حلقة الصفر

في نظرية الحلقات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعرف الحلقة الصفرية ^{[ 1 ] [ 2 ]} أو الحلقة التافهة بأنها الحلقة الوحيدة (حتى التشاكل ) التي تتكون من عنصر واحد. (في حالات أقل شيوعًا، يُستخدم مصطلح "الحلقة الصفرية" للإشارة إلى أي حلقة ذات مربع صفري ، أي حلقة يكون فيها xy = 0 لجميع قيم x و y . تشير هذه المقالة إلى الحلقة ذات العنصر الواحد).

في فئة الحلقات ، تعتبر الحلقة الصفرية هي الكائن النهائي ، بينما تعتبر حلقة الأعداد الصحيحة Z هي الكائن الأولي .

تتكون الحلقة الصفرية، التي يرمز لها بـ {0} أو ببساطة 0 ، من المجموعة المكونة من عنصر واحد {0} مع العمليات + و · ​​المعرفة بحيث يكون 0 + 0 = 0 و 0 · 0 = 0.

• الحلقة الصفرية هي الحلقة الوحيدة التي يتطابق فيها العنصر المحايد الجمعي 0 مع العنصر المحايد الضربي 1. ^{[ 1 ] [ 3 ]} (البرهان: إذا كان 1 = 0 في حلقة R ، فإنه لكل r في R ، يكون لدينا r = 1 ، r = 0 ، r = 0. يمكن الاطلاع على برهان المساواة الأخيرة هنا .)
• الحلقة الصفرية تبديلية.
• العنصر 0 في الحلقة الصفرية هو عنصر وحدة ، ويعمل كمعكوس ضربي خاص به .
• مجموعة الوحدة للحلقة الصفرية هي المجموعة التافهة {0}.
• العنصر 0 في حلقة الصفر ليس قاسمًا للصفر .
• المثالي الوحيد في الحلقة الصفرية هو المثالي الصفري {0}، وهو أيضاً المثالي الوحدوي، ويساوي الحلقة بأكملها. هذا المثالي ليس مثالياً أعظمياً ولا مثالياً أولياً .
• تُستبعد الحلقة الصفرية عمومًا من الحقول ، ويُطلق عليها أحيانًا اسم الحقل التافه . ويتوافق استبعادها مع حقيقة أن مثاليتها الصفرية ليست قصوى. (عندما يتحدث الرياضيون عن " حقل ذي عنصر واحد "، فإنهم يشيرون إلى كائن غير موجود، وقصدهم هو تعريف الفئة التي ستكون فئة المخططات على هذا الكائن لو كان موجودًا).
• تُستثنى الحلقة الصفرية عمومًا من المجالات التكاملية . ^{[ 4 ]} إن اعتبار الحلقة الصفرية مجالًا من عدمه مسألة اصطلاحية، ولكن ثمة ميزتان لاستبعادها. أولًا، يتوافق هذا مع تعريف المجال بأنه حلقة يكون فيها الصفر هو القاسم الوحيد للصفر (وبالتحديد، يُشترط أن يكون الصفر قاسمًا للصفر، وهو ما لا يتحقق في الحلقة الصفرية). ثانيًا، بهذه الطريقة، بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، تكون الحلقة Z / nZ مجالًا إذا وفقط إذا كان n عددًا أوليًا، ولكن 1 ليس عددًا أوليًا .
• لكل حلقة A ، يوجد تشاكل حلقي وحيد من A إلى الحلقة الصفرية. وبالتالي، فإن الحلقة الصفرية هي كائن نهائي في فئة الحلقات . ^{[ 5 ]}
• إذا كانت A حلقة غير صفرية، فلا يوجد تشاكل حلقي من الحلقة الصفرية إلى A. وعلى وجه الخصوص، فإن الحلقة الصفرية ليست حلقة جزئية من أي حلقة غير صفرية. ^{[ 5 ]}
• الحلقة الصفرية هي الحلقة الفريدة ذات الخاصية 1.
• الوحدة الوحيدة للحلقة الصفرية هي الوحدة الصفرية. وهي خالية من الرتبة ΐ لأي عدد أصلي ΐ.
• الحلقة الصفرية ليست حلقة محلية ، ولكنها حلقة شبه محلية .
• الحلقة الصفرية هي أرتينية (وبالتالي) نوثرية .
• طيف الحلقة الصفرية هو المخطط الفارغ . ^{[ 5 ]}
• البعد الكرولي للحلقة الصفرية هو − ∞.
• الحلقة الصفرية شبه بسيطة ولكنها ليست بسيطة .
• الحلقة الصفرية ليست جبرًا مركزيًا بسيطًا على أي حقل.
• الحلقة الكلية الخارجة من الحلقة الصفرية هي نفسها.

• لأي حلقة A ومثالي I من A ، فإن خارج القسمة A / I هو الحلقة الصفرية إذا وفقط إذا كان I = A ، أي إذا وفقط إذا كان I هو المثال الوحدوي .
• بالنسبة لأي حلقة تبديلية A ومجموعة ضربية S في A ، فإن التوطين S ⁻¹ A هو الحلقة الصفرية إذا وفقط إذا كانت S تحتوي على 0.
• إذا كانت A أي حلقة، فإن الحلقة M ₀ ( A ) من المصفوفات 0 × 0 على A هي الحلقة الصفرية.
• الناتج المباشر لمجموعة فارغة من الحلقات هو الحلقة الصفرية.
• حلقة التشاكل الداخلي للمجموعة التافهة هي الحلقة الصفرية.
• حلقة الدوال الحقيقية المتصلة على الفضاء الطوبولوجي الفارغ هي الحلقة الصفرية.

• آرتين، مايكل (1991)، الجبر ، برنتيس هول
• أتيياه، إم إف ؛ ماكدونالد، آي جي (1969)، مقدمة في الجبر التبادلي ، أديسون-ويسلي
• بوش، سيغفريد (2012)، الهندسة الجبرية والجبر التبادلي ، سبرينغر
• بورباكي، ن. ، الجبر ١، الفصول ١-٣
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، سبرينغر
• لام، تي واي (2003)، تمارين في نظرية الحلقات الكلاسيكية ، سبرينغر
• لانج، سيرج (2002)، الجبر (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر