الكثافة الطيفية

قد تكون هذه المقالة تقنية للغاية بحيث يصعب على معظم القراء فهمها . يرجى المساعدة في تحسينها لجعلها مفهومة لغير المتخصصين ، دون إزالة التفاصيل التقنية. ( يونيو 2024 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في معالجة الإشارات ، يصف طيف القدرة لإشارة زمنية مستمرة توزيع القدرة إلى مكونات التردد التي تتكون منها تلك الإشارة. ^[1] وفقًا لتحليل فورييه ، يمكن تحليل أي إشارة فيزيائية إلى عدد من الترددات المنفصلة، ​​أو طيف من الترددات على مدى مستمر. يُطلق على المتوسط ​​الإحصائي لأي نوع من الإشارات (بما في ذلك الضوضاء ) كما تم تحليله من حيث محتواه الترددي، اسم طيفها . ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle f}$

عندما تتركز طاقة الإشارة حول فترة زمنية محدودة، وخاصة إذا كانت طاقتها الكلية محدودة، فيمكن للمرء حساب كثافة طيف الطاقة . والأكثر استخدامًا هو كثافة طيف القدرة (PSD، أو ببساطة طيف القدرة )، والتي تنطبق على الإشارات الموجودة على مدار كل الوقت، أو على مدى فترة زمنية كبيرة بما يكفي (خاصة فيما يتعلق بمدة القياس) بحيث يمكن أن تكون على مدى فترة زمنية غير محدودة. يشير PSD بعد ذلك إلى توزيع الطاقة الطيفية الذي يمكن العثور عليه لكل وحدة زمنية، نظرًا لأن الطاقة الكلية لمثل هذه الإشارة على مدار كل الوقت ستكون عمومًا غير محدودة. ينتج عن جمع أو تكامل المكونات الطيفية إجمالي الطاقة (لعملية فيزيائية) أو التباين (في عملية إحصائية)، وهو مطابق لما يمكن الحصول عليه من خلال التكامل على مدى المجال الزمني، كما تمليه نظرية بارسيفال . ^[1]${\displaystyle x^{2}(t)}$

غالبًا ما يحتوي طيف العملية الفيزيائية على معلومات أساسية حول طبيعة . على سبيل المثال، يتم تحديد درجة الصوت ونبرة الآلة الموسيقية على الفور من التحليل الطيفي. يتم تحديد لون مصدر الضوء من خلال طيف المجال الكهربائي للموجة الكهرومغناطيسية أثناء تقلبها بتردد عالٍ للغاية. يتضمن الحصول على طيف من سلسلة زمنية مثل هذه تحويل فورييه وتعميمات تستند إلى تحليل فورييه. في كثير من الحالات، لا يتم استخدام المجال الزمني على وجه التحديد في الممارسة العملية، مثل عندما يتم استخدام منشور تشتت للحصول على طيف الضوء في مطياف ، أو عندما يتم إدراك الصوت من خلال تأثيره على المستقبلات السمعية للأذن الداخلية، والتي يكون كل منها حساسًا لتردد معين. ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E(t)}$

ومع ذلك، تركز هذه المقالة على المواقف التي تكون فيها السلسلة الزمنية معروفة (على الأقل بالمعنى الإحصائي) أو يتم قياسها بشكل مباشر (مثل أخذ عينات من ميكروفون بواسطة جهاز كمبيوتر). يعد طيف القدرة مهمًا في معالجة الإشارات الإحصائية وفي الدراسة الإحصائية للعمليات العشوائية ، وكذلك في العديد من فروع الفيزياء والهندسة الأخرى. عادةً ما تكون العملية دالة للوقت، ولكن يمكن للمرء أن يناقش على نحو مماثل البيانات في المجال المكاني التي يتم تحليلها من حيث التردد المكاني . ^[1]

في الفيزياء ، قد تكون الإشارة عبارة عن موجة، مثل موجة كهرومغناطيسية ، أو موجة صوتية ، أو اهتزاز آلية. تصف كثافة طيف القدرة (PSD) للإشارة القدرة الموجودة في الإشارة كدالة للتردد، لكل وحدة تردد. يتم التعبير عن كثافة طيف القدرة عادةً بوحدات النظام الدولي للوحدات (SI) من الواط لكل هرتز (يُختصر باسم W/Hz). ^[2]

عندما يتم تعريف إشارة من حيث الجهد فقط ، على سبيل المثال، لا توجد طاقة فريدة مرتبطة بالسعة المذكورة. في هذه الحالة، يتم حساب "الطاقة" ببساطة من حيث مربع الإشارة، حيث سيكون هذا دائمًا متناسبًا مع الطاقة الفعلية التي توفرها تلك الإشارة في معاوقة معينة . لذلك قد يستخدم المرء وحدات V ²  Hz ⁻¹ لكثافة الطاقة الطيفية. ستكون لكثافة الطاقة الطيفية (ESD) وحدات V ²  s Hz ⁻¹ ، لأن الطاقة لها وحدات قدرة مضروبة في الوقت (على سبيل المثال، واط في الساعة ). ^[3]

في الحالة العامة، ستكون وحدات PSD هي نسبة وحدات التباين لكل وحدة تردد؛ لذلك، على سبيل المثال، سيكون لسلسلة من قيم الإزاحة (بالأمتار) على مدار الوقت (بالثواني) PSD بوحدات متر مربع لكل هرتز، م ² / هرتز. في تحليل الاهتزازات العشوائية، تُستخدم وحدات g ²  Hz ^{−1 بشكل متكرر لـ PSD} للتسارع ، حيث يشير g إلى قوة g . ^[4]

من الناحية الرياضية، ليس من الضروري تعيين أبعاد مادية للإشارة أو للمتغير المستقل. في المناقشة التالية، سيظل معنى x ( t ) غير محدد، ولكن سيتم افتراض أن المتغير المستقل هو الزمن.

يمكن أن تكون دالة PSD إما دالة أحادية الجانب للترددات الموجبة فقط أو دالة ثنائية الجانب للترددات الموجبة والسلبية ولكن بنصف السعة فقط. تكون دالة PSD للضوضاء أحادية الجانب بشكل عام في الهندسة وثنائية الجانب في الفيزياء. ^[5]

تصف كثافة الطاقة الطيفية كيفية توزيع طاقة الإشارة أو السلسلة الزمنية مع التردد. هنا، يتم استخدام مصطلح الطاقة بالمعنى العام لمعالجة الإشارة؛ ^[6] أي أن طاقة الإشارة هي: ${\displaystyle E}$${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\dt.}$$

كثافة طيف الطاقة هي الأنسب للظواهر العابرة - أي الإشارات الشبيهة بالنبضات - التي لها طاقة إجمالية محدودة. سواء كانت محدودة أم لا، فإن نظرية بارسيفال (أو نظرية بلانشريل) تعطينا تعبيرًا بديلًا لطاقة الإشارة: ^[7] حيث: هي قيمة تحويل فورييه لـ عند التردد ( بالهرتز ). تنطبق النظرية أيضًا في حالات الزمن المنفصل. نظرًا لأن التكامل على الجانب الأيسر هو طاقة الإشارة، يمكن تفسير قيمة كدالة كثافة مضروبة في فاصل تردد صغير للغاية، تصف الطاقة الموجودة في الإشارة عند التردد في فاصل التردد . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$$${\displaystyle {\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt}$$${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f+df}$

لذلك، يتم تعريف كثافة الطاقة الطيفية على النحو التالي: [ 8 ^]${\displaystyle x(t)}$

تشكل الدالة والارتباط الذاتي زوج تحويل فورييه، وهي النتيجة المعروفة أيضًا باسم نظرية وينر-كينشين (انظر أيضًا مخطط الفترة ). ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle x(t)}$

كمثال فيزيائي لكيفية قياس كثافة الطاقة الطيفية لإشارة ما، افترض أن يمثل الجهد ( بالفولت ) لنبضة كهربائية تنتشر على طول خط نقل ذي معاوقة ، وافترض أن الخط منتهٍ بمقاوم مطابق (بحيث يتم توصيل كل طاقة النبضة إلى المقاوم ولا ينعكس أي منها). وفقًا لقانون أوم ، فإن الطاقة التي يتم توصيلها إلى المقاوم في الوقت تساوي ، لذا يتم إيجاد الطاقة الكلية عن طريق التكامل فيما يتعلق بالوقت على مدار مدة النبضة. لإيجاد قيمة كثافة الطاقة الطيفية عند التردد ، يمكن للمرء أن يدخل بين خط النقل والمقاوم مرشح نطاق تمرير يمر فقط عبر نطاق ضيق من الترددات ( ، على سبيل المثال) بالقرب من التردد المطلوب ثم قياس الطاقة الكلية المبددة عبر المقاوم. ثم يتم تقدير قيمة كثافة الطاقة الطيفية عند بـ . في هذا المثال، بما أن القدرة لها وحدات V ² Ω ⁻¹ ، فإن الطاقة لها وحدات V ²  s Ω ⁻¹  = J ، وبالتالي فإن تقدير كثافة الطاقة الطيفية لها وحدات J Hz ⁻¹ ، كما هو مطلوب. في العديد من المواقف، من الشائع نسيان خطوة القسمة على بحيث تكون كثافة الطاقة الطيفية بدلاً من ذلك لها وحدات V ²  Hz ⁻¹ . ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle Z}$

يتعمم هذا التعريف بطريقة مباشرة على إشارة منفصلة ذات عدد لا نهائي قابل للعد من القيم مثل إشارة تم أخذ عينات منها في أوقات منفصلة : حيث هو تحويل فورييه في أوقات منفصلة لـ. تكون   فترة أخذ العينات ضرورية للاحتفاظ بالوحدات الفيزيائية الصحيحة ولضمان استعادة الحالة المستمرة في الحد.   ولكن في العلوم الرياضية، غالبًا ما يتم ضبط الفترة على 1، مما يبسط النتائج على حساب العمومية. (انظر أيضًا التردد الطبيعي ) ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$${\displaystyle x_{n}.}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t\to 0.}$

إن التعريف المذكور أعلاه لكثافة طيف الطاقة مناسب للظواهر العابرة (الإشارات الشبيهة بالنبضات) التي تتركز طاقتها حول نافذة زمنية واحدة؛ وعندئذٍ توجد تحويلات فورييه للإشارات بشكل عام. وبالنسبة للإشارات المستمرة على مدار كل الأوقات، يجب على المرء أن يحدد بدلاً من ذلك كثافة طيف القدرة (PSD) الموجودة للعمليات الثابتة ؛ وهذا يصف كيف يتم توزيع طاقة الإشارة أو السلسلة الزمنية على التردد، كما في المثال البسيط المقدم سابقًا. هنا، يمكن أن تكون القدرة هي القدرة الفيزيائية الفعلية، أو في أغلب الأحيان، للراحة مع الإشارات المجردة، يتم تحديدها ببساطة بالقيمة التربيعية للإشارة. على سبيل المثال، يدرس الإحصائيون تباين الدالة بمرور الوقت (أو على متغير مستقل آخر)، وباستخدام القياس مع الإشارات الكهربائية (من بين العمليات الفيزيائية الأخرى)، من المعتاد الإشارة إليها باسم طيف القدرة حتى عندما لا تكون هناك طاقة فيزيائية متضمنة. إذا كان المرء سينشئ مصدر جهد فيزيائي يتبعه ويطبقه على أطراف مقاومة أوم واحد ، فإن القدرة اللحظية المبددة في تلك المقاومة ستعطى بالواط . ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x^{2}(t)}$

وبالتالي، فإن متوسط ​​قوة الإشارة عبر كل الأوقات يعطى من خلال متوسط ​​الوقت التالي، حيث تتركز الفترة حول وقت معين : ${\displaystyle P}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t=t_{0}}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

ومع ذلك، من أجل التعامل مع الرياضيات التالية، من الأنسب التعامل مع حدود الوقت في الإشارة نفسها بدلاً من حدود الوقت في حدود التكامل. وعلى هذا النحو، لدينا تمثيل بديل للقدرة المتوسطة، حيث و تساوي واحداً ضمن الفترة التعسفية والصفر في مكان آخر. ومن الواضح أنه في الحالات التي يكون فيها التعبير أعلاه لـ P غير صفري، يجب أن ينمو التكامل دون حدود مع نمو T دون حدود. وهذا هو السبب في أننا لا نستطيع استخدام طاقة الإشارة، وهي ذلك التكامل المتباعد، في مثل هذه الحالات. ${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$${\displaystyle w_{T}(t)}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt.}$$

عند تحليل محتوى التردد للإشارة ، قد يرغب المرء في حساب تحويل فورييه العادي ؛ ومع ذلك، بالنسبة للعديد من الإشارات ذات الأهمية، لا يوجد تحويل فورييه رسميًا. ^{[nb 1]} بغض النظر عن ذلك، تخبرنا نظرية بارسيفال أنه يمكننا إعادة كتابة القدرة المتوسطة على النحو التالي. ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df}$$

ثم يتم تعريف كثافة الطيف للقدرة ببساطة على أنها المتكامل أعلاه. ^{[9] [10]}

من هنا، وبسبب نظرية الالتفاف ، يمكننا أيضًا النظر إلى تحويل فورييه للالتفاف الزمني لـ و ، حيث يمثل * المترافق المركب. مع الأخذ في الاعتبار أن وصنع، لدينا: حيث تم استخدام نظرية الالتفاف عند الانتقال من الخط الثالث إلى الخط الرابع.${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$${\displaystyle x_{T}(t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$

الآن، إذا قسمنا التفاف الوقت أعلاه على الفترة وأخذنا الحد كـ ، فإنه يصبح دالة الارتباط الذاتي للإشارة غير النافذة ، والتي يشار إليها بـ ، بشرط أن تكون إرجوديكية ، وهو أمر صحيح في معظم الحالات العملية، ولكن ليس كلها. ^{[ملاحظة 2]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

من هنا نرى، بافتراض مرة أخرى ديناميكية ، أن كثافة الطيف للقدرة يمكن إيجادها كتحويل فورييه لدالة الارتباط الذاتي ( نظرية وينر-كينشين ). ^[11]${\displaystyle x(t)}$

يستخدم العديد من المؤلفين هذه المساواة لتحديد كثافة الطيف القدرة فعليًا. ^[12]

يمكن حساب قوة الإشارة في نطاق تردد معين ، حيث ، من خلال التكامل على التردد. نظرًا لأن ، يمكن أن تُعزى كمية متساوية من القدرة إلى نطاقات التردد الموجبة والسالبة، والتي تمثل عامل 2 بالشكل التالي (تعتمد هذه العوامل التافهة على الاتفاقيات المستخدمة): بشكل عام، يمكن استخدام تقنيات مماثلة لتقدير كثافة طيفية متغيرة مع الزمن. في هذه الحالة، تكون الفترة الزمنية محدودة بدلاً من الاقتراب من اللانهاية. يؤدي هذا إلى انخفاض التغطية الطيفية والدقة نظرًا لأن الترددات الأقل من لا يتم أخذ عينات منها، والنتائج عند الترددات التي ليست مضاعفات عدد صحيح لـ ليست مستقلة. باستخدام سلسلة زمنية واحدة فقط، سيكون طيف القدرة المقدر "ضوضائيًا" للغاية؛ ومع ذلك، يمكن التخفيف من ذلك إذا كان من الممكن تقييم القيمة المتوقعة (في المعادلة أعلاه) باستخدام عدد كبير (أو لا نهائي) من الأطياف قصيرة المدى المقابلة للمجموعات الإحصائية لتحقيقات تم تقييمها على مدى نافذة زمنية محددة. ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$$${\displaystyle P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle x(t)}$

كما هو الحال مع كثافة الطيف للطاقة، يمكن تعميم تعريف كثافة الطيف للقدرة على متغيرات زمنية منفصلة . وكما حدث من قبل، يمكننا النظر في نافذة مع الإشارة التي تم أخذ عينات منها في أوقات منفصلة لفترة قياس إجمالية . لاحظ أنه يمكن الحصول على تقدير واحد لكثافة الطيف للقدرة من خلال عدد محدود من العينات. وكما حدث من قبل، يتم تحقيق كثافة الطيف للقدرة الفعلية عندما (وبالتالي ) تقترب من اللانهاية ويتم تطبيق القيمة المتوقعة رسميًا. في تطبيق في العالم الحقيقي، يقوم المرء عادةً بمتوسط ​​كثافة الطيف للقدرة ذات القياس المحدود على العديد من التجارب للحصول على تقدير أكثر دقة لكثافة الطيف للقدرة النظرية للعملية الفيزيائية التي تكمن وراء القياسات الفردية. يُطلق على كثافة الطيف للقدرة المحسوبة هذه أحيانًا اسم الرسم البياني الدوري . يتقارب هذا الرسم البياني الدوري مع كثافة الطيف للقدرة الحقيقية حيث يقترب عدد التقديرات وكذلك الفاصل الزمني المتوسط ​​من اللانهاية. ^[13]${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle -N\leq n\leq N}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$$${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

إذا كانت إشارتان تمتلكان كثافات طيفية للقدرة، فيمكن حساب كثافة الطيف المتقاطع على نحو مماثل؛ وكما أن كثافة الطاقة الطيفية مرتبطة بالارتباط الذاتي، فإن كثافة الطيف المتقاطع مرتبطة بالارتباط المتبادل .

تتضمن بعض خصائص PSD ما يلي: ^[14]

بالنظر إلى إشارتين و ، كل منهما تمتلك كثافة طيفية للقدرة و ، فمن الممكن تحديد كثافة طيفية للقدرة المتقاطعة ( CPSD ) أو كثافة طيفية متقاطعة ( CSD ). لنبدأ، دعنا نفكر في متوسط ​​القدرة لمثل هذه الإشارة المركبة. ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

باستخدام نفس التدوين والطرق المستخدمة لاستنتاج كثافة الطيف للقدرة، نستغل نظرية بارسيفال ونحصل على حيث، مرة أخرى، مساهمات و مفهومة بالفعل. لاحظ أن ، لذا فإن المساهمة الكاملة في القدرة المتقاطعة تكون، بشكل عام، من ضعف الجزء الحقيقي لأي من CPSD الفردية . تمامًا كما كان من قبل، من هنا نعيد صياغة هذه المنتجات على أنها تحويل فورييه للتفاف زمني، والذي عند تقسيمه على الفترة وأخذه إلى الحد يصبح تحويل فورييه لدالة الارتباط المتبادل . ^[16] حيث هو الارتباط المتبادل لـ مع و هو الارتباط المتبادل لـ مع . في ضوء ذلك، يُنظر إلى PSD على أنه حالة خاصة من CSD لـ . إذا كانت و إشارات حقيقية (مثل الجهد أو التيار)، فإن تحويلات فورييه الخاصة بها و تقتصر عادةً على الترددات الموجبة حسب الاتفاقية. لذلك، في معالجة الإشارات النموذجية، فإن CPSD الكامل هو مجرد واحد من CPSD مقاسًا بعامل اثنين. $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$${\displaystyle T\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)=y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$$${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

بالنسبة للإشارات المنفصلة x _n و y _n ، فإن العلاقة بين الكثافة الطيفية المتقاطعة والتباين المتبادل هي $${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

الهدف من تقدير الكثافة الطيفية هو تقدير الكثافة الطيفية لإشارة عشوائية من سلسلة من عينات الوقت. اعتمادًا على ما هو معروف عن الإشارة، يمكن أن تتضمن تقنيات التقدير مناهج بارامترية أو غير بارامترية ، وقد تستند إلى تحليل المجال الزمني أو المجال الترددي. على سبيل المثال، تتضمن إحدى التقنيات البارامترية الشائعة ملاءمة الملاحظات لنموذج الانحدار التلقائي . إحدى التقنيات غير البارامترية الشائعة هي مخطط الفترة الزمنية .

يتم عادة تقدير الكثافة الطيفية باستخدام طرق تحويل فورييه (مثل طريقة ويلش )، ولكن يمكن أيضًا استخدام تقنيات أخرى مثل طريقة الحد الأقصى للإنتروبيا .

• مركز الطيف للإشارة هو نقطة المنتصف لدالة الكثافة الطيفية، أي التردد الذي يقسم التوزيع إلى قسمين متساويين.
• تردد الحافة الطيفية ( SEF )، والذي يُعبر عنه عادةً بـ "SEF x "، يمثل التردد الذي توجد تحته نسبة x من إجمالي طاقة إشارة معينة؛ عادةً، يكون x في النطاق من 75 إلى 95. وهو على وجه الخصوص مقياس شائع الاستخدام في مراقبة تخطيط كهربية الدماغ ، وفي هذه الحالة تم استخدام SEF بشكل مختلف لتقدير عمق التخدير ومراحل النوم . ^{[17] [18]}
• الغلاف الطيفي هو منحنى الغلاف لكثافة الطيف. وهو يصف نقطة واحدة في الزمن (نافذة واحدة، على وجه التحديد). على سبيل المثال، في الاستشعار عن بعد باستخدام مطياف ، الغلاف الطيفي لسمة ما هو حدود خصائصها الطيفية ، كما هو محدد من خلال نطاق مستويات السطوع في كل من النطاقات الطيفية ذات الاهتمام.
• الكثافة الطيفية هي دالة للتردد، وليست دالة للزمن. ومع ذلك، يمكن حساب الكثافة الطيفية لنافذة صغيرة لإشارة أطول، ورسمها مقابل الزمن المرتبط بالنافذة. يُطلق على مثل هذا الرسم البياني اسم مخطط طيفي . وهذا هو أساس عدد من تقنيات التحليل الطيفي مثل تحويل فورييه قصير الأمد والموجات .
• تعني كلمة "الطيف" عمومًا كثافة الطيف للقدرة، كما تمت مناقشته أعلاه، والتي تصور توزيع محتوى الإشارة على التردد. بالنسبة لوظائف النقل (على سبيل المثال، مخطط بود ، chirp )، يمكن رسم استجابة التردد الكاملة في جزأين: القدرة مقابل التردد والطور مقابل التردد - كثافة الطيف للطور ، أو طيف الطور ، أو الطور الطيفي . في حالات أقل شيوعًا، قد يكون الجزآن هما الجزءان الحقيقي والخيالي لدالة النقل. لا ينبغي الخلط بين هذا والاستجابة الترددية لدالة النقل، والتي تتضمن أيضًا طورًا (أو ما يعادله، جزءًا حقيقيًا وخياليًا) كدالة للتردد. لا يمكن عمومًا استرداد استجابة النبضة في المجال الزمني بشكل فريد من كثافة الطيف للقدرة وحدها بدون جزء الطور. على الرغم من أن هذه أيضًا أزواج تحويل فورييه، إلا أنه لا يوجد تماثل (كما هو الحال بالنسبة للارتباط التلقائي ) مما يجبر تحويل فورييه على أن يكون ذو قيمة حقيقية. انظر نبضة فائقة القصر#الطور الطيفي ، ضوضاء الطور ، تأخير المجموعة .${\displaystyle h(t)}$
• في بعض الأحيان، يواجه المرء كثافة طيفية للسعة ( ASD )، وهي الجذر التربيعي لكثافة الطيف PSD؛ تحتوي كثافة الطيف ASD لإشارة الجهد على وحدات V Hz ^−1/2 . ^[19] وهذا مفيد عندما يكون شكل الطيف ثابتًا إلى حد ما، حيث ستكون الاختلافات في كثافة الطيف ASD متناسبة مع الاختلافات في مستوى جهد الإشارة نفسها. ولكن من المفضل رياضيًا استخدام كثافة الطيف PSD، لأنه في هذه الحالة فقط تكون المساحة الموجودة أسفل المنحنى ذات معنى من حيث القدرة الفعلية على جميع الترددات أو على نطاق ترددي محدد.

أي إشارة يمكن تمثيلها كمتغير يتغير بمرور الوقت لها طيف ترددي مماثل. ويشمل ذلك الكيانات المألوفة مثل الضوء المرئي (الذي يُدرك كلون )، والنوتات الموسيقية (التي يُدرك أنها درجة الصوت )، والراديو/التلفزيون (المحدد بترددها، أو أحيانًا طولها الموجي )، وحتى الدوران المنتظم للأرض. وعندما تُعرض هذه الإشارات في شكل طيف ترددي، يتم الكشف عن جوانب معينة من الإشارات المستقبلة أو العمليات الأساسية التي تنتجها. وفي بعض الحالات، قد يتضمن طيف التردد ذروة مميزة تتوافق مع مكون موجة جيبية . وبالإضافة إلى ذلك، قد تكون هناك ذروات تتوافق مع التوافقيات الخاصة بذروة أساسية، مما يشير إلى إشارة دورية ليست جيبية ببساطة. أو قد يُظهر الطيف المستمر فترات تردد ضيقة معززة بقوة تتوافق مع الرنينات، أو فترات تردد تحتوي على طاقة تكاد تكون صفرية كما هو الحال مع مرشح الشق .

يعد مفهوم واستخدام طيف القدرة للإشارة أمرًا أساسيًا في الهندسة الكهربائية ، وخاصة في أنظمة الاتصالات الإلكترونية ، بما في ذلك الاتصالات اللاسلكية والرادارات والأنظمة ذات الصلة، بالإضافة إلى تقنية الاستشعار عن بعد السلبي . تُستخدم الأجهزة الإلكترونية المسماة محللات الطيف لمراقبة وقياس أطياف القدرة للإشارات.

يقوم محلل الطيف بقياس حجم تحويل فورييه قصير الأمد (STFT) لإشارة الإدخال. إذا كان من الممكن اعتبار الإشارة التي يتم تحليلها عملية ثابتة، فإن تحويل فورييه قصير الأمد هو تقدير جيد لكثافة الطيف الخاصة بها.

يتم قياس التقلبات البدائية واختلافات الكثافة في الكون المبكر من خلال طيف القدرة الذي يعطي قوة الاختلافات كدالة للمقياس المكاني.

• ثنائي الطيف
• درجة حرارة السطوع
• ألوان الضوضاء
• التحليل الطيفي لأقل المربعات
• كثافة طيف الضوضاء
• تقدير الكثافة الطيفية
• الكفاءة الطيفية
• تسرب طيفي
• توزيع الطاقة الطيفية
• احتمالية ضئيلة
• وظيفة النافذة

• بيروليني، أليساندرو (2007). هندسة الموثوقية . برلين؛ نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-49388-4.
• براون، روبرت جروفر؛ هوانج، باتريك واي سي (1997). مقدمة إلى الإشارات العشوائية وترشيح كالمان التطبيقي باستخدام تمارين وحلول ماتلاب . نيويورك: وايلي ليس. رقم ISBN 978-0-471-12839-7.
• دافنبورت، ويلبر ب. (جونيور)؛ روت، ويليام ل. (1987). مقدمة لنظرية الإشارات العشوائية والضوضاء . نيويورك: مطبعة وايلي-معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات. رقم ISBN 978-0-87942-235-6.
• إمتياز، سيد أنس؛ رودريجيز فيليجاس، إستر (2014). "خوارزمية منخفضة التكلفة الحسابية لاكتشاف نوم حركة العين السريعة باستخدام تخطيط كهربية الدماغ أحادي القناة". حوليات الهندسة الطبية الحيوية . 42 (11): 2344-59. doi :10.1007/s10439-014-1085-6. PMC  4204008. PMID  25113231 .
• Iranmanesh, Saam; Rodriguez-Villegas, Esther (2017). "نظام الكشف عن المغزل النومي منخفض الطاقة للغاية على شريحة". معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات للدوائر والأنظمة الطبية الحيوية . 11 (4): 858-866. doi :10.1109/TBCAS.2017.2690908. hdl : 10044/1/46059 . PMID  28541914. S2CID  206608057.
• مارال، جيرارد (2004). شبكات VSAT . غرب ساسكس، إنجلترا؛ هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN 978-0-470-86684-9.
• ميلر، سكوت؛ تشايلدرز، دونالد (2012). الاحتمالية والعمليات العشوائية . بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك بريس. رقم ISBN 978-0-12-386981-4. OCLC  696092052.
• نورتون، إم بي؛ كاركوب، دي جي (2003). أساسيات تحليل الضوضاء والاهتزاز للمهندسين . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-49913-2.
• أوبنهايم، آلان ف.؛ فيرجيسي، جورج س. (2016). الإشارات والأنظمة والاستدلال . بوسطن: بيرسون. رقم ISBN 978-0-13-394328-3.
• ريسكين، هانز؛ فرانك، تيل (1996). معادلة فوكر-بلانك . نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-61530-9.
• شتاين، جوناثان Y. (2000). معالجة الإشارات الرقمية . نيويورك واينهايم: وايلي إنترساينس. رقم ISBN 978-0-471-29546-4.

• نصوص MATLAB لكثافة الطيف الطاقي