التحليل المحدب

التحليل المحدب هو فرع من الرياضيات يدرس المجموعات المحدبة والدوال المحدبة وتطبيقاتها في مجالات التحسين ، والتحليل الوظيفي ، والتحليل التبايني ، والهندسة المحدبة ، والاقتصاد ، والمجالات ذات الصلة. تُوصف المجموعة بأنها محدبة إذا احتوت على كل قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين فيها. وتُوصف الدالة بأنها محدبة إذا كانت قيمتها عند المتوسط ​​المرجح لنقطتين لا تتجاوز المتوسط ​​المرجح المقابل لقيمها. بعبارة أخرى، لا تحتوي المجموعات المحدبة على انحناءات داخلية، بينما تتميز الدوال المحدبة بمنحنى بياني ينحني للأعلى.

يشير التحدب إلى سمات عامة معينة للمسألة. على سبيل المثال، في مسألة التحسين المحدب، كل قيمة صغرى محلية هي أيضًا قيمة صغرى عالمية. غالبًا ما يمكن فصل المجموعات المحدبة بواسطة مستويات فائقة ، ويمكن دراسة الدوال المحدبة من خلال الدوال الأفينية الداعمة . يُعد التحليل المحدب خيطًا مشتركًا في التحسين الحديث، ونظرية الازدواجية، ودراسة المسائل غير الملساء. تشمل أدوات التحليل المحدب الرسم البياني العلوي للدالة، والتفاضل الجزئي ، وتحويل ليجندر-فينشل ، ونظرية فينشل-مورو . تسمح هذه الأدوات بإعادة كتابة العديد من المسائل المقيدة في شكل هندسي، وربط العديد من مسائل التحسين بمسائل ثنائية.

أبسط المجموعات المحدبة في الفضاء الإقليدي هي النقاط، والقطع المستقيمة ، والفضاءات الجزئية الأفينية ، وأنصاف الفضاءات ، والكرات ، والمخاريط ، والمضلعات المحدبة . تكون تقاطعات المجموعات المحدبة محدبة، لذا يمكن وصف العديد من المجموعات المحدبة المعقدة بأنها تقاطعات لمجموعات أبسط. على سبيل المثال، متعدد السطوح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هو تقاطع عدد محدود من أنصاف الفضاءات.

تشمل أمثلة الدوال المحدبة الدوال الأفينية ، والدوال التربيعية (ذات مصفوفة هيسية شبه موجبة )، والمعايير ، والحد الأقصى لمجموعة من الدوال الأفينية. على سبيل المثال،

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

محدبة على خط الأعداد الحقيقية، و

${\displaystyle f(x)=\|x\|}$

محدبة على أي فضاء متجه معياري.

يستخدم التحليل المحدب أيضًا الدوال الحقيقية الموسعة، والتي قد تأخذ القيمة${\displaystyle +\infty }$يسمح هذا الأسلوب بإدراج القيود مباشرةً في الدالة. إذا${\displaystyle C}$إذا كانت مجموعة محدبة، فإن دالة المؤشر الخاصة بها في التحليل المحدب تُعرَّف بواسطة

${\displaystyle \iota _{C}(x)={\begin{cases}0,&x\in C,\\+\infty ,&x\notin C.\end{cases}}}$

التقليل${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle C}$وهذا يعني أنه يُقلل من${\displaystyle f+\iota _{C}}$على كامل المساحة. ^{[ 1 ]}

مجموعة فرعية${\displaystyle C}$تكون فضاءات المتجهات الحقيقية محدبة إذا، كلما${\displaystyle x,y\in C}$و${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$،

${\displaystyle tx+(1-t)y\in C.}$

هذا يعني أن القطعة المستقيمة بين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يكمن الأمر برمته في${\displaystyle C}$.

وظيفة${\displaystyle f:C\to \mathbb {R} }$، أين${\displaystyle C}$يكون محدبًا، ويكون محدبًا إذا

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)}$

للجميع${\displaystyle x,y\in C}$وكل شيء${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$تكون محدبة تمامًا إذا كانت المتباينة صارمة كلما${\displaystyle x\neq y}$و${\displaystyle 0<t<1}$، باستثناء الحالات المنحرفة التي يُجبر فيها الطرفان على أن يكونا متساويين.

تكون الدالة محدبة إذا وفقط إذا كان الرسم البياني الخاص بها ،

${\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,r):f(x)\leq r\},}$

هي مجموعة محدبة. الرسم البياني العلوي هو المنطقة الواقعة على أو فوق الرسم البياني للدالة. هذه الملاحظة هي أحد أسباب دراسة الدوال المحدبة والمجموعات المحدبة معًا: إذ يمكن غالبًا ترجمة العبارات المتعلقة بالدوال المحدبة إلى عبارات تتعلق بالمجموعات المحدبة في بُعد أعلى. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

للدوال ذات القيم الحقيقية الموسعة${\displaystyle f:X\to (-\infty ,+\infty ]}$المجال الفعال هو

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)<+\infty \}.}$

تُسمى الدالة صحيحة إذا كان مجالها الفعال غير فارغ ولم تأخذ القيمة أبدًا${\displaystyle -\infty }$تُعتبر الدوال المحدبة المناسبة من المواضيع المعتادة للدراسة في التحليل المحدب. ^{[ 1 ]}

يتخذ التحليل المحدب أشكالًا مختلفة في الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة والفضاءات ذات الأبعاد غير المحدودة. في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد المحدودة، تغيب العديد من التعقيدات الهندسية والطوبولوجية: فجميع المعايير متكافئة، وكل دالة خطية متصلة، والمجموعات المغلقة والمحدودة متراصة . ونتيجة لذلك، يمكن صياغة العديد من النتائج باستخدام الطوبولوجيا الإقليدية العادية. على سبيل المثال، دالة محدبة متصلة على مجموعة فرعية محدبة مغلقة ومحدودة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تصل إلى أدنى قيمة لها، ويمكن في كثير من الأحيان صياغة نظريات الفصل بمصطلحات هندسية أساسية. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

في الفضاءات اللانهائية الأبعاد، تُصبح طوبولوجيا فضاء المتجهات الأساسي جزءًا من النظرية. عادةً ما يكون الفضاء الثنائي ذو الصلة هو الفضاء الثنائي المتصل ، وتعتمد العديد من العبارات على استخدام طوبولوجيا المعيار ، أو الطوبولوجيا الضعيفة ، أو أي طوبولوجيا محدبة محلية أخرى . لا يشترط أن تكون المجموعات المغلقة والمحدودة متراصة، وقد لا تكون الدوال الخطية متصلة ما لم يُفترض الاتصال، وقد تحتوي المجموعات المحدبة الكبيرة جبريًا على باطن فارغ في طوبولوجيا المعيار. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

تؤثر هذه الاختلافات على عملية التحسين. ففي الأبعاد المحدودة، غالبًا ما تضمن فرضيات الإكراه أو التراص وجود حلول صغرى. أما في الفضاءات اللانهائية الأبعاد، فقد لا تحتوي المتتاليات الصغرى على متتاليات فرعية متقاربة في طوبولوجيا المعيار. ولذلك، غالبًا ما تستخدم نتائج الوجود افتراضات التراص الضعيف، وشبه الاستمرارية السفلية، والانعكاسية، كما هو الحال في الطرق المباشرة في حساب التفاضل والتكامل . على سبيل المثال، في فضاء باناخ انعكاسي، تتمتع المجموعات المحدبة المغلقة والمحدودة بخصائص تراص ضعيفة مفيدة، مما يجعل شبه الاستمرارية السفلية الضعيفة أداة أساسية في مسائل حساب التفاضل والتكامل. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

تصبح شروط النقاط الداخلية أكثر حساسية في الأبعاد اللانهائية. في التحسين المحدب ذي الأبعاد المحدودة، غالبًا ما تُعبَّر شروط مثل شرط سلاتر باستخدام الداخل العادي أو الداخل النسبي لمجموعة محدبة. في الفضاءات اللانهائية الأبعاد، تحتوي العديد من المجموعات المحدبة الطبيعية على داخل فارغ، لذا يمكن استخدام مفاهيم بديلة مثل الداخل الجبري، أو النواة، أو الداخل شبه النسبي، أو غيرها من شروط التقييد. ^{[ 5 ]}

يتأثر مفهوم الازدواجية بشكل مماثل. تتطلب نظرية فينكل-مورو ونظريات الازدواجية ذات الصلة فرضيات مناسبة للاستمرارية الجزئية الدنيا والتحدب بالنسبة للطوبولوجيا المختارة. وبالتالي، فهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالتحليل الوظيفي ، والفضاءات المحدبة محليًا ، وفضاءات باناخ ، وفضاءات هيلبرت ، ونظرية المؤثرات الرتيبة . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 6 ]}

يُتيح التحليل المحدب صياغة العديد من المسائل بدلالة كلٍّ من الفضاء المتجهي الأصلي وفضائه الثنائي . فعلى سبيل المثال، يمكن وصف المجموعة المحدبة بدلالة مجموعة نقاطها ومجموعة المستويات الفائقة التي تتقاطع معها. كما يمكن وصف المجموعة المحدبة المغلقة غير الفارغة بدلالة مجموعة المستويات الفائقة الداعمة لها .

بالنسبة للدوال المحدبة، تلعب الازدواجية دورًا مهمًا أيضًا. بفرض دالة محدبة مناسبة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$يتم ترميز المستويات الفائقة الداعمة للرسم البياني العلوي بواسطة المرافق المحدب ، المعرف عند نقطة${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$بواسطة ^{[ 7 ]}$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{z\in X}\left\{\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}}$$ حيث الأقواس${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$يدل على الازدواجية المتعارف عليها${\displaystyle \left\langle x^{*},z\right\rangle$ :=x^{*}(z).} الدالة${\displaystyle f^{*}(x^{*})}$وهذا منطقي، بشكل عام، بغض النظر عن تحدب${\displaystyle f}$، لكن المرافق المحدب لأي دالة يكون دائمًا محدبًا.

هندسيًا، يصف المرافق المحدب الدوال الأفينية الداعمة للرسم البياني العلوي لـ${\displaystyle f}$. لمتجه ثنائي ثابت${\displaystyle x^{*}}$، القيمة${\displaystyle f^{*}(x^{*})}$هو أصغر ثابت${\displaystyle c}$بحيث تكون الدالة الأفينية

${\displaystyle x\mapsto \langle x^{*},x\rangle -c}$

يقع في الأسفل${\displaystyle f}$في نطاقها. في الواقع، تعريف المرافق مكافئ لـ

${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle -f^{*}(x^{*})\leq f(x)}$

للجميع${\displaystyle x}$ومن ثم المستوى الفائق

${\displaystyle r=\langle x^{*},x\rangle -f^{*}(x^{*})}$

يقع أسفل النقش الزخرفي لـ${\displaystyle f}$إذا لامس هذا المستوى الفائق النقش عند${\displaystyle (x,f(x))}$إذن، فهو مستوى فائق داعم هناك. شرط التلامس هذا مكافئ لـ

${\displaystyle f(x)+f^{*}(x^{*})=\langle x^{*},x\rangle ,}$

أو ما يعادل ذلك${\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)}$، التفاضل الجزئي لـ${\displaystyle f}$في${\displaystyle x}$.

لا يشترط أن تكون الدوال المحدبة قابلة للتفاضل . على سبيل المثال، دالة القيمة المطلقة${\displaystyle f(x)=|x|}$هي دالة محدبة ولكنها غير قابلة للتفاضل عند${\displaystyle x=0}$لذلك، يستخدم التحليل المحدب مشتقًا معمّمًا يسمى التدرج الفرعي .

يترك${\displaystyle f:X\to (-\infty ,+\infty ]}$لتكن دالة محدبة على فضاء متجهي حقيقي، ولتكن${\displaystyle X^{*}}$أن تكون مساحة مزدوجة مناسبة. عملية${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$هو تدرج فرعي من${\displaystyle f}$في${\displaystyle x}$لو

${\displaystyle f(z)\geq f(x)+\langle x^{*},z-x\rangle }$

للجميع${\displaystyle z\in X}$مجموعة جميع التدرجات الفرعية عند${\displaystyle x}$هو التفاضل الجزئي لـ${\displaystyle f}$في${\displaystyle x}$، المشار إليه${\displaystyle \partial f(x)}$[ ^{1 ] [ 3 ]​}

هندسيًا، يُحدد التدرج الفرعي مستوىً فائقًا داعمًا للرسم البياني العلوي لـ${\displaystyle f}$. لو${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل عند${\displaystyle x}$إذن، يتكون التفاضل الجزئي من المشتقة العادية. في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد المحدودة، يُكتب هذا

${\displaystyle \partial f(x)=\{\nabla f(x)\}.}$

تُعطي التدرجات الفرعية شرطًا أساسيًا للأمثلية. نقطة${\displaystyle x}$تقليل دالة محدبة مناسبة${\displaystyle f}$إذا وفقط إذا

${\displaystyle 0\in \partial f(x).}$

وهذا يعمم الحالة المألوفة${\displaystyle \nabla f(x)=0}$للدوال القابلة للتفاضل.

غالباً ما يدرس التحليل المحدب الدوال شبه المتصلة من الأسفل بدلاً من الدوال المتصلة.${\displaystyle f:X\to (-\infty ,+\infty ]}$تكون الدالة شبه متصلة من الأسفل إذا كانت قيمها، بشكل عام، لا يمكنها أن تقفز فجأة إلى الأسفل. وبالمثل، في فضاء متجهي طوبولوجي،${\displaystyle f}$تكون شبه متصلة من الأسفل إذا كانت مستوياتها الفرعية

${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq a\}}$

مغلقة لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle a}$بالنسبة للدوال المحدبة، فإن شبه الاستمرارية السفلية تعادل أيضًا انغلاق الرسم البياني العلوي:

${\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,r):f(x)\leq r\}.}$

لذا، تُسمى الدوال المحدبة شبه المتصلة من الأسفل غالبًا بالدوال المحدبة المغلقة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يُعدّ شبه الاستمرارية السفلية أمرًا بالغ الأهمية في التحسين لأنه يساعد على ضمان عدم فقدان قيمة الدالة عند تقليل الحدود. إذا كانت متتالية أو شبكة${\displaystyle x_{i}}$يتقارب إلى${\displaystyle x}$، شبه الاستمرارية السفلية تعطي

${\displaystyle f(x)\leq \liminf _{i}f(x_{i}).}$

هذا الشرط أضعف من شرط الاستمرارية، ولكنه غالباً ما يكون كافياً لنظريات الوجود، خاصةً عند اقترانه بافتراضات التراص أو التراص الضعيف. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

يظهر هذا الشرط أيضًا في الازدواجية. يكون المرافق المحدب لأي دالة محدبًا وشبه متصل من الأسفل بالنسبة إلى الطوبولوجيا الضعيفة المناسبة. ويعطي مرافق المرافق، أو المرافق الثنائي، الغلاف المحدب المغلق للدالة الأصلية. في إحدى الصيغ الشائعة، تنص نظرية فينكل-مورو على أن الدالة المناسبة على فضاء محدب محليًا تحقق الشرط التالي:

${\displaystyle f=f^{**}}$

إذا وفقط إذا${\displaystyle f}$هي دالة محدبة وشبه متصلة من الأسفل. وبالمثل، فإن الدوال المحدبة المغلقة هي بالضبط الدوال التي يمكن استخلاصها من دوالها الصغرى الأفينية. ^{[ 1 ] [ 7 ]}

في التحسين المحدب ، يتمثل الهدف في تقليل دالة محدبة على مجموعة محدبة. يضمن التحدب أن كل قيمة دنيا محلية هي قيمة دنيا عالمية، وغالبًا ما توفر الازدواجية شهادات على الأمثلية. تستخدم البرمجة الخطية ، والبرمجة التربيعية ، والبرمجة شبه المحددة، والعديد من الطرق في الإحصاء والتعلم الآلي هذا الإطار. ^{[ 9 ]}

يرتبط التحليل المحدب أيضًا بالهندسة المحدبة ، التي تدرس الأجسام المحدبة، والمضلعات، والمستويات الفائقة الداعمة، والأحجام المختلطة، والمتباينات الهندسية ذات الصلة. تصف نتائج كلاسيكية محدودة الأبعاد، مثل نظرية كاراثيودوري (الغلاف المحدب) ، ونظرية هيلي ، ونظرية رادون ، البنية التوافقية والهندسية للأغلفة المحدبة. تُعتبر هذه النظريات عادةً جزءًا من الهندسة المحدبة، لكنها تُوفر الكثير من الخلفية الهندسية للتحليل المحدب. ^{[ 1 ]}

في التحليل الوظيفي، تُدرس المجموعات المحدبة المدمجة من خلال نقاطها القصوى. تنص نظرية كرين-ميلمان على أنه، في ظل فرضيات مناسبة، تتولد المجموعة المحدبة المدمجة في فضاء محدب محليًا من نقاطها القصوى. تُحسّن نظرية شوكيه هذه الفكرة بتمثيل نقاط المجموعات المحدبة المدمجة كمراكز ثقل لمقاييس الاحتمال المدعومة على النقاط القصوى. يمكن اعتبار هذا نظيرًا لانهائي الأبعاد لكتابة نقطة من متعدد السطوح كتركيبة محدبة لرؤوسه. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

يُستخدم التحدب أيضًا في نظرية الاحتمالات. تقارن متباينة جنسن قيمة دالة محدبة عند المتوسط ​​مع متوسط ​​قيمها. يقارن الترتيب المحدب مقاييس الاحتمال باختبارها مقابل الدوال المحدبة، وتستخدم نظرية الانحرافات الكبيرة تحويل ليجندر-فينشل للتعبير عن دوال المعدل كمرافقات محدبة لدوال توليد العزوم اللوغاريتمية. ^{[ 12 ]}

في مجال النقل الأمثل ، تُصاغ مسألة النقل وفقًا لصيغة كانتوروفيتش كمسألة تحسين محدبة على مقاييس الاحتمالية، وتُعدّ ثنائية كانتوروفيتش شكلًا من أشكال الثنائية المحدبة. بالنسبة للتكلفة التربيعية في الفضاء الإقليدي، تربط نظرية برينييه خرائط النقل الأمثل بتدرجات الدوال المحدبة، ما يربط النقل الأمثل بمعادلة مونج-أمبير . ^{[ 13 ] [ 14 ]}

تستخدم العديد من المجالات مفاهيم معدلة للتحدب تتناسب مع هياكل مختلفة. ففي حساب التفاضل والتكامل التغيري ، يظهر التحدب من الرتبة الأولى ، والتحدب المتعدد ، وشبه التحدب في مسائل حساب التفاضل والتكامل التغيري ذات القيم المتجهة. وفي الهندسة المترية والتحسين على المشعبات، يحل التحدب الجيوديسي محل القطع المستقيمة بالجيوديسيات. وفي العديد من المتغيرات المركبة ، تلعب مفاهيم مثل التحدب الزائف ، والتحدب الهولومورفي ، والتحدب متعدد الحدود ، والدوال التوافقية الفرعية المتعددة أدوارًا مماثلة في بعض النواحي للتحدب في التحليل الحقيقي. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

• التحدب في علم الاقتصاد – موضوع هام في علم الاقتصاد 
  • عدم التحدب (في الاقتصاد) – انتهاكات افتراضات التحدب في مبادئ الاقتصاد الأساسية 
• قائمة بمواضيع التحدب
• فيرنر فينكل – عالم رياضيات ألماني (1905–1988) 

• ألفسن، إريك م. (1971). المجموعات المحدبة المدمجة والتكاملات الحدودية . سبرينغر. ISBN 978-3-642-65011-6.
• بريدسون، مارتن ر.؛ هافليجر، أندريه (1999). الفضاءات المترية ذات الانحناء غير الموجب . سبرينغر. ISBN 978-3-540-64324-1.
• داكورونيا، برنارد (2008). الطرق المباشرة في حساب التفاضل والتكامل (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 978-0-387-35779-9.
• دمبو، أمير؛ زيتوني، عوفر (1998). تقنيات وتطبيقات الانحرافات الكبيرة (2  ed.). سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-98406-3.
• هورماندر، لارس (1994). مفاهيم التحدب . بيركهوسر.
• فيلبس، روبرت ر. (2001). محاضرات عن نظرية شوكيت (2  ed.). سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-41834-4.
• فيلاني، سيدريك (2003). موضوعات في النقل الأمثل . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-3312-4.
• فيلاني، سيدريك (2009). النقل الأمثل: القديم والجديد . سبرينغر. ISBN 978-3-540-71049-3.
• بورواين، جوناثان؛ لويس، أدريان (2006)، التحليل المحدب والتحسين غير الخطي: النظرية والأمثلة (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، ISBN 978-0-387-29570-1.
• بوت، رادو إيوان؛ وانكا، جيرت؛ غراد، سورين ميهاي (2009)، الازدواجية في تحسين المتجهات ، سبرينغر، ISBN 978-3-642-02885-4.
• تشيتنيك، إرنو روبرت (2010)، التغلب على قصور شروط الانتظام الداخلي المعممة الكلاسيكية في التحسين المحدب. تطبيقات نظرية الازدواجية على توسيعات المؤثرات الرتيبة القصوى ، دار نشر لوغوس فيرلاغ برلين المحدودة، رقم ISBN 978-3-8325-2503-3.
• روكافيلر، ر. تيريل (1997) [1970]، التحليل المحدب ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-01586-6.
• باوشكه، هاينز هـ.؛ كومبيتس ، باتريك ل. (28 فبراير 2017). التحليل المحدب ونظرية المؤثرات الرتيبة في فضاءات هيلبرت . كتب CMS في الرياضيات. سبرينغر للعلوم والأعمال . ISBN 978-3-319-48311-5. OCLC 1037059594 . 
• بويد، ستيفن ؛ فاندنبيرغ، ليفين (8 مارس 2004). التحسين المحدب . سلسلة كامبريدج في الرياضيات الإحصائية والاحتمالية. كامبريدج، المملكة المتحدة. نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-83378-3. OCLC 53331084 . 
• هيريارت أوروتي، ج.-ب. ; ليمارشال، سي. (2001). أساسيات التحليل المحدب . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 978-3-540-42205-1.
• كوسرايف، أ. ج.؛ كوتاتيلادزه، سيمين سامسونوفيتش (1995). التفاضلات الجزئية: النظرية والتطبيقات . دوردريخت: دار نشر كلوير الأكاديمية. ISBN 978-94-011-0265-0.
• روكافيلر, ر. تيريل ; ويتس، روجر J.-B. (26 يونيو 2009). التحليل المتغير . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  317. برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري . رقم ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 . 
• روكافيلر، ر. تيريل (1970). التحليل المحدب . سلسلة برينستون الرياضية. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-08069-7.
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• سينغر، إيفان (1997). التحليل المحدب المجرد . سلسلة الجمعية الرياضية الكندية من الدراسات والنصوص المتقدمة. نيويورك  : جون وايلي  وأولاده  ، ص.  491 + 22. ISBN 0-471-16015-6MR 1461544 .​ 
• ستوير، ج.؛ ويتزغال، س. (1970). التحدب والتحسين في الأبعاد المحدودة . المجلد  1. برلين: سبرينغر. ISBN 978-0-387-04835-2.
• زالينسكو، قسطنطين (30 يوليو 2002). التحليل المحدب في الفضاءات المتجهة العامة . ريفر إيدج، نيوجيرسي. لندن: دار النشر العالمية العلمية . ISBN 978-981-4488-15-0MR 1921556 . OCLC 285163112 – عبر أرشيف الإنترنت .  

• الوسائط المتعلقة بتحليل الأضلاع المحدبة على ويكيميديا ​​كومنز