إسقاط ميركاتور المستعرض

يُعدّ إسقاط مركاتور تحويلاً توافقياً، بغض النظر عن كونه عمودياً أو مائلاً أو مستعرضاً. وتُوضَّح هذه الخاصية من خلال رسم متحرك ينتقل بسلاسة من الوضع العمودي (الإسقاط الاستوائي) إلى الوضع المستعرض لإسقاط مركاتور الكروي. وتبقى المؤشرات دائرية في جميع أنحاء الخريطة، وإن اختلفت أحجامها نتيجةً لتغيرات المقياس المحلي.

أثناء التحويل، يدور خط الزوال المركزي من المحور الصادي في الإسقاط القطبي إلى المحور السيني في الإسقاط المستعرض، كما لو أن الأرض تدور داخل أسطوانة الإسقاط . في كلتا الحالتين، يُطبق الاقتصاص بشكل متناظر على المحور الصادي ، محور الأسطوانة، بحيث لا يتغير شكل الخريطة. يُبرز خط استواء الأرض بخط أخضر سميك، ويمتد إلى ما لا نهاية في الإسقاط المستعرض.

• بالقرب من خط الزوال المركزي (غرينتش في المثال أعلاه) يكون الإسقاط منخفض التشوه وتكون أشكال أفريقيا وأوروبا الغربية والجزر البريطانية وغرينلاند والقارة القطبية الجنوبية قابلة للمقارنة بشكل إيجابي مع الكرة الأرضية.
• المناطق المركزية للإسقاطات المستعرضة على الكرة والقطع الناقص لا يمكن تمييزها في الإسقاطات صغيرة النطاق المعروضة هنا.
• تُسقط خطوط الطول الواقعة عند 90 درجة شرقًا وغربًا من خط الطول المركزي المُختار على شكل خطوط أفقية تمر عبر القطبين. ويُسقط نصف الكرة الأرضية الأبعد فوق القطب الشمالي وتحت القطب الجنوبي.
• يقسم خط الاستواء أفريقيا إلى نصفين، ويعبر أمريكا الجنوبية، ثم يمتد إلى الحدود الخارجية الكاملة للإسقاط؛ يجب تحديد الحواف العلوية والسفلية والحواف اليمنى واليسرى (أي أنها تمثل الخطوط نفسها على الكرة الأرضية). (إندونيسيا مقسومة إلى نصفين).
• يزداد التشوه باتجاه الحدود اليمنى واليسرى للإسقاط، ولكنه لا يصل إلى ما لا نهاية. لاحظ جزر غالاباغوس حيث يلتقي خط الزوال الغربي 90 درجة بخط الاستواء في أسفل اليسار.
• الخريطة متطابقة. الخطوط المتقاطعة عند أي زاوية محددة على سطح القطع الناقص تُسقط على خطوط متقاطعة بنفس الزاوية على الإسقاط. وعلى وجه الخصوص، تتقاطع خطوط العرض وخطوط الطول بزاوية 90 درجة.
• عامل مقياس النقطة مستقل عن الاتجاه عند أي نقطة، مما يحافظ على شكل منطقة صغيرة بشكل معقول. الشرط الضروري هو ألا يتغير مقدار عامل المقياس كثيرًا في المنطقة المعنية. تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من تشوه أمريكا الجنوبية بشكل كبير، فإن جزيرة سيلان صغيرة بما يكفي للحفاظ على شكلها بشكل معقول، على الرغم من بعدها عن خط الزوال المركزي.
• يؤثر اختيار خط الزوال المركزي بشكل كبير على شكل الإسقاط. فإذا تم اختيار 90 درجة غربًا، فإن الأمريكتين بأكملها تبدو مناسبة. أما إذا تم اختيار 145 درجة شرقًا، فإن الشرق الأقصى يبدو جيدًا، وتكون أستراليا موجهة نحو الشمال.

في معظم التطبيقات، يُطبَّق نظام إحداثيات غاوس-كروجر على شريط ضيق بالقرب من خطوط الطول المركزية، حيث تكون الفروقات بين النسختين الكروية والإهليلجية ضئيلة، ولكنها مع ذلك مهمة في رسم الخرائط بدقة. تُعدّ المتسلسلات المباشرة للمقياس والتقارب والتشويه دوالًا للانحراف المركزي وخطي العرض والطول على الإهليلج، بينما تُعدّ المتسلسلات العكسية دوالًا للانحراف المركزي ومحوري x و y على الإسقاط. في نسخة القاطع، لم تعد خطوط المقياس الحقيقي على الإسقاط موازية لخط الطول المركزي، بل تنحني قليلًا. لم تعد زاوية التقارب بين خطوط الطول المسقطة وخطوط الشبكة الثابتة x تساوي صفرًا (باستثناء خط الاستواء)، لذا يجب تصحيح اتجاه الشبكة للحصول على السمت من الشمال الحقيقي. الفرق ضئيل، ولكنه ليس مهملًا، خاصةً عند خطوط العرض العليا.

في ورقته البحثية التي نشرها عام 1912 ^{[ 6 ]} ، قدم كروجر حلين متميزين، يتم تمييزهما هنا بواسطة معامل التوسع:

• كروجر – ن (الفقرات من 5 إلى 8): صيغ الإسقاط المباشر، التي تعطي الإحداثيات س و ص ، هي متسلسلات من الدرجة الرابعة بدلالة التسطيح الثالث، ن (نسبة الفرق إلى مجموع المحورين الأكبر والأصغر للقطع الناقص). تُعبَّر المعاملات بدلالة خط العرض ( φ )، وخط الطول ( λ )، والمحور الأكبر ( a )، والانحراف المركزي ( e ). أما الصيغ العكسية لـ φ و λ فهي أيضًا متسلسلات من الدرجة الرابعة بدلالة ن، ولكن بمعاملات تُعبَّر بدلالة س ، ص ، أ ، و e .
• كروجر- λ (الفقرتان 13 و14): الصيغ التي تعطي إحداثيات الإسقاط x و y هي متسلسلات (من الرتبتين 5 و4 على التوالي) بدلالة خط الطول λ ، معبرًا عنه بالراديان: المعاملات معبر عنها بدلالة φ و a و e . الإسقاط العكسي لـ φ و λ هو متسلسلات من الرتبة السادسة بدلالة النسبة x / a ، مع معاملات معبر عنها بدلالة y و a و e . (انظر: إسقاط ميركاتور المستعرض: متسلسلة ريدفيرن ).

كانت سلسلة Krüger– λ هي الأولى التي تم تطبيقها، ربما لأنها كانت أسهل بكثير في التقييم على الآلات الحاسبة اليدوية في منتصف القرن العشرين.

• لي – ريدفيرن – مكتب الإحداثيات البريطاني : في عام 1945، أكد إل بي لي ^{[ 9 ]} صحة متسلسلات λ لكروجر واقترح اعتمادها من قبل مكتب الإحداثيات البريطاني ^{[ 10 ].} لكن ريدفيرن (1948) ^{[ 11 ]} أشار إلى عدم دقتها بسبب (أ) خطوط العرض العالية نسبيًا لبريطانيا العظمى، و(ب) اتساع المنطقة التي تم رسم خرائطها، والتي تتجاوز 10 درجات طولية. قام ريدفيرن بتوسيع المتسلسلة إلى الرتبة الثامنة ودرس الحدود اللازمة لتحقيق دقة 1  مم (قياس أرضي). ولا تزال متسلسلة ريدفيرن أساس إسقاطات خرائط مكتب الإحداثيات البريطاني. ^{[ 10 ]}
• نظام الإحداثيات العالمي الموحد (UTM) من توماس : أكد بول توماس في عام 1952 صحة معادلات كروجر λ : ^{[ 12 ]} وهي متاحة بسهولة في كتاب سنايدر. ^{[ 13 ]} وقد اعتمدت وكالة رسم الخرائط الدفاعية الأمريكية صيغ الإسقاط الخاصة به، المكافئة تمامًا لتلك التي قدمها ريدفيرن، كأساس لنظام الإحداثيات العالمي الموحد (UTM) . ^{[ 14 ]} كما تم دمجها في محول الإحداثيات GEOTRANS ^{[ 15 ]} الذي يوفره مكتب الجيوماتكس التابع للوكالة الوطنية الأمريكية للاستخبارات الجغرافية المكانية.
• دول أخرى : تُعدّ سلسلة ريدفيرن أساسًا لرسم الخرائط الجيوديسية في العديد من البلدان، منها على سبيل المثال لا الحصر: أستراليا، وألمانيا، وكندا، وجنوب إفريقيا. (يُمكن الاطلاع على قائمة بهذه الدول في الملحق أ.1 من كتاب ستويفبيرجن 2009). ^{[ 16 ]}
• تم اقتراح العديد من المتغيرات لسلسلة ريدفيرن، لكن تلك التي اعتمدتها وكالات رسم الخرائط الوطنية هي فقط ذات أهمية. للاطلاع على مثال للتعديلات التي لا تحظى بهذا الاعتماد، انظر: سلسلة بورينغ (نظام ميركاتور المستعرض ). وقد طغت قوة الحواسيب الحديثة وتطوير متسلسلات n عالية الرتبة الموضحة أدناه على جميع هذه التعديلات. مع ذلك، لا يمكن تجاهل سلسلة ريدفيرن الدقيقة، على الرغم من كونها منخفضة الرتبة، لأنها لا تزال مُدرجة في التعريفات شبه القانونية لنظامي OSGB وUTM وغيرهما.

تم تطبيق متسلسلة كروجر- ن (حتى الرتبة الرابعة في ن ) من قبل الدول التالية.

• فرنسا ^{[ 17 ]}
• فنلندا ^{[ 18 ]}
• السويد ^{[ 19 ]}
• اليابان ^{[ 20 ]}

تم تطبيق نسخ ذات رتب أعلى من متسلسلة كروجر- ن حتى الرتبة السابعة بواسطة إنجساجر وبودر ^{[ 21 ]} ، وحتى الرتبة العاشرة بواسطة كاواسي ^{[ 22 ]} . وباستثناء توسيع متسلسلة للتحويل بين خط العرض وخط العرض المطابق، قام كارني بتطبيق المتسلسلة حتى الرتبة الثلاثين ^{[ 23 ] .}

وصف إل بي لي حلاً دقيقاً من ابتكار إي إتش طومسون. ^{[ 8 ]} وقد بُني هذا الحل باستخدام الدوال الإهليلجية (المُعرّفة في الفصلين 19 و22 من دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ^{[ 24 ]} )، والتي يُمكن حسابها بدقة عالية باستخدام أنظمة الحوسبة الجبرية مثل ماكسيما. ^{[ 25 ]} وقد وصف كارني (2011) تطبيقاً مماثلاً لهذا الحل الدقيق. ^{[ 23 ] [ 26 ]}

يُعدّ الحل الدقيق أداةً قيّمةً لتقييم دقة سلسلتي n و λ المقتطعتين . فعلى سبيل المثال، تُقارن سلسلة Krüger- n الأصلية لعام 1912 بشكلٍ ممتاز مع القيم الدقيقة: إذ لا يتجاوز الفرق بينهما 0.31  ميكرومتر ضمن مسافة 1000  كيلومتر من خط الزوال المركزي، ولا يتجاوز 1  مليمتر حتى مسافة 6000  كيلومتر. من جهة أخرى، لا يتجاوز الفرق بين سلسلة Redfearn المستخدمة في GEOTRANS والحل الدقيق 1  مليمتر حتى فرق في خط الطول يبلغ 3 درجات، وهو ما يُعادل مسافة 334  كيلومترًا من خط الزوال المركزي عند خط الاستواء، ولكنه لا يتجاوز 35  كيلومترًا عند الحد الشمالي لمنطقة UTM. وبالتالي، فإن سلسلة Krüger- n أفضل بكثير من سلسلة Redfearn λ .

تتدهور دقة سلسلة ريدفيرن بشكل ملحوظ مع اتساع المنطقة. ويناقش كارني غرينلاند كمثال توضيحي. تقع هذه الكتلة الأرضية الطويلة والضيقة عند خط طول 42 غربًا، ولا تبعد في أوسع نقطة لها أكثر من 750  كيلومترًا عن هذا الخط، بينما يصل امتدادها الطولي إلى ما يقارب 50 درجة. تتميز سلسلة كروجر- ن بدقة تصل إلى 1  مليمتر، بينما تصل نسبة الخطأ القصوى في نسخة ريدفيرن من سلسلة كروجر- λ  إلى كيلومتر واحد .

تتميز سلسلة كارني الخاصة من الدرجة الثامنة (في n ) بدقة تصل إلى 5  ميل بحري في حدود 3900  كيلومتر من خط الزوال المركزي.

تُستخرج قيم x و y من خط العرض ( φ ) وخط الطول ( λ ). تُوصف الإسقاطات الأسطوانية العمودية بالنسبة لأسطوانة مماسية عند خط الاستواء، ومحورها y موازٍ للمحور القطبي للكرة. يتوافق خط الاستواء مع محور x ، لذا فإن قيمة الإحداثي x تتناسب طرديًا مع λ .

يتم إنشاء الإسقاطات الأسطوانية بحيث يتم إسقاط جميع النقاط على خط الزوال إلى نقاط ذات${\displaystyle x=a\lambda }$(أين${\displaystyle a}$( نصف قطر الأرض ) و${\displaystyle y}$هي وظيفة محددة لـ${\displaystyle \phi }$بالنسبة لإسقاط ميركاتور العادي المماسي، فإن الصيغ (الفريدة) التي تضمن المطابقة هي: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle x=a\lambda \,,\qquad y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right].}$$ يشير التوافق إلى أن مقياس النقطة ، k ، مستقل عن الاتجاه: فهو دالة لخط العرض فقط: $${\displaystyle k(\varphi )=\sec \varphi .\,}$$ بالنسبة لنسخة القاطع من الإسقاط، يوجد عامل k ₀ على الجانب الأيمن من جميع هذه المعادلات: وهذا يضمن أن المقياس يساوي k ₀ على خط الاستواء.

يوضح الشكل على اليسار العلاقة بين أسطوانة مستعرضة وشبكة الإحداثيات التقليدية على الكرة الأرضية. وهي مماسية لخط زوال مختار عشوائيًا، ومحورها عمودي على محور الكرة. يرتبط المحوران س و ص الموضحان في الشكل بخط الاستواء وخط الزوال المركزي تمامًا كما هو الحال في الإسقاط العمودي. أما في الشكل على اليمين، فترتبط شبكة إحداثيات مُدارة بالأسطوانة المستعرضة بنفس طريقة ارتباط الأسطوانة العمودية بشبكة الإحداثيات القياسية. يُحدد خط الاستواء والقطبان (شرقًا وغربًا) وخطوط الزوال لشبكة الإحداثيات المُدارة بخط الزوال المركزي المختار، ونقاط على خط الاستواء تقع على بُعد 90 درجة شرقًا وغربًا من خط الزوال المركزي، ودوائر عظمى تمر بتلك النقاط.

يمكن تحديد موقع أي نقطة ( φ ، λ ) على شبكة الإحداثيات القياسية بدلالة الزوايا على شبكة الإحداثيات المُدارة: φ′ (الزاوية M′CP ) هي خط عرض فعلي، و− λ ′ (الزاوية M′CO ) هي خط طول فعلي. (الإشارة السالبة ضرورية لكي ترتبط ( φ′ ، λ′ ) بشبكة الإحداثيات المُدارة بنفس الطريقة التي ترتبط بها ( φ ، λ ) بشبكة الإحداثيات القياسية). ترتبط محاور الإحداثيات الديكارتية ( x′ ، y′ ) بشبكة الإحداثيات المُدارة بنفس الطريقة التي ترتبط بها محاور ( x ، y ) بشبكة الإحداثيات القياسية.

يُعرّف إسقاط ميركاتور المستعرض المماسي الإحداثيات ( x′ , y′ ) بدلالة −λ ′ و φ′ من خلال صيغ التحويل لإسقاط ميركاتور العمودي المماسي: $${\displaystyle x'=-a\lambda '\,\qquad y'={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi '}{1-\sin \varphi '}}\right].}$$ يُسقط هذا التحويل خط الزوال المركزي إلى خط مستقيم ذي طول محدود، وفي الوقت نفسه يُسقط الدوائر العظمى المارة شرقًا وغربًا (والتي تشمل خط الاستواء) إلى خطوط مستقيمة لانهائية عمودية على خط الزوال المركزي. أما خطوط العرض والزوال الحقيقية (باستثناء خط الاستواء وخط الزوال المركزي) فلا تربطها علاقة بسيطة بشبكة الإحداثيات المُدارة، بل تُسقط إلى منحنيات معقدة.

ترتبط زوايا شبكتي الإحداثيات باستخدام حساب المثلثات الكروية على المثلث الكروي NM′P المحدد بخط الزوال الحقيقي المار بنقطة الأصل، OM′N ، وخط الزوال الحقيقي المار بنقطة اختيارية، MPN ، والدائرة العظمى WM′PE . والنتائج هي: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}}$$

تُستنتج الصيغ المباشرة التي تُعطي الإحداثيات الديكارتية ( س ، ص ) مباشرةً مما سبق. بوضع س  = ص′  و ص  =  -س ′ (وإعادة عوامل ك _٠ لاستيعاب صيغ القاطع). $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}}$$ تم تقديم التعبيرات المذكورة أعلاه في لامبرت ^{[ 1 ]} وأيضًا (بدون اشتقاقات) في سنايدر ^{[ 13 ]} ومالينج ^{[ 28 ]} وأوزبورن ^{[ 27 ]} (مع التفاصيل الكاملة).

بعكس المعادلات أعلاه نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}}$$

بالنسبة للإحداثيات بالنسبة للشبكة المدورة، يتم إعطاء عامل مقياس النقطة بواسطة k  =  sec φ′  : يمكن التعبير عن ذلك إما بدلالة الإحداثيات الجغرافية أو بدلالة إحداثيات الإسقاط: $${\displaystyle {\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$$ يُظهر التعبير الثاني أن عامل المقياس هو ببساطة دالة للمسافة من خط الزوال المركزي للإسقاط. القيمة النموذجية لعامل المقياس هي k₀ = 0.9996 _،   بحيث يكون k  =  1 عندما تكون x تساوي تقريبًا 180  كم. عندما تكون x تساوي تقريبًا 255  كم و k₀ = _1.0004 ، يكون عامل المقياس ضمن نطاق   0.04% من الواحد على شريط  عرضه حوالي 510 كم.

تُعرَّف زاوية التقارب γ عند نقطة على الإسقاط بأنها الزاوية المقاسة من خط الزوال المُسقط، الذي يُحدد الشمال الحقيقي، إلى خط شبكي ذي قيمة ثابتة x ، يُحدد شمال الشبكة. لذا، تكون γ موجبة في الربع الشمالي من خط الاستواء وشرق خط الزوال المركزي، وكذلك في الربع الجنوبي من خط الاستواء وغرب خط الزوال المركزي. يجب إضافة التقارب إلى اتجاه الشبكة للحصول على اتجاه من الشمال الحقيقي. بالنسبة لإسقاط ميركاتور القاطع المستعرض، يمكن التعبير عن التقارب ^{[ 27 ]} إما بدلالة الإحداثيات الجغرافية أو بدلالة إحداثيات الإسقاط. $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$$