نظرية فايل حول الاختزال الكامل

كان برهان فايل الأصلي (لجبر لي شبه البسيط المعقد) تحليليًا بطبيعته: وقد استخدم بشكل مشهور حيلة الوحدة . على وجه التحديد، يمكن للمرء أن يثبت أن كل جبر لي شبه بسيط معقد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو تعقيد جبر لي لمجموعة لي مدمجة متصلة ببساطة${\displaystyle K}$[ ^{4 ] ( على} سبيل المثال، إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$، ثم${\displaystyle K=\mathrm {SU} (n)}$.) بالنظر إلى تمثيل${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$في فضاء متجهي${\displaystyle V,}$يمكن للمرء أولاً أن يقيد${\displaystyle \pi }$إلى جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {ك}}}$ل${\displaystyle K}$ثم، بما أن${\displaystyle K}$متصلة ببساطة ، ^{[ 5 ]} يوجد تمثيل مرتبط بها${\displaystyle \Pi }$ل${\displaystyle K}$التكامل عبر${\displaystyle K}$ينتج منتجًا داخليًا على${\displaystyle V}$والتي${\displaystyle \Pi }$هو نظام أحادي. ^{[ 6 ]} قابلية الاختزال الكاملة لـ${\displaystyle \Pi }$ثم تُظهر الحجج المباشرة والأساسية أن التمثيل الأصلي${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$كما أنه قابل للاختزال تماماً.

يترك${\displaystyle (\pi ,V)}$ليكن تمثيلاً محدود الأبعاد لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على حقل ذي خاصية صفرية. تُعدّ هذه النظرية نتيجةً سهلةً لفرضية وايتهيد ، التي تنص على${\displaystyle V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v\mapsto \cdot v}$هي شاملة، حيث يكون التطبيق الخطي${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to V}$هو اشتقاق إذا${\displaystyle f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)}$ويعود الفضل في هذا الدليل بشكل أساسي إلى وايتهيد. ^{[ 7 ]}

يترك${\displaystyle W\subset V}$ليكن تمثيلاً جزئياً. لنعتبر الفضاء المتجهي الجزئي${\displaystyle L_{W}\subset \operatorname {End} (V)}$التي تتكون من جميع الخرائط الخطية${\displaystyle t:V\to V}$بحيث${\displaystyle t(V)\subset W}$و${\displaystyle t(W)=0}$. له بنية من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-الوحدة المعطاة بواسطة: لـ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},t\in L_{W}}$،

${\displaystyle x\cdot t=[\pi (x),t]}$.

والآن، اختر بعض الإسقاطات${\displaystyle p:V\to V}$انتقل إلى W وفكر${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}}$مقدم من${\displaystyle f(x)=[p,\pi (x)]}$. منذ${\displaystyle f}$هو اشتقاق، وفقًا لفرضية وايتهيد، يمكننا كتابة${\displaystyle f(x)=x\cdot t}$بالنسبة للبعض${\displaystyle t\in L_{W}}$ثم لدينا${\displaystyle [\pi (x),p+t]=0,x\in {\mathfrak {g}}}$أي بمعنى آخر${\displaystyle p+t}$يكون${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$خطي. كذلك، عندما يقتل t${\displaystyle W}$،${\displaystyle p+t}$هو عنصر متطابق بحيث${\displaystyle (p+t)(V)=W}$نواة${\displaystyle p+t}$ثم يكون تمثيلاً مكملاً لـ${\displaystyle W}$.${\displaystyle \square }$

يتم إثبات ليمّة وايتهيد عادةً عن طريق عنصر كازيمير التربيعي للجبر الشامل المغلف ، ^{[ 8 ]} وهناك أيضًا برهان على النظرية يستخدم عنصر كازيمير مباشرة بدلاً من ليمّة وايتهيد.

بما أن عنصر كازيمير التربيعي${\displaystyle C}$تقع في مركز الجبر الشامل، وتخبرنا مبرهنة شور بذلك.${\displaystyle C}$يعمل كعدة${\displaystyle c_{\lambda }}$الهوية في التمثيل غير القابل للاختزال لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بأعلى وزن${\displaystyle \lambda }$تتمثل إحدى النقاط الرئيسية في إثبات ذلك.${\displaystyle c_{\lambda }}$تكون قيمتها غير صفرية كلما كان التمثيل غير تافه. ويمكن تحقيق ذلك من خلال حجة عامة ^{[ 9 ]} أو من خلال الصيغة الصريحة لـ${\displaystyle c_{\lambda }}$.

لننظر في حالة خاصة جدًا من نظرية الاختزال الكامل: الحالة التي يكون فيها التمثيل${\displaystyle V}$يحتوي على فضاء جزئي غير تافه وغير قابل للاختزال وثابت${\displaystyle W}$من بُعد مشترك واحد. ليكن${\displaystyle C_{V}}$يدل على فعل${\displaystyle C}$على${\displaystyle V}$. منذ${\displaystyle V}$ليس غير قابل للاختزال،${\displaystyle C_{V}}$ليس بالضرورة مضاعفًا للعنصر المحايد، ولكنه عامل متشابك ذاتيًا لـ${\displaystyle V}$ثم تقييد${\displaystyle C_{V}}$ل${\displaystyle W}$هو مضاعف غير صفري للعنصر المحايد. ولكن بما أن ناتج القسمة${\displaystyle V/W}$هو تمثيل أحادي البعد - وبالتالي تافه - لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، فعل${\displaystyle C}$إن حساب ناتج القسمة أمرٌ بديهي. ومن ثم، يترتب على ذلك بسهولة أن${\displaystyle C_{V}}$يجب أن يكون لها نواة غير صفرية - والنواة هي فضاء جزئي ثابت، لأن${\displaystyle C_{V}}$هو متشابك ذاتيًا. النواة هي إذًا فضاء جزئي ثابت أحادي البعد، تقاطعه مع${\displaystyle W}$يساوي صفرًا. وبالتالي،${\displaystyle \mathrm {ker} (C_{V})}$هو مكمل ثابت لـ${\displaystyle W}$، لهذا السبب${\displaystyle V}$يتحلل إلى مجموع مباشر للفضاءات الفرعية غير القابلة للاختزال:

${\displaystyle V=W\oplus \mathrm {ker} (C_{V})}$.

على الرغم من أن هذا لا يثبت سوى حالة خاصة جداً من النتيجة المرجوة، إلا أن هذه الخطوة هي في الواقع الخطوة الحاسمة في الحجة العامة.

يمكن استنتاج النظرية من نظرية وحدات فيرما ، التي تُعرّف الوحدة البسيطة بأنها خارج قسمة وحدة فيرما على وحدة فرعية قصوى . ^{[ 10 ]} يتميز هذا النهج بميزة أنه يمكن استخدامه لتخفيف افتراضات الأبعاد المحدودة (في الجبر والتمثيل).

يترك${\displaystyle V}$ليكن تمثيلاً محدود الأبعاد لجبر لي شبه بسيط محدود الأبعاد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفر. ليكن${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}_{+}\subset {\mathfrak {g}}}$ليكن الجبر الجزئي بوريل المحدد باختيار جبر جزئي كارتان وجذور موجبة.${\displaystyle V^{0}=\{v\in V|{\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}}$. ثم${\displaystyle V^{0}}$هو${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-وحدة نمطية وبالتالي لديها${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$تحليل الفضاء الموزون:

${\displaystyle V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}}$

أين${\displaystyle L\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$لكل${\displaystyle \lambda \in L}$، يختار${\displaystyle 0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }}$و${\displaystyle V^{\lambda }\subset V}$ال${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$- وحدة فرعية تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle v_{\lambda }}$و${\displaystyle V'\subset V}$ال${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$- وحدة فرعية تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle V^{0}}$نزعم ما يلي:${\displaystyle V=V'}$. يفترض${\displaystyle V\neq V'}$بحسب نظرية لي ، يوجد${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$متجه الوزن في${\displaystyle V/V'}$وبالتالي، يمكننا إيجاد${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$متجه الوزن${\displaystyle v}$بحيث${\displaystyle 0\neq e_{i}(v)\in V'}$بالنسبة للبعض${\displaystyle e_{i}}$من بين مولدات شيڤالي . الآن،${\displaystyle e_{i}(v)}$له وزن${\displaystyle \mu +\alpha _{i}}$. منذ${\displaystyle L}$إذا تم ترتيبها جزئياً، فهناك${\displaystyle \lambda \in L}$بحيث${\displaystyle \lambda \geq \mu +\alpha _{i}}$؛ أي،${\displaystyle \lambda >\mu }$لكن هذا تناقض لأن${\displaystyle \lambda ,\mu }$كلاهما أوزان أولية (من المعروف أن الأوزان الأولية غير قابلة للمقارنة ). وبالمثل، كل${\displaystyle V^{\lambda }}$الأمر بسيط مثل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدة. في الواقع، إذا لم يكن الأمر بسيطًا، فبالنسبة للبعض${\displaystyle \mu <\lambda }$،${\displaystyle V_{\mu }^{0}}$يحتوي على متجه غير صفري ليس متجهًا ذو وزن أعلى؛ وهذا تناقض آخر.${\displaystyle \square }$