زوجان من توسي

زوج توسي ( المعروف أيضًا بآلية توسي ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ) هو أداة رياضية تدور فيها دائرة صغيرة داخل دائرة أكبر قطرها ضعف قطر الدائرة الصغيرة. تتسبب دورات الدائرتين في تذبذب نقطة على محيط الدائرة الصغيرة ذهابًا وإيابًا في حركة خطية على طول قطر الدائرة الكبيرة. زوج توسي هو شكل منحني ذو سطحين متماثلين .

اقترح الفلكي والرياضي الفارسي ناصر الدين الطوسي، في القرن الثالث عشر، هذا الزوج لأول مرة في كتابه "تحرير المجسطي" ( شرح المجسطي ) عام 1247 كحل لحركة الكواكب الداخلية على خطوط العرض ^{[ 4 ]} ، ثم استُخدم لاحقًا على نطاق واسع كبديل لنقطة التوازن التي تم تقديمها قبل أكثر من ألف عام في كتاب المجسطي لبطليموس . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

تشير ترجمة نسخة وصف طوسي الأصلي لنموذجه الهندسي إلى وجود انعكاس واحد على الأقل للنموذج يمكن رؤيته في الرسوم البيانية:

إذا افترضنا أن دائرتين متوازيتين، قطر إحداهما يساوي نصف قطر الأخرى، متماستان داخليًا عند نقطة ما، وإذا اخترنا نقطة على الدائرة الأصغر - ولتكن عند نقطة التماس - وإذا تحركت الدائرتان بحركات بسيطة في اتجاهين متعاكسين بحيث تكون حركة الدائرة الأصغر ضعف حركة الدائرة الأكبر، أي أن الدائرة الأصغر تُكمل دورتين مقابل كل دورة للدائرة الأكبر، فسنلاحظ أن تلك النقطة تتحرك على قطر الدائرة الأكبر التي تمر في البداية بنقطة التماس، متذبذبة بين طرفي القطر. ^{[ 8 ]}

جبريًا، يمكن التعبير عن النموذج باستخدام الأعداد المركبة كما يلي:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)e^{i\theta }-{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }=i\,\sin \theta .}$

وقد لاحظ معلقون آخرون أنه يمكن تفسير زوج توسي على أنه منحنى متدحرج حيث يحقق دوران الدائرة الداخلية شرط عدم الانزلاق حيث تتحرك نقطة التماس الخاصة بها على طول الدائرة الخارجية الثابتة.

مصطلح "زوج الطوسي" مصطلح حديث، صاغه إدوارد ستيوارت كينيدي عام ١٩٦٦. ^{[ ٩ ]} وهو أحد الأجهزة الفلكية الإسلامية المتأخرة التي تحمل تشابهاً لافتاً مع نماذج نيكولاس كوبرنيكوس في كتابه " في دوران الأجرام السماوية "، بما في ذلك نموذجه لعطارد ونظريته عن الرجفة . يرجح المؤرخون أن كوبرنيكوس أو مؤلف أوروبي آخر كان لديه اطلاع على نص فلكي عربي، لكن لم يتم تحديد سلسلة نقل دقيقة حتى الآن. ^{[ ١٠ ]} وقد اقتُرح العالم والرحالة غيوم بوستيل، الذي عاش في القرن السادس عشر، كأحد المساهمين المحتملين. ^{[ ١١ ] [ ١٢ ]}

بما أن كوبرنيكوس استخدم زوج الطوسي في إعادة صياغته لعلم الفلك الرياضي، فهناك إجماع متزايد على أنه اطلع على هذه الفكرة بطريقة ما. وقد أشير ^{[ 13 ] [ 14 ]} إلى أن فكرة زوج الطوسي ربما وصلت إلى أوروبا تاركةً آثارًا قليلة من المخطوطات، إذ كان من الممكن أن يحدث ذلك دون ترجمة أي نص عربي إلى اللاتينية. ولعل أحد مسارات انتقالها المحتملة كان عبر العلوم البيزنطية ؛ فقد ترجم غريغوريوس شيونيادس بعض أعمال الطوسي من العربية إلى اليونانية البيزنطية . ولا تزال عدة مخطوطات يونانية بيزنطية تحتوي على زوج الطوسي موجودة في إيطاليا. ^{[ 15 ]} وثمة احتمال آخر هو أنه اطلع على مخطوطة "تقويم المنحنيات" (سفر مياشر عقوف) أثناء دراسته في إيطاليا. ^{[ 16 ]}

بينما يُبيّن نموذج الطوسي كيفية الحصول على حركة مستقيمة من حركتين دائريتين، يُظهر شرح بروكلس للكتاب الأول من إقليدس، على النقيض من ذلك، كيفية الحصول على حركة دائرية من حركتين مستقيمتين. [17] في أسئلته حول الكرة (التي كُتبت قبل عام 1362)، وصف نيكول أورسم كيفية دمج الحركات الدائرية لإنتاج حركة خطية ترددية لكوكب على طول نصف قطر فلكه التدويري . ^{وصف أورسم غير} واضح ، وليس من المؤكد ما إذا كان هذا يُمثل ابتكارًا مستقلًا أم محاولة لفهم نص عربي غير مفهوم جيدًا. ^{[ 18 ]}

على الرغم من أن زوج توسي طُوِّر في سياق فلكي، فقد طوّر علماء الرياضيات والمهندسون اللاحقون نسخًا مشابهة لما أصبح يُعرف بآليات الخط المستقيم الهيبوسيكلويد . صمّم عالم الرياضيات جيرولامو كاردانو نظامًا يُعرف بحركة كاردان (أو ترس كاردان ). ^{[ 19 ]} كما طوّر مهندسو القرن التاسع عشر، جيمس وايت، ^{[ 20 ]} وماثيو موراي ، ^{[ 21 ]} بالإضافة إلى مصممين لاحقين، تطبيقات عملية لآلية الخط المستقيم الهيبوسيكلويد.

في عام 2021، طوّر جون غودمان نسخة عملية وبسيطة ميكانيكيًا من زوج توسي، تتجنب استخدام ترس حافة خارجي، بهدف توفير حركة خطية. ^{[ 22 ]} تستخدم هذه النسخة ثلاثة تروس أسطوانية قياسية. يُركّب ذراع دوّار (أزرق) على عمود مركزي، مُثبّت عليه ترس ثابت (أصفر). يتعشّق ترس وسيط (أحمر) على الذراع مع الترس الثابت. يتعشّق ترس ثالث (أخضر) مع الترس الوسيط، ويحتوي هذا الترس على نصف عدد أسنان الترس الثابت. يُثبّت ذراع (برتقالي) على الترس الثالث. إذا كان طول الذراع يساوي المسافة بين الترس الثابت والترس الخارجي = d، فإن الذراع سيرسم خطًا مستقيمًا بمدى حركة = 2d. من مزايا هذا التصميم أنه في حال عدم توفير التروس ذات المعامل القياسي لمدى الحركة المطلوب، فلا يشترط أن يكون الترس الوسيط على استقامة واحدة مع الترسين الآخرين.

من خصائص زوج توسي أن النقاط الواقعة على الدائرة الداخلية والتي لا تقع على محيطها ترسم أشكالًا بيضاوية . هذه الأشكال البيضاوية، والخط المستقيم الذي يرسمه زوج توسي الكلاسيكي، هي حالات خاصة من الأشكال الهيبوتروكويدية . ^{[ 23 ]}

• منحنى العضلة الدالية
• تروس إيبسيكلية
• مخرطة هندسية
• غيوشيه
• محرك موراي ذو الحركة الدورانية الفائقة ، الذي يستخدم زوج توسي كبديل لأدلة العارضة أو الحركة المتوازية
• سبيروغراف
• آلية الخط المستقيم

• دي بونو، ماريو (1995). "جهاز كوبرنيكوس، أميكو، فراكاستورو، وتوسي: ملاحظات حول استخدام نموذج ونقله". مجلة تاريخ علم الفلك . 26 (2): 133-154 . Bibcode : 1995JHA....26..133D . doi : 10.1177/002182869502600203 . S2CID 118330488 . 
• كينيدي، إي إس (1966). "نظرية الكواكب في أواخر العصور الوسطى". إيزيس . 57 (3): 365-378 . doi : 10.1086/350144 . S2CID 143569912 . 
• كرين، كلوديا (1971). "جهاز الدحرجة لنصر الدين الطوسي في ديسبيرا لنيكول أورسم". إيزيس . 62 (4): 490-498 . دوى : 10.1086/350791 . S2CID 144526697 . 
• راجب، ف. ج. "النسختان من زوج توسي"، في كتاب " من الخضوع إلى التساوي: مجلد من الدراسات في تاريخ العلوم في الشرق الأدنى القديم والوسيط تكريمًا لإي. إس. كينيدي" ، تحرير ديفيد كينج وجورج صليبا، حوليات أكاديمية نيويورك للعلوم، 500. أكاديمية نيويورك للعلوم، 1987. ISBN 0-89766-396-9(غلاف ورقي)
• راجب، إف جيه. "مذكرات ناصر الدين الطوسي في علم الفلك"، مصادر في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية، 12. مجلدان. ​​برلين/نيويورك: سبرينغر، 1993. ISBN 3-540-94051-0رقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 0-387-94051-0.

• يتضمن مشروع دينيس دبليو ديوك، " رسوم متحركة لنماذج الكواكب القديمة" ، رابطين مهمين:
  • محاكاة تفاعلية للزوجين الطوسيين
  • نماذج عربية لاستبدال الإيكوانتي
• يناقش جورج صليبا، "علم من هو العلم العربي في عصر النهضة الأوروبية؟" نموذج ناصر الدين الطوسي وتفاعلات علماء الفلك العرب واليونانيين واللاتينيين.