كلمة (نظرية الزمر)

في نظرية الزمر ، ^{تُعرَّف} الكلمة بأنها أي ناتج كتابي لعناصر الزمرة ومعكوساتها. على سبيل المثال، إذا ^كانت x و y و z عناصر في زمرة G ، فإن xy ^و z⁻¹xzz و y⁻¹zxx⁻¹yz⁻¹ هي كلمات في المجموعة { x , y , z ^} . قد تُعطي كلمتان مختلفتان القيمة نفسها في G ، [ ^{1 ]} أو حتى في أي زمرة. ^{[ 2 ]} تلعب الكلمات دورًا هامًا في نظرية الزمر الحرة والتمثيلات ، وهي موضوعات أساسية للدراسة في ^نظرية الزمر التوافقية .  

ليكن G زمرة، وليكن S مجموعة جزئية من G. الكلمة في S هي أي تعبير على الصورة

${\displaystyle s_{1}^{\varepsilon _{1}}s_{2}^{\varepsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\varepsilon _{n}}}$

حيث s ₁ ,..., s _n هي عناصر من S ، تسمى مولدات ، وكل ε _i هو ±1. يُعرف العدد n بطول الكلمة.

تمثل كل كلمة في المجموعة S عنصرًا من المجموعة G ، وهو ناتج التعبير. وبحسب الاصطلاح، يمكن تمثيل عنصر الهوية الفريد ^{[ 3 ]} بالكلمة الفارغة ، وهي الكلمة الوحيدة التي طولها صفر.

عند كتابة الكلمات، من الشائع استخدام الترميز الأسي كاختصار. على سبيل المثال، كلمة

${\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}$

يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,}$

هذا التعبير الأخير ليس كلمة بحد ذاته - إنه ببساطة اختصار للكلمة الأصلية.

عند التعامل مع الكلمات الطويلة، قد يكون من المفيد استخدام خط فوق الكلمات للدلالة على معكوس عناصر المجموعة S. باستخدام رمز الخط فوق الكلمات، تُكتب الكلمة المذكورة أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,}$

يمكن تبسيط أي كلمة يظهر فيها مولد بجوار معكوسه ( xx ⁻¹ أو x ⁻¹ x ) عن طريق حذف الزوج الزائد:

${\displaystyle y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.}$

تُعرف هذه العملية بالاختزال ، وهي لا تُغير عنصر المجموعة الذي تُمثله الكلمة. يُمكن اعتبار الاختزالات علاقات (مُعرّفة أدناه ) مُستنتجة من بديهيات المجموعة .

الكلمة المختزلة هي كلمة لا تحتوي على أزواج زائدة. يمكن تبسيط أي كلمة إلى كلمة مختزلة من خلال إجراء سلسلة من عمليات الاختزال:

${\displaystyle xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz.}$

لا تعتمد النتيجة على ترتيب إجراء عمليات الاختزال.

تُختزل الكلمة دوريًا إذا وفقط إذا تم اختزال كل تبديل دوري للكلمة.

يتم الحصول على ناتج كلمتين عن طريق الربط:

${\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.}$

حتى لو تم اختصار الكلمتين، فقد لا يكون الناتج كذلك.

يتم الحصول على معكوس الكلمة عن طريق عكس كل مولد، وعكس ترتيب العناصر:

${\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.}$

يمكن اختزال حاصل ضرب كلمة في معكوسها إلى الكلمة الفارغة:

${\displaystyle zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.}$

يمكنك نقل مولد من بداية الكلمة إلى نهايتها عن طريق التصريف :

${\displaystyle x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx.}$

تُسمى المجموعة الجزئية S من المجموعة G مجموعة مولدة إذا كان كل عنصر من G يمكن تمثيله بكلمة في S.

عندما لا تكون S مجموعة مولدة لـ G ، فإن مجموعة العناصر التي تمثلها الكلمات في S هي مجموعة فرعية من G ، تُعرف باسم المجموعة الفرعية من G المولدة بواسطة S ، ويُشار إليها عادةً بـ${\displaystyle \langle S\rangle }$. إنها أصغر مجموعة فرعية من G تحتوي على عناصر S.

الشكل الطبيعي لمجموعة G ذات مجموعة مولدة S هو اختيار كلمة مختزلة واحدة في S لكل عنصر من G. على سبيل المثال:

• الكلمات 1، i ، j ، ij هي شكل طبيعي لمجموعة كلاين الرباعية مع S = { i ، j  }  و 1 يمثل الكلمة الفارغة (عنصر الوحدة للمجموعة).
• الكلمات 1، r ، r ² ، ...، r ^n-1 ، s ، sr ، ...، sr ^n-1 هي شكل طبيعي للمجموعة ثنائية السطوح Dih _n مع S = { s ، r  }  و 1 كما هو مذكور أعلاه.
• مجموعة الكلمات من الشكل x ^m y ⁿ لـ m,n  ∈ Z هي شكل طبيعي للضرب المباشر للمجموعات الدورية ⟨ x ⟩ و ⟨ y ⟩ مع S = { x , y }.  
• مجموعة الكلمات المختزلة في S هي الشكل الطبيعي الفريد للمجموعة الحرة على S.

إذا كانت S مجموعة مولدة لمجموعة G ، فإن العلاقة هي زوج من الكلمات في S يمثلان نفس العنصر في G. وعادةً ما تُكتب هذه العلاقات على شكل معادلات، على سبيل المثال:${\displaystyle x^{-1}yx=y^{2}.\,}$ مجموعة${\displaystyle {\mathcal {R}}}$تُعرّف العلاقات G إذا كانت كل علاقة في G تتبع منطقيًا من تلك الموجودة في${\displaystyle {\mathcal {R}}}$باستخدام بديهيات المجموعة . تمثيل G هو زوج${\displaystyle \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle }$حيث S هي مجموعة مولدة لـ G و${\displaystyle {\mathcal {R}}}$هي مجموعة علاقات محددة.

على سبيل المثال، يمكن تعريف مجموعة كلاين الرباعية من خلال العرض التقديمي

${\displaystyle \langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle .}$

هنا يشير الرقم 1 إلى الكلمة الفارغة، والتي تمثل عنصر الهوية.

إذا كانت S أي مجموعة، فإن المجموعة الحرة فوق S هي المجموعة ذات العرض${\displaystyle \langle S\mid \;\rangle }$أي أن المجموعة الحرة فوق S هي المجموعة المولدة من عناصر S ، دون أي علاقات إضافية. ويمكن كتابة كل عنصر من عناصر المجموعة الحرة بشكل فريد ككلمة مختزلة في S.

• مسألة كلامية (رياضيات)
• مسألة كلامية للمجموعات

• إبستين، ديفيد ؛ كانون، جيه دبليو ؛ هولت، دي إف؛ ليفي، إس في إف؛ باترسون، إم إس ؛ ثورستون، دبليو بي (1992). معالجة النصوص في مجموعات . إيه كيه بيترز. ISBN 0-86720-244-0..
• نوفيكوف، ب.س. (1955). "حول عدم إمكانية حل مسألة الكلمات في نظرية الزمر باستخدام الخوارزميات". أعمال معهد ستيكلوف للرياضيات (باللغة الروسية). 44 : 1-143 .
• روبنسون، ديريك جون سكوت (1996). دورة في نظرية الزمر . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-94461-3.
• روتمان، جوزيف ج. (1995). مدخل إلى نظرية الزمر . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-94285-8.
• شوب, بول إي ; ليندون، روجر سي. (2001). نظرية المجموعة التوافقية . برلين: سبرينغر. رقم ISBN 3-540-41158-5.
• سوليتار، دونالد ؛ ماغنوس، فيلهلم ؛ كاراس، أبراهام (2004). نظرية الزمر التوافقية: عروض الزمر من حيث المولدات والعلاقات . نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-43830-9.
• ستيلويل، جون (1993). الطوبولوجيا الكلاسيكية ونظرية الزمر التوافقية . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-97970-0.