Logical NOR

In Boolean logic, logical NOR,^[1]non-disjunction, or joint denial^[1] is a truth-functional operator which produces a result that is the negation of logical or. That is, a sentence of the form (p NOR q) is true precisely when neither p nor q is true—i.e. when both p and q are false. It is logically equivalent to ${\displaystyle \neg (p\lor q)}$ and ${\displaystyle \neg p\land \neg q}$, where the symbol ${\displaystyle \neg }$ signifies logical negation, ${\displaystyle \lor }$ signifies OR, and ${\displaystyle \land }$ signifies AND.

Non-disjunction is usually denoted as ${\displaystyle \downarrow }$ or ${\displaystyle {\overline {\vee }}}$ or ${\displaystyle X}$ (prefix) or ${\displaystyle \operatorname {NOR} }$.

As with its dual, the NAND operator (also known as the Sheffer stroke—symbolized as either ${\displaystyle \uparrow }$, ${\displaystyle \mid }$ or ${\displaystyle /}$), NOR can be used by itself, without any other logical operator, to constitute a logical formal system (making NOR functionally complete).

The computer used in the spacecraft that first carried humans to the moon, the Apollo Guidance Computer, was constructed entirely using NOR gates with three inputs.^[2]

The NOR operation is a logical operation on two logical values, typically the values of two propositions, that produces a value of true if and only if both operands are false. In other words, it produces a value of false if and only if at least one operand is true.

Truth table

The truth table of ${\displaystyle A\downarrow B}$ is as follows:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\downarrow B}$
F	F	T
F	T	F
T	F	F
T	T	F

Logical equivalences

The logical NOR ${\displaystyle \downarrow }$ is the negation of the disjunction:

${\displaystyle P\downarrow Q}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle \neg (P\lor Q)}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle \neg }$

Peirce is the first to show the functional completeness of non-disjunction while he doesn't publish his result.^[3][4] Peirce used ${\displaystyle {\overline {\curlywedge }}}$ for non-conjunction and ${\displaystyle \curlywedge }$ for non-disjunction (in fact, what Peirce himself used is ${\displaystyle \curlywedge }$ and he didn't introduce ${\displaystyle {\overline {\curlywedge }}}$ while Peirce's editors made such disambiguated use).^[4] Peirce called ${\displaystyle \curlywedge }$ the ampheck (from Ancient Greek ἀμφήκης, amphēkēs, "cutting both ways").^[4]

في عام 1911، كان ستام أول من نشر وصفًا لكل من عدم الاقتران (باستخدام${\displaystyle \sim }$، خطاف ستام)، وعدم الانفصال (باستخدام${\displaystyle *}$(نجمة ستام)، وأظهرت اكتمالها الوظيفي. ^{[ 5 ] [ 6 ]} لاحظ أن معظم استخداماتها في الترميز المنطقي لـ${\displaystyle \sim }$استخدم هذا للنفي.

في عام 1913، وصف شيفر عدم الانفصال وأظهر اكتماله الوظيفي. استخدم شيفر${\displaystyle \mid }$بالنسبة لعدم الاقتران، و${\displaystyle \wedge }$لعدم الانفصال.

في عام 1935، وصف دونالد ل. ويب عدم الانفصال لـ${\displaystyle n}$المنطق ذو القيم، واستخدامه${\displaystyle \mid }$بالنسبة للمُعامل. لذلك يُطلق عليه البعض مُعامل ويب ، ^{[ 7 ]} أو عملية ويب ^{، [ 8 ]} أو دالة ويب . ^{[ 9 ]}

في عام 1940، وصف كواين أيضًا عدم الانفصال والاستخدام${\displaystyle \downarrow }$بالنسبة للمشغل. ^{[ 10 ]} لذلك يطلق بعض الناس على المشغل اسم سهم بيرس أو خنجر كوين .

في عام 1944، وصف تشيرش أيضًا عدم الانفصال والاستخدام${\displaystyle {\overline {\vee }}}$للمشغل. ^{[ 11 ]}

في عام 1954، استخدم بوتشينسكي${\displaystyle X}$في${\displaystyle Xpq}$للفصل غير المنفصل في التدوين البولندي . ^{[ 12 ]}

تستخدم لغة APL رمزًا ⍱يجمع بين a ∨و a ~. ^{[ 13 ]}

عملية NOR تبادلية وليست تجميعية، مما يعني أن${\displaystyle P\downarrow Q\leftrightarrow Q\downarrow P}$لكن${\displaystyle (P\downarrow Q)\downarrow R\not \leftrightarrow P\downarrow (Q\downarrow R)}$[ ^{14 ]​}

تتميز عملية NOR بميزة مثيرة للاهتمام، وهي إمكانية التعبير عن جميع العمليات المنطقية الأخرى من خلال عمليات NOR المتداخلة. كما تتمتع عملية NAND المنطقية بهذه القدرة أيضاً.

معبر عنه بمصطلحات NOR${\displaystyle \downarrow }$، العوامل المعتادة في منطق القضايا هي:

${\displaystyle \neg P}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle P\downarrow P}$ ${\displaystyle \neg }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle P\rightarrow Q}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle {\Big (}(P\downarrow P)\downarrow Q{\Big )}}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle {\Big (}(P\downarrow P)\downarrow Q{\Big )}}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \downarrow }$
${\displaystyle P\land Q}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (P\downarrow P)}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle (Q\downarrow Q)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \downarrow }$		${\displaystyle P\lor Q}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (P\downarrow Q)}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle (P\downarrow Q)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \downarrow }$

• NOR ثنائي
• الجبر البولياني
• المجال المنطقي
• دالة منطقية
• الاكتمال الوظيفي
• بوابة نور
• المنطق الافتراضي
• المشغل الوحيد الكافي
• خط شيفر كرمز لـ NAND المنطقي

• الوسائط المتعلقة بـ "المنطق NOR" على ويكيميديا ​​كومنز