الرابط المنطقي

تشمل الروابط المنطقية الشائعة الاستخدام ما يلي. ^{[ 1 ]}

• النفي (ليس) :${\displaystyle \neg }$،${\displaystyle \sim }$،${\displaystyle N}$(بادئة) التي فيها${\displaystyle \neg }$وهو الأكثر حداثة والأكثر استخداماً، و${\displaystyle \sim }$وهو أمر شائع أيضاً؛
• حرف العطف (و) :${\displaystyle \wedge }$،${\displaystyle \&}$،${\displaystyle K}$(بادئة) التي فيها${\displaystyle \wedge }$وهو الأكثر حداثة والأكثر استخداماً على نطاق واسع؛
• الفصل (أو) :${\displaystyle \vee }$،${\displaystyle A}$(بادئة) التي فيها${\displaystyle \vee }$وهو الأكثر حداثة والأكثر استخداماً على نطاق واسع؛
• الاستلزام (إذا...إذن) :${\displaystyle \to }$،${\displaystyle \supset }$،${\displaystyle \Rightarrow }$،${\displaystyle C}$(بادئة) التي فيها${\displaystyle \to }$وهو الأكثر حداثة والأكثر استخداماً، و${\displaystyle \supset }$وهو أمر شائع أيضاً؛
• التكافؤ (إذا وفقط إذا) :${\displaystyle \leftrightarrow }$،${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$، ${\displaystyle \Leftrightarrow }$،${\displaystyle \equiv }$،${\displaystyle E}$(بادئة) التي فيها${\displaystyle \leftrightarrow }$وهو الأكثر حداثة والأكثر استخداماً، و${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$يُستخدم عادةً حيث${\displaystyle \supset }$يُستخدم أيضًا.

على سبيل المثال، معنى عبارة " إنها تمطر" (المشار إليها بـ${\displaystyle p}$وأنا في الداخل (يُشار إليه بـ${\displaystyle q}$يتم تحويل ) عندما يتم دمج الاثنين باستخدام الروابط المنطقية:

• لا تمطر (${\displaystyle \neg p}$);
• تمطر وأنا في الداخل (${\displaystyle p\wedge q}$);
• إنها تمطر أو أنا في الداخل (${\displaystyle p\lor q}$);
• إذا كانت السماء تمطر، فسأبقى في الداخل (${\displaystyle p\rightarrow q}$);
• إذا كنت في الداخل، فهذا يعني أنها تمطر (${\displaystyle q\rightarrow p}$);
• أبقى في المنزل فقط إذا كانت السماء تمطر (${\displaystyle p\leftrightarrow q}$).

ومن الشائع أيضاً اعتبار الصيغة الصحيحة دائماً والصيغة الخاطئة دائماً رابطتين (وفي هذه الحالة تكونان صفريتين ).

• الصيغة الحقيقية :${\displaystyle \top }$،${\displaystyle 1}$،${\displaystyle V}$(بادئة)، أو${\displaystyle \mathrm {T} }$؛
• صيغة خاطئة :${\displaystyle \bot }$،${\displaystyle 0}$،${\displaystyle O}$(بادئة)، أو${\displaystyle \mathrm {F} }$.

يلخص هذا الجدول المصطلحات:

• النفي: الرمز${\displaystyle \neg }$ظهر في Heyting عام 1930 ^{[ 2 ] [ 3 ]} (قارن برمز Frege ⫟ في كتابه Begriffsschrift ^{[ 4 ]} ) ؛ الرمز${\displaystyle \sim }$ظهرت في كتاب راسل عام 1908؛ ^{[ 5 ]} وهناك طريقة تدوين بديلة تتمثل في إضافة خط أفقي أعلى الصيغة، كما في${\displaystyle {\overline {p}}}$; هناك طريقة أخرى بديلة للتدوين وهي استخدام رمز الفتحة كما في${\displaystyle p'}$.
• حرف العطف: الرمز${\displaystyle \wedge }$ظهرت في كتاب هيتينغ عام 1930 ^{[ 2 ]} (قارن باستخدام بيانو للترميز النظري للمجموعات للتقاطع) .${\displaystyle \cap }$^{[ 6 ]} ); الرمز${\displaystyle \&}$ظهر على الأقل في شونفينكل عام 1924؛ ^{[ 7 ]} الرمز${\displaystyle \cdot }$ينبع هذا من تفسير بول للمنطق باعتباره جبرًا أوليًا .
• الانفصال: الرمز${\displaystyle \vee }$ظهرت في كتاب راسل عام 1908 ^{[ 5 ]} (قارن باستخدام بيانو للترميز النظري للمجموعات للاتحاد) .${\displaystyle \cup }$); الرمز${\displaystyle +}$يُستخدم أيضًا، على الرغم من الغموض الناجم عن حقيقة أن${\displaystyle +}$من مبادئ الجبر الابتدائي العادي ، يكون التعبير " أو" حصريًا عند تفسيره منطقيًا في حلقة ثنائية العناصر ؛ وبشكل دقيق في التاريخ.${\displaystyle +}$وقد استخدم بيرس هذه الطريقة مع نقطة في الزاوية اليمنى السفلى . ^{[ 8 ]}
• الدلالة: الرمز${\displaystyle \to }$ظهرت في هيلبرت عام 1918؛ ^{[ 9 ] : 76}${\displaystyle \supset }$تم استخدامه بواسطة راسل في عام 1908 ^{[ 5 ]} (قارن بـ Ɔ بيانو، C المقلوب)؛${\displaystyle \Rightarrow }$ظهرت في بورباكي عام 1954. ^{[ 10 ]}
• التكافؤ: الرمز${\displaystyle \equiv }$في فريجه عام 1879؛ ^{[ 11 ]}${\displaystyle \leftrightarrow }$في بيكر عام 1933 (ليست المرة الأولى، وللاطلاع على ذلك انظر ما يلي)؛ ^{[ 12 ]}${\displaystyle \Leftrightarrow }$ظهرت في بورباكي عام 1954؛ ^{[ 13 ]} وظهرت رموز أخرى بشكل متقطع في التاريخ، مثل${\displaystyle \supset \subset }$في جنتزن ، ^{[ 14 ]}${\displaystyle \sim }$في شونفينكل ^{[ 7 ]} أو${\displaystyle \subset \supset }$في تشازال، ^{[ 15 ]}
• صحيح: الرمز${\displaystyle 1}$ينبع هذا من تفسير بول للمنطق باعتباره جبرًا أوليًا على الجبر البولياني ذي العنصرين ؛ وتشمل الرموز الأخرى${\displaystyle \mathrm {V} }$(اختصار للكلمة اللاتينية "verum") التي تم العثور عليها في بيانو عام 1889.
• خطأ: الرمز${\displaystyle 0}$ويستمد هذا أيضاً من تفسير بول للمنطق على أنه حلقة؛ وتشمل الرموز الأخرى${\displaystyle \Lambda }$(مُدار)${\displaystyle \mathrm {V} }$) ليتم العثور عليها في بيانو عام 1889.

استخدم بعض المؤلفين الحروف كأدوات ربط:${\displaystyle \operatorname {u.} }$للربط (حرف العطف الألماني "und" بمعنى "و") و${\displaystyle \operatorname {o.} }$بالنسبة للفصل (كلمة "oder" الألمانية بمعنى "أو") في الأعمال المبكرة لهيلبرت (1904)؛ ^{[ 16 ]}${\displaystyle Np}$للنفي،${\displaystyle Kpq}$للاقتران،${\displaystyle Dpq}$للرفض البديل،${\displaystyle Apq}$للفصل،${\displaystyle Cpq}$للدلالة الضمنية،${\displaystyle Epq}$للشرط المزدوج في Łukasiewicz في عام 1929.

مثل هذا الرابط المنطقي كالاستلزام العكسي "${\displaystyle \leftarrow }$إن العبارة "" هي في الواقع نفس العبارة الشرطية المادية مع تبديل الوسائط؛ وبالتالي، فإن رمز الاستلزام العكسي زائد عن الحاجة. في بعض الحسابات المنطقية (ولا سيما في المنطق الكلاسيكي )، تكون بعض العبارات المركبة المختلفة جوهريًا متكافئة منطقيًا . ومن الأمثلة الأقل وضوحًا على التكرار التكافؤ الكلاسيكي بين${\displaystyle \neg p\vee q}$و${\displaystyle p\to q}$لذلك، فإن النظام المنطقي القائم على الأساليب الكلاسيكية لا يحتاج إلى عامل الشرط.${\displaystyle \to }$" لو "${\displaystyle \neg }$"(ليس) و"${\displaystyle \vee }$"(أو) قيد الاستخدام بالفعل، أو قد تستخدم "${\displaystyle \to }$"فقط كسكر نحوي لمركب يحتوي على نفي واحد وفصل واحد."

توجد ست عشرة دالة منطقية تربط قيم الصواب المدخلة${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$بمخرجات ثنائية مكونة من أربعة أرقام . ^{[ 17 ]} تتوافق هذه مع الخيارات الممكنة للروابط المنطقية الثنائية للمنطق الكلاسيكي . يمكن للتطبيقات المختلفة للمنطق الكلاسيكي اختيار مجموعات فرعية مختلفة كاملة وظيفيًا من الروابط.

يتمثل أحد الأساليب في اختيار مجموعة دنيا ، وتعريف الروابط الأخرى بصيغة منطقية معينة، كما في المثال المذكور أعلاه مع الشرط المادي. فيما يلي المجموعات الدنيا الكاملة وظيفيًا من المؤثرات في المنطق الكلاسيكي التي لا يتجاوز عدد معاملاتها 2:

عنصر واحد

${\displaystyle \{\uparrow \}}$،${\displaystyle \{\downarrow \}}$.

عنصران

${\displaystyle \{\vee ,\neg \}}$،${\displaystyle \{\wedge ,\neg \}}$،${\displaystyle \{\to ,\neg \}}$،${\displaystyle \{\gets ,\neg \}}$،${\displaystyle \{\to ,\bot \}}$،${\displaystyle \{\gets ,\bot \}}$،${\displaystyle \{\to ,\nleftrightarrow \}}$،${\displaystyle \{\gets ,\nleftrightarrow \}}$،${\displaystyle \{\to ,\nrightarrow \}}$،${\displaystyle \{\to ,\nleftarrow \}}$،${\displaystyle \{\gets ,\nrightarrow \}}$،${\displaystyle \{\gets ,\nleftarrow \}}$،${\displaystyle \{\nrightarrow ,\neg \}}$،${\displaystyle \{\nleftarrow ,\neg \}}$،${\displaystyle \{\nrightarrow ,\top \}}$،${\displaystyle \{\nleftarrow ,\top \}}$،${\displaystyle \{\nrightarrow ,\leftrightarrow \}}$،${\displaystyle \{\nleftarrow ,\leftrightarrow \}}$.

ثلاثة عناصر

${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}}$،${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$،${\displaystyle \{\lor ,\nleftrightarrow ,\top \}}$،${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\bot \}}$،${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$،${\displaystyle \{\land ,\nleftrightarrow ,\top \}}$.

ثمة نهج آخر يتمثل في استخدام روابط ذات حقوق متساوية لمجموعة ملائمة وكاملة وظيفيًا، ولكنها ليست مجموعة دنيا . يتطلب هذا النهج المزيد من البديهيات المنطقية ، ويجب أن يكون كل تكافؤ بين الأشكال المنطقية إما بديهية أو قابلاً للإثبات كنظرية.

لكن الوضع أكثر تعقيدًا في المنطق الحدسي . فمن بين روابطه الخمسة، {∧، ∨، →، ¬، ⊥}، لا يمكن اختزال سوى رابط النفي "¬" إلى روابط أخرى (انظر قسم " الخطأ والنفي والتناقض " في قسم "المنطق  الخاطئ " لمزيد من التفاصيل). ولا يوجد شكل مكافئ للربط أو الفصل أو الشرط المادي مُشتق من الروابط المنطقية الأربعة الأخرى.

يُطبَّق نهج دالة الحقيقة للمؤثرات المنطقية كبوابات منطقية في الدوائر الرقمية . عمليًا، تُبنى جميع الدوائر الرقمية (باستثناء ذاكرة الوصول العشوائي الديناميكية DRAM ) من بوابات NAND و NOR و NOT وبوابات النقل ؛ لمزيد من التفاصيل، انظر دالة الحقيقة في علوم الحاسوب . تُعد المؤثرات المنطقية على متجهات البتات (المقابلة للجبر البولياني المحدود ) عمليات على مستوى البتات .

لكن ليس لكل استخدام للرابط المنطقي في برمجة الحاسوب دلالة بولية. على سبيل المثال، يُطبَّق التقييم الكسول أحيانًا على P ∧ Q و P ∨ Q ، لذا فإن هذه الروابط ليست تبادلية إذا كان لأي من التعبيرين P أو Q أو كليهما آثار جانبية . كذلك، فإن الشرط ، الذي يُقابل إلى حد ما رابط الشرط المادي ، هو في جوهره غير بولي، لأنه بالنسبة لـ P ∧ Q، لا يتم تنفيذ if (P) then Q;النتيجة Q إذا كانت المقدمة P خاطئة (مع أن المركب ككل يكون ناجحًا ≈ "صحيحًا" في هذه الحالة). وهذا أقرب إلى وجهات النظر الحدسية والبنائية حول الشرط المادي ، منه إلى وجهات نظر المنطق الكلاسيكي.  

تُستخدم الروابط المنطقية لتعريف العمليات الأساسية لنظرية المجموعات ، ^{[ 21 ]} على النحو التالي:

عمليات نظرية المجموعات والروابط

عملية الضبط	اتصال	تعريف
تقاطع	اِقتِران	${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}}$[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]
الاتحاد	الانفصال	${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}}$[ 25 ] [ 22 ] [ 23 ]
إطراء	النفي	${\displaystyle {\overline {A}}=\{x:x\notin A\}}$[ 26 ] [ 23 ] [ 27 ]
مجموعة فرعية	الآثار المترتبة	${\displaystyle A\subseteq B\leftrightarrow (x\in A\rightarrow x\in B)}$[ 28 ] [ 23 ] [ 29 ]
المساواة	مشروط ثنائياً	${\displaystyle A=B\leftrightarrow (\forall X)[A\in X\leftrightarrow B\in X]}$[ 28 ] [ 23 ] [ 30 ]

هذا التعريف لمساواة المجموعات يعادل بديهية الامتداد .