عنصر كازيمير

لنفترض أن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو${\displaystyle n}$جبر لي ذو الأبعاد n . ليكن B شكلاً ثنائي الخطية غير منحلاً على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الذي يبقى ثابتًا تحت تأثير التأثير المرافق لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على نفسه، بمعنى أن${\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}$لكل X و Y و Z في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(الخيار الأكثر شيوعًا لـ B هو شكل القتل إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(شبه بسيط .) ليكن

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$

أن يكون أي أساس لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، و

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$

أن يكون الأساس المزدوج لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بالنسبة إلى B. عنصر كازيمير$أوميغا$لأن B هو عنصر من عناصر الجبر الشامل${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$معطاة بالصيغة

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

على الرغم من أن التعريف يعتمد على اختيار أساس لجبر لي، فمن السهل إثبات أن Ω مستقل عن هذا الاختيار. من ناحية أخرى، يعتمد Ω على الشكل الثنائي الخطي B. ويعني ثبات B أن عنصر كازيمير يتبادل مع جميع عناصر جبر لي.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وبالتالي يقع في مركز الجبر الشامل الشامل${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$[ ^{2 ]​}

بالنظر إلى تمثيل ρ لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$في فضاء متجهي V ، قد يكون لانهائي الأبعاد، يُعرَّف ثابت كازيمير لـ ρ بأنه ρ (Ω)، وهو المؤثر الخطي على V المعطى بالصيغة

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$

يلعب شكل محدد من هذا البناء دورًا مهمًا في الهندسة التفاضلية والتحليل العالمي. لنفترض أن لدينا زمرة لي متصلة G مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تؤثر على مشعب قابل للتفاضل M. لنعتبر التمثيل المقابل ρ لـ G على فضاء الدوال الملساء على M. عندئذٍ عناصر${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتم تمثيلها بواسطة مؤثرات تفاضلية من الدرجة الأولى على M. في هذه الحالة، يكون ثابت كازيمير لـ ρ هو المؤثر التفاضلي من الدرجة الثانية الثابت G على M المحدد بالصيغة أعلاه.

وبالتخصيص أكثر، إذا حدث أن يكون لـ M مقياس ريماني يعمل عليه G بشكل متعدٍ عن طريق التماثلات، وأن تعمل المجموعة الفرعية المثبتة G _x لنقطة ما بشكل غير قابل للاختزال على الفضاء المماسي لـ M عند x ، فإن ثابت كازيمير لـ ρ هو مضاعف قياسي لمؤثر لابلاس القادم من المقياس.

يمكن أيضًا تعريف ثوابت كازيمير الأكثر عمومية، والتي تحدث بشكل شائع في دراسة المؤثرات التفاضلية الزائفة في نظرية فريدهولم .

تقدم المقالة المتعلقة بالجبر الشامل تعريفًا دقيقًا ومفصلًا لمؤثرات كازيمير، وشرحًا لبعض خصائصها. تتوافق جميع مؤثرات كازيمير مع كثيرات الحدود المتجانسة المتناظرة في الجبر المتناظر للتمثيل المرافق.${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.}$:

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}$

حيث m هي رتبة الموتر المتناظر${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$و${\displaystyle X_{i}}$تشكل أساسًا للفضاء المتجهي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$وهذا يتوافق مع متعددة حدود متجانسة متناظرة

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$

في m متغيرات غير محددة${\displaystyle t_{i}}$في جبر كثيرات الحدود${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}$على حقل K. ويعود سبب التناظر إلى نظرية PBW ويتم مناقشته بمزيد من التفصيل في المقالة المتعلقة بالجبر الشامل .

علاوة على ذلك، يجب أن ينتمي عنصر كازيمير إلى مركز الجبر الشامل، أي يجب أن يخضع لـ

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$

لجميع العناصر الأساسية${\displaystyle X_{i}.}$ بدلالة الموتر المتناظر المقابل${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$هذا الشرط يعادل كون الموتر ثابتًا:

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

أين${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}}$هي ثوابت بنية جبر لي، أي${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}$.

بما أن كل شكل ثنائي خطي ثابت في جبر لي البسيط هو مضاعف لشكل كيلينغ ، فإن عنصر كازيمير المقابل يُعرَّف بشكل فريد حتى ثابت. أما في جبر لي شبه البسيط العام، فإن فضاء الأشكال الثنائية الخطية الثابتة يحتوي على متجه أساس واحد لكل مكون بسيط، وبالتالي ينطبق الأمر نفسه على فضاء مؤثرات كازيمير المقابلة.

لو${\displaystyle G}$هي زمرة لي متراصة ذات جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، اختيار شكل ثنائي خطي ثابت غير منحل على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتوافق ذلك مع اختيار مقياس ريماني ثنائي الثبات على${\displaystyle G}$ثم في ظل تعريف الجبر الشامل الشامل لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$مع المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار على${\displaystyle G}$، عنصر كازيمير من الشكل الثنائي الخطي على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$خرائط إلى لابلاس${\displaystyle G}$(بالنسبة للمقياس الثنائي الثابت المقابل).

بحسب نظرية راكا ^{[ 3 ]} ، بالنسبة لجبر لي شبه البسيط، يكون بُعد مركز جبر الغلاف الشامل مساويًا لرتبته . يُعطي مُؤثر كازيمير مفهوم لابلاس على زمرة لي شبه بسيطة عامة ؛ ولكن لا يوجد نظير فريد للابلاس، بالنسبة للرتب الأكبر من 1.

بحسب التعريف، فإن أي عنصر من عناصر مركز الجبر الشامل يتبادل مع جميع العناصر الأخرى في الجبر. ووفقًا لفرضية شور ، في أي تمثيل غير قابل للاختزال لجبر لي، فإن أي عنصر كازيمير يتناسب مع عنصر الوحدة. ويمكن استخدام القيم الذاتية لجميع عناصر كازيمير لتصنيف تمثيلات جبر لي (وبالتالي، تصنيف زمرة لي الخاصة به أيضًا ). ^{[ 4 ]}

الكتلة الفيزيائية والدوران المغزلي مثالان على هذه القيم الذاتية، وكذلك العديد من الأعداد الكمومية الأخرى الموجودة في ميكانيكا الكم . ظاهريًا، تشكل الأعداد الكمومية الطوبولوجية استثناءً لهذه القاعدة؛ على الرغم من أن النظريات الأعمق تشير إلى أنهما وجهان لظاهرة واحدة .

يترك${\displaystyle L(\lambda )}$ليكن أعلى وحدة وزن ذات أبعاد محدودة${\displaystyle \lambda }$ثم عنصر كازيمير التربيعي${\displaystyle \Omega }$أعمال بشأن${\displaystyle L(\lambda )}$بواسطة الثابت

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$

أين${\displaystyle \rho }$الوزن يُعرَّف بنصف مجموع الجذور الموجبة. ^{[ 5 ]} إذا${\displaystyle L(\lambda )}$غير تافه (أي إذا${\displaystyle \lambda \neq 0}$إذن، هذا الثابت لا يساوي الصفر. ففي النهاية، بما أن${\displaystyle \lambda }$هو المهيمن، إذا${\displaystyle \lambda \neq 0}$، ثم${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$و${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$مما يدل على أن${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$تلعب هذه الملاحظة دورًا هامًا في إثبات نظرية فايل حول الاختزال الكامل . كما يمكن إثبات عدم تلاشي القيمة الذاتية بطريقة أكثر تجريدًا - دون استخدام صيغة صريحة للقيمة الذاتية - باستخدام معيار كارتان ؛ انظر القسمين 4.3 و6.2 في كتاب همفريز.

يمكن إنشاء الموترات الثابتة المتناظرة كآثار متناظرة في التمثيل المحدد ^{[ 6 ]}

${\displaystyle k_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}={\text{Tr}}\left(X_{(i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m})}\right)}$

حيث يتم رفع وخفض المؤشرات بواسطة شكل كيلينج ، وتكون متناظرة تحت جميع التباديل.

من الممكن أيضًا إنشاء موترات متناظرة ثابتة من موترات مضادة للتناظر ثابتة من النوع

${\displaystyle \Omega _{i_{1}i_{2}\cdots i_{2m-1}}^{(2m-1)}=f_{i_{1}[i_{2}}^{j_{1}}\cdots f_{i_{2m-3}i_{2m-2}]}^{j_{m-1}}k_{j_{1}\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}^{(m)}}$

الموتر المتناظر الثابت ^{[ 7 ]}

${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}=\Omega _{j_{1}j_{2}\cdots j_{2m-2}i_{m}}^{(2m-1)}f_{i_{1}}^{j_{1}j_{2}}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}}$

لا يترك أثراً لـ${\displaystyle m>2}$تكون هذه الموترات الثابتة متعامدة مع بعضها البعض بالمعنى التالي:${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}\left(t^{(n)}\right)^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}i_{m+1}\cdots i_{n}}=0}$لو${\displaystyle n>m}$.

في حالة جبر لي البسيط${\displaystyle A_{l}={\mathfrak {sl}}_{l+1}}$لنقدم الآن الموتر المتناظر تمامًا من الرتبة الثالثة${\displaystyle d_{ijk}}$بحيث يكون ذلك في التمثيل المحدد،

${\displaystyle X_{i}X_{j}={\frac {2}{\ell +1}}\delta _{ij}+f_{ij}^{k}X_{k}+d_{ij}^{k}X_{k}}$

ثم تكون موترات سودبري المتناظرة الثابتة هي ^{[ 6 ]}

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}}^{(2)}=\delta _{i_{1}i_{2}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}}^{(3)}=d_{i_{1}i_{2}i_{3}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d_{i_{3}i_{4})j}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d^{j}{}_{i_{3}}{}^{k}d_{i_{4}i_{5})k}}$

بالنسبة لجبر لي بسيط من الرتبة${\displaystyle r}$، هناك${\displaystyle r}$الموترات المتناظرة الثابتة المستقلة جبريًا . لذلك، يمكن التعبير عن أي موتر من هذا القبيل بدلالة${\displaystyle r}$توجد طريقة منهجية لاستنتاج مجموعات كاملة من المتطابقات بين الموترات المتناظرة الثابتة. ^{[ 6 ]}

في حالة جبر لي${\displaystyle A_{l}}$، الموترات المتناظرة الثابتة${\displaystyle t^{(m)}}$يطيع${\displaystyle t^{(m>l+1)}=0}$[ ^{7 ] إعادة صياغة} هذه الموترات بدلالة عائلات أخرى مثل${\displaystyle d^{(m)}}$أو${\displaystyle k^{(m)}}$ويؤدي ذلك إلى ظهور علاقات غير تافهة داخل هذه العائلات الأخرى. على سبيل المثال، موترات سودبري${\displaystyle d^{(m>l+1)}}$يمكن التعبير عنها من حيث${\displaystyle d^{(2)},\cdots ,d^{(l+1)}}$، مع علاقات من النوع ^{[ 7 ]}

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}\delta _{(i_{1}i_{2}}\delta _{i_{3}i_{4})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=3}{=}}\ {\frac {2}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

تخضع ثوابت البنية أيضًا للهويات التي لا ترتبط مباشرة بالموترات الثابتة المتناظرة، على سبيل المثال ^{[ 8 ].}

${\displaystyle 3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ {\underset {l=2}{=}}\ \delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}-\delta _{ab}\delta _{cd}}$

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$تتكون من مصفوفات معقدة ثنائية الأبعاد ذات أثر صفري. يوجد ثلاثة عناصر أساسية قياسية .${\displaystyle e}$،${\displaystyle f}$، و${\displaystyle h}$، مع

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},&f&={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},&h&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

المبدلات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}[][e,f]&=h,&[h,f]&=-2f,&[h,e]&=2e.\end{aligned}}}$

يمكن إثبات أن عنصر كازيمير هو

$${\displaystyle \Omega =ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}={\frac {1}{2}}h^{2}+h+2fe.}$$

هذا التعبير موجود في الجبر الشامل الشامل${\displaystyle U({\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} ))}$، وليس جبر${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات، لذا يجب توخي الحذر لعدم توصيل ما سبق${\displaystyle 2\times 2}$قم بإدخال المصفوفات في هذه الصيغة واستخدم ضرب المصفوفات لتبسيطها.

كمثال على كيفية تأثير عنصر كازيمير على التمثيل، انظر إلى التمثيل المرافق لـ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$على أساس الترتيب.${\displaystyle (e,h,f)}$ل${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$يمكننا التعبير عن الفعل المرافق لأي عنصر على النحو التالي:${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفة. على وجه الخصوص:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Ad}}_{e}&={\begin{bmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}},&{\mathsf {Ad}}_{f}&={\begin{bmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\\\end{bmatrix}},&{\mathsf {Ad}}_{h}&={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ثم يعمل عنصر كازيمير على هذا التمثيل بواسطة المصفوفة

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Ad}}_{\Omega }&={\mathsf {Ad}}_{e}{\mathsf {Ad}}_{f}+{\mathsf {Ad}}_{f}{\mathsf {Ad}}_{e}+{\frac {1}{2}}{\mathsf {Ad}}_{h}^{2}\\&={\begin{bmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}^{2}\\&={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$هي جبر لي لـ SO(3) ، وهي مجموعة الدوران للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . وهي بسيطة من الرتبة 1، وبالتالي لها ثابت كازيمير مستقل واحد. صيغة كيلينغ لمجموعة الدوران هي ببساطة دلتا كرونكر ، وبالتالي فإن ثابت كازيمير هو ببساطة مجموع مربعات المولدات.${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$من الجبر. أي أن ثابت كازيمير يُعطى بواسطة

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

ضع في اعتبارك التمثيل غير القابل للاختزال لـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$حيث تكون أكبر قيمة ذاتية لـ${\displaystyle L_{z}}$يكون${\displaystyle \ell }$، حيث القيم المحتملة لـ${\displaystyle \ell }$نكون${\textstyle 0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots }$إن ثبات مؤثر كازيمير يعني أنه مضاعف لمؤثر الوحدة.${\displaystyle I}$يمكن حساب هذا الثابت بشكل صريح، مما يعطي النتيجة التالية ^{[ 9 ]}

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$

في ميكانيكا الكم ، القيمة العددية${\displaystyle \ell }$يُشار إليه باسم الزخم الزاوي الكلي . بالنسبة للتمثيلات المصفوفية ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة الدوران،${\displaystyle \ell }$تأخذ دائماً قيماً صحيحة ( للتمثيلات البوزونية ) أو قيماً نصف صحيحة ( للتمثيلات الفرميونية ).

لقيمة معينة من${\displaystyle \ell }$، التمثيل المصفوفي هو${\displaystyle (2\ell +1)}$-أبعاد. وبالتالي، على سبيل المثال، التمثيل ثلاثي الأبعاد لـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$يتوافق مع${\displaystyle \ell =1}$ويتم تحديده بواسطة المولدات

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};&L_{y}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};&L_{z}&=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

حيث عوامل${\displaystyle i}$يلزم ذلك للاتفاق مع الاتفاقية الفيزيائية (المستخدمة هنا) التي تنص على أن المولدات يجب أن تكون مؤثرات ذاتية الترافق منحرفة. ^{[ 10 ]}

يمكن بعد ذلك حساب ثابت كازيمير التربيعي يدويًا بسهولة، والنتيجة هي

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

مثل${\displaystyle \ell (\ell +1)=2}$متى${\displaystyle \ell =1}$.

هذا ما يُقصد عندما نقول إن القيم الذاتية لمؤثر كازيمير تُستخدم لتصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال لجبر لي (ولمجموعة لي المرتبطة به): يكون تمثيلان غير قابلين للاختزال لجبر لي متكافئين إذا وفقط إذا كان لعنصر كازيمير الخاص بهما نفس القيمة الذاتية. في هذه الحالة، فإن التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$يتم تحديدها بالكامل من خلال قيمة${\displaystyle \ell }$أو ما يعادل ذلك، بقيمة${\displaystyle \ell (\ell +1)}$وبالمثل، فإن التمثيل ثنائي الأبعاد له أساس معطا بواسطة مصفوفات باولي ، والتي تتوافق مع الدوران 1 ⁄ 2 ، ويمكن للمرء مرة أخرى التحقق من صيغة كازيمير عن طريق الحساب المباشر.