مساحة التغطية

بما أن الغطاء${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$خرائط لكل مجموعة من المجموعات المفتوحة المنفصلة${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$بشكل متماثل على${\displaystyle U}$إنه تماثل موضعي، أي${\displaystyle \pi }$هي خريطة متصلة ولكل${\displaystyle e\in E}$يوجد حي مفتوح${\displaystyle V\subset E}$ل${\displaystyle e}$بحيث${\displaystyle \pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)}$هو تماثل شكلي.

ويترتب على ذلك أن مساحة التغطية${\displaystyle E}$والمساحة الأساسية${\displaystyle X}$تتشارك هذه الوحدات محلياً في نفس الخصائص.

• لو${\displaystyle X}$إذا كان متعدد الشعب متصلاً وغير قابل للتوجيه ، فإنه يوجد غطاء${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\rightarrow X} من الدرجة${\displaystyle 2}$، حيث${\displaystyle {\tilde {X}}}$هو متعدد الشعب متصل وقابل للتوجيه. ^{[ 2 ] : 234}
• لو${\displaystyle X}$إذا كانت مجموعة لي متصلة ، فهناك غطاء${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\rightarrow X} وهو أيضًا تشاكل زمرة لي و${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma$ γ(0) = 1X modulo homotopy with fixed ends، وγ(0) = 1X modulo homotopy with fixed ends، وγ(0) = 1X modulo homotopy with fixed ends، وγ(0) = 174. ^{[ 4 ] : ​​174}
• لو${\displaystyle X}$إذا كان رسمًا بيانيًا ، فإنه يترتب على ذلك بالنسبة للتغطية${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$الذي - التي${\displaystyle E}$وهو أيضًا رسم بياني. ^{[ 2 ] : 85}
• لو${\displaystyle X}$إذا كان متعدد الشعب متصلاً ، فإنه يوجد غطاء${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\rightarrow X} ، حيث${\displaystyle {\tilde {X}}}$هو مشعب متصل ومتصل ببساطة . ^{[ 5 ] : 32}
• لو${\displaystyle X}$إذا كان سطح ريمان متصلاً ، فإنه يوجد غطاء${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\rightarrow X} وهي أيضًا دالة تحليلية ^{[ 5 ] : 22} و${\displaystyle {\tilde {X}}}$هي سطح ريمان متصل وبسيط الاتصال. ^{[ 5 ] : 32}

يترك${\displaystyle X,Y}$و${\displaystyle E}$أن تكون مساحات متصلة بمسارات، ومساحات متصلة بمسارات محلية، و${\displaystyle p,q}$و${\displaystyle r}$تكون خرائط متصلة، بحيث يكون الرسم التخطيطي

التنقلات.

• لو${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$هي أغطية، وكذلك${\displaystyle r}$.
• لو${\displaystyle p}$و${\displaystyle r}$هي أغطية، وكذلك${\displaystyle q}$[ ^{6 ] : 485​}

يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle X'}$أن تكون فضاءات طوبولوجية و${\displaystyle p:E\rightarrow X}$و${\displaystyle p':E'\rightarrow X'}$فلتكن أغطية، إذن${\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'}$مع${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$هو غطاء. ^{[ 6 ] : 339} ومع ذلك، فإن أغطية${\displaystyle X\times X'}$ليست كل هذه الأشكال بشكل عام.

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجياً و${\displaystyle p:E\rightarrow X}$و${\displaystyle p':E'\rightarrow X}$ليكن غطاءين. يُطلق على كلا الغطاءين اسم متكافئين ، إذا وُجد تماثل شكلي.${\displaystyle h:E\rightarrow E'}$بحيث يكون الرسم التخطيطي

التنقلات. إذا وُجد مثل هذا التشاكل، يُطلق على الفضاءات المُغطية اسم الفضاءات.${\displaystyle E}$و${\displaystyle E'}$متماثل الشكل .

جميع الأغطية تستوفي خاصية الرفع ، أي:

يترك${\displaystyle I}$ليكن الفاصل الزمني للوحدة و${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ليكن غطاءً.${\displaystyle F:Y\times I\rightarrow X}$أن تكون خريطة متصلة و${\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E}$كن مصعدًا${\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}}$أي دالة متصلة بحيث${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}}$ثم هناك خريطة متصلة ومحددة بشكل فريد${\displaystyle {\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E}$والتي${\displaystyle {\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}}$وهو مصعد من${\displaystyle F}$، أي${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}$[ ^{2 ] : 60​}

لو${\displaystyle X}$إذا كانت مساحة متصلة بمسارات، فـ${\displaystyle Y=\{0\}}$ويترتب على ذلك أن الخريطة${\displaystyle {\tilde {F}}}$هو رفع مسار في${\displaystyle X}$ولـ${\displaystyle Y=I}$هو رفع لتماثل المسارات في${\displaystyle X}$.

ونتيجة لذلك، يمكن للمرء أن يثبت أن المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$تُشكل دائرة الوحدة مجموعة دورية لانهائية ، والتي تتولد بواسطة فئات التماثل للحلقة.${\displaystyle \gamma :I\rightarrow S^{1}}$مع${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$[ ^{2 ] : 29​}

يترك${\displaystyle X}$أن تكون مساحة متصلة بمسار و${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ليكن غطاءً متصلاً.${\displaystyle x,y\in X}$ليكن أي نقطتين متصلتين بمسار${\displaystyle \gamma }$، أي${\displaystyle \gamma (0)=x}$و${\displaystyle \gamma (1)=y}$. يترك${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$كن المصعد الفريد من نوعه${\displaystyle \gamma }$ثم الخريطة

${\displaystyle L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)}$مع${\displaystyle L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)}$

هي دالة تقابلية . ^{[ 2 ] : 69}

لو${\displaystyle X}$هو فضاء متصل بمسارات و${\displaystyle p:E\rightarrow X}$غطاء متصل، ثم تماثل المجموعة المستحث

${\displaystyle p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)}$مع${\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]}$،

هي دالة حقنية والمجموعة الفرعية${\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ل${\displaystyle \pi _{1}(X)}$يتكون من فئات التماثل الحلقي في${\displaystyle X}$، والتي تتخذ مصاعدها شكل حلقات في${\displaystyle E}$[ ^{2 ] : 61​}

يترك${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$أن يكون غطاءً متصلاً ببساطة . إذا${\displaystyle \beta :E\rightarrow X}$إذا كان غطاءً آخر متصلاً ببساطة، فإنه يوجد تماثل شكلي محدد بشكل فريد${\displaystyle \alpha$ :{\tilde {X}}\rightarrow E} ، بحيث يكون الرسم البياني

التنقلات. ^{[ 6 ] : 482}

هذا يعني أن${\displaystyle p}$وهي، حتى التكافؤ، محددة بشكل فريد، وبسبب هذه الخاصية الشاملة يُشار إليها باسم الغطاء الشامل للفضاء${\displaystyle X}$.

لا يوجد غطاء شامل دائمًا. تضمن النظرية التالية وجوده لفئة معينة من الفضاءات الأساسية.

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا متصلًا، ومتصلًا محليًا ببساطة . عندئذٍ، يوجد غطاء شامل${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X.}$

المجموعة${\displaystyle {\tilde {X}}}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle {\tilde {X}}=\{\gamma$ γ هو مسار في X حيث γ(0) = x₀ / تماثل ذو نهايات ثابتة، حيث${\displaystyle x_{0}\in X}$هي أي نقطة أساس مختارة. الخريطة${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle p([\gamma ])=\gamma (1).}$^{[ 2 ] : 64}

الطوبولوجيا على​${\displaystyle {\tilde {X}}}$يتم بناؤها على النحو التالي: ليكن${\displaystyle \gamma :I\rightarrow X}$كن مسارًا مع${\displaystyle \gamma (0)=x_{0}.}$يترك${\displaystyle U}$أن تكون منطقة متصلة ببساطة لنقطة النهاية${\displaystyle x=\gamma (1).}$ثم، لكل${\displaystyle y\in U,}$يوجد طريق${\displaystyle \sigma _{y}}$داخل${\displaystyle U}$من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$هذا فريد حتى التماثل . الآن، لننظر إلى المجموعة${\displaystyle {\tilde {U}}=\{\gamma \sigma _{y}:y\in U\}/{\text{homotopy with fixed ends}}.}$التقييد${\displaystyle p|_{\tilde {U}}:{\tilde {U}}\rightarrow U}$مع${\displaystyle p([\gamma \sigma _{y}])=\gamma \sigma _{y}(1)=y}$هي دالة تقابلية و${\displaystyle {\tilde {U}}}$يمكن تجهيزها بالبنية النهائية لـ${\displaystyle p|_{\tilde {U}}.}$

المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma }$يتصرف بحرية بشأن${\displaystyle {\tilde {X}}}$بواسطة${\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma {\tilde {x}}],}$والفضاء المداري${\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}}$متماثل الشكل مع${\displaystyle X}$عبر الخريطة${\displaystyle [\Gamma {\tilde {x}}]\mapsto {\tilde {x}}(1).}$

• ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1}}$مع${\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$هو الغطاء العالمي لدائرة الوحدة${\displaystyle S^{1}}$.
• ${\displaystyle p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}}$مع${\displaystyle p(x)=[x]}$هو الغطاء الشامل للفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ل${\displaystyle n>1}$.

• ${\displaystyle p:\mathrm {SU} (n)\times \mathbb {R} \to U(n)}$مع$${\displaystyle p(A,t)=\exp(2\pi it)A}$$هو الغطاء الشامل للمجموعة الوحدوية${\displaystyle U(n)}$.

• منذ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$وبالتالي فإن خريطة القسمة$${\displaystyle p:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)/\mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)}$$هو الغطاء العالمي لـ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$.

• الفضاء الطوبولوجي الذي لا يملك غطاءً شاملاً هو القرط الهاواي :$${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$$يمكن إثبات أنه لا يوجد جوار للأصل${\displaystyle (0,0)}$متصل ببساطة. ^{[ 6 ] : 487، مثال 1}

يترك${\displaystyle p:E\rightarrow X}$أن يكون غطاءً. تحويل سطح السفينة هو تماثل شكلي${\displaystyle d:E\rightarrow E}$بحيث يكون مخطط الخرائط المتصلة

التنقلات . تشكل مجموعة تحويل سطح السفينة، إلى جانب تكوين الخرائط، مجموعة${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)}$وهو نفس الشيء${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$.

لنفترض الآن${\displaystyle p:C\to X}$هي خريطة تغطية و${\displaystyle C}$(وبالتالي أيضًا)${\displaystyle X}$) متصل ومتصل بمسار محلي. إجراء${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$يكون التأثير حرًا على كل ليف . إذا كان هذا التأثير متعديًا على بعض الألياف، فإنه يكون متعديًا على جميع الألياف، ونسمي الغطاء منتظمًا (أو عاديًا أو غالوا ). كل غطاء منتظم من هذا القبيل هو غطاء رئيسي.${\displaystyle G}$-bundle ، حيث${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$تعتبر مجموعة طوبولوجية منفصلة.

كل غطاء عالمي${\displaystyle p:D\to X}$منتظم، مع كون مجموعة تحويل سطح السفينة متماثلة مع المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X)}$.

• يترك${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$كن الغطاء${\displaystyle q(z)=z^{n}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ثم الخريطة${\displaystyle d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}}$ل${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$هو تحويل للسطح و${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.
• يترك${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$كن الغطاء${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ثم الخريطة${\displaystyle d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k}$ل${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$هو تحويل للسطح و${\displaystyle \operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z} }$.
• كمثال آخر مهم، انظر${\displaystyle \mathbb {C} }$المستوى المركب و${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$المستوى المركب ناقص نقطة الأصل. ثم الخريطة${\displaystyle p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$مع${\displaystyle p(z)=z^{n}}$هو غلاف عادي. تحويلات سطح السفينة هي عمليات ضرب مع${\displaystyle n}$الجذور النونية للوحدة ، وبالتالي فإن مجموعة تحويل سطح السفينة متماثلة مع المجموعة الدورية.${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$وبالمثل، الخريطة${\displaystyle \exp$ :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }} مع${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$هو الغطاء العالمي.

يترك${\displaystyle X}$أن تكون مساحة متصلة بمسار و${\displaystyle p:E\rightarrow X}$أن يكون غطاءً متصلاً. منذ تحويل سطح السفينة${\displaystyle d:E\rightarrow E}$هي دالة تقابلية ، فهي تبدل عناصر الألياف${\displaystyle p^{-1}(x)}$مع${\displaystyle x\in X}$ويُحدد هذا الموقع بشكل فريد من خلال المكان الذي يُرسل إليه نقطة واحدة. على وجه الخصوص، تُحدد خريطة الهوية فقط نقطة في الليف. ^{[ 2 ] : 70} وبسبب هذه الخاصية، يُحدد كل تحويل سطح عمل إجراءً جماعيًا على${\displaystyle E}$أي دع${\displaystyle U\subset X}$أن يكون حيًا مفتوحًا لـ${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle {\tilde {U}}\subset E}$حي مفتوح لـ${\displaystyle e\in p^{-1}(x)}$، ثم${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}$هو عمل جماعي .

يترك${\displaystyle \Gamma }$لتكن مجموعة، تعمل بشكل غير متصل على فضاء طوبولوجي${\displaystyle E}$ودع${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$كن الغطاء المعتاد.

• لو${\displaystyle E}$إذا كان متصلاً بالمسار،${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma }$[ ^{2 ] : 72​}

• لو${\displaystyle E}$إذا كان متصلاً ببساطة، فـ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)}$[ ^{2 ] : 71​}

يترك${\displaystyle X}$أن تكون مساحة متصلة ومتصلة محلياً ببساطة،${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)}$كن المجموعة الأساسية لـ${\displaystyle X}$. منذ${\displaystyle G}$يُعرّف، من خلال رفع المسارات وتقييمها عند نقطة نهاية الرفع، تأثيرًا جماعيًا على ألياف الغطاء، الدالة${\displaystyle F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)}$هو تكافؤ بين الفئات . ^{[ 2 ] : 68-70}