف إلى فضاء فرعي رأسي يشير إلى الليف وفضاء فرعي أفقي متعامد معه.
اتصال على حزمة رئيسيةP{\displaystyle P}مع الزمكانم{\displaystyle M}يفصل الفضاء المماسي عند كل نقطةxص{\displaystyle x_{p}}على طول الأليافجيص{\displaystyle G_{p}}إلى فضاء فرعي رأسيVص{\displaystyle V_{p}}ومساحة فرعية أفقيةحص{\displaystyle H_{p}}. يتم رفع المنحنيات على الزمكان إلى منحنيات في الحزمة الرئيسية التي تقع متجهات المماس الخاصة بها في الفضاء الفرعي الأفقي.

يتطلب تعريف حلقات ويلسون بشكل صحيح في نظرية القياس النظر في صياغة حزمة الألياف لنظريات القياس. [ 2 ] هنا لكل نقطة فيد{\displaystyle d}الزمكان ذو الأبعادم{\displaystyle M}توجد نسخة من مجموعة القياسجي{\displaystyle G}تتشكل ما يُعرف باسم ليف حزمة الألياف . تُسمى حزم الألياف هذه بالحزم الرئيسية . محليًا، يبدو الفضاء الناتج كما يليRد×جي{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\times G}على الرغم من أنه على الصعيد العالمي يمكن أن يكون له بنية ملتوية إلى حد ما اعتمادًا على كيفية لصق الألياف المختلفة معًا.

تتمثل المشكلة التي تحلها خطوط ويلسون في كيفية مقارنة النقاط على الألياف عند نقطتين مختلفتين في الزمكان. وهذا يُشابه النقل المتوازي في النسبية العامة ، حيث تُقارن متجهات المماس الموجودة في فضاءات المماس عند نقاط مختلفة. بالنسبة للحزم الرئيسية، توجد طريقة طبيعية لمقارنة نقاط الألياف المختلفة من خلال إدخال اتصال ، وهو ما يُكافئ إدخال حقل قياس. وذلك لأن الاتصال هو وسيلة لفصل فضاء المماس للحزمة الرئيسية إلى فضاءين فرعيين يُعرفان بالفضاء الفرعي الرأسي والفضاء الفرعي الأفقي. [ 3 ] يتكون الفضاء الفرعي الرأسي من جميع المتجهات التي تُشير على طول الليف.جي{\displaystyle G}بينما يتكون الأخير من متجهات عمودية على الليف. وهذا يسمح بمقارنة قيم الليف عند نقاط مختلفة في الزمكان عن طريق ربطها بمنحنيات في الحزمة الرئيسية التي تقع متجهاتها المماسية دائمًا في الفضاء الفرعي الأفقي، وبالتالي يكون المنحنى دائمًا عموديًا على أي ليف معين.

إذا كانت الألياف الأولية عند الإحداثيxأنا{\displaystyle x_{i}}انطلاقاً من الهويةزأنا=هـ{\displaystyle g_{i}=e}ثم لنرى كيف يتغير هذا عند الانتقال إلى إحداثيات أخرى في الزمكانxو{\displaystyle x_{f}}، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار منحنى الزمكانγ:[0،1]→م{\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M} بينxأنا{\displaystyle x_{i}}وxو{\displaystyle x_{f}}المنحنى المقابل في الحزمة الرئيسية، والمعروف باسم الرفع الأفقي لـγ(ت){\displaystyle \gamma (t)}، هو المنحنىγ~(ت){\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}بحيثγ~(0)=زأنا{\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=g_{i}}وأن متجهات المماس الخاصة بها تقع دائمًا في الفضاء الفرعي الأفقي. يكشف صياغة حزمة الألياف لنظرية القياس أن حقل القياس ذو القيم في جبر ليأμ(x)=أμأ(x)تيأ{\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}وهو ما يعادل الاتصال الذي يحدد الفضاء الفرعي الأفقي، لذا فإن هذا يؤدي إلى معادلة تفاضلية للرفع الأفقي

أنادز(ت)دت=أμ(x)دxμدتز(ت).{\displaystyle i{\frac {dg(t)}{dt}}=A_{\mu }(x){\frac {dx^{\mu }}{dt}}g(t).}

لهذا حل رسمي فريد يسمى خط ويلسون بين النقطتين

زو(تو)=دبليو[xأنا،xو]=Pخبرة⁡(أنا∫xأناxوأμدxμ)،{\displaystyle g_{f}(t_{f})=W[x_{i},x_{f}]={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int _{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu }\,dx^{\mu }{\bigg )},}

أينP{\displaystyle {\mathcal {P}}}هو عامل ترتيب المسار ، وهو غير ضروري للنظريات الأبيلية . يتطلب الرفع الأفقي الذي يبدأ من نقطة ليفية أولية غير نقطة الوحدة مجرد الضرب بالعنصر الأولي للرفع الأفقي الأصلي. وبشكل أعم، ينطبق هذا إذاγ~′(0)=γ~(0)ز{\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(0)={\tilde {\gamma }}(0)g}ثمγ~′(ت)=γ~(ت)ز{\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)={\tilde {\gamma }}(t)g}للجميعت≥0{\displaystyle t\geq 0}.

في ظل تحويل القياس المحليز(x){\displaystyle g(x)}يتحول خط ويلسون عندما

دبليو[xأنا،xو]→ز(xو)دبليو[xأنا،xو]ز-1(xأنا).{\displaystyle W[x_{i},x_{f}]\rightarrow g(x_{f})W[x_{i},x_{f}]g^{-1}(x_{i}).}

تُستخدم خاصية تحويل القياس هذه غالبًا لإدخال خط ويلسون مباشرةً في وجود حقول المادةϕ(x){\displaystyle \phi (x)}يتحول إلى التمثيل الأساسي لمجموعة القياس، حيث يكون خط ويلسون مؤثرًا يجعل التركيبةϕ(xأنا)†دبليو[xأنا،xو]ϕ(xو){\displaystyle \phi (x_{i})^{\dagger }W[x_{i},x_{f}]\phi (x_{f})}ثابت القياس. [ 4 ] يسمح هذا بمقارنة حقل المادة عند نقاط مختلفة بطريقة ثابتة القياس. بدلاً من ذلك، يمكن أيضًا إدخال خطوط ويلسون بإضافة جسيم اختبار ذي كتلة لانهائية مشحون تحت مجموعة القياس. تشكل شحنته فضاء هيلبرت داخليًا كميًا ، والذي يمكن تكامله، مما ينتج عنه خط ويلسون كخط العالم لجسيم الاختبار. [ 5 ] ينجح هذا في نظرية الحقل الكمومي سواءً وُجد محتوى مادي في النظرية أم لا. مع ذلك، تزعم فرضية المستنقعات، المعروفة بفرضية الاكتمال، أنه في نظرية متسقة للجاذبية الكمومية ، يجب أن يكون لكل خط ويلسون وخط 'ت هوفت لشحنة معينة، متوافق مع شرط تكميم ديراك، جسيم مقابل لتلك الشحنة موجود في النظرية. [ 6 ] لم يعد فصل هذه الجسيمات بأخذ حد الكتلة اللانهائية ممكنًا، لأن هذا سيؤدي إلى تكوين ثقوب سوداء .

أثر خطوط ويلسون المغلقة هو كمية ثابتة بالنسبة للمقياس تُعرف باسم حلقة ويلسون

دبليو[γ]=tr[Pخبرة⁡(أنا∮γأμدxμ)].{\displaystyle W[\gamma ]={\text{tr}}{\bigg [}{\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\oint _{\gamma }A_{\mu }\,dx^{\mu }{\bigg )}{\bigg ]}.}

رياضيًا، يُعرف المصطلح الموجود داخل الأثر باسم " الهولونومية" ، وهو يصف تحويل الليف إلى نفسه عند رفعه أفقيًا على طول حلقة مغلقة. تشكل مجموعة جميع الهولونوميات زمرة ، والتي يجب أن تكون، بالنسبة للحزم الرئيسية، زمرة فرعية من زمرة القياس. تحقق حلقات ويلسون خاصية إعادة البناء، حيث إن معرفة مجموعة حلقات ويلسون لجميع الحلقات الممكنة تسمح بإعادة بناء جميع المعلومات الثابتة للقياس حول اتصال القياس. [ 7 ] رسميًا، تشكل مجموعة جميع حلقات ويلسون أساسًا مكتملًا لحلول قيد قانون جاوس.

مجموعة جميع خطوط ويلسون تتطابق تطابقًا تامًا مع تمثيلات مجموعة القياس. ويمكن إعادة صياغة ذلك باستخدام لغة جبر لي باستخدام شبكة الأوزان لمجموعة القياس.Λw{\displaystyle \Lambda _{w}}في هذه الحالة، تتطابق أنواع حلقات ويلسون تطابقًا تامًا معΛw/دبليو{\displaystyle \Lambda _{w}/W}أيندبليو{\displaystyle W}هي مجموعة ويل . [ 8 ]

مشغلو فضاء هيلبرت

ثمة منظور بديل لحلقات ويلسون يتمثل في اعتبارها مؤثرات تعمل على فضاء هيلبرت للحالات في توقيع مينكوفسكي . [ 5 ] وبما أن فضاء هيلبرت يقع على شريحة زمنية واحدة، فإن حلقات ويلسون الوحيدة التي يمكن أن تعمل كمؤثرات على هذا الفضاء هي تلك المُشكَّلة باستخدام حلقات مكانية . هذه المؤثراتدبليو[γ]{\displaystyle W[\gamma ]}يُنشئ حلقة مغلقة من التدفق الكهربائي ، وهو ما يمكن ملاحظته من خلال ملاحظة أن مؤثر المجال الكهربائيهـأنا{\displaystyle E^{i}}لا يساوي الصفر في الحلقةهـأنادبليو[γ]|0⟩≠0{\displaystyle E^{i}W[\gamma ]|0\rangle \neq 0}لكنها تختفي في كل مكان آخر. وباستخدام نظرية ستوكس، يتبين أن الحلقة المكانية تقيس التدفق المغناطيسي عبر الحلقة. [ 9 ]

موظف خدمة العملاء

بما أن خطوط ويلسون الزمنية تتوافق مع التكوين الناتج عن الكواركات الثابتة ذات الوزن اللانهائي، فإن حلقة ويلسون المرتبطة بحلقة مستطيلةγ{\displaystyle \gamma }بمكونين زمنيين بطولتي{\displaystyle T}ومكونان مكانيان بطولر{\displaystyle r}يمكن تفسير ذلك على أنه زوج من الكواركات ومضادات الكواركات عند مسافة ثابتة. على مدى فترات زمنية طويلة، تُسقط القيمة المتوقعة للفراغ لحلقة ويلسون الحالة ذات الطاقة الدنيا ، وهي الجهد الكامن.V(ر){\displaystyle V(r)}بين الكواركات. [ 10 ] الحالات المثارة ذات الطاقةV(ر)+Δهـ{\displaystyle V(r)+\Delta E}تتضاءل هذه القيم بشكل أُسّي مع مرور الوقت، وبالتالي فإن القيمة المتوقعة تتناسب طرديًا مع الزمن.

⟨دبليو[γ]⟩∼هـ-تيV(ر)(1+يا(هـ-تيΔهـ))،{\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-TV(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-T\Delta E})),}

مما يجعل حلقة ويلسون مفيدة لحساب الجهد بين أزواج الكواركات. يجب أن يكون هذا الجهد بالضرورة دالة متزايدة بشكل رتيب ومقعرة لفصل الكواركات. [ 11 ] [ 12 ] بما أن حلقات ويلسون المكانية لا تختلف جوهريًا عن الحلقات الزمنية، فإن جهد الكوارك يرتبط ارتباطًا مباشرًا ببنية نظرية يانغ-ميلز البحتة، وهو ظاهرة مستقلة عن محتوى المادة. [ 13 ]

تضمن نظرية إليتزور أن المؤثرات المحلية غير الثابتة قياسياً لا يمكن أن يكون لها قيم متوقعة غير صفرية. بدلاً من ذلك، يجب استخدام مؤثرات غير محلية ثابتة قياسياً كمعاملات ترتيب للحصر. تُعد حلقة ويلسون مثالاً واضحاً على معامل الترتيب هذا في نظرية يانغ-ميلز البحتة، حيث تتبع قيمتها المتوقعة في مرحلة الحصر قانون المساحة [ 14 ].

⟨دبليو[γ]⟩∼هـ-أأ[γ]{\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-aA[\gamma ]}}

بالنسبة لحلقة تحيط بمنطقةأ[γ]{\displaystyle A[\gamma ]}ينبع هذا من الجهد الكامن بين الكواركات الاختبارية ذات الوزن اللانهائي، والذي من المتوقع أن ينمو خطيًا في مرحلة الحصر.V(ر)∼σر{\displaystyle V(r)\sim \sigma r}أينσ{\displaystyle \sigma }يُعرف هذا باسم توتر الوتر. في الوقت نفسه، في طور هيغز، تتبع القيمة المتوقعة قانون المحيط.

⟨دبليو[γ]⟩∼هـ-بل[γ]،{\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-bL[\gamma ]},}

أينل[γ]{\displaystyle L[\gamma ]}يمثل طول محيط الحلقة وب{\displaystyle b}هو ثابت ما. يمكن استخدام قانون مساحة حلقات ويلسون لإثبات الحصر في بعض النظريات منخفضة الأبعاد بشكل مباشر، كما هو الحال في نموذج شوينجر الذي يتم فيه تحديد الحصر بواسطة الإنستانتونات . [ 15 ]

تركيبة الشبكة

في نظرية الحقول الشبكية ، تلعب خطوط ويلسون وحلقاتها دورًا أساسيًا في صياغة حقول القياس على الشبكة . تُعرف أصغر خطوط ويلسون على الشبكة، وهي تلك التي تقع بين نقطتين متجاورتين على الشبكة، باسم الروابط، حيث يبدأ كل رابط من نقطة على الشبكة.ن{\displaystyle n}الدخولμ{\displaystyle \mu }الاتجاه المشار إليه بواسطةيوμ(ن){\displaystyle U_{\mu }(n)}تُعرف أربع روابط حول مربع واحد باسم "البلاكيت"، ويُشكّل أثرها أصغر حلقة ويلسون. [ 16 ] تُستخدم هذه البلاكيتات لبناء فعل قياس الشبكة المعروف باسم فعل ويلسون . تُعبّر حلقات ويلسون الأكبر حجمًا عن طريق ضرب متغيرات الروابط على طول حلقة ما.γ{\displaystyle \gamma }، المشار إليها بـ [ 17 ]

ل[يو]=tr[∏ن∈γيوμ(ن)].{\displaystyle L[U]={\text{tr}}{\bigg [}\prod _{n\in \gamma }U_{\mu }(n){\bigg ]}.}

تُستخدم حلقات ويلسون هذه لدراسة الحصر وجهود الكواركات عدديًا . كما تُستخدم التراكيب الخطية لحلقات ويلسون كمؤثرات استيفاء تُنتج حالات الغلوبول . [ 18 ] ويمكن بعد ذلك استخلاص كتل الغلوبول من دالة الارتباط بين هذه المؤثرات الاستيفائية. [ 19 ]

يُتيح صياغة حلقات ويلسون الشبكية أيضًا إمكانية إثبات الحصر تحليليًا في الطور المقترن بقوة ، بافتراض تقريب الإخماد حيث تُهمل حلقات الكواركات. [ 20 ] ويتم ذلك عن طريق توسيع فعل ويلسون كمتسلسلة قوى لآثار البلاكيتات، حيث يكون الحد الأول غير الصفري في القيمة المتوقعة لحلقة ويلسون فيSU(3){\displaystyle {\text{SU}}(3)}تؤدي نظرية القياس إلى قانون مساحة مع شد وتر على شكل [ 21 ] [ 22 ]

σ=-1أ2ln⁡(β18)(1+يا(β))،{\displaystyle \sigma =-{\frac {1}{a^{2}}}\ln {\bigg (}{\frac {\beta }{18}}{\bigg )}(1+{\mathcal {O}}(\beta )),}

أينβ=6/ز2{\displaystyle \beta =6/g^{2}}هو ثابت الاقتران العكسي وأ{\displaystyle a}يمثل تباعد الشبكة. في حين أن هذه الحجة صحيحة لكل من الحالة الأبيلية وغير الأبيلية، فإن الديناميكا الكهربائية المدمجة لا تُظهر الحصر إلا عند الاقتران القوي، مع وجود انتقال طوري إلى طور كولوم عندβ∼1.01{\displaystyle \beta \sim 1.01}مما يجعل النظرية غير مقيدة عند اقتران ضعيف. [ 23 ] [ 24 ] لا يُعتقد بوجود مثل هذا الانتقال الطوري لـSU(شمال){\displaystyle {\text{SU}}(N)}بدلاً من ذلك، تُظهر نظريات القياس عند درجة حرارة الصفر المطلق حصرًا عند جميع قيم ثابت الاقتران.

ملكيات

معادلة ماكينكو-ميجدال الحلقية

على غرار المشتقة الوظيفية التي تؤثر على دوال الدوال ، فإن دوال الحلقات تقبل نوعين من المشتقات يُطلق عليهما مشتقة المساحة ومشتقة المحيط. ولتعريف الأولى، لنفترض شكلاً محيطياً.γ{\displaystyle \gamma }ومحيط آخرγدلتاσμν{\displaystyle \gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}}وهو نفس الشكل المحيطي ولكن مع حلقة صغيرة إضافية عندx{\displaystyle x}فيμ{\displaystyle \mu }-ν{\displaystyle \nu }مستوى ذو مساحةدلتاσμν=دxμ∧دxν{\displaystyle \delta \sigma _{\mu \nu }=dx_{\mu }\wedge dx_{\nu }}ثم مشتقة مساحة دالة الحلقةF[γ]{\displaystyle F[\gamma ]}يتم تعريفها من خلال نفس فكرة المشتق المعتاد، باعتبارها الفرق المعياري بين الدالة الوظيفية للحلقتين [ 25 ]

دلتاF[γ]دلتاσμν(x)=1دلتاσμν(x)[F[γدلتاσμν]-F[γ]].{\displaystyle {\frac {\delta F[\gamma ]}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}={\frac {1}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}[F[\gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}]-F[\gamma ]].}

يتم تعريف مشتق المحيط بشكل مماثل، حيث الآنγدلتاxμ{\displaystyle \gamma _{\delta x_{\mu }}}هو تشوه طفيف في المحيطγ{\displaystyle \gamma }والذي في الموضعx{\displaystyle x}يحتوي على حلقة صغيرة بارزة بطولدلتاxμ{\displaystyle \delta x_{\mu }}فيμ{\displaystyle \mu }اتجاه ومساحة صفرية. مشتق المحيط∂μx{\displaystyle \partial _{\mu }^{x}}ثم يتم تعريف الدالة الحلقية على النحو التالي:

∂μxF[γ]=1دلتاxμ[F[γدلتاxμ]-F[γ]].{\displaystyle \partial _{\mu }^{x}F[\gamma ]={\frac {1}{\delta x_{\mu }}}[F[\gamma _{\delta x_{\mu }}]-F[\gamma ]].}

في حالة الحد N الكبير ، فإن القيمة المتوقعة للفراغ لحلقة ويلسون تحقق معادلة شكل وظيفي مغلق تسمى معادلة ماكينكو-ميجدال [ 26 ].

∂μxدلتادلتاσμν(x)⟨دبليو[γ]⟩=ز2شمال∮γدyνدلتا(د)(x-y)⟨دبليو[γyx]⟩⟨دبليو[γxy]⟩.{\displaystyle \partial _{\mu }^{x}{\frac {\delta }{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}\langle W[\gamma ]\rangle =g^{2}N\oint _{\gamma }dy_{\nu }\delta ^{(D)}(x-y)\langle W[\gamma _{yx}]\rangle \langle W[\gamma _{xy}]\rangle .}

هناγ=γxy∪γyx{\displaystyle \gamma =\gamma _{xy}\cup \gamma _{yx}}معγxy{\displaystyle \gamma _{xy}}كونه خطًا لا ينغلق منx{\displaystyle x}لy{\displaystyle y}، مع تقارب النقطتين من بعضهما البعض. ويمكن كتابة المعادلة أيضًا لقيم محدودةشمال{\displaystyle N}لكن في هذه الحالة، لا يمكن تحليلها إلى عوامل، بل تؤدي إلى القيم المتوقعة لحاصل ضرب حلقات ويلسون، بدلاً من حاصل ضرب قيمها المتوقعة. [ 27 ] ينتج عن ذلك سلسلة لانهائية من المعادلات المترابطة لقيم ويلسون المتوقعة المختلفة، على غرار معادلات شوينجر-دايسون . وقد تم حل معادلة ماكينكو-ميجدال بدقة في بعدين.يو(∞){\displaystyle {\text{U}}(\infty )}النظرية. [ 28 ]

هويات ماندلشتام

مجموعات القياس التي تقبل تمثيلات أساسية من حيثشمال×شمال{\displaystyle N\times N}تحتوي المصفوفات على حلقات ويلسون التي تحقق مجموعة من المتطابقات تُسمى متطابقات ماندلستام ، وتعكس هذه المتطابقات الخصائص المحددة لمجموعة القياس الأساسية. [ 29 ] تنطبق هذه المتطابقات على الحلقات المُشكّلة من حلقتين فرعيتين أو أكثر، معγ=γ2∘γ1{\displaystyle \gamma =\gamma _{2}\circ \gamma _{1}}كونها حلقة تتشكل من خلال الدوران أولاً حولγ1{\displaystyle \gamma _{1}}ثم التجولγ2{\displaystyle \gamma _{2}}.

تنص هوية ماندلشتام من النوع الأول على أندبليو[γ1∘γ2]=دبليو[γ2∘γ1]{\displaystyle W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]=W[\gamma _{2}\circ \gamma _{1}]}، مع ثبات هذا لأي مجموعة قياس في أي بُعد. تُكتسب متطابقات ماندلشتام من النوع الثاني بملاحظة أنه فيشمال{\displaystyle N}الأبعاد، أي كائن ذوشمال+1{\displaystyle N+1}تختفي المؤشرات المتناظرة تمامًا ، مما يعني أندلتا[ب1أ1دلتاب2أ2⋯دلتابشمال+1]أشمال+1=0{\displaystyle \delta _{[b_{1}}^{a_{1}}\delta _{b_{2}}^{a_{2}}\cdots \delta _{b_{N+1}]}^{a_{N+1}}=0}في التمثيل الأساسي، تكون عمليات التماثل المستخدمة لتشكيل حلقات ويلسون هيشمال×شمال{\displaystyle N\times N}تمثيلات المصفوفات لمجموعات القياس. الانكماششمال+1{\displaystyle N+1}تُنتج عمليات التماثل مع دوال دلتا مجموعة من المتطابقات بين حلقات ويلسون. ويمكن كتابة هذه المتطابقات بدلالة الكائنات.مك{\displaystyle M_{K}}يتم تعريفها بشكل تكراري بحيثم1[γ]=دبليو[γ]{\displaystyle M_{1}[\gamma ]=W[\gamma ]}و

(ك+1)مك+1[γ1،...،γك+1]=دبليو[γك+1]مك[γ1،...،γك]-مك[γ1∘γك+1،γ2،...،γك]-⋯-مك[γ1،γ2،...،γك∘γك+1].{\displaystyle (K+1)M_{K+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K+1}]=W[\gamma _{K+1}]M_{K}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K}]-M_{K}[\gamma _{1}\circ \gamma _{K+1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}]-\cdots -M_{K}[\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}\circ \gamma _{K+1}].}

في هذه الصيغة، تكون متطابقات ماندلشتام من النوع الثاني هي [ 30 ]

مشمال+1[γ1،...،γشمال+1]=0.{\displaystyle M_{N+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{N+1}]=0.}

على سبيل المثال، بالنسبة لـيو(1){\displaystyle {\text{U}}(1)}مجموعة القياس التي تعطيدبليو[γ1]دبليو[γ2]=دبليو[γ1∘γ2]{\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]}.

إذا كانت التمثيلات الأساسية عبارة عن مصفوفات ذات محدد يساوي واحدًا ، فإنه ينطبق أيضًا ما يلي:مشمال(γ،...،γ)=1{\displaystyle M_{N}(\gamma ,\dots ,\gamma )=1}على سبيل المثال، تطبيق هذه الهوية علىSU(2){\displaystyle {\text{SU}}(2)}أعطِ

دبليو[γ1]دبليو[γ2]=دبليو[γ1∘γ2-1]+دبليو[γ1∘γ2].{\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}^{-1}]+W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}].}

التمثيلات الأساسية المكونة من مصفوفات وحدوية تحققدبليو[γ]=دبليو*[γ-1]{\displaystyle W[\gamma ]=W^{*}[\gamma ^{-1}]}علاوة على ذلك، في حين أن المساواةدبليو[أنا]=شمال{\displaystyle W[I]=N}ينطبق هذا على جميع مجموعات القياس في التمثيلات الأساسية، وينطبق أيضًا على المجموعات الوحدوية.|دبليو[γ]|≤شمال{\displaystyle |W[\gamma ]|\leq N}.

إعادة التطبيع

بما أن حلقات ويلسون هي مؤثرات لحقول القياس، فإن تنظيم وإعادة تطبيع حقول وثوابت نظرية يانغ-ميلز الأساسية لا يمنع حلقات ويلسون من الحاجة إلى تصحيحات إعادة تطبيع إضافية. في نظرية يانغ-ميلز المعاد تطبيعها، تعتمد الطريقة المحددة لإعادة تطبيع حلقات ويلسون على هندسة الحلقة قيد الدراسة. وتتمثل السمات الرئيسية في [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ].

  • المنحنى الأملس غير المتقاطع: لا يمكن أن يكون لهذا المنحنى إلا تباعدات خطية تتناسب مع المحيط والتي يمكن إزالتها من خلال إعادة التطبيع المضاعف.
  • منحنى غير متقاطع ذو نقاط انعطاف : ينتج عن كل نقطة انعطاف عامل إعادة تطبيع ضربي محلي إضافيZ[ϕ]{\displaystyle Z[\phi ]}يعتمد ذلك على زاوية الحدبةϕ{\displaystyle \phi }.
  • التقاطعات الذاتية: يؤدي هذا إلى خلط المؤثرات بين حلقات ويلسون المرتبطة بالحلقة الكاملة والحلقات الفرعية.
  • الأجزاء الشبيهة بالضوء: هذه تؤدي إلى تباعدات لوغاريتمية إضافية.

تطبيقات إضافية

سعات التشتت

تلعب حلقات ويلسون دورًا في نظرية سعات التشتت، حيث تم اكتشاف مجموعة من الازدواجيات بينها وبين أنواع خاصة من سعات التشتت. [ 35 ] وقد تم اقتراح هذه الازدواجيات لأول مرة عند اقتران قوي باستخدام تناظر AdS/CFT . [ 36 ] على سبيل المثال، فيشمال=4{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}تتحلل سعات انتهاك الحلزونية القصوى في نظرية يانغ-ميلز فائقة التناظر إلى مكون على مستوى الشجرة وتصحيح على مستوى الحلقة. [ 37 ] لا يعتمد تصحيح مستوى الحلقة هذا على حلزونية الجسيمات، ولكن وُجد أنه ثنائي لبعض حلقات ويلسون المضلعة في نطاق واسعشمال{\displaystyle N}الحد، حتى الحدود المحدودة. في حين أن هذه الازدواجية قد تم اقتراحها في البداية فقط في حالة انتهاك الحلزونية القصوى، إلا أن هناك حججًا تشير إلى إمكانية توسيعها لتشمل جميع تكوينات الحلزونية من خلال تعريف تعميمات متناظرة فائقة مناسبة لحلقة ويلسون. [ 38 ]

تكثيفات نظرية الأوتار

في النظريات المضغوطة ، تُحدد حالات حقل القياس ذات النمط الصفري، التي تُمثل تكوينات قياس نقية محليًا ولكنها غير متكافئة عالميًا مع الفراغ، بواسطة خطوط ويلسون المغلقة في الاتجاه المضغوط. إن وجود هذه الخطوط في نظرية الأوتار المفتوحة المضغوطة يُكافئ، في ظل ازدواجية T، نظرية ذات أغشية D غير متطابقة ، حيث تُحدد فواصلها بواسطة خطوط ويلسون. [ 39 ] كما تلعب خطوط ويلسون دورًا في ضغط الفضاءات المدارية ، حيث يؤدي وجودها إلى تحكم أكبر في كسر تناظر القياس ، مما يُتيح فهمًا أفضل لمجموعة القياس النهائية غير المكسورة، ويوفر أيضًا آلية للتحكم في عدد مضاعفات المادة المتبقية بعد الضغط. [ 40 ] هذه الخصائص تجعل خطوط ويلسون مهمة في ضغط نظريات الأوتار الفائقة. [ 41 ] [ 42 ]

نظرية الحقل الطوبولوجي

في نظرية الحقل الطوبولوجية ، لا تتغير القيمة المتوقعة لحلقات ويلسون تحت تأثير التشوهات السلسة للحلقة، لأن نظرية الحقل لا تعتمد على المقياس . [ 43 ] لهذا السبب، تُعد حلقات ويلسون من الكميات القابلة للرصد الرئيسية في هذه النظريات، وتُستخدم لحساب الخصائص العامة لمتشعب الزمكان .2+1{\displaystyle 2+1}ترتبط هذه الأبعاد ارتباطًا وثيقًا بنظرية العقد ، حيث تعتمد القيمة المتوقعة لحاصل ضرب الحلقات فقط على بنية المتشعب وكيفية ترابط الحلقات معًا. وقد أدى ذلك إلى الربط الشهير الذي أجراه إدوارد ويتن، حيث استخدم حلقات ويلسون في نظرية تشيرن-سيمونز لربط دالة التقسيم الخاصة بها بمتعددات حدود جونز في نظرية العقد. [ 44 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ويلسون، ك.ج. (1974). "حصر الكواركات" . مجلة الفيزياء، المجلد د . 10 (8): 2445-2459 . رمز Bibcode : 1974PhRvD..10.2445W . doi : 10.1103/PhysRevD.10.2445 .
  2. ↑ ناكاهارا، م. (2003). "10". الهندسة، والطوبولوجيا، والفيزياء ( الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. الصفحات 374-418 . ISBN   978-0-7503-0606-5.
  3. ↑ إشريج، هـ. (2011). "7". الطوبولوجيا والهندسة في الفيزياء . سلسلة محاضرات في الفيزياء. سبرينغر. ص 220-222 . ISBN  978-3-642-14699-2.
  4. ↑ شوارتز، دكتور في الطب (2014). "25". نظرية الحقل الكمومي والنموذج القياسي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 488-493 . ISBN  978-1-107-03473-0.
  5. 1 2 تونغ، د. (2018)، "2" ، ملاحظات المحاضرة حول نظرية القياس
  6. ↑ بانكس، ت .؛ سيبرغ، ن. (2011). "التناظرات والأوتار في نظرية الحقول والجاذبية". مجلة الفيزياء المراجعة د . 83 (8) 084019. arXiv : 1011.5120 . Bibcode : 2011PhRvD..83h4019B . doi : 10.1103/PhysRevD.83.084019 .
  7. ↑ جايلز، ر. (1981). "إعادة بناء كمونات القياس من حلقات ويلسون" . مجلة الفيزياء المراجعة د . 24 (8): 2160-2168 . رمز Bibcode : 1981PhRvD..24.2160G . doi : 10.1103/PhysRevD.24.2160 .
  8. ↑ عوفر، أ.؛ سيبرغ، ن .؛ تاتشيكاوا، يوجي (2013). "قراءة ما بين سطور نظريات القياس رباعية الأبعاد". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2013 (8): 115. arXiv : 1305.0318 . Bibcode : 2013JHEP...08..115A . doi : 10.1007/JHEP08(2013)115 . S2CID 118572353 . 
  9. ↑ بيسكين، مايكل إي .؛ شرودر، دانيال في. (1995). "15". مقدمة في نظرية الحقل الكمومي . دار ويستفيو للنشر. ص 492. ISBN  978-0-201-50397-5.
  10. ↑ روث، هـ. ج. (2005). "7". نظريات قياس الشبكة: مقدمة . سلسلة محاضرات وورلد ساينتيفيك في الفيزياء: المجلد 43. المجلد 82. دار النشر وورلد ساينتيفيك. الصفحات 95-108 . doi : 10.1142/8229 . ISBN   978-981-4365-85-7.
  11. ↑ سيلر، إي. (1978). "الحد الأعلى لجهد حصر اللون" . مجلة الفيزياء ، المجلد 18 (2): 482-483 . رمز Bibcode : 1978PhRvD..18..482S . doi : 10.1103/PhysRevD.18.482 .
  12. ↑ باشاس، سي. (1986). "تقعر جهد الكواركونيوم" . مجلة الفيزياء المراجعة د . 33 (9): 2723-2725 . رمز Bibcode : 1986PhRvD..33.2723B . doi : 10.1103/PhysRevD.33.2723 . PMID 9956963 . 
  13. ↑ جرينسايت، ج. (2020). "4". مقدمة في مشكلة الحصر ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ص 37-40 . ISBN   978-3-030-51562-1.
  14. ↑ ماكينكو، ي. (2002). "6". أساليب نظرية القياس المعاصرة . سلسلة دراسات كامبريدج في الفيزياء الرياضية. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 117-118 . doi : 10.1017/CBO9780511535147 . ISBN  978-0-521-80911-5.
  15. ↑ بارانجابي، م. (2017). "9". نظرية وتطبيقات حسابات الإنستانتون . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 168. ISBN  978-1-107-15547-3.
  16. ↑ بوليو، ل.؛ إيليوبولوس، ج .؛ سينيور، ر. [بالفرنسية] (2017). "25". من الحقول الكلاسيكية إلى الحقول الكمومية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 720. ISBN  978-0-19-878840-9.
  17. ↑ مونتفاي، آي.؛ مونستر، جي. (1994). "43". الحقول الكمومية على شبكة . سلسلة دراسات كامبريدج في الفيزياء الرياضية. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 105. doi : 10.1017/CBO9780511470783 . ISBN  978-0-511-47078-3. S2CID 118339104 . 
  18. ↑ ديغراند، ت.؛ ديتار، س. (2006). "11". طرق الشبكة للديناميكا اللونية الكمومية . دار النشر العالمية العلمية. ص 232-233 . رمز Bibcode : 2006lmqc.book.....D . doi : 10.1142/6065 . ISBN  978-981-256-727-7.
  19. ↑ تشين، ي.؛ وآخرون (2006). "طيف جسيمات الغلوون وعناصر المصفوفة على الشبكات غير المتناحية". مجلة الفيزياء المراجعة د . 73 (1) 014516. arXiv : hep-lat/0510074 . Bibcode : 2006PhRvD..73a4516C . doi : 10.1103/PhysRevD.73.014516 . S2CID 15741174 .  
  20. ↑ يندورين، إف جيه (2006). "9". نظرية تفاعلات الكواركات والغلوونات ( الطبعة الرابعة). سبرينغر. ص 383. ISBN   978-3-540-33209-1.
  21. ↑ جاترينجر، سي.؛ لانج، سي. بي. (2009). "3". الديناميكا اللونية الكمومية على الشبكة: عرض تقديمي تمهيدي . سلسلة محاضرات في الفيزياء 788. سبرينغر. ص 58-62 . doi : 10.1007/978-3-642-01850-3 . ISBN  978-3-642-01849-7.
  22. ↑ دروف، ج.م.؛ زوبر، ج.ب. (1983). "طرق الاقتران القوي والمجال المتوسط ​​في نظريات قياس الشبكة". تقارير الفيزياء . 102 (1): 1-119 . Bibcode : 1983PhR...102....1D . doi : 10.1016/0370-1573(83)90034-0 .
  23. ↑ لاوتروب، ب . إي .؛ ناوينبيرغ، م. (1980). "الانتقال الطوري في الديناميكا الكهربائية الكمية المدمجة رباعية الأبعاد" . رسائل الفيزياء ب . 95 (1): 63-66 . رمز Bibcode : 1980PhLB...95...63L . doi : 10.1016/0370-2693(80)90400-1 .
  24. ↑ غوث، أ.هـ. (1980). "إثبات وجود طور غير محصور في نظرية قياس الشبكة U(1) رباعية الأبعاد" . مجلة الفيزياء المراجعة د . 21 (8): 2291-2307 . رمز Bibcode : 1980PhRvD..21.2291G . doi : 10.1103/PhysRevD.21.2291 .
  25. ↑ ميغدال، أ.أ. (1983). "معادلات الحلقات وتوسيع 1/ن". تقارير الفيزياء 102 (4): 199-290 . doi : 10.1016/0370-1573(83)90076-5 .
  26. ↑ ماكينكو، واي إم؛ ميغدال، إيه إيه (1979). "معادلة دقيقة لمتوسط ​​الحلقة في نظرية الكروموديناميكا الكمية متعددة الألوان". رسائل الفيزياء ب . 88 ( 1-2 ): 135-137 . رمز Bibcode : 1979PhLB...88..135M . doi : 10.1016/0370-2693(79)90131-X .
  27. ↑ ناستاس، هـ. (2019). "50". مقدمة في نظرية الحقل الكمومي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 469-472 . ISBN  978-1-108-49399-4.
  28. ↑ كازاكوف، ف.أ.؛ كوستوف، إ.ك. (1980). "الأوتار غير الخطية في نظرية القياس ثنائية الأبعاد U(∞)". الفيزياء النووية ب . 176 (1): 199-215 . Bibcode : 1980NuPhB.176..199K . doi : 10.1016/0550-3213(80)90072-3 .
  29. ↑ ماندلشتام، س. (1968). "قواعد فاينمان للحقول الكهرومغناطيسية وحقول يانغ-ميلز من خلال الصيغة النظرية للحقول المستقلة عن القياس" . مجلة الفيزياء ، 175 (5): 1580-1603 . رمز Bibcode : 1968PhRv..175.1580M . doi : 10.1103/PhysRev.175.1580 .
  30. ↑ غامبيني، ر. (2008). "3". الحلقات، والعقد، ونظريات القياس . ص 63-67 . ISBN  978-0-521-65475-3.
  31. ↑ كورتشيمسكايا، إي. أ.؛ كورتشيمسكي، ج. ب. (1992). "حول حلقات ويلسون الشبيهة بالضوء". رسائل الفيزياء ب . 287 (1): 169-175 . رمز Bibcode : 1992PhLB..287..169K . doi : 10.1016/0370-2693(92)91895-G .
  32. ↑ بولياكوف، أ.م. (1980). "حقول القياس كحلقات من الغراء". الفيزياء النووية ب . 164 : 171-188 . رمز Bibcode : 1980NuPhB.164..171P . doi : 10.1016/0550-3213(80)90507-6 .
  33. ↑ براندت، ر. أ.؛ نيري، ف.؛ ساتو، م. (1981). "إعادة تطبيع دوال الحلقات لجميع الحلقات" . مجلة الفيزياء ، المجلد 24 (4): 879-902 . رمز Bibcode : 1981PhRvD..24..879B . doi : 10.1103/PhysRevD.24.879 .
  34. ↑ كورتشيمسكي، جي بي؛ راديوشكين، إيه في (1987). "إعادة تطبيع حلقات ويلسون بعد الرتبة الرئيسية". الفيزياء النووية ب . 283 : 342-364 . Bibcode : 1987NuPhB.283..342K . doi : 10.1016/0550-3213(87)90277-X .
  35. ↑ ألداي، ل. ف .؛ رادو، ر. (2008). "سعات التشتت، حلقات ويلسون، وتوافق نظرية الأوتار/المقاييس". تقارير الفيزياء 468 (5): 153-211 . arXiv : 0807.1889 . Bibcode : 2008PhR...468..153A . doi : 10.1016/j.physrep.2008.08.002 . S2CID 119220578 . 
  36. ↑ ألداي، إل إف ؛ مالداسينا، جيه إم (2007). "سعات تشتت الغلوون عند الاقتران القوي". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 6 (6): 64. arXiv : 0705.0303 . Bibcode : 2007JHEP...06..064A . doi : 10.1088/1126-6708/2007/06/064 . S2CID 10711473 . 
  37. ↑ هين، ج.م. [بالألمانية] (2014). "4". سعات التشتت في نظريات القياس . سبرينغر. ص 153-158 . ISBN  978-3-642-54021-9.
  38. ↑ كارون-هوت، س. [بالألمانية] (2011). "ملاحظات حول ازدواجية سعات التشتت/حلقة ويلسون". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2011 (7) 58. arXiv : 1010.1167 . Bibcode : 2011JHEP...07..058C . doi : 10.1007/JHEP07(2011)058 . S2CID 118676335 . 
  39. ↑ بولشينسكي، ج. (1998). "8". نظرية الأوتار، المجلد الأول: مقدمة إلى الأوتار البوزونية . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 263-268 . ISBN  978-0-14-311379-9.
  40. ↑ إيبانيز، إل إي؛ نيلز، إتش بي؛ كويفيدو، إف. (1986). "المدارات المتشعبة وخطوط ويلسون" . رسائل الفيزياء ب . 187 ( 1-2 ): 25-32 . doi : 10.1016/0370-2693(87)90066-9 .
  41. ↑ بولشينسكي، ج. (1998). "16". نظرية الأوتار، المجلد الثاني: نظرية الأوتار الفائقة وما بعدها . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 288-290 . ISBN  978-1-55143-976-1.
  42. ↑ تشوي، ك.س.؛ كيم، ج.إ. (2020). الكواركات واللبتونات من نظرية الأوتار الفائقة ذات الطيات المدارية ( الطبعة الثانية). ISBN  978-3-030-54004-3.
  43. ↑ فرادكين، إي. (2021). "22". نظرية الحقل الكمومي: منهج متكامل . مطبعة جامعة برينستون. ص 697. ISBN  978-0-691-14908-0.
  44. ↑ ويتن، إي. (1989). "نظرية الحقل الكمومي ومتعددة حدود جونز" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 121 (3): 351-399 . رمز Bibcode : 1989CMaPh.121..351W . doi : 10.1007/BF01217730 . S2CID 14951363 .