الهندسة الجبرية والهندسة التحليلية

1. يترك${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ليكن مخططًا من النوع المحدود على${\displaystyle \mathbb {C} }$ثم يوجد فضاء طوبولوجي${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$والتي تتكون من النقاط المغلقة لـ${\displaystyle X}$مع خريطة تضمين مستمرة${\displaystyle \lambda _{X}:X^{\mathrm {an} }\to X}$الطوبولوجيا على${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$يُطلق عليها اسم "الطوبولوجيا المعقدة" (وهي تختلف تمامًا عن طوبولوجيا الفضاء الفرعي).
2. يفترض${\displaystyle \phi :X\to Y}$هو تشاكل بين مخططات من النوع المحدود محليًا على${\displaystyle \mathbb {C} }$إذن، توجد خريطة متصلة${\displaystyle \phi ^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\to Y^{\mathrm {an} }}$بحيث${\displaystyle \lambda _{Y}\circ \phi ^{\mathrm {an} }=\phi \circ \lambda _{X}}$.
3. هناك حزمة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$على${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$بحيث${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$هو فضاء محاط بحلقات و${\displaystyle \lambda _{X}:X^{\mathrm {an} }\to X}$تتحول إلى خريطة لمساحات محاطة بحلقات. المساحة${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$يُطلق عليه اسم "تحليل"${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$وهو فضاء تحليلي. لكل${\displaystyle \phi :X\to Y}$الخريطة${\displaystyle \phi ^{\mathrm {an} }}$التعريف المذكور أعلاه هو عبارة عن رسم تخطيطي للفضاءات التحليلية. علاوة على ذلك، فإن الخريطة${\displaystyle \phi \mapsto \phi ^{\mathrm {an} }}$تفتح الخرائط آفاقًا جديدة للانغماس في تجارب غامرة مفتوحة. إذا${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}])}$ثم${\displaystyle X^{\mathrm {an} }=\mathbb {C} ^{n}}$و${\displaystyle {\mathcal {O}} _ {X}^ {\mathrm {an} }(U)}$لكل قرص متعدد${\displaystyle U}$هو خارج قسمة مناسب لفضاء الدوال التحليلية على${\displaystyle U}$.
4. لكل حزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على${\displaystyle X}$(تسمى الحزمة الجبرية) توجد حزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$على${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$(تسمى الحزمة التحليلية) وخريطة لحزم${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-الوحدات${\displaystyle \lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$الحزمة${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$المراسلات${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$يُعرّف دالةً دقيقةً من فئة الحزم على${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$إلى فئة حزم${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$. إن البيانين التاليين هما جوهر نظرية GAGA لسير ^{[ 14 ] [ 15 ]} (كما تم توسيعها بواسطة ألكسندر غروتينديك ، وأمنون نعمان ، وآخرين).
5. لو${\displaystyle f:X\to Y}$هو تشاكل عشوائي لمخططات من النوع المحدود على${\displaystyle \mathbb {C} }$و${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إذا كانت متماسكة، فإن الخريطة الطبيعية${\displaystyle (f_ {*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$هي حقنية. إذا${\displaystyle f}$إذا كان هذا صحيحًا، فإن هذه الخريطة هي تماثل. كما توجد تماثلات لجميع حزم الصور المباشرة العليا${\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$في هذه الحالة. ^{[ 16 ]}
6. والآن افترض أن${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$هاوسدورف ومدمجة . إذا${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$هما حزمتان جبريتان متماسكتان على${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$وإذا${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }}$هي خريطة لحزم من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$-وحدات، ثم توجد خريطة فريدة لحزم من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-الوحدات${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}} مع${\displaystyle f=\varphi ^{\mathrm {an} }}$. لو${\displaystyle {\mathcal {R}}}$هي حزمة تحليلية متماسكة من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$-الوحدات النمطية${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$إذن توجد حزمة جبرية متماسكة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدات نمطية وتماثل${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}}$.

بصورة أعم قليلاً، تنص نظرية GAGA على أن فئة الحزم الجبرية المتماسكة على تنوع إسقاطي معقد${\displaystyle X}$وفئة الحزم التحليلية المتماسكة على الفضاء التحليلي المقابل${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$متكافئان. الفضاء التحليلي${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$يتم الحصول عليها تقريبًا عن طريق التراجع إلى${\displaystyle X}$البنية المعقدة من${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$من خلال مخططات الإحداثيات. في الواقع، إن صياغة النظرية بهذه الطريقة أقرب في روحها إلى ورقة سير، بالنظر إلى أن لغة نظرية المخططات الكاملة التي يستخدمها البيان الرسمي أعلاه بشكل كبير لم تكن قد تم اختراعها بعد وقت نشر GAGA.