وحدة فيرما

وحدات فيرما ، التي سميت على اسم دايا-ناند فيرما ، هي كائنات في نظرية التمثيل لجبر لي ، وهو فرع من فروع الرياضيات .

يمكن استخدام وحدات فيرما في تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال لجبر لي شبه البسيط المعقد. على وجه التحديد، على الرغم من أن وحدات فيرما نفسها لا نهائية الأبعاد، إلا أنه يمكن استخدام نواتج قسمتها لإنشاء تمثيلات محدودة الأبعاد ذات وزن أعلى. $\lambda$ ، أين $\lambda$ مهيمنة وتكاملية . ^{[ 1 ]} تتوافق تشاكلاتها مع المؤثرات التفاضلية الثابتة على مشعبات العلم .

البناء غير الرسمي

{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )} — أوزان وحدة فيرما لـ ${\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )$ بأعلى وزن $\lambda$

يمكننا شرح فكرة وحدة فيرما على النحو التالي. ^{[ 2 ]} ليكن ${\mathfrak {g}}$ ليكن جبر لي شبه بسيط (على $\mathbb {C}$ (لتبسيط الأمر). لنفترض ${\mathfrak {h}}$ يكون جبرًا فرعيًا كارتانيًا ثابتًا ${\mathfrak {g}}$ ودع $R$ ليكن نظام الجذر المرتبط. $R^{+}$ لتكن مجموعة ثابتة من الجذور الموجبة. لكل $\alpha \in R^{+}$ اختر عنصرًا غير صفري $X_{\alpha }$ بالنسبة لمساحة الجذر المقابلة ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ وعنصر غير صفري $Y_{\alpha }$ في مساحة الجذر ${\mathfrak {g}}_{-\alpha }$ نفكر في $X_{\alpha }$ يُطلق عليهم "مشغلو الرفع" و $Y_{\alpha }$ 's كـ "مشغلين مخفضين".

والآن لنبدأ $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ ليكن دالة خطية اختيارية، ليست بالضرورة مهيمنة أو تكاملية. هدفنا هو بناء تمثيل $W_{\lambda }$ ل ${\mathfrak {g}}$ بأعلى وزن $\lambda$ يتم توليد ذلك بواسطة متجه واحد غير صفري $v$ مع الوزن $\lambda$ وحدة فيرما هي إحدى هذه الوحدات ذات الوزن الأعلى، وهي وحدة قصوى بمعنى أن كل وحدة أخرى ذات وزن أعلى لها نفس الوزن $\lambda$ هو خارج قسمة وحدة فيرما. وسيتضح أن وحدات فيرما دائمًا ما تكون ذات أبعاد لا نهائية؛ إذا $\lambda$ على الرغم من أن التكامل مهيمن، إلا أنه يمكن بناء وحدة قسمة محدودة الأبعاد لوحدة فيرما. وبالتالي، تلعب وحدات فيرما دورًا مهمًا في تصنيف التمثيلات محدودة الأبعاد لـ ${\mathfrak {g}}$ على وجه التحديد، تُعد هذه الأدوات مهمة في الجزء الصعب من نظرية الوزن الأعلى ، أي إثبات أن كل عنصر تكاملي مهيمن ينشأ في الواقع كوزن أعلى لتمثيل غير قابل للاختزال ذي أبعاد محدودة لـ ${\mathfrak {g}}$ .

سنحاول الآن أن نفهم بشكل بديهي ما هي وحدة فيرما ذات الوزن الأعلى $\lambda$ ينبغي أن يبدو هكذا. بما أن $v$ أن يكون متجهًا ذا وزن أعلى مع وزن $\lambda$ بالتأكيد نريد

H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}

و

X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}

.

ثم $W_{\lambda }$ ينبغي أن تمتد العناصر التي تم الحصول عليها عن طريق خفض $v$ بفعل $Y_{\alpha }$ 's:

Y_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}\cdot v

.

نفرض الآن فقط تلك العلاقات بين المتجهات ذات الشكل المذكور أعلاه والتي تتطلبها علاقات التبادل بين $Y$ على وجه الخصوص، يكون نموذج فيرما دائمًا لانهائي الأبعاد. أوزان نموذج فيرما ذات الوزن الأعلى $\lambda$ سيتألف من جميع العناصر $\mu$ يمكن الحصول على ذلك من $\lambda$ عن طريق طرح تركيبات صحيحة من الجذور الموجبة. يوضح الشكل أوزان وحدة فيرما لـ ${\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )$ .

تُظهر حجة إعادة الترتيب البسيطة أنه لا توجد سوى طريقة واحدة ممكنة لجبر لي الكامل ${\mathfrak {g}}$ يمكن اتخاذ إجراء بشأن هذه المساحة. على وجه التحديد، إذا $Z$ أي عنصر من ${\mathfrak {g}}$ ثم، باستخدام الجزء السهل من نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت ، يمكننا إعادة كتابة

ZY_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}

كمزيج خطي من نواتج عناصر جبر لي مع عوامل الرفع $X_{\alpha }$ أولاً، عناصر الجبر الفرعي لكارتان، وأخيراً عوامل التخفيض $Y_{\alpha }$ بتطبيق مجموع هذه الحدود على $v$ ، أي حد يحتوي على عامل رفع يساوي صفرًا، وأي عوامل في كارتان تعمل ككميات قياسية، وبالتالي ينتهي بنا الأمر بعنصر من الشكل الأصلي.

لفهم بنية وحدة فيرما بشكل أفضل، يمكننا اختيار ترتيب للجذور الموجبة كما يلي: $\alpha _{1},\ldots \alpha _{n}$ ونرمز إلى عوامل التخفيض المقابلة بـ $Y_{1},\ldots Y_{n}$ ثم، من خلال حجة إعادة ترتيب بسيطة، يمكن إعادة كتابة كل عنصر من عناصر الشكل أعلاه كتركيبة خطية من العناصر مع $Y$ 's بترتيب محدد:

Y_{1}^{k_{1}}\cdots Y_{n}^{k_{n}}v

،

حيث $k_{j}$ الأعداد الصحيحة غير السالبة هي 's. في الواقع، اتضح أن هذه المتجهات تشكل أساسًا لوحدة فيرما.

على الرغم من أن هذا الوصف لوحدة فيرما يعطي فكرة بديهية عما $W_{\lambda }$ يبدو أنه لا يزال يتعين تقديم بناء دقيق له. على أي حال، فإن وحدة فيرما تعطي - لأي $\lambda$ ليس بالضرورة أن يكون مهيمناً أو متكاملاً - تمثيل ذو وزن أعلى $\lambda$ الثمن الذي ندفعه مقابل هذا البناء البسيط نسبياً هو أن $W_{\lambda }$ يكون دائمًا ذا أبعاد لا نهائية. في الحالة التي $\lambda$ إذا كان مسيطراً وتكاملياً، فيمكن للمرء أن يبني خارج قسمة محدود الأبعاد وغير قابل للاختزال لوحدة فيرما. ^{[ 3 ]}

حالة sl(2; C)

يترك ${X,Y,H}$ أن يكون الأساس المعتاد لـ $\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )$ :

X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,

حيث أن الجبر الفرعي لكارتان هو مدى $H$ . يترك $\lambda$ يتم تعريفها بواسطة $\lambda (H)=m$ لعدد مركب عشوائي $m$ ثم وحدة فيرما ذات الوزن الأعلى $\lambda$ يتم توليدها بواسطة متجهات مستقلة خطيًا $v_{0},v_{1},v_{2},\dots$ ويكون عمل العناصر الأساسية على النحو التالي: ^{[ 4 ]}

Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}

.

(وهذا يعني على وجه الخصوص أن $H\cdot v_{0}=mv_{0}$ وذلك $X\cdot v_{0}=0$ تستند هذه الصيغ إلى الطريقة التي تعمل بها عناصر الأساس في التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لـ $\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )$ باستثناء أننا لم نعد نشترط أن تكون "سلسلة" المتجهات الذاتية لـ $H$ يجب أن ينتهي.

في هذا البناء، $m$ هو عدد مركب عشوائي ، ليس بالضرورة حقيقيًا أو موجبًا أو صحيحًا. ومع ذلك، في الحالة التي يكون فيها $m$ العدد الصحيح غير السالب له حالة خاصة. في هذه الحالة، يكون مدى المتجهات $v_{m+1},v_{m+2},\ldots$ من السهل ملاحظة أنها ثابتة - لأن $X\cdot v_{m+1}=0$ إذن، فإن وحدة القسمة هي التمثيل غير القابل للاختزال ذو الأبعاد المحدودة لـ $\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )$ من الأبعاد $m+1.$

تعريف وحدات فيرما

يوجد نموذجان قياسيان لوحدة فيرما، وكلاهما يتضمن مفهوم الجبر الشامل . نواصل استخدام الترميز الوارد في القسم السابق: ${\mathfrak {g}}$ هي جبر لي شبه بسيط معقد، ${\mathfrak {h}}$ هي جبر فرعي ثابت من جبر كارتان، $R$ هو نظام الجذر المرتبط بمجموعة ثابتة $R^{+}$ من الجذور الموجبة. لكل منها $\alpha \in R^{+}$ نختار عناصر غير صفرية $X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }$ و $Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }$ .

كحاصل قسمة الجبر المغلف

البناء الأول ^{[ 5 ]} لوحدة فيرما هو خارج قسمة الجبر الشامل المغلف $U({\mathfrak {g}})$ ل ${\mathfrak {g}}$ بما أن وحدة فيرما من المفترض أن تكون ${\mathfrak {g}}$ - وحدة، ستكون أيضًا $U({\mathfrak {g}})$ -وحدة، بحسب الخاصية العامة للجبر المُغلِّف. وبالتالي، إذا كان لدينا وحدة فيرما $W_{\lambda }$ مع متجه الوزن الأعلى $v$ سيكون هناك خريطة خطية $\Phi$ من $U({\mathfrak {g}})$ داخل $W_{\lambda }$ مقدم من

\Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in U({\mathfrak {g}})

.

منذ $W_{\lambda }$ من المفترض أن يتم توليدها بواسطة $v$ الخريطة $\Phi$ ينبغي أن يكون شاملاً. $v$ من المفترض أن يكون متجهًا ذو وزن أعلى، وهو نواة $\Phi$ ينبغي أن يشمل جميع متجهات الجذر $X_{\alpha }$ ل $\alpha$ في $R^{+}$ وبما أن $v$ من المفترض أن يكون متجه وزن ذو وزن $\lambda$ ، نواة $\Phi$ ينبغي أن تتضمن جميع المتجهات من الشكل

H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}

.

وأخيرًا، جوهر $\Phi$ ينبغي أن يكون هناك مثال يساري في $U({\mathfrak {g}})$ على أي حال، إذا $x\cdot v=0$ ثم $(yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0$ للجميع $y\in U({\mathfrak {g}})$ .

تُحفز المناقشة السابقة عملية بناء وحدة فيرما التالية. نُعرّف $W_{\lambda }$ باعتبارها فضاء متجه القسمة

W_{\lambda }=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }

،

أين $I_{\lambda }$ هو المثال الأيسر الناتج عن جميع عناصر الشكل

X_{\alpha },\quad \alpha \in R^{+},

و

H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}

.

لأن $I_{\lambda }$ هو مثال يساري، والفعل اليساري الطبيعي لـ $U({\mathfrak {g}})$ تنتقل خاصية "بذاتها" إلى ناتج القسمة. وبالتالي، $W_{\lambda }$ هو $U({\mathfrak {g}})$ -وحدة نمطية، وبالتالي أيضًا ${\mathfrak {g}}$ -وحدة.

بتوسيع الكميات القياسية

إجراء " توسيع القيم العددية " هو طريقة لتغيير وحدة يسارية $V$ على واحد جبر $A_{1}$ (ليس بالضرورة تبادليًا) إلى وحدة نمطية يسارية على جبر أكبر $A_{2}$ الذي يحتوي $A_{1}$ كجبر فرعي. يمكننا أن نفكر في $A_{2}$ كحق $A_{1}$ -وحدة، حيث $A_{1}$ أعمال بشأن $A_{2}$ عن طريق الضرب على اليمين. بما أن $V$ اليسار $A_{1}$ -وحدة نمطية و $A_{2}$ هو حق $A_{1}$ -وحدة، يمكننا تكوين حاصل الضرب الموتري للاثنين على الجبر $A_{1}$ :

A_{2}\otimes _{A_{1}}V

.

الآن، منذ $A_{2}$ اليسار $A_{2}$ -وحدة على نفسها، يحمل حاصل الضرب الموتري أعلاه بنية وحدة يسارية على الجبر الأكبر $A_{2}$ ، والتي تحددها بشكل فريد المتطلبات التالية:

a_{1}\cdot (a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v

للجميع $a_{1}$ و $a_{2}$ في $A_{2}$ وهكذا، بدءًا من اليسار $A_{1}$ -وحدة $V$ لقد أنتجنا اليسار $A_{2}$ -وحدة $A_{2}\otimes _{A_{1}}V$ .

نطبق الآن هذا البناء في سياق جبر لي شبه البسيط. لنفترض ${\mathfrak {b}}$ ليكن الجبر الفرعي لـ ${\mathfrak {g}}$ ممتدة بواسطة ${\mathfrak {h}}$ والمتجهات الجذرية $X_{\alpha }$ مع $\alpha \in R^{+}$ . (هكذا، ${\mathfrak {b}}$ هو " جبر فرعي بوريل " من ${\mathfrak {g}}$ يمكننا تكوين وحدة يسارية $F_{\lambda }$ على الجبر الشامل الشامل $U({\mathfrak {b}})$ على النحو التالي:

$F_{\lambda }$ هو الفضاء المتجهي أحادي البعد الذي يمتد بواسطة متجه واحد $v$ بالإضافة إلى ${\mathfrak {b}}$ - بنية الوحدة بحيث ${\mathfrak {h}}$ يعمل كعملية ضرب بواسطة $\lambda$ وتتصرف مساحات الجذور الموجبة بشكل بديهي:

\quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}

.

يكمن الدافع وراء هذه الصيغة في أنها تصف كيف $U({\mathfrak {b}})$ من المفترض أن يعمل على متجه الوزن الأعلى في وحدة فيرما.

والآن، يترتب على نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت ما يلي: $U({\mathfrak {b}})$ هي جبر فرعي من $U({\mathfrak {g}})$ وبالتالي، يمكننا تطبيق تقنية توسيع الكميات القياسية للتحويل $F_{\lambda }$ من اليسار $U({\mathfrak {b}})$ -وحدة إلى اليسار $U({\mathfrak {g}})$ -وحدة $W_{\lambda }$ كما يلي:

W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }

.

منذ $W_{\lambda }$ اليسار $U({\mathfrak {g}})$ -وحدة، وهي على وجه الخصوص وحدة (تمثيل) لـ ${\mathfrak {g}}$ .

بنية وحدة فيرما

أيًا كان البناء المستخدم لوحدة فيرما، يجب إثبات أنها غير تافهة، أي أنها ليست الوحدة الصفرية. في الواقع، من الممكن استخدام نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت لإثبات أن الفضاء المتجهي الأساسي لـ $W_{\lambda }$ متماثل مع

U({\mathfrak {g}}_{-})

أين ${\mathfrak {g}}_{-}$ هي الجبر الجزئي لي المتولد بواسطة فضاءات الجذور السالبة لـ ${\mathfrak {g}}$ (أي، الـ) $Y_{\alpha }$ ^[ 6 ^]

الخصائص الأساسية

وحدات فيرما، التي تعتبر ${\mathfrak {g}}$ الوحدات النمطية هي وحدات ذات وزن أعلى ، أي أنها تُولَّد بواسطة متجه ذي وزن أعلى . هذا المتجه ذو الوزن الأعلى هو $1\otimes 1$ (الأول $1$ هي الوحدة في ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ والثاني هو الوحدة الميدانية $F$ ، تعتبر ${\mathfrak {b}}$ - وحدة $F_{\lambda }$ وله وزن $\lambda$ .

التعددية

وحدات فيرما هي وحدات وزن ، أي $W_{\lambda }$ هو مجموع مباشر لجميع مساحات الأوزان الخاصة به . كل مساحة وزن في $W_{\lambda }$ هو ذو أبعاد محدودة، وبُعد $\mu$ مساحة الوزن $W_{\mu }$ هو عدد طرق التعبير $\lambda -\mu$ كمجموع جذور موجبة (وهذا يرتبط ارتباطًا وثيقًا بما يسمى دالة تجزئة كوستانت ). وينتج هذا التأكيد من الادعاء السابق بأن وحدة فيرما متماثلة كفضاء متجهي مع $U({\mathfrak {g}}_{-})$ بالإضافة إلى نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت لـ $U({\mathfrak {g}}_{-})$ .

الملكية العالمية

تتمتع وحدات فيرما بخاصية مهمة للغاية: إذا $V$ أي تمثيل يتم إنشاؤه بواسطة متجه الوزن الأعلى هو $\lambda$ ، هناك شمولية ${\mathfrak {g}}$ - التشاكل $W_{\lambda }\to V.$ أي جميع التمثيلات ذات الوزن الأعلى $\lambda$ التي يتم توليدها بواسطة متجه الوزن الأعلى (ما يسمى بوحدات الوزن الأعلى ) هي نواتج قسمة $W_{\lambda }.$

وحدة القسمة غير القابلة للاختزال

$W_{\lambda }$ يحتوي على وحدة فرعية قصوى فريدة ، وناتج قسمتها هو التمثيل غير القابل للاختزال الفريد (حتى التشاكل ) ذو الوزن الأعلى $\lambda .$ ^{[ 7 ]} إذا كان الوزن الأعلى $\lambda$ إذا كان مسيطراً وكاملاً، فإن المرء يثبت أن هذا القسمة غير القابل للاختزال هو في الواقع ذو أبعاد محدودة. ^{[ 8 ]}

على سبيل المثال، لننظر في الحالة ${\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )$ كما ذُكر أعلاه. إذا كان الوزن الأعلى $m$ إذا كان "عددًا صحيحًا مهيمنًا" - أي ببساطة أنه عدد صحيح غير سالب - فإن $Xv_{m+1}=0$ ونطاق العناصر $v_{m+1},v_{m+2},\ldots$ ثابت. وبالتالي، يكون تمثيل القسمة غير قابل للاختزال ذو بُعد $m+1$ يتم تمثيل الناتج بواسطة متجهات مستقلة خطيًا $v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}$ . فعل $\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )$ هو نفسه الموجود في وحدة فيرما، باستثناء أن $Yv_{m}=0$ في الناتج، مقارنةً بـ $Yv_{m}=v_{m+1}$ في وحدة فيرما.

وحدة فيرما $W_{\lambda }$ تكون غير قابلة للاختزال إذا وفقط إذا $\lambda$ مضاد للهيمنة. ^{[ 9 ]} وبالتالي، عندما $\lambda$ جزء لا يتجزأ، $W_{\lambda }$ تكون غير قابلة للاختزال إذا وفقط إذا لم تكن أي من إحداثيات $\lambda$ في أساس الأوزان الأساسية، يكون من المجموعة $\{0,1,2,\ldots \}$ بينما يُعد هذا الشرط ضروريًا بشكل عام ولكنه غير كافٍ لـ $W_{\lambda }$ أن يكون غير قابل للاختزال.

خصائص أخرى

وحدة فيرما $W_{\lambda }$ يُطلق عليه اسم منتظم ، إذا كان وزنه الأعلى λ يقع على مدار فايل الأفيني لوزن مهيمن ${\tilde {\lambda }}$ بمعنى آخر، يوجد عنصر w من مجموعة ويل W بحيث

\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}

أين $\cdot$ هو التأثير الأفيني لمجموعة ويل .

وحدة فيرما $W_{\lambda }$ يُطلق عليه اسم المفرد ، إذا لم يكن هناك وزن مهيمن على المدار الأفيني لـ λ. في هذه الحالة، يوجد وزن ${\tilde {\lambda }}$ لهذا السبب. ${\tilde {\lambda }}+\delta$ يقع على جدار غرفة فايل الأساسية (δ هو مجموع جميع الأوزان الأساسية ).

تماثلات وحدات فيرما

لأي وزنين $\lambda ,\mu$ تماثل غير تافه

W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }

قد يوجد فقط إذا $\mu$ و $\lambda$ ترتبط هذه النتائج بتأثير خطي لمجموعة ويل. $W$ من جبر لي ${\mathfrak {g}}$ وهذا يتبع بسهولة من نظرية هاريش-تشاندرا حول الخصائص المركزية المتناهية الصغر .

كل تشاكل لوحدات فيرما يكون أحاديًا، والبعد

\dim(\operatorname {Hom} (W_{\mu },W_{\lambda }))\leq 1

لأي $\mu ,\lambda$ إذن، يوجد عدد غير صفري $W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }$ إذا وفقط إذا $W_{\mu }$ متماثل مع وحدة فرعية (فريدة) من $W_{\lambda }$ .

تم تصنيف تماثلات وحدات فيرما بشكل كامل بواسطة بيرنشتاين-جيلفاند-جيلفاند ^{[ 10 ]} وفيرما ^{[ 11 ]} ويمكن تلخيصها في البيان التالي:

يوجد تشاكل غير صفري $W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }$ إذا وفقط إذا كان هناك
سلسلة من الأوزان
$\mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda$
بحيث $\nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )$ لبعض الجذور الإيجابية $\gamma _{i}$ (و $s_{\gamma _{i}}$ وهو انعكاس الجذر المقابل و $\delta$ (هو مجموع جميع الأوزان الأساسية ) ولكل $1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})$ هو عدد طبيعي ( $H_{\gamma _{i}}$ الجذر المشترك هو الجذر المرتبط بالجذر الرئيسي $\gamma _{i}$ ).

إذا كانت وحدات فيرما $M_{\mu }$ و $M_{\lambda }$ إذا كانت منتظمة ، فإنه يوجد وزن مهيمن فريد ${\tilde {\lambda }}$ والعناصر الفريدة w و w ′ لمجموعة ويل W بحيث

\mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}

و

\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},

أين $\cdot$ هو الفعل الأفيني لمجموعة ويل. إذا كانت الأوزان أعدادًا صحيحة ، فإنه يوجد تشاكل غير صفري

W_{\mu }\to W_{\lambda }

إذا وفقط إذا

w\leq w'

في ترتيب بروهات لمجموعة ويل.

سلسلة جوردان-هولدر

يترك

0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }

أن تكون سلسلة من ${\mathfrak {g}}$ -وحدات بحيث يكون خارج القسمة B/A غير قابل للاختزال بأعلى وزن μ. عندئذٍ يوجد تشاكل غير صفري $W_{\mu }\to W_{\lambda }$ .

ومن النتائج السهلة لذلك، أنه بالنسبة لأي وحدات ذات وزن أعلى $V_{\mu },V_{\lambda }$ بحيث

V_{\mu }\subset V_{\lambda }

يوجد تشاكل غير صفري $W_{\mu }\to W_{\lambda }$ .

حل برنشتاين-جيلفاند-جيلفاند

يترك $V_{\lambda }$ ليكن تمثيلاً غير قابل للاختزال ذو أبعاد منتهية لجبر لي ${\mathfrak {g}}$ بأعلى وزن λ. نعلم من القسم المتعلق بتشاكلات وحدات فيرما أنه يوجد تشاكل

W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }

إذا وفقط إذا

w\leq w'

في ترتيب بروهات لمجموعة ويل . تصف النظرية التالية تحليلًا إسقاطيًا لـ $V_{\lambda }$ من حيث وحدات فيرما (تم إثبات ذلك بواسطة برنشتاين – جيلفاند – جيلفاند في عام 1975 ^{[ 12 ]} ) :

يوجد تسلسل دقيق لـ ${\mathfrak {g}}$ -التشاكلات
$0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=n}W_{w\cdot \lambda }\to \cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0$
حيث n هو طول أكبر عنصر في مجموعة ويل.

يوجد حل مماثل لوحدات فيرما المعممة أيضًا. ويُشار إليه اختصارًا باسم حل BGG .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ مثال: هول 2015 الفصل 9
↑ هول 2015 القسم 9.2
↑ هول 2015 القسمان 9.6 و9.7
↑ هول 2015، القسم 9.2
↑ هول 2015 القسم 9.5
↑ هول 2015 نظرية 9.14
↑ هول 2015 القسم 9.6
↑ هول 2015 القسم 9.7
↑ همفريز، جيمس (22 يوليو 2008). تمثيلات جبر لي شبه البسيط في فئة BGG 𝒪 . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد 94. الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/gsm/094 . ISBN 978-0-8218-4678-0.
↑ بيرنشتاين، آي إن ؛ جيلفاند، آي إم؛ جيلفاند، إس آي (1971). "بنية التمثيلات المولدة بواسطة متجهات ذات وزن أعلى". التحليل الوظيفي وتطبيقاته . 5 (1): 1-8 . doi : 10.1007/BF01075841 .
↑ فيرما، دايا-ناند (1968). "بنية بعض التمثيلات المستحثة لجبر لي شبه البسيط المعقد" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 74 (1): 160-167 . doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4 .
↑ Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Represents , IM Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.

مراجع

دي كيرف، إي. أ.؛ باورلي، جي. جي. أ.؛ تين كرود، إيه. بي. إي.، محرران (1997). "التمثيلات - تقنيات الجبر المغلف". جبر لي - جبر لي ذو الأبعاد المحدودة وغير المحدودة وتطبيقاته في الفيزياء . دراسات في الفيزياء الرياضية. المجلد 7. الصفحات 71-113 . doi : 10.1016/S0925-8582(97)80004-8 . ISBN 978-0-444-82836-1.
كارتر، ر. (2005)، جبر لي من النوع المنتهي والنوع الأفيني ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-85138-1.
ديكسمير، ج. (1977)، الجبر المغلف ، أمستردام، نيويورك، أكسفورد: نورث هولاند، ISBN 978-0-444-11077-0.
هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 222 (الطبعة الثانية )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666
همفريز، ج. (1980)، مقدمة في جبر لي ونظرية التمثيل ، سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 978-3-540-90052-8.
كناب، أ. و. (2002)، مجموعات لي: ما وراء المقدمة ( الطبعة الثانية)، بيركهاوزر، ص 285، ISBN 978-0-8176-3926-6.
روشا، ألفاني (2001) [1994]، "حل BGG" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
روجينكامب، ك.؛ ستيفانيسكو، م. (2002)، الجبر - نظرية التمثيل ، سبرينغر، ISBN 978-0-7923-7114-4.

تتضمن هذه المقالة مواد من وحدة Verma على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .

[1] مثال: هول 2015 الفصل 9

[2] هول 2015 القسم 9.2

[3] هول 2015 القسمان 9.6 و9.7

[4] هول 2015، القسم 9.2

[5] هول 2015 القسم 9.5

[6] هول 2015 نظرية 9.14

[7] هول 2015 القسم 9.6

[8] هول 2015 القسم 9.7

[9] همفريز، جيمس (22 يوليو 2008). تمثيلات جبر لي شبه البسيط في فئة BGG 𝒪 . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد 94. الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/gsm/094 . ISBN 978-0-8218-4678-0.

[10] بيرنشتاين، آي إن ؛ جيلفاند، آي إم؛ جيلفاند، إس آي (1971). "بنية التمثيلات المولدة بواسطة متجهات ذات وزن أعلى". التحليل الوظيفي وتطبيقاته . 5 (1): 1-8 . doi : 10.1007/BF01075841 .

[11] فيرما، دايا-ناند (1968). "بنية بعض التمثيلات المستحثة لجبر لي شبه البسيط المعقد" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 74 (1): 160-167 . doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4 .

[12] Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Represents , IM Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]