احتمال ضئيل

في الإحصاء ، يُعدّ احتمال ويتل تقريبًا لدالة الاحتمال لسلسلة زمنية غاوسية ثابتة . سُمّي هذا الاحتمال نسبةً إلى عالم الرياضيات والإحصاء بيتر ويتل ، الذي قدّمه في أطروحته للدكتوراه عام 1951. ^{[ 1 ]} ويُستخدم هذا الاحتمال بشكل شائع في تحليل السلاسل الزمنية ومعالجة الإشارات لتقدير المعلمات والكشف عن الإشارات.

في نموذج السلاسل الزمنية الغاوسية الثابتة ، تكون دالة الاحتمال (كما هو معتاد في النماذج الغاوسية) دالة لمعاملات المتوسط ​​والتباين المرتبطة بها. مع عدد كبير (${\displaystyle N}$) من الملاحظات، الـ (${\displaystyle N\times N}$قد تصبح مصفوفة التغاير كبيرة جدًا، مما يجعل الحسابات مكلفة للغاية عمليًا. ومع ذلك، نظرًا لثبات البيانات، فإن مصفوفة التغاير لها بنية بسيطة نسبيًا، وباستخدام تقريب، يمكن تبسيط الحسابات بشكل كبير (من${\displaystyle O(N^{2})}$ل${\displaystyle O(N\log(N))}$[ ^{2 ]} تتلخص الفكرة في افتراض نموذج غاوسي غير متجانس التباين ^ذي متوسط ​​صفري في مجال فورييه ؛ ويستند صياغة النموذج إلى تحويل فورييه المنفصل للسلسلة الزمنية وكثافة طيف القدرة الخاصة بها . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

يترك${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$لتكن سلسلة زمنية غاوسية ثابتة ذات كثافة طيفية للقدرة ( من جانب واحد )${\displaystyle S_{1}(f)}$، أين${\displaystyle N}$يكون التوزيع منتظماً، ويتم أخذ العينات على فترات زمنية ثابتة.${\displaystyle \Delta _{t}}$. يترك${\displaystyle {\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{N/2+1}}$ليكن تحويل فورييه المنفصل (DFT) ذو القيم المركبة للسلسلة الزمنية. عندئذٍ، بالنسبة لدالة احتمال ويتل، يُفترض فعليًا وجود توزيعات غاوسية مستقلة ذات متوسط ​​صفري لجميع${\displaystyle {\tilde {X}}_{j}}$مع اختلافات الأجزاء الحقيقية والخيالية المعطاة بواسطة

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\operatorname {Re} ({\tilde {X}}_{j})\right)=\operatorname {Var} \left(\operatorname {Im} ({\tilde {X}}_{j})\right)=S_{1}(f_{j})}$

أين${\displaystyle f_{j}={\frac {j}{N\,\Delta _{t}}}}$هو${\displaystyle j}$التردد التقريبي لفورييه. يؤدي هذا النموذج التقريبي مباشرةً إلى دالة الاحتمال (اللوغاريتمية).

${\displaystyle \log \left(P(x_{1},\ldots ,x_{N})\right)\propto -\sum _{j}\left(\log \left(S_{1}(f_{j})\right)+{\frac {|{\tilde {x}}_{j}|^{2}}{{\frac {N}{2\,\Delta _{t}}}S_{1}(f_{j})}}\right)}$

أين${\displaystyle |\cdot |}$يشير إلى القيمة المطلقة باستخدام مخطط الفترة${\displaystyle |{\tilde {x}}_{j}|^{2}=\left(\operatorname {Re} ({\tilde {x}}_{j})\right)^{2}+\left(\operatorname {Im} ({\tilde {x}}_{j})\right)^{2}}$[ ^{3 ] [ 4 ] [ 6 ]​}

في حال افتراض معرفة طيف الضوضاء مسبقًا ، وعدم استنتاج خصائص الضوضاء من البيانات، يمكن تبسيط دالة الاحتمال بشكل أكبر عن طريق تجاهل الحدود الثابتة، مما يؤدي إلى تعبير مجموع المربعات

${\displaystyle \log \left(P(x_{1},\ldots ,x_{N})\right)\;\propto \;-\sum _{j}{\frac {|{\tilde {x}}_{j}|^{2}}{{\frac {N}{2\,\Delta _{t}}}S_{1}(f_{j})}}}$

هذا التعبير هو أيضاً أساس المرشح المطابق الشائع .

إن دالة ويتل الاحتمالية، بشكل عام، هي مجرد تقريب، ولا تكون دقيقة إلا إذا كان الطيف ثابتًا، أي في الحالة البسيطة للضوضاء البيضاء . وتعتمد كفاءة تقريب ويتل دائمًا على الظروف الخاصة. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

لاحظ أنه نظرًا لخطية تحويل فورييه، فإن التوزيع الغاوسي في مجال فورييه يستلزم التوزيع الغاوسي في المجال الزمني والعكس صحيح. ما يجعل دالة ويتل دقيقة تقريبًا فقط يرتبط بنظرية أخذ العينات - تأثير تحويل فورييه لعدد محدود فقط من نقاط البيانات، والذي يتجلى أيضًا في صورة تسرب طيفي في مسائل ذات صلة (والذي يمكن تحسينه باستخدام نفس الأساليب، أي التقطيع ). في هذه الحالة، يفترض الفرض الضمني للدورية وجود ارتباط بين العينة الأولى والأخيرة.${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle x_{N}}$والتي تُعامل فعلياً على أنها عينات "مجاورة" (مثل${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle x_{2}}$).

• الضوضاء الملونة – طيف القدرة لإشارة الضوضاء 
• تحويل فورييه المتقطع – دالة في الرياضيات المتقطعة 
• دالة الاحتمال – دالة مرتبطة بالإحصاء ونظرية الاحتمالات 
• المرشح المطابق – مرشحات تُستخدم في معالجة الإشارات وتكون مثالية من ناحية معينة. 
• كثافة القدرة الطيفية – الأهمية النسبية لترددات معينة في إشارة مركبة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• معالجة الإشارات الإحصائية – مجال الهندسة الكهربائية. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• المربعات الصغرى الموزونة – طريقة لنمذجة البيانات في الإحصاء