تفاضلي كاهلر

الاشتقاق الخطي R على S هو تشاكل R- وحدة نمطية${\displaystyle d:S\to M}$إلى وحدة نمطية S - M تحقق قاعدة لايبنيز${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$(يترتب تلقائيًا من هذا التعريف أن صورة R تقع في نواة d ^{[ 1 ]} ). يُعرَّف مُعامل تفاضلات كاهلر على أنه مُعامل S${\displaystyle \Omega _{S/R}}$والتي لها اشتقاق عالمي${\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}$كما هو الحال مع الخصائص العامة الأخرى ، فإن هذا يعني أن d هو أفضل اشتقاق ممكن، بمعنى أنه يمكن الحصول على أي اشتقاق آخر منه عن طريق التركيب مع تماثل S -module. بعبارة أخرى، يوفر التركيب مع d ، لكل S -module M ، تماثل S -module

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

تتمثل إحدى طرق بناء Ω _{S / R} و d في إنشاء وحدة S حرة بمولد رسمي واحد ds لكل s في S ، وفرض العلاقات

• dr = 0 ,
• د ( ص + ت ) = د ص + د ت ،
• د ( st ) = s dt + t ds ،

لكل r في R ولكل s و t في S. الاشتقاق الشامل يرسل s إلى ds . تشير العلاقات إلى أن الاشتقاق الشامل هو تشاكل بين وحدات R.

تتم عملية بناء أخرى بجعل I هو المثالي في حاصل الضرب الموتري${\displaystyle S\otimes _{R}S}$يُعرَّف بأنه نواة خريطة الضرب

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}$

ثم يمكن تعريف وحدة تفاضلات كاهلر لـ S بشكل مكافئ بواسطة ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}$

والاشتقاق العام هو التشاكل d المعرف بواسطة

${\displaystyle ds=1\otimes ss\otimes 1.}$

هذا البناء مكافئ للبناء السابق لأن I هي نواة الإسقاط

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}$

وهكذا لدينا:

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

ثم${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$يمكن تحديدها مع I من خلال الخريطة الناتجة عن الإسقاط التكميلي

${\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}$

يُعرّف هذا I بأنه الوحدة النمطية S المولدة بواسطة المولدات الشكلية ds لـ s في S ، بشرط أن يكون d تشاكلاً بين الوحدات النمطية R يُحوّل كل عنصر من R إلى الصفر. ويؤدي أخذ خارج القسمة على I² ^إلى فرض قاعدة لايبنتز بدقة.

كما في السابق، قم بإصلاح الخريطة${\displaystyle X\to Y}$تُعرَّف الأشكال التفاضلية ذات الدرجة الأعلى بأنها القوى الخارجية (على${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$)

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}$

الاشتقاق${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$يمتد بشكل طبيعي إلى سلسلة من الخرائط

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

مُرضٍ${\displaystyle d\circ d=0.}$هذا مركب سلسلة مشتركة يُعرف باسم مركب دي رام .

يتمتع مُركّب دي رام ببنية ضربية إضافية، وهي ناتج الوتد

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}$

يحوّل هذا مُركّب دي رام إلى جبر تفاضلي متدرج تبادلي . كما أنه يمتلك بنية جبرية مشتركة موروثة من تلك الموجودة على الجبر الخارجي . ^{[ 3 ]}

يُطلق على علم التماثل الفائق لمركب دي رام للحزم اسم علم التماثل الجبري لدي رام لـ X على Y ويُرمز له بـ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$أو فقط${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}$إذا كان Y واضحًا من السياق. (في كثير من الحالات، يكون Y طيفًا لحقل ذي خاصية صفرية). تم تقديم علم التماثل الجبري دي رام بواسطة غروتينديك (1966أ) . وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بعلم التماثل البلوري .

كما هو معروف من علم التماثل المتماسك للحزم شبه المتماسكة الأخرى، فإن حساب تماثل دي رام يتبسط عندما يكون X = Spec S و Y = Spec R مخططين خطيين. في هذه الحالة، ولأن المخططات الخطية لا تمتلك تماثلًا أعلى،${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$يمكن حسابها على أنها علم التماثل لمجموعة الزمر الأبيلية

${\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

أي، بحسب المصطلحات، الأقسام العالمية للحزم${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}$.

لنأخذ مثالاً محدداً جداً، لنفترض أن${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]}$هي المجموعة الضربية على${\displaystyle \mathbb {Q} .}$لأن هذا مخطط تآلفي، فإن علم التماثل الفائق يختزل إلى علم التماثل العادي. مُركب دي رام الجبري هو

${\displaystyle \mathbb {Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} [x,x^{-1}]\,dx.}$

يخضع التفاضل d للقواعد المعتادة في حساب التفاضل والتكامل، أي${\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}$تحسب النواة والنواة المساعدة علم التماثل الجبري لـ de Rham، لذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}$

وجميع مجموعات التماثل الجبرية الأخرى لدي رام تساوي صفرًا. على سبيل المقارنة، فإن مجموعات التماثل الجبرية لدي رام لـ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left[x,x^{-1}\right]}$وهي أكبر بكثير، أي

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}$

بما أن أعداد بيتي لهذه المجموعات المتماثلة ليست كما هو متوقع، فقد تم تطوير التماثل البلوري لمعالجة هذه المشكلة؛ فهو يحدد نظرية تماثل ويل على الحقول المنتهية.

إذا كان X عبارة عن تنوع جبري معقد أملس ، فهناك خريطة مقارنة طبيعية لمجموعات الحزم

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}$

بين مُركّب دي رام الجبري ومُركّب دي رام الأملس المُعرّف بدلالة الأشكال التفاضلية (ذات القيم المركبة) على${\displaystyle X^{\text{an}}}$، الفضاء المعقد المرتبط بـ X. هنا،${\textstyle (-)^{\text{an}}}$يرمز إلى دالة التحليل المركب. هذه الدالة بعيدة كل البعد عن كونها تماثلًا. ومع ذلك، فقد أظهر غروتينديك (1966أ) أن دالة المقارنة تُنتج تماثلًا.

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}$

من علم التماثل الجبري إلى علم التماثل الأملس دي رام (وبالتالي إلى علم التماثل المفرد)${\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}$(بحسب نظرية دي رام ). على وجه الخصوص، إذا كان X عبارة عن تنوع جبري أفيني أملس مضمن في${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$إذاً، فإن تضمين المجموعة الفرعية للأشكال التفاضلية الجبرية في مجموعة جميع الأشكال الملساء على X هو شبه تماثل . على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}$،

ثم كما هو موضح أعلاه، فإن حساب التماثل الجبري لـ de Rham يعطي مولدات صريحة${\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}$ل${\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}$و${\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}$على التوالي، بينما تتلاشى جميع مجموعات التماثل الأخرى. وبما أن X مكافئ تماثليًا لدائرة ، فإن هذا يتوافق مع ما تنبأت به نظرية غروتينديك.

يمكن إيجاد أمثلة مضادة في الحالة الشاذة باستخدام حالات شاذة غير دو بوا مثل الحلقة المتدرجة${\displaystyle k[x,y]/(y^{2}-x^{3})}$مع${\displaystyle y}$أين${\displaystyle \deg(y)=3}$و${\displaystyle \deg(x)=2}$[ ^{4 ]} يمكن إيجاد أمثلة مضادة أخرى في المنحنيات المستوية الجبرية ذات النقاط الشاذة المعزولة التي لا تتساوى فيها أعداد ^ميلنور وتجورينا . ^{[ 5 ]}

تم تقديم برهان لنظرية غروتينديك باستخدام مفهوم نظرية ويل المختلطة بواسطة سيسينسكي وديغليز (2013) .

إذا كان X تنوعًا أملسًا على حقل k ، فإن${\displaystyle \Omega _{X/k}}$هي حزمة متجهة (أي، حرة محليًا)${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدة) ذات رتبة تساوي بُعد X. وهذا يعني، على وجه الخصوص، أن

${\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}$

هو حزمة خطية ، أو ما يعادلها، قاسم . ويُشار إليه بالقاسم الكنسي . والقاسم الكنسي، كما اتضح، هو مُركّب ثنائي ، ولذلك يظهر في العديد من النظريات المهمة في الهندسة الجبرية، مثل ثنائية سير أو ثنائية فيردييه .

يُعرَّف الجنس الهندسي لمتنوعة جبرية ملساء X ذات بُعد d على حقل k بأنه البُعد

${\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}$

بالنسبة للمنحنيات، يتفق هذا التعريف الجبري البحت مع التعريف الطوبولوجي (لـ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$) باعتباره "عدد المقابض" لسطح ريمان المرتبط بـ X. هناك تباين حاد إلى حد ما في الخصائص الهندسية والحسابية اعتمادًا على جنس المنحنى، حيث تكون قيمة g تساوي 0 ( المنحنيات الكسرية )، و1 ( المنحنيات الإهليلجية )، وأكبر من 1 (أسطح ريمان الزائدية، بما في ذلك المنحنيات الإهليلجية الزائدة )، على التوالي.

إن حزمة المماس لمجموعة متنوعة ملساء X هي، بحكم التعريف، ثنائية حزمة المماس المشترك${\displaystyle \Omega _{X/k}}$. تحتوي نظرية ريمان-روخ وتعميمها بعيد المدى، نظرية غروتينديك-ريمان-روخ ، على فئة تود للحزمة المماسية كمكون أساسي .

ترتبط حزمة التفاضلات بمفاهيم جبرية هندسية متنوعة. التشكل${\displaystyle f:X\to Y}$تكون المخططات غير متفرعة إذا وفقط إذا${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$يساوي صفرًا. ^{[ 6 ]} حالة خاصة من هذا التأكيد هي أنه بالنسبة للحقل k ،${\displaystyle K:=k[t]/f}$تكون قابلة للفصل على k إذا وفقط إذا${\displaystyle \Omega _{K/k}=0}$، والتي يمكن قراءتها أيضًا من الحساب المذكور أعلاه.

يكون التشاكل f من النوع المحدود تشاكلاً أملسًا إذا كان مسطحًا وإذا${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$هو مجاني محليًا${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- وحدة نمطية من الرتبة المناسبة. حساب${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}}$يوضح ما سبق أن الإسقاط من الفضاء الأفيني${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}$سلس.

الدورات ، بشكل عام، هي تكاملات لأشكال تفاضلية معينة محددة حسابيًا. ^{[ 7 ]} أبسط مثال على الدورة هو${\displaystyle 2\pi i}$، والذي ينشأ على

${\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

تُستخدم نظرية دي رام الجبرية لبناء الدورات على النحو التالي: ^{[ 8 ]} بالنسبة لمتنوعة جبرية X معرفة على${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$إن التوافق المذكور أعلاه مع تغيير الأساس ينتج عنه تماثل طبيعي

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}$

من ناحية أخرى، فإن مجموعة التماثل الأيمن متماثلة مع تماثل دي رام للمتشعب المعقد${\displaystyle X^{\text{an}}}$مرتبط بـ X ، المشار إليه هنا${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}$وتؤكد نتيجة كلاسيكية أخرى، وهي نظرية دي رام ، على وجود تماثل بين مجموعة التماثل الأخيرة مع التماثل الفردي (أو تماثل الحزمة ) بمعاملات معقدة.${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}$، والتي، وفقًا لنظرية المعامل العام، تكون بدورها متماثلة مع${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}$يؤدي تركيب هذه التشاكلات إلى فضاءين متجهيين كسريين ، واللذين، بعد ضربهما بموتر مع${\displaystyle \mathbb {C} }$تصبح متماثلة. باختيار قواعد هذه الفضاءات الجزئية النسبية (وتسمى أيضًا الشبكات)، يكون محدد مصفوفة تغيير القاعدة عددًا مركبًا، مُعرَّفًا جيدًا حتى الضرب في عدد نسبي. هذه الأعداد هي دورات .

في نظرية الأعداد الجبرية ، يمكن استخدام تفاضلات كاهلر لدراسة التفرع في امتداد حقول الأعداد الجبرية . إذا كان L / K امتدادًا منتهيًا بحلقات من الأعداد الصحيحة R و S على التوالي _، فإن المثالي المختلف δL _{/ K} ، الذي يشفر بيانات التفرع، هو مُفني الوحدة النمطية R _، ΩR _{/ S} : ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}$