الوحدة

في ميكانيكا الكم، تُوصف كل حالة كمتجه في فضاء هيلبرت . عند إجراء قياس، يُفضّل وصف هذا الفضاء باستخدام أساس متجهي، حيث يكون لكل متجه أساس نتيجة محددة للقياس - على سبيل المثال، أساس متجهي لزخم محدد في حالة قياس الزخم. يكون عامل القياس قطريًا في هذا الأساس. ^{[ 3 ]}

يعتمد احتمال الحصول على نتيجة قياس معينة على سعة الاحتمال ، المعطاة بالجداء الداخلي للحالة الفيزيائية.${\displaystyle |\psi \rangle }$باستخدام متجهات الأساس${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$التي تُقطّر عامل القياس. بالنسبة لحالة فيزيائية تُقاس بعد تطورها مع الزمن، يمكن وصف سعة الاحتمال إما بالضرب الداخلي للحالة الفيزيائية بعد التطور الزمني مع متجهات الأساس ذات الصلة، أو بشكل مكافئ بالضرب الداخلي للحالة الفيزيائية مع متجهات الأساس التي تتطور عكسيًا مع الزمن. باستخدام عامل التطور الزمني${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$لدينا: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.e^{-i{\hat {H}}(-t)/\hbar }\phi _{i}\right|\psi \right\rangle }$

لكن بحسب تعريف الترافق الهرميتي ، فإن هذا أيضاً:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle }$

بما أن هذه المتساويات صحيحة لكل متجهين، فإننا نحصل على

${\displaystyle {\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}}$

هذا يعني أن الهاميلتوني هيرميتي وأن عامل تطور الزمن${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$هو نظام وحدوي .

بما أن قاعدة بورن تحدد احتمالية الحصول على نتيجة معينة في القياس، فإن خاصية الوحدة، إلى جانب قاعدة بورن، تضمن أن يكون مجموع الاحتمالات دائمًا واحدًا. علاوة على ذلك، فإن خاصية الوحدة، إلى جانب قاعدة بورن، تعني أن عوامل القياس في صورة هايزنبرغ تصف بالفعل كيفية تطور نتائج القياس مع مرور الوقت.

إن كون عامل تطور الزمن وحدوياً، يكافئ كون الهاميلتوني هيرميتياً . وبصورة مكافئة، هذا يعني أن الطاقات المقاسة الممكنة، وهي القيم الذاتية للهاميلتوني، هي دائماً أعداد حقيقية.

إن وحدة مصفوفة S تستلزم، من بين أمور أخرى، النظرية البصرية . ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي: ^{[ 5 ]}

يمكن كتابة مصفوفة S على النحو التالي:

${\displaystyle S=1+iT}$

أين${\displaystyle T}$هو جزء من مصفوفة S الناتج عن التفاعلات؛ على سبيل المثال${\displaystyle T=0}$هذا يعني ببساطة أن مصفوفة S تساوي 1، ولا يحدث أي تفاعل وتبقى جميع الحالات دون تغيير.

وحدة مصفوفة S:

${\displaystyle S^{\dagger }S=1}$

وهذا يعادل:

${\displaystyle -i\left(TT^{\dagger }\right)=T^{\dagger }T}$

الطرف الأيسر يساوي ضعف الجزء التخيلي لمصفوفة S. لمعرفة قيمة الطرف الأيمن، دعونا ننظر إلى أي عنصر محدد من هذه المصفوفة، على سبيل المثال بين حالة ابتدائية معينة.${\displaystyle |I\rangle }$والحالة النهائية${\displaystyle \langle F|}$، والتي قد يحتوي كل منها على العديد من الجسيمات. عنصر المصفوفة هو إذن:

${\displaystyle \left\langle F\left|T^{\dagger }T\right|I\right\rangle =\sum _{i}\left\langle F|T^{\dagger }|A_{i}\right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle }$

حيث {A _i } هي مجموعة الحالات الممكنة على الغلاف - أي حالات الزخم للجسيمات (أو مجموعة الجسيمات المرتبطة) عند اللانهاية.

وبالتالي، فإن ضعف الجزء التخيلي من مصفوفة التشتت (S-matrix) يساوي مجموعًا يمثل نواتج مساهمات جميع تشتتات الحالة الابتدائية لمصفوفة التشتت إلى أي حالة فيزيائية أخرى في اللانهاية، مع تشتتات هذه الحالة الأخيرة إلى الحالة النهائية لمصفوفة التشتت. وبما أن الجزء التخيلي من مصفوفة التشتت يمكن حسابه بواسطة جسيمات افتراضية تظهر في حالات وسيطة لمخططات فاينمان ، فإنه يترتب على ذلك أن هذه الجسيمات الافتراضية يجب أن تتكون فقط من جسيمات حقيقية يمكن أن تظهر أيضًا كحالات نهائية. وتشمل الآلية الرياضية المستخدمة لضمان ذلك تناظر القياس ، وأحيانًا أيضًا أشباح فاديف-بوبوف .

وفقًا لنظرية البصريات، يجب أن تخضع سعة الاحتمال M (= iT) لأي عملية تشتت للمعادلة التالية:

${\displaystyle |M|^{2}=2\operatorname {Im} (M)}$

تشير حدود الوحدة المماثلة إلى أن السعات والمقطع العرضي لا يمكن أن تزداد بشكل كبير مع الطاقة، أو يجب أن تتناقص بالسرعة التي تحددها صيغة معينة. على سبيل المثال، ينص حد فرويسارت على أن المقطع العرضي الكلي لتشتت جسيمين محدود بـ${\displaystyle c\ln ^{2}s}$، أين${\displaystyle c}$ثابت، و${\displaystyle s}$هو مربع طاقة مركز الكتلة. (انظر متغيرات ماندلشتام )