متباينة ويرتينجر للدوال

للاطلاع على متباينات أخرى سميت على اسم ويرتينجر، انظر متباينة ويرتينجر .

في مجال التحليل الرياضي ، تُعدّ متباينة فيرتينغر متباينةً مهمةً لدوال المتغير الواحد، سُمّيت نسبةً إلى فيلهلم فيرتينغر . وقد استخدمها أدولف هورويتز عام ١٩٠١ لتقديم برهان جديد لمتباينة المحيط المتساوي للمنحنيات في المستوى. وتُعرف اليوم مجموعةٌ من النتائج ذات الصلة الوثيقة بمتباينة فيرتينغر، والتي يُمكن اعتبارها جميعًا صيغًا مُحددةً لمتباينة بوانكاريه .

نظرية

توجد عدة صيغ غير متكافئة لمتباينة ويرتينجر:

لتكن $y$ دالة متصلة وقابلة للتفاضل على الفترة $[0, L]$ بمتوسط قيمة يساوي صفرًا، و $y (0) = y (L)$ . عندئذٍ

\int _{0}^{L}y(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {L^{2}}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{L}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x,

وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان

y (x) = c sin ⁠ 2 π (x - α) / L ⁠

لبعض الأعداد

c

و

α

. ^{[ 1 ]}

لتكن $y$ دالة متصلة وقابلة للتفاضل على الفترة $[0, L]$ بحيث $y (0) = y (L) = 0.$ عندئذٍ

\int _{0}^{L}y(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {L^{2}}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{L}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x,

وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان

y (x) = c sin ⁠ π x / L ⁠

لعدد ما

c

. ^{[ 1 ]}

لتكن $y$ دالة متصلة وقابلة للتفاضل على الفترة $[0, L]$ بمتوسط قيمة يساوي صفرًا. عندئذٍ

\int _{0}^{L}y(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {L^{2}}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{L}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.

ويتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان

y (x) = c cos ⁠ π x / L ⁠

لعدد ما

c

. ^{[ 2 ]}

على الرغم من اختلافاتها، إلا أن هذه الطرق مترابطة ترابطًا وثيقًا، كما يتضح من الشرح الوارد أدناه من منظور الهندسة الطيفية . ويمكن اعتبارها جميعًا حالات خاصة من أشكال مختلفة لمتباينة بوانكاريه ، مع تحديد ثابت بوانكاريه الأمثل بشكل صريح. كما أن الصيغة الوسطى هي حالة خاصة من متباينة فريدريش ، مع تحديد الثابت الأمثل أيضًا.

البراهين

يمكن إثبات الصيغ الثلاث لمتباينة ويرتينجر بوسائل مختلفة. ويتضح ذلك فيما يلي من خلال نوع مختلف من البرهان لكل متباينة من متباينات ويرتينجر الثلاث المذكورة أعلاه. في كل حالة، وبإجراء تغيير خطي للمتغيرات في التكاملات المعنية، لا يوجد فقدان للعمومية في إثبات النظرية لاختيار محدد لـ $L.$

متسلسلة فورييه

لننظر إلى متباينة ويرتينجر الأولى المذكورة أعلاه. ولنفترض أن $L$ $تساوي$ 2π $.$ بما أن شروط ديريشليه محققة، يمكننا كتابة

//

وحقيقة أن متوسط قيمة $y$ يساوي صفرًا تعني أن $a 0 = 0.$ وفقًا لهوية بارسيفال ،

\int _{0}^{2\pi }y(x)^{2}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})

و

\int _{0}^{2\pi }y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})

وبما أن جميع الحدود غير سالبة، فقد تم إثبات متباينة ويرتينجر. علاوة على ذلك، يتضح أن المساواة تتحقق إذا وفقط إذا كان $aₙ$ $= bₙ = 0 لجميع$ قيم $n$ $\geq 2$ ، أي أن $y (x) = a₁ sin x + b₁ cos x .$ وهذا يكافئ الشرط المذكور باستخدام صيغ الجمع المثلثية .

التكامل بالأجزاء

لننظر إلى متباينة ويرتينجر الثانية المذكورة أعلاه. ^{[ 1 ]} لنفترض أن $L$ تساوي $π$ . أي دالة قابلة للتفاضل $y (x)$ تحقق المتطابقة

y(x)^{2}+{\big (}y'(x)-y(x)\cot x{\big )}^{2}=y'(x)^{2}-{\frac {d}{dx}}{\big (}y(x)^{2}\cot x{\big )}.

ثم يُظهر التكامل باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل والشروط الحدية $y (0) = y (π) = 0$

\int _{0}^{\pi }y(x)^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\pi }{\big (}y'(x)-y(x)\cot x{\big )}^{2}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi }y'(x)^{2}\,\mathrm {د} س.

يثبت هذا متباينة ويرتينجر، لأن التكامل الثاني غير سالب بوضوح. علاوة على ذلك، يتضح أن المساواة في متباينة ويرتينجر مكافئة للمعادلة $y'(x) = y (x) cot x$ ، والتي حلها العام (كما تم حسابه بفصل المتغيرات ) هو $y (x) = c sin x$ لعدد اختياري $c$ .

يوجد جانب دقيق في تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل المذكور أعلاه، إذ لا تتحقق خاصية $y (x) = 2 cot x$ بشكل متصل إلى $x = 0$ و $x = π$ لكل دالة $y (x)$ . ويمكن حل هذه المشكلة كما يلي: يستنتج من متباينة هولدر أن $y (0) = 0$ .

|y(x)|=\left|\int _{0}^{x}y'(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{0}^{x}|y'(x)|\cdot 1\,\mathrm {d} x\leq \left(\int _{0}^{x}1^{2}\mathrm {d} x\right)^{1/2}\left(\int _{0}^{x}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2}={\sqrt {x}}\left(\int _{0}^{x}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2},

مما يدل على أنه طالما

\int _{0}^{\pi }y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x

$بما أن x قيمة محدودة، فإن نهاية y(x)² (1/x) عندما تتقارب x إلى الصفر تساوي صفرًا. ولأن cot x < 1/$ $x$ للقيم $الموجبة$ $الصغيرة$ $لـ$ $x$ $،$ $فإنه$ $يترتب$ $من$ $نظرية$ الحصر أن $y$ $($ $x$ $)$ $²$ $cot$ $x$ تتقارب $إلى$ $الصفر$ عندما تتقارب x $إلى$ $الصفر$ $.$ $وبنفس$ $الطريقة$ $،$ $يمكن$ إثبات $أن$ y $($ $x$ $)$ $²$ $cot$ $x$ $تتقارب$ إلى الصفر عندما تتقارب $x$ إلى $π$ .

التحليل الوظيفي

لننظر إلى متباينة ويرتينجر الثالثة المذكورة أعلاه. لنفترض أن $L$ تساوي $1.$ لنفترض دالة متصلة $f$ على الفترة $[0, 1]$ ذات قيمة متوسطة تساوي صفرًا، ولنرمز بـ $Tf$ إلى الدالة $u$ على الفترة $[0, 1]$ ذات قيمة متوسطة تساوي صفرًا، حيث $u$ $'' + f = 0$ و $u'(0) = u'(1) = 0.$ من التحليل الأساسي للمعادلات التفاضلية العادية ذات المعاملات الثابتة ، فإن القيم الذاتية لـ $T$ هي $(kπ) ⁻²$ لأعداد صحيحة غير صفرية $k$ ، وأكبرها $π⁻² .$ ولأن $T$ مؤثر محدود ومترافق ذاتيًا ، فإنه يترتب على ذلك أن

\int _{0}^{1}Tf(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq \pi ^{-2}\int _{0}^{1}f(x)Tf(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{1}(Tf)'(x)^{2}\,\mathrm {د} س

لكل دالة $f$ ذات قيمة متوسطة تساوي صفرًا، حيث تُعزى المساواة إلى التكامل بالتجزئة . أخيرًا، لأي دالة $y$ قابلة للتفاضل باستمرار على $[0, 1]$ ذات قيمة متوسطة تساوي صفرًا، ليكن $g n$ متتالية من الدوال القابلة للتفاضل باستمرار ذات الدعم المحدود على $(0, 1)$ والتي تتقارب في $L 2$ إلى $y'$ . ثم نُعرّف

y_{n}(x)=\int _{0}^{x}g_{n}(z)\,\mathrm {d} z-\int _{0}^{1}\int _{0}^{w}g_{n}(z)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} w.

إذن، لكل $قيمة$ متوسطة لـ yn قيمة صفرية، حيث $y$ $ n '(0) = y n '(1) = 0$ ، مما يعني بدوره أن $-y n ''$ قيمة متوسطة لـ −yn′′. لذا، فإن تطبيق المتباينة أعلاه على $f = -y n ''$ صحيح، ويُظهر أن

\int _{0}^{1}y_{n}(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{1}y_{n}'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.

من الممكن استبدال $y n$ بـ $y$ ، وبالتالي إثبات متباينة ويرتينجر، بمجرد التحقق من أن $y n$ تتقارب في $L 2$ إلى $y$ . ويتم التحقق من ذلك بطريقة قياسية، بكتابة

y(x)-y_{n}(x)=\int _{0}^{x}{\big (}y_{n}'(z)-g_{n}(z){\big )}\,\mathrm {d} z-\int _{0}^{1}\int _{0}^{w}(y_{n}'(z)-g_{n}(z){\big )}\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} w

وتطبيق متباينات هولدر أو جنسن.

يثبت هذا متباينة ويرتينجر. في حالة كون $y (x)$ دالة تتحقق عندها المساواة في متباينة ويرتينجر، فإن حجة قياسية في حساب التفاضل والتكامل تشير إلى أن $y$ يجب أن تكون حلاً ضعيفاً لمعادلة أويلر-لاغرانج $y''(x) + y (x) = 0$ حيث $y'(0) = y'(1) = 0$ ، وتُظهر نظرية انتظام هذه المعادلات، متبوعة بالتحليل المعتاد $للمعادلات$ التفاضلية العادية ذات المعاملات الثابتة ، أن $y (x) = c cos πx$ لعدد ما $c$ .

لجعل هذه الحجة رسمية ودقيقة تمامًا، من الضروري توخي المزيد من الحذر بشأن فضاءات الدوال المعنية. ^{[ 2 ]}

الهندسة الطيفية

في لغة الهندسة الطيفية ، يمكن إعادة صياغة النسخ الثلاث من متباينة ويرتينجر أعلاه كنظريات حول القيمة الذاتية الأولى والدوال الذاتية المقابلة لمؤثر لابلاس-بيلترامي على مختلف المشعبات الريمانية أحادية البعد : ^{[ 3 ]}

$القيمة الذاتية الأولى$ لمؤثر لابلاس-بيلترامي على $دائرة$ ريمان ذات الطول $L$ هي $4π2$ $/$ $L2$ $،$ $والدوال الذاتية$ $المقابلة$ هي التركيبات الخطية لدوال الإحداثيات.
القيمة الذاتية الأولى لـ Dirichlet لمؤثر Laplace–Beltrami على الفترة $[0, L]$ هي $⁠$ $π$ $2$ $/$ $L$ $2$ $⁠$ ويتم إعطاء الدوال الذاتية المقابلة بواسطة $c$ $sin$ $⁠$ $π$ $x$ $/$ $L$ $⁠$ لأعداد غير صفرية اختيارية $c$ .
القيمة الذاتية الأولى لنيومان لمؤثر لابلاس-بيلترامي على الفترة [ $0$ $، L$ $]$ $هي$ $π$ 2 $/$ $L$ $2$ $ويتم$ $إعطاء$ $الدوال$ الذاتية المقابلة بواسطة $c$ $cos$ $π$ $x$ $/$ $L$ لأعداد غير صفرية اختيارية $c$ $.$

يمكن أيضًا توسيع هذه المفاهيم لتشمل عبارات تتعلق بالفضاءات ذات الأبعاد الأعلى. على سبيل المثال، يمكن اعتبار دائرة ريمان بمثابة النسخة أحادية البعد إما للكرة ، أو الفضاء الإسقاطي الحقيقي ، أو الطارة (ذات البعد العشوائي). وبالتالي، يمكن اعتبار متباينة ويرتينجر، في صيغتها الأولى المذكورة هنا، بمثابة الحالة $n = 1$ لأي مما يلي:

القيمة الذاتية الأولى لمؤثر لابلاس-بيلترامي على الكرة ذات نصف القطر الواحد والمكونة من $n$ بُعد هي $n$ ، والدوال الذاتية المقابلة هي التراكيب الخطية لدوال الإحداثيات $n + 1.$ ^{[ 4 ]}
القيمة الذاتية الأولى لمؤثر لابلاس-بيلترامي على الفضاء الإسقاطي الحقيقي $ذي$ $البعد n$ (مع التطبيع المُعطى بواسطة خريطة التغطية من الكرة ذات نصف القطر الواحد) هي $2n + 2$ ، والدوال الذاتية المقابلة هي قيود كثيرات الحدود التربيعية المتجانسة على $Rn + 1$ إلى الكرة الواحدة (ثم إلى الفضاء الإسقاطي الحقيقي). ^{[ 5 ]}
القيمة الذاتية الأولى لمؤثر لابلاس-بيلترامي على الطارة ذات البعد $n$ (المعطاة كحاصل ضرب $n-$ مضاعف للدائرة التي طولها $2π$ مع نفسها) هي $1$ ، والدوال الذاتية المقابلة هي تركيبات خطية اختيارية لحاصل $ضرب$ $n-$ مضاعف للدوال الذاتية على الدوائر. ^{[ 6 ]}

يمكن توسيع النسختين الثانية والثالثة من متباينة ويرتينجر لتشمل عبارات حول القيم الذاتية الأولى لـ Dirichlet و Neumann لمؤثر Laplace-Beltrami على الكرات المترية في الفضاء الإقليدي :

القيمة الذاتية الأولى لـ Dirichlet لمؤثر Laplace-Beltrami على كرة الوحدة في $R n$ هي مربع أصغر صفر موجب لدالة Bessel من النوع الأول $J (n - 2)/2$ . ^{[ 7 ]}
القيمة الذاتية الأولى لنيومان لمؤثر لابلاس-بيلترامي على كرة الوحدة في $R n$ هي مربع أصغر صفر موجب للمشتقة الأولى لدالة بيسل من النوع الأول $J n /2$ . ^{[ 7 ]}

تطبيق على متباينة المحيط المتساوي

في الصيغة الأولى المذكورة أعلاه، يمكن استخدام متباينة ويرتينجر لإثبات متباينة المحيط المتساوي للمنحنيات في المستوى، كما اكتشفها أدولف هورويتز عام 1901. ^{[ 8 ]} ليكن $(x, y)$ تمثيلًا تفاضليًا للدائرة في المستوى. بمعاملة الدائرة بالفترة $[0, 2π] بحيث$ يكون لـ $(x, y)$ سرعة ثابتة، يُعطى طول المنحنى $L بالعلاقة التالية:$

\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t

والمساحة $A$ المحصورة بالمنحنى تُعطى (بسبب نظرية ستوكس ) بالعلاقة التالية

-\int _{0}^{2\pi }y(t)x'(t)\,\mathrm {d} t.

بما أن دالة التكامل التي تحدد $L$ مفترضة ثابتة، فإنه

{\frac {L^{2}}{2\pi }}-2A=\int _{0}^{2\pi }{\big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+2y(t)x'(t){\big )}\,\mathrm {d} t

والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

\int _{0}^{2\pi }{\big (}x'(t)+y(t){\big )}^{2}\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{2\pi }{\big (}y'(t)^{2}-y(t)^{2}{\big )}\,\mathrm {d} t.

التكامل الأول غير سالب بوضوح. دون تغيير مساحة أو طول المنحنى، يمكن استبدال $(س ، ص) بـ$ $(س ، ص + ع)$ لعدد ما $ع$ ، بحيث يكون متوسط قيمة $ص$ صفرًا. عندئذٍ، يمكن تطبيق متباينة ويرتينجر لإثبات أن التكامل الثاني غير سالب أيضًا، وبالتالي

{\frac {L^{2}}{4\pi }}\geq A,

وهي متباينة المحيط المتساوي. علاوة على ذلك، فإن المساواة في متباينة المحيط المتساوي تستلزم المساواة في متباينة ويرتينجر، وكذلك المساواة $x$ $' (t) + y (t) = 0$ ، والتي تُعادل $y (t) = c₁ sin(t - α)،$ ومن ثم $x (t) = c₁ cos (t - α) + c₂$ لأي عددين $c₁$ و $c₂ . تعني هذه المعادلات$ $أن$ صورة النقطة $(x, y)$ هي دائرة كاملة في $المستوى$ $.$

مراجع

1 2 3 هاردي، ليتلوود وبوليا 1952 ، القسم 7.7.
1 2 بريزيس 2011 ، ص 511-513، 576-578.
↑ تشافيل 1984 ، القسمان الأول والثالث والأول والخامس.
↑ شتاين ووايس 1971 ، الفصل الرابع.2.
↑ تشافيل 1984 ، ص 36.
^ شافيل 1984 ، القسم II.2.
1 2 شافيل 1984 ، النظرية II.5.4.
↑ هاردي، ليتلوود وبوليا 1952 ، القسم 7.7؛ هورويتز 1901 .

بريزيس، حاييم (2011). التحليل الوظيفي، فضاءات سوبوليف، والمعادلات التفاضلية الجزئية . سلسلة Universitext. نيويورك: سبرينغر . doi : 10.1007/978-0-387-70914-7 . ISBN 978-0-387-70913-0. السيد 2759829 . زبل 1220.46002 .
تشافيل، إسحاق (1984). القيم الذاتية في الهندسة الريمانية . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 115. أورلاندو، فلوريدا: أكاديميك برس . doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6051-9 . ISBN 0-12-170640-0. السيد 0768584 . زبل 0551.53001 .
هاردي، جي إتش ؛ ليتلوود، جي إي ؛ بوليا، جي. ( 1952). عدم المساواة (الطبعة الثانية من الطبعة الأصلية لعام 1934). مطبعة جامعة كامبريدج . MR 0046395. Zbl 0047.05302 .
هورويتز، أ. (1901). "Sur le problème des isopérimètres" . Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences . 132 : 401– 403. ج اف ام 32.0386.01 .
شتاين، إلياس م.؛ فايس ، غيدو (1971). مقدمة في تحليل فورييه على الفضاءات الإقليدية . سلسلة برينستون الرياضية. المجلد 32. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون . MR 0304972. Zbl 0232.42007 .

[FOOTNOTEHardyLittlewoodPólya1952Section_7.7-1] 1 2 3 هاردي، ليتلوود وبوليا 1952 ، القسم 7.7.

[FOOTNOTEBrezis2011511–513,_576–578-2] 1 2 بريزيس 2011 ، ص 511-513، 576-578.

[FOOTNOTEChavel1984Sections_I.3_and_I.5-3] تشافيل 1984 ، القسمان الأول والثالث والأول والخامس.

[FOOTNOTESteinWeiss1971Chapter_IV.2-4] شتاين ووايس 1971 ، الفصل الرابع.2.

[FOOTNOTEChavel198436-5] تشافيل 1984 ، ص 36.

[FOOTNOTEChavel1984Section_II.2-6] شافيل 1984 ، القسم II.2.

[FOOTNOTEChavel1984Theorem_II.5.4-7] 1 2 شافيل 1984 ، النظرية II.5.4.

[FOOTNOTEHardyLittlewoodPólya1952Section_7.7Hurwitz1901-8] هاردي، ليتلوود وبوليا 1952 ، القسم 7.7؛ هورويتز 1901 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗