نظرية التماثل لـ ويل

في الهندسة الجبرية ، تُعرف نظرية تماثل ويل بأنها تماثل يحقق بديهيات معينة تتعلق بالتفاعل بين الدورات الجبرية ومجموعات التماثل. سُميت هذه النظرية تكريمًا لأندريه ويل . تُحلل أي نظرية تماثل ويل بشكل فريد من خلال فئة دوافع تشاو ، لكن فئة دوافع تشاو نفسها ليست نظرية تماثل ويل، لأنها ليست فئة تبديلية .

لنفترض حقلًا أساسيًا k ذا خاصية اختيارية وحقل معاملات K ذي خاصية صفرية. نظرية ويل للتماثل هي دالة متغايرة.

$${\displaystyle H^{*}:\{{\text{smooth projective variety over }}k\}\longrightarrow \{{\text{graded }}K{\text{-algebras}}\}}$$

مع استيفاء البديهيات أدناه. لكل صنف جبري إسقاطي أملس X ذي بُعد n على k ، فإن الجبر K المتدرج

$${\displaystyle H^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{i}H^{i}(X)}$$

يشترط استيفاء ما يلي:

• ${\displaystyle H^{i}(X)}$هو فضاء متجهي ذو أبعاد محدودة من النوع K لكل عدد صحيح i .
• ${\displaystyle H^{i}(X)=0}$لكل i < 0 أو i > 2 n .
• ${\displaystyle H^{2n}(X)}$متماثل مع K (ما يسمى بخريطة التوجيه).
• ثنائية بوانكاريه : هناك اقتران مثالي$${\displaystyle H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K.}$$
• يوجد تماثل كونيث قياسي$${\displaystyle H^{*}(X)\otimes H^{*}(Y)\to H^{*}(X\times Y).}$$
• لكل عدد صحيح r ، توجد خريطة دورية معرفة على المجموعة${\displaystyle Z^{r}(X)}$من الدورات الجبرية ذات البعد المشترك r على X ،$${\displaystyle \gamma _{X}:Z^{r}(X)\to H^{2r}(X),}$$يُشترط استيفاء شروط توافق معينة فيما يتعلق بوظيفة H وتماثل كونيث. إذا كانت X نقطة، فيجب أن يكون تطبيق الدورة هو التضمين Z ⊂ K.
• مسلمة ليفشيتز الضعيفة : لأي مقطع مستوي فائق أملس j : W ⊂ X (أي W = X ∩ H ، حيث H مستوى فائق في الفضاء الإسقاطي المحيط)، فإن الخرائط$${\displaystyle j^{*}:H^{i}(X)\to H^{i}(W)}$$هي تماثلات لـ${\displaystyle i\leqslant n-2}$وحقن لـ${\displaystyle i\leqslant n-1}$.
• بديهية ليفشيتز الصعبة : ليكن W مقطعًا فائق المستوى و${\displaystyle w=\gamma _{X}(W)\in H^{2}(X)}$ليكن صورتها تحت خريطة فئة الدورة. يُعرَّف عامل ليفشيتز على النحو التالي:$${\displaystyle {\begin{cases}L:H^{i}(X)\to H^{i+2}(X)\\x\mapsto x\cdot w,\end{cases}}}$$حيث تشير النقطة إلى عملية الضرب في الجبر${\displaystyle H^{*}(X)}$. ثم$${\displaystyle L^{i}:H^{ni}(X)\to H^{n+i}(X)}$$هو تماثل لـ i = 1، ...، n .

هناك أربع نظريات تُعرف باسم نظريات ويل الكلاسيكية في علم التماثل:

• علم التماثل المفرد (= بيتي) ، مع اعتبار الأصناف على C فضاءات طوبولوجية باستخدام طوبولوجيا التحليل الخاصة بها (انظر GAGA ).

• علم التماثل دي رام على حقل أساسي ذي خاصية صفرية: على C المعرف بواسطة الأشكال التفاضلية وبشكل عام بواسطة مجموعة تفاضلات كاهلر (انظر علم التماثل دي رام الجبري )،

• ${\displaystyle \ell }$علم التماثل -adic للأصناف على حقول ذات خصائص مختلفة عن${\displaystyle \ell }$،

• التماثل البلوري .

تُعتبر براهين بديهيات علم التماثل بيتي وعلم التماثل دي رام سهلة نسبياً وكلاسيكية.${\displaystyle \ell }$على سبيل المثال، فإن معظم الخصائص المذكورة أعلاه هي نظريات عميقة في علم التماثل -adic.

يتضح تلاشي مجموعات بيتي للتماثل التي تتجاوز ضعف البعد من حقيقة أن متعدد الشعب (المعقد) ذو البعد المعقد n له بعد حقيقي 2 n ، لذلك تتلاشى مجموعات التماثل الأعلى هذه (على سبيل المثال عن طريق مقارنتها بالتماثل (المعقد) البسيط ).

يُمكن تفسير خريطة دورة دي رام بطريقة عملية: إذا كان لدينا صنف فرعي Y ذو بُعد مُركب r في صنف كامل X ذي بُعد مُركب n ، فإن البُعد الحقيقي لـ Y هو 2n - 2r ، وبالتالي يُمكن تكامل أي شكل تفاضلي (2n - 2r ) على طول Y لإنتاج عدد مُركب . وهذا يُنتج دالة خطية.${\displaystyle \textstyle \int _{Y}\colon \;H_{\text{dR}}^{2n-2r}(X)\to \mathbf {C} }$بحسب ازدواجية بوانكاريه، فإن إعطاء مثل هذه الدالة يكافئ إعطاء عنصر من${\displaystyle H_{\text{dR}}^{2r}(X)}$هذا العنصر هو صورة Y الموجودة أسفل خريطة الدورة.

• أسس الهندسة الجبرية

• غريفيث، فيليب؛ هاريس، جوزيف (1994)، مبادئ الهندسة الجبرية ، مكتبة وايلي كلاسيكس، نيويورك: وايلي، doi : 10.1002/9781118032527 ، ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ (يحتوي على براهين لجميع بديهيات علم التماثل لبيتي ودي رام)
• ميلن، جيمس س. (1980)، Étale cohomology ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون ، ISBN 978-0-691-08238-7(نفس الشيء بالنسبة لعلم التماثل l -adic)
• Kleiman، SL (1968)، “Algebraic Cycles and the Weil Conjectures”، Dix exposés sur la cohomologie des schémas ، أمستردام: شمال هولندا، الصفحات من 359 إلى 386، MR 0292838