يانغيان

في نظرية التمثيل ، يُعرف اليانغيان بأنه جبر هوبف لانهائي الأبعاد ، وهو نوع من الزمر الكمومية . ظهر اليانغيان لأول مرة في الفيزياء في أعمال لودفيج فادييف ومدرسته في أواخر السبعينيات وأوائل الثمانينيات، والتي تناولت طريقة التشتت العكسي الكمومي . وقد أطلق فلاديمير درينفيلد اسم اليانغيان عام ١٩٨٥ تكريمًا لـ سي إن يانغ .

في البداية، تم اعتبارها أداة ملائمة لتوليد حلول معادلة يانغ-باكستر الكمومية .

يمكن وصف مركز اليانغيان بواسطة المحدد الكمي.

اليانغيان هو انحلال لجبر الحلقة الكمومية (أي الجبر الأفيني الكمومي عند انعدام الشحنة المركزية ). ^{[ 1 ]}

لأي جبر لي شبه بسيط ذي أبعاد منتهية a ، عرّف درينفيلد جبر هوبف لانهائي الأبعاد Y ( a )، يُسمى يانغيان a . يُعدّ جبر هوبف هذا تشويهاً للجبر الشامل المُغلِّف U ( a [ z ]) لجبر لي لحلقات كثيرات الحدود لـ a ، المُعطى بمولدات وعلاقات صريحة. يمكن ترميز هذه العلاقات بواسطة متطابقات تتضمن مصفوفة R كسرية . باستبدالها بمصفوفة R مثلثية ، نصل إلى مجموعات الكم الأفينية ، المُعرَّفة في نفس ورقة درينفيلد.

في حالة جبر لي الخطي العام gl _N ، يمكن وصف اليانغيان بشكل أبسط من خلال علاقة ثلاثية واحدة (أو RTT ) على مولدات المصفوفات، وذلك بفضل فادييف وزملاؤه. يُعرَّف اليانغيان Y( gl _N ) بأنه الجبر المُوَلَّد بواسطة العناصر${\displaystyle t_{ij}^{(p)}}$حيث 1 ≤ i و j ≤ N و p ≥ 0، مع مراعاة العلاقات

${\displaystyle [t_{ij}^{(p+1)},t_{kl}^{(q)}]-[t_{ij}^{(p)},t_{kl}^{(q+1)}]=-(t_{kj}^{(p)}t_{il}^{(q)}-t_{kj}^{(q)}t_{il}^{(p)}).}$

تعريف${\displaystyle t_{ij}^{(-1)}=\delta _{ij}}$، جلسة

${\displaystyle T(z)=\sum _{p\geq -1}t_{ij}^{(p)}z^{-p+1}}$

وبتقديم مصفوفة R ، R ( z ) = I + z ^{− 1} P على C ^N${\displaystyle \otimes }$C ^N ، حيث P هو العامل الذي يبدل عوامل الموتر، يمكن كتابة العلاقات المذكورة أعلاه بشكل أبسط كعلاقة ثلاثية :

${\displaystyle \displaystyle {R_{12}(zw)T_{1}(z)T_{2}(w)=T_{2}(w)T_{1}(z)R_{12}(zw).}}$

يتحول اليانغيان إلى جبر هوبف مع الضرب المشترك Δ، والوحدة المشتركة ε، والمضاد s المعطى بواسطة

${\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} )T(z)=T_{12}(z)T_{13}(z),\,\,(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )T(z)=I,\,\,(s\otimes \mathrm {id} )T(z)=T(z)^{-1}.}$

عند قيم خاصة للمعامل الطيفي${\displaystyle (zw)}$تتحول مصفوفة R إلى إسقاط من الرتبة الأولى. ويمكن استخدام هذا لتحديد المحدد الكمي لـ ${\displaystyle T(z)}$، مما يؤدي إلى توليد مركز اليانغيان.

اليانغيان الملتوي Y ⁻ ( gl _2N )، الذي قدمه جي آي أولشانسكي، هو المثالي المشترك الناتج عن معاملات

${\displaystyle \displaystyle {S(z)=T(z)\sigma T(-z),}}$

حيث σ هو الانعكاس لـ gl _2N المعطى بواسطة

${\displaystyle \displaystyle {\sigma (E_{ij})=(-1)^{i+j}E_{2N-j+1,2N-i+1}.}}$

قام درينفيلد بتحديد معلمات التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة لمجموعات يانغيان بطريقة مشابهة لنظرية الوزن الأعلى في نظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط. ويلعب دور الوزن الأعلى مجموعة محدودة من كثيرات حدود درينفيلد . كما اكتشف درينفيلد تعميمًا لازدواجية شور-ويل الكلاسيكية بين تمثيلات المجموعات الخطية والمتناظرة العامة ، والتي تتضمن مجموعة يانغيان لـ sl _N وجبر هيك الأفيني المنحط (جبر هيك المتدرج من النوع A، وفقًا لمصطلحات جورج لوزتيغ ).

لقد تمت دراسة تمثيلات اليانغيان على نطاق واسع، لكن النظرية لا تزال قيد التطوير النشط.

• الجبر الكمومي الأفيني

• تشاري، فيجايانثي ؛ أندرو بريسلي (1994). دليل إلى المجموعات الكمومية . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-55884-0.
• درينفيلد، فلاديمير غيرشونوفيتش (1985). ألجبر هوبفا والقيادة الرائعة يانجا باكستر[ جبر هوبف ومعادلة يانغ-باكستر الكمومية ] . دوكلادي أكاديميي ناوك إس إس إس آر (باللغة الروسية). 283 (5): 1060– 1064.
• درينفيلد، ف. ج. (1987). "تحقيق جديد لليانغيان والجبر الكمومي الأفيني". دوكلادي أكاديميي ناوك إس إس إس آر (باللغة الروسية). 296 (1): 13-17 .مترجم في الرياضيات السوفيتية - دوكلادي . 36 (2): 212– 216. 1988.{{cite journal}}: CS1 maint: untitled periodical ( link )
• درينفيلد، في جي (1986).الجبر المؤثر الجديد جيكي ويانجيان[ جبر هيكي المتحد و يانغيانز ] . Funktsional'nyi Analiz I Ego Prilozheniya (بالروسية). 20 (1): 69 – 70. م 0831053 . زبل 0599.20049 .  تُرجمت في: Drinfeld, VG (1986). "Degenerate affine hecke algebras and Yangians". Functional Analysis and Its Applications . 20 (1): 58–60 . doi : 10.1007/BF01077318 . S2CID 119659066 . 
• موليف، ألكسندر إيفانوفيتش (2007). يانغيان وجبر لي الكلاسيكي . دراسات وأبحاث رياضية. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-4374-1.
• برنارد، دينيس (1993). "مقدمة في تناظرات يانغيان". نظريات الحقول الكمومية التكاملية . سلسلة ناتو ASI. المجلد  310. الصفحات 39-52 . arXiv : hep-th/9211133 . doi : 10.1007/978-1-4899-1516-0_4 . ISBN  978-1-4899-1518-4.
• ماكاي، نيال (2005). "مقدمة في تناظر يانغيان في نظرية الحقول التكاملية". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة أ . 20 (30): 7189-7217 . arXiv : hep-th/0409183 . Bibcode : 2005IJMPA..20.7189M . doi : 10.1142/s0217751x05022317 . S2CID 10256766 . 
• دروموند، جيمس؛ هين، يوهانس؛ بليفكا، يان (2009). "تناظر يانغيان لسعات التشتت في نظرية يانغ-ميلز الفائقة N = 4". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2009 (5): 046. arXiv : 0902.2987 . Bibcode : 2009JHEP...05..046D . doi : 10.1088/1126-6708/2009/05/046 . S2CID 15627964 .