مسألة كلامية للمجموعات

في الرياضيات ، وخاصة في مجال الجبر المجرد المعروف بنظرية الزمر التوافقية ، تُطرح المسألة اللفظية المتعلقة بالزمرة المولدة نهائيًا.${\displaystyle G}$تتمثل المشكلة الخوارزمية في تحديد ما إذا كانت كلمتان في المولدات تمثلان نفس العنصر من${\displaystyle G}$تُقدّم مسائل الكلمات لبعض المجموعات أمثلة معروفة جيداً على المسائل غير القابلة للتقرير .

لو${\displaystyle A}$هي مجموعة منتهية من المولدات لـ${\displaystyle G}$إذن، فإن مشكلة الكلمات هي مشكلة الانتماء للغة الرسمية لجميع الكلمات في${\displaystyle A}$ومجموعة رسمية من المعكوسات التي تُطابق مع المعكوس تحت الخريطة الطبيعية من المونويد الحر مع الانعكاس على${\displaystyle A}$إلى المجموعة${\displaystyle G}$. لو${\displaystyle B}$هي مجموعة توليد منتهية أخرى لـ${\displaystyle G}$ثم مسألة الكلمات على مجموعة التوليد${\displaystyle B}$يكافئ مسألة الكلمات على مجموعة التوليد${\displaystyle A}$وبالتالي، يمكن للمرء أن يتحدث بشكل لا لبس فيه عن قابلية حسم مسألة الكلمات بالنسبة للمجموعة المولدة نهائياً${\displaystyle G}$.

المسألة اللفظية الموحدة ذات الصلة ولكن المختلفة للفصل الدراسي${\displaystyle K}$تتمثل المشكلة الخوارزمية في تحديد طريقة عرض المجموعات بشكل متكرر، وذلك بإعطاء عرض كمدخل.${\displaystyle P}$لمجموعة${\displaystyle G}$في الفصل${\displaystyle K}$وكلمتان في مولدات${\displaystyle G}$، وما إذا كانت الكلمات تمثل نفس العنصر من${\displaystyle G}$يشترط بعض المؤلفين وجود هذه الفئة${\displaystyle K}$أن تكون قابلة للتعريف من خلال مجموعة من العروض التقديمية القابلة للتعداد بشكل متكرر .

على مرّ تاريخ هذا المجال، أُجريت الحسابات في الزمر باستخدام أشكال قياسية متنوعة . وعادةً ما تحلّ هذه الأشكال ضمنيًا مسألة الكلمات للزمر المعنية. في عام ١٩١١، اقترح ماكس دين أن مسألة الكلمات تُشكّل مجالًا هامًا للدراسة بحدّ ذاتها، ^{[ ١ ]} إلى جانب مسألة الاقتران ومسألة تماثل الزمر . وفي عام ١٩١٢، قدّم خوارزمية تحلّ كلًا من مسألة الكلمات ومسألة الاقتران للزمر الأساسية للمشعبات ثنائية الأبعاد المغلقة والقابلة للتوجيه من رتبة أكبر من أو تساوي ٢. ^{[ ٢ ]} وقد قام باحثون لاحقون بتوسيع خوارزمية دين بشكل كبير وتطبيقها على نطاق واسع من مسائل القرار في نظرية الزمر . ^{[ ٣ ] [ ٤ ] [ ٥ ]}

أثبت بيوتر نوفيكوف في عام 1955 وجود مجموعة ذات عرض محدود${\displaystyle G}$بحيث تكون المسألة اللفظية لـ${\displaystyle G}$هي غير قابلة للتقرير . ^{[ 6 ]} ويترتب على ذلك مباشرةً أن مسألة الكلمات الموحدة غير قابلة للتقرير أيضًا. وقد حصل ويليام بون على برهان مختلف في عام 1958. ^{[ 7 ]}

كانت مسألة الكلمات من أوائل الأمثلة على المسائل غير القابلة للحل التي لم تُكتشف في المنطق الرياضي أو نظرية الخوارزميات ، بل في أحد الفروع الرئيسية للرياضيات الكلاسيكية، وهو الجبر . ونتيجةً لعدم قابليتها للحل، تبيّن أن العديد من المسائل الأخرى في نظرية الزمر التوافقية غير قابلة للحل أيضاً.

في الواقع، يمكن حل المسألة اللفظية للعديد من المجموعات${\displaystyle G}$على سبيل المثال، تمتلك الزمر متعددة الحلقات مسائل كلمات قابلة للحل، إذ يمكن حساب الشكل الطبيعي لأي كلمة في تمثيل متعدد الحلقات بسهولة؛ وقد تحل خوارزميات أخرى للزمر، في ظروف مناسبة، مسألة الكلمات هذه أيضًا، انظر خوارزمية تود-كوكسيتر ^{[ 8 ]} وخوارزمية إكمال كنوت-بنديكس ^{[ 9 ]} . من جهة أخرى، لا يعني عدم حل خوارزمية معينة لمسألة الكلمات لزمرة معينة أن تلك الزمرة لا يمكن حل مسألة كلماتها. فعلى سبيل المثال، لا تحل خوارزمية دين مسألة الكلمات للزمرة الأساسية للطورس . مع ذلك، فإن هذه الزمرة هي حاصل الضرب المباشر لزمرتين دوريتين لانهائيتين، وبالتالي يمكن حل مسألة كلماتها.

بصورة أكثر تحديدًا، يمكن التعبير عن مسألة الكلمات الموحدة كمسألة إعادة كتابة ، بالنسبة للسلاسل النصية الحرفية . ^{[ 10 ]} لعرض تقديمي${\displaystyle P}$من مجموعة${\displaystyle G}$،${\displaystyle P}$سيحدد عددًا معينًا من المولدات

${\displaystyle x,y,z,\ldots }$

ل${\displaystyle G}$نحتاج إلى إدخال حرف واحد لـ${\displaystyle x}$وآخر (للتسهيل) لعنصر المجموعة المُمثَّل بواسطة${\displaystyle x^{-1}}$أطلق على هذه الأحرف (ضعف عدد المولدات) اسم الأبجدية${\displaystyle \Sigma }$بالنسبة لمشكلتنا. ثم كل عنصر في${\displaystyle G}$يتم تمثيلها بطريقة ما من خلال منتج

${\displaystyle abc...pqr}$

من الرموز من${\displaystyle \Sigma }$، ذات طول معين، مضروبة في${\displaystyle G}$تمثل السلسلة ذات الطول 0 ( السلسلة الفارغة ) عنصر الهوية${\displaystyle e}$ل${\displaystyle G}$جوهر المشكلة برمتها هو القدرة على التعرف على جميع الطرق${\displaystyle e}$يمكن تمثيلها، بالنظر إلى بعض العلاقات.

تأثير العلاقات في${\displaystyle G}$الهدف هو جعل سلاسل نصية مختلفة من هذا النوع تمثل نفس العنصر من${\displaystyle G}$في الواقع، توفر العلاقات قائمة من السلاسل التي يمكن إدخالها حيث نريد، أو إلغاؤها كلما رأيناها، دون تغيير "القيمة"، أي عنصر المجموعة الذي هو نتيجة الضرب.

كمثال بسيط، انظر إلى المجموعة التي يقدمها العرض التقديمي${\displaystyle \langle a\,|\,a^{3}=e\rangle }$. كتابة${\displaystyle A}$لعكس${\displaystyle a}$لدينا سلاسل محتملة تجمع أي عدد من الرموز${\displaystyle a}$و${\displaystyle A}$كلما رأينا${\displaystyle aaa}$، أو${\displaystyle aA}$أو${\displaystyle Aa}$قد نحذف هذه. يجب أن نتذكر أيضًا أن نحذف${\displaystyle AAA}$وهذا يعني أنه بما أن مكعب${\displaystyle a}$هو عنصر الهوية لـ${\displaystyle G}$وكذلك مكعب معكوس${\displaystyle a}$في ظل هذه الظروف، تصبح المسألة اللفظية سهلة. أولاً، اختزل السلاسل إلى سلسلة فارغة.${\displaystyle a}$،${\displaystyle aa}$،${\displaystyle A}$أو${\displaystyle AA}$ثم لاحظ أنه يمكننا أيضًا الضرب في${\displaystyle aaa}$لذلك يمكننا التحويل${\displaystyle A}$ل${\displaystyle aa}$وتحويل${\displaystyle AA}$ل${\displaystyle a}$والنتيجة هي أن المسألة اللفظية، هنا بالنسبة للمجموعة الدورية من الرتبة الثالثة، قابلة للحل.

لكن هذه ليست الحالة النموذجية. ففي المثال، لدينا صيغة قياسية متاحة تُختزل أي سلسلة إلى سلسلة لا يزيد طولها عن ثلاثة عناصر، وذلك بتقليل الطول بشكل مطرد. عمومًا، ليس صحيحًا أنه يمكن الحصول على صيغة قياسية للعناصر عن طريق الاختزال التدريجي. قد يكون من الضروري استخدام العلاقات لتوسيع السلسلة عدة مرات، حتى يتم في النهاية إيجاد اختزال يُقلل الطول إلى أدنى حد ممكن.

والنتيجة، في أسوأ الأحوال، هي أن العلاقة بين السلاسل التي تقول إنها متساوية في${\displaystyle G}$هي مشكلة غير قابلة للحل .

المجموعات التالية لديها مسألة كلامية قابلة للحل:

• المجموعات التلقائية ، بما في ذلك:
  • المجموعات المنتهية
  • المجموعات ذات الانحناء السالب (المعروفة أيضًا باسم المجموعات الزائدية)
  • المجموعات الإقليدية
  • مجموعات كوكسيتر
  • مجموعات الضفائر
  • المجموعات المنتهية هندسيًا
• المجموعات الحرة المولدة بشكل نهائي
• الزمر الأبيلية الحرة المولدة بشكل نهائي
• مجموعات متعددة الحلقات
• المجموعات المولدة بشكل نهائي والمقدمة بشكل مطلق بشكل متكرر ، ^{[ 11 ]} بما في ذلك:
  • الزمر البسيطة ذات العرض المحدود .
• المجموعات المتبقية المنتهية المعروضة بشكل نهائي ^{[ 12 ]}
• مجموعات ذات علاقة واحدة ، ^{[ 13 ] [ 14 ]} بما في ذلك:
  • المجموعات الأساسية للمشعبات ثنائية الأبعاد المغلقة والقابلة للتوجيه.
• مجموعات قابلة للتمشيط
• مجموعات قابلة للتكديس التلقائي

كما توجد أمثلة على مسائل كلامية غير قابلة للحل:

• بالنظر إلى مجموعة قابلة للتعداد بشكل متكرر${\displaystyle A}$مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تواجه مشكلة عضوية غير قابلة للحل،${\displaystyle \langle a,b,c,d\,|\,a^{n}ba^{n}=c^{n}dc^{n}:n\in A\rangle }$هي مجموعة مولدة بشكل نهائي مع عرض قابل للتعداد بشكل متكرر، ومسألة الكلمات الخاصة بها غير قابلة للحل ^{[ 15 ]}
• كل مجموعة مولدة بشكل محدود مع عرض قابل للتعداد بشكل متكرر ومسألة كلمات غير قابلة للحل هي مجموعة فرعية من مجموعة معروضة بشكل محدود مع مسألة كلمات غير قابلة للحل ^{[ 16 ].}
• قد يكون عدد العلاقات في مجموعة ذات عرض محدود مع مشكلة كلمات غير قابلة للحل منخفضًا يصل إلى 14 ^{[ 17 ]} أو حتى 12. ^{[ 18 ] [ 19 ]}
• تم تقديم مثال صريح لعرض قصير معقول مع مشكلة كلامية غير قابلة للحل في كولينز 1986: ^{[ 20 ] [ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}\langle &a,b,c,d,e,p,q,r,t,k&|&&\\&p^{10}a=ap,&pacqr=rpcaq,&ra=ar,&\\&p^{10}b=bp,&p^{2}adq^{2}r=rp^{2}daq^{2},&rb=br,&\\&p^{10}c=cp,&p^{3}bcq^{3}r=rp^{3}cbq^{3},&rc=cr,&\\&p^{10}d=dp,&p^{4}bdq^{4}r=rp^{4}dbq^{4},&rd=dr,&\\&p^{10}e=ep,&p^{5}ceq^{5}r=rp^{5}ecaq^{5},&re=er,&\\&aq^{10}=qa,&p^{6}deq^{6}r=rp^{6}edbq^{6},&pt=tp,&\\&bq^{10}=qb,&p^{7}cdcq^{7}r=rp^{7}cdceq^{7},&qt=tq,&\\&cq^{10}=qc,&p^{8}ca^{3}q^{8}r=rp^{8}a^{3}q^{8},&&\\&dq^{10}=qd,&p^{9}da^{3}q^{9}r=rp^{9}a^{3}q^{9},&&\\&eq^{10}=qe,&a^{-3}ta^{3}k=ka^{-3}ta^{3}&&\rangle \end{array}}}$

يمكن حل المسألة اللفظية لمجموعة معروضة بشكل متكرر جزئياً بالمعنى التالي:

بالنظر إلى عرض متكرر${\displaystyle P=\langle X\,|\,R\rangle }$لمجموعة${\displaystyle G}$، يُعرِّف:

${\displaystyle S=\{\langle u,v\rangle :u{\text{ and }}v{\text{ are words in }}X{\text{ and }}u=v{\text{ in }}G\ \}}$

ثم توجد دالة تكرارية جزئية${\displaystyle f_{P}}$بحيث:

${\displaystyle f_{P}(\langle u,v\rangle )={\begin{cases}0&{\text{if}}\ \langle u,v\rangle \in S\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ \langle u,v\rangle \notin S\end{cases}}}$

بصورة غير رسمية، توجد خوارزمية تتوقف إذا${\displaystyle u=v}$لكنه لا يفعل ذلك في غير ذلك.

وبالتالي، لحل المسألة اللفظية لـ${\displaystyle P}$يكفي إنشاء دالة تكرارية${\displaystyle g}$بحيث:

${\displaystyle g(\langle u,v\rangle )={\begin{cases}0&{\text{if}}\ \langle u,v\rangle \notin S\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ \langle u,v\rangle \in S\end{cases}}}$

لكن${\displaystyle u=v}$في${\displaystyle G}$إذا وفقط إذا${\displaystyle uv^{-1}=1}$في${\displaystyle G}$وبالتالي، لحل المسألة اللفظية لـ${\displaystyle P}$يكفي إنشاء دالة تكرارية${\displaystyle h}$بحيث:

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x\neq 1\ {\text{in}}\ G\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ x=1\ {\text{in}}\ G\end{cases}}}$

لكل عملية ربط بين X و S، إذا تحققت كل علاقة في R في S، إذا كان w ≠ 1 في S، فأرجع 0. انتهى الشرط . انتهى الشرط. انتهى التكرار.

يمكن توسيع المعيار المذكور أعلاه، الخاص بإمكانية حل المسألة اللفظية في زمرة واحدة، بحجة مباشرة. وهذا يُعطي المعيار التالي لإمكانية حل المسألة اللفظية بشكل منتظم لفئة من الزمر المعروضة بشكل محدود:

لحل مسألة كلامية موحدة لفصل دراسي${\displaystyle K}$بالنسبة للمجموعات، يكفي إيجاد دالة تكرارية .${\displaystyle f(P,w)}$يتطلب ذلك عرضًا محدودًا${\displaystyle P}$لمجموعة${\displaystyle G}$وكلمة​${\displaystyle w}$في مولدات${\displaystyle G}$بحيث كلما${\displaystyle G\in K}$:

${\displaystyle f(P,w)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ w\neq 1\ {\text{in}}\ G\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ w=1\ {\text{in}}\ G\end{cases}}}$

نظرية بون-روغرز: لا توجد خوارزمية جزئية موحدة تحل مشكلة الكلمات في جميع المجموعات المعروضة بشكل محدود مع مشكلة كلمات قابلة للحل.

بمعنى آخر، فإن مسألة الكلمات الموحدة لفئة جميع الزمر ذات العرض المحدود والتي لها مسألة كلمات قابلة للحل، هي مسألة غير قابلة للحل. وهذا له بعض النتائج المهمة. على سبيل المثال، يمكن استخدام نظرية تضمين هيغمان لإنشاء زمرة تحتوي على نسخة متماثلة من كل زمرة ذات عرض محدود ولها مسألة كلمات قابلة للحل. يبدو من الطبيعي التساؤل عما إذا كانت هذه الزمرة يمكن أن يكون لها مسألة كلمات قابلة للحل. ولكن من نتائج بون-روغرز أن:

نتيجة: لا توجد مجموعة مسائل كلامية قابلة للحل عالميًا. أي، إذا${\displaystyle G}$إذا كانت مجموعة ذات عرض منتهٍ تحتوي على نسخة متماثلة من كل مجموعة ذات عرض منتهٍ تحتوي على مسألة كلامية قابلة للحل، فإن${\displaystyle G}$يجب أن يكون لها في حد ذاتها مشكلة كلامية غير قابلة للحل.

ملاحظة: افترض${\displaystyle G=\langle X\,|\,R\rangle }$هي مجموعة معروضة بشكل محدود ولها مسألة كلامية قابلة للحل و${\displaystyle H}$هي مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle G}$. يترك${\displaystyle H^{*}=\langle H\rangle }$، لتكون المجموعة التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle H}$ثم المسألة اللفظية في${\displaystyle H^{*}}$يمكن حلها: بمعلومية كلمتين${\displaystyle h,k}$في المولدات${\displaystyle H}$ل${\displaystyle H^{*}}$اكتبها ككلمات في${\displaystyle X}$وقارن بينهما باستخدام حل المسألة اللفظية في${\displaystyle G}$من السهل الاعتقاد بأن هذا يُظهر حلاً موحداً للمسألة اللفظية للفئة${\displaystyle K}$(على سبيل المثال) من المجموعات المولدة بشكل نهائي والتي يمكن تضمينها في${\displaystyle G}$لو كان الأمر كذلك، لكان من السهل استنتاج عدم وجود مجموعة مسائل كلامية قابلة للحل عالميًا من نظرية بون-روغرز. ومع ذلك، فإن الحل الذي تم عرضه للتو للمسألة الكلامية للمجموعات في${\displaystyle K}$ليست متجانسة. ولتوضيح ذلك، لنفترض مجموعة${\displaystyle J=\langle Y\,|\,T\rangle \in K}$؛ من أجل استخدام الحجة المذكورة أعلاه لحل المسألة اللفظية في${\displaystyle J}$من الضروري أولاً عرض عملية الربط${\displaystyle e:Y\to G}$ويمتد ذلك إلى التضمين${\displaystyle e^{*}:J\to G}$إذا كانت هناك دالة تكرارية تقوم برسم تمثيلات (مولدة بشكل نهائي) للمجموعات في${\displaystyle K}$إلى تضمينات في${\displaystyle G}$ثم حل موحد للمسألة اللفظية في${\displaystyle K}$يمكن بالفعل بناء دالة تكرارية. ولكن ليس هناك سبب، بشكل عام، للافتراض بوجود مثل هذه الدالة التكرارية. ومع ذلك، يتضح أنه باستخدام حجة أكثر تعقيدًا، فإن مسألة الكلمات في${\displaystyle J}$يمكن حلها دون استخدام تضمين${\displaystyle e:J\to G}$بدلاً من ذلك، يُستخدم تعدادٌ للتشاكلات ، وبما أن هذا التعداد يمكن إنشاؤه بشكل منتظم، فإنه ينتج عنه حلٌ منتظم لمسألة الكلمات في${\displaystyle K}$.

لنفترض أن n = 0 ولنفترض أن repeatable = TRUE بينما ( repeatable ) قم بزيادة n بمقدار 1 إذا ( أظهر حل المسألة اللفظية في G أن h n ( w ) ≠ 1 في G ). اجعل repeatable = FALSE الناتج 0.

هناك عدد من النتائج التي تربط بين قابلية حل المسألة اللفظية والبنية الجبرية . وأهم هذه النتائج هي نظرية بون-هيغمان :

تكون مسألة الكلمات قابلة للحل لمجموعة ذات عرض محدود إذا وفقط إذا كان من الممكن تضمينها في مجموعة بسيطة يمكن تضمينها في مجموعة ذات عرض محدود.

يُعتقد على نطاق واسع أنه من الممكن بناء المجموعة بحيث تكون المجموعة البسيطة نفسها ذات عرض نهائي. إذا كان الأمر كذلك، فمن المتوقع أن يكون إثبات ذلك صعبًا، لأن عملية الربط من العروض إلى المجموعات البسيطة يجب أن تكون غير تكرارية.

وقد أثبت برنارد نيومان وأنجوس ماكنتاير ما يلي :

تكون مسألة الكلمات قابلة للحل لمجموعة ذات عرض محدود إذا وفقط إذا كان من الممكن تضمينها في كل مجموعة مغلقة جبريًا .

الأمر المثير للدهشة في هذا هو أن المجموعات المغلقة جبرياً متوحشة لدرجة أنه لا يوجد لأي منها عرض تكراري.

أقدم نتيجة تربط البنية الجبرية بإمكانية حل المسألة اللفظية هي نظرية كوزنتسوف :

مجموعة بسيطة معروضة بشكل متكرر${\displaystyle S}$تحتوي على مسألة كلامية قابلة للحل.

ولإثبات ذلك، دع${\displaystyle \langle X|R\rangle }$أن يكون عرضًا متكررًا لـ${\displaystyle S}$اختر عنصرًا غير عنصر محايد${\displaystyle a\in S}$، إنه،${\displaystyle a\neq 1}$في${\displaystyle S}$.

لو${\displaystyle w}$كلمة عن المولدات${\displaystyle X}$ل${\displaystyle S}$ثم دع:

${\displaystyle S_{w}=\langle X|R\cup \{w\}\rangle .}$

توجد دالة تكرارية${\displaystyle f_{\langle X|R\cup \{w\}\rangle }}$بحيث:

${\displaystyle f_{\langle X|R\cup \{w\}\rangle }(x)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x=1\ {\text{in}}\ S_{w}\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ x\neq 1\ {\text{in}}\ S_{w}.\end{cases}}}$

يكتب:

${\displaystyle g(w,x)=f_{\langle X|R\cup \{w\}\rangle }(x).}$

ثم بسبب بناء${\displaystyle f}$إذا كان التوزيع منتظمًا، فهذه دالة تكرارية لمتغيرين.

وبناءً على ذلك :${\displaystyle h(w)=g(w,a)}$هي دالة تكرارية. بحسب تصميمها:

${\displaystyle h(w)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ a=1\ {\text{in}}\ S_{w}\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ a\neq 1\ {\text{in}}\ S_{w}.\end{cases}}}$

منذ${\displaystyle S}$هي مجموعة بسيطة، ومجموعات القسمة الوحيدة لها هي نفسها والمجموعة التافهة .${\displaystyle a\neq 1}$في${\displaystyle S}$، نرى${\displaystyle a=1}$في${\displaystyle S_{w}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle S_{w}}$يكون الأمر تافهاً إذا وفقط إذا${\displaystyle w\neq 1}$في${\displaystyle S}$. لذلك:

${\displaystyle h(w)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ w\neq 1\ {\text{in}}\ S\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ w=1\ {\text{in}}\ S.\end{cases}}}$

إن وجود مثل هذه الدالة يكفي لإثبات أن المسألة اللفظية قابلة للحل لـ${\displaystyle S}$.

لا يُثبت هذا البرهان وجود خوارزمية موحدة لحل مسألة الكلمات لهذه الفئة من الزمر. يكمن عدم التوحيد في اختيار عنصر غير تافه من الزمرة البسيطة. لا يوجد ما يدعو إلى افتراض وجود دالة تكرارية تربط عرض الزمرة البسيطة بعنصر غير تافه من الزمرة. مع ذلك، في حالة الزمرة ذات العرض المحدود، نعلم أنه لا يمكن أن تكون جميع المولدات تافهة (مع أن أي مولد منفرد يمكن أن يكون كذلك). باستخدام هذه الحقيقة، يمكن تعديل البرهان لإظهار ما يلي:

يمكن حل المسألة اللفظية بشكل موحد لفئة المجموعات البسيطة المعروضة بشكل محدود.

• التوافقية في الكلمات
• مجموعة إس كيو العالمية
• مسألة كلامية (رياضيات)
• مشكلة إمكانية الوصول
• تم استخدام آلات التكديس المتداخلة (لحل مسائل الكلمات للمجموعات)

• بون، دبليو دبليو؛ كانونيتو، إف بي؛ ليندون، روجر سي. (1973)، مسائل كلامية  : مسائل القرار ومسألة بيرنسايد في نظرية الزمر ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات، المجلد  71، نورث هولاند، ISBN 9780720422719
• بون، دبليو دبليو؛ هيغمان، جي. (1974)، "توصيف جبري لقابلية حل المسألة اللفظية"، مجلة الجمعية الرياضية الأسترالية ، 18 : 41-53 ، doi : 10.1017/s1446788700019108
• بون، دبليو دبليو؛ روجرز الابن، إتش (1966)، "حول مسألة لجيه إتش سي وايتهيد ومسألة لألونزو تشيرش"، مجلة الرياضيات الإسكندنافية ، 19 : 185-192 ، doi : 10.7146/math.scand.a-10808
• بوريسوف، في في (1969)، “أمثلة بسيطة لمجموعات لديها مشكلة كلامية غير قابلة للحل”، Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki ، 6 : 521–532 ، ISSN 0025-567X ، MR 0260851  
• Collins، Donald J. (1969)، “Word and conjugacy issues ingroups with only عدد قليل من العلاقات المحددة”، Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik , 15 ( 20– 22): 305– 324, دوى : 10.1002/malq.19690152001 , MR 0263903 
• كولينز، دونالد ج. (1972)، "حول نظرية تضمين المجموعة لـ ف. ف. بوريسوف"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 4 (2): 145-147 ، doi : 10.1112/blms/4.2.145 ، ISSN 0024-6093 ، MR 0314998  
• كولينز، دونالد ج. (1986)، "عرض بسيط لمجموعة ذات مسألة كلامية غير قابلة للحل"، مجلة إلينوي للرياضيات ، 30 (2): 230-234 ، doi : 10.1215/ijm/1256044631 ، ISSN 0019-2082 ، MR 0840121  
• كولينز، دي جيه؛ زيسشانغ، إتش. (1993)، "نظرية الزمر التوافقية والزمر الأساسية"، الجبر 8: نظرية الزمر التوافقية، تطبيقات في الهندسة ، موسوعة العلوم الرياضية، المجلد  58، برلين: سبرينغر، الصفحات 1-166 ، doi : 10.1007/978-3-642-58013-0 ، ISBN  3-540-54700-2MR 1265270​ 
• دهن، ماكس (1911)، “Über unendliche diskontinuierliche Gruppen” ، مجلة الرياضيات ، 71 (1): 116– 144، دوى : 10.1007 / BF01456932 ، ISSN 0025-5831 ، MR 1511645 ، S2CID 123478582 ، أرشفة من النسخة الأصلية بتاريخ 2016-03-05 ، استرجاعها 2013-09-12   
• دهن ، ماكس (1912)، “Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen” ، Mathematische Annalen ، 72 (3): 413–421 ، دوى : 10.1007 / BF01456725 ، ISSN 0025-5831 ، MR 1511705 ، S2CID 122988176 ، أرشفة من النسخة الأصلية بتاريخ 2016-03-05 ، استرجاعها 2013-09-12   
• Kuznetsov، AV (1958)، “الخوارزميات كعمليات في الأنظمة الجبرية”، إزفستيا أكاد. ناوك SSSR سير مات ، 13 (3): 81
• ميلر، سي إف (1991)، "مسائل القرار للمجموعات - دراسة وتأملات" ، الخوارزميات والتصنيف في نظرية المجموعات التوافقية ، منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية، المجلد  23، سبرينغر، الصفحات 1-60 ، doi : 10.1007/978-1-4613-9730-4_1 ، ISBN  978-1-4613-9730-4
• نيبرغ-برودا، كارل-فريدريك (2021)، "مسألة الكلمات لأحاديات العلاقة الواحدة: دراسة استقصائية"، منتدى شبه المجموعة ، 103 (2): 297-355 ، arXiv : 2105.02853 ، doi : 10.1007/s00233-021-10216-8
• روتمان، جوزيف (1994)، مقدمة في نظرية المجموعات ، سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-0-387-94285-8
• ستيلويل، ج. (1982)، "مسألة الكلمات ومسألة التشاكل للمجموعات"، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 6 : 33-56 ، doi : 10.1090/s0273-0979-1982-14963-1