الترميز الإكتواري

معدل الفائدة السنوي الفعلي هو${\displaystyle i}$وهو يعطي عامل النمو لمدة عام واحد${\displaystyle 1+i}$لذا فإن الكمية 1 تصبح${\displaystyle 1+i}$بعد مرور عام واحد و${\displaystyle (1+i)^{n}}$بعد${\displaystyle n}$سنوات. ^{[ 2 ] [ 1 ]} على سبيل المثال، إذا كان المعدل السنوي 5%، فإن${\displaystyle i=0.05}$وينمو المبلغ الحالي 1 إلى${\displaystyle 1.05}$بعد مرور عام واحد و${\displaystyle 1.05^{3}\approx 1.1576}$بعد ثلاث سنوات. ^{[ 5 ]}

معدل فائدة اسمي قابل للتحويل${\displaystyle m}$يُكتب عدد مرات السنة على النحو التالي:${\displaystyle i^{(m)}}$ويرتبط ذلك بمعدل دوري لـ${\displaystyle i^{(m)}/m}$مُطبَّق${\displaystyle m}$مرات خلال السنة، ومعدلها السنوي الفعلي المقابل يفي بـ ${\displaystyle 1+i=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}}$^{[ 2 ]} على سبيل المثال ، مع معدل فائدة اسمي قدره 12% يتم احتسابه شهريًا،${\displaystyle i^{(12)}=0.12}$و${\displaystyle 1+i=\left(1+0.12/12\right)^{12}\approx 1.1268}$وبالتالي فإن المعدل الفعلي السنوي يبلغ حوالي 12.68%. ^{[ 5 ]}

عامل الخصم${\displaystyle v}$القيمة الحالية لمبلغ 1 مستحق الدفع بعد عام واحد من الآن. وهي تساوي${\displaystyle v=(1+i)^{-1}}$[ ^{1 ] بشكل بديهي} ،${\displaystyle v}$هو "سعر اليوم" لدفعة معينة قدرها 1 في سنة واحدة عندما ينمو السوق بمعدل${\displaystyle i}$على مدى سنوات عديدة،${\displaystyle v^{n}}$خصم على دفعة مستحقة في${\displaystyle n}$سنوات. مع${\displaystyle i=5\%}$لدينا${\displaystyle v=1/1.05\approx 0.9524}$و${\displaystyle v^{3}\approx 0.8638}$[ ^{5 ]​}

معدل الخصم السنوي الفعلي هو${\displaystyle d}$يُعرَّف هذا المفهوم بالعلاقة بين المبلغ والقيمة الحالية على مدى عام واحد. وهو يحقق ما يلي:${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}$، لذا${\displaystyle 1-d=v=(1+i)^{-1}}$^{[ 2 ]} من الناحية المفاهيمية ،${\displaystyle d}$هل الكسر "المقتطع" قبل عام واحد من الدفع للوصول إلى نفس القيمة الحالية للفائدة المركبة؟${\displaystyle i}$ابتداءً من اليوم.

معدل خصم اسمي قابل للتحويل${\displaystyle m}$يُكتب عدد مرات في السنة${\displaystyle d^{(m)}}$ويرتبط ذلك بالمعدل الفعلي السنوي من خلال${\displaystyle 1+i=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}}$[ ^{1 ]​}

قوة الاهتمام${\displaystyle \delta }$يمثل هذا المعدل الاسمي الحد الأقصى في ظل زيادة وتيرة التراكم. وهو يوفر تراكمًا مستمرًا عبر ${\displaystyle 1+i=e^{\delta }}$، لذا${\displaystyle \delta =\ln(1+i)}$[ ^{2 ]} مع^​${\displaystyle i=5\%}$يمتلك المرء${\displaystyle \delta \approx \ln(1.05)\approx 0.04879}$.

تلخص هذه العلاقات التحويلات الشائعة بين الأوصاف الفعالة والاسمية والمستمرة لنفس النمو السنوي:

${\displaystyle (1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}}$[ ^{2 ] [ 1 ]​}

يلخص جدول الحياة (أو جدول الوفيات) نمط البقاء على قيد الحياة لمجموعة افتراضية كبيرة، تُسمى عادةً بالفئة العمرية. ويسجل عدد الأحياء في كل عمر محدد، واحتمالات البقاء على قيد الحياة أو الوفاة خلال فترات زمنية محددة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle l_{x}}$هو عدد الأشخاص الأحياء، نسبةً إلى مجموعة أولية، في عمر محدد${\displaystyle x}$مع تقدم العمر، يتناقص عدد الأحياء، وهكذا${\displaystyle l_{x+1}\leq l_{x}}$[ ^{1 ]​}

${\displaystyle l_{0}}$هي القيمة الابتدائية لـ${\displaystyle l_{x}}$يُطلق عليه اسم جذر الجدول، وغالبًا ما يكون عددًا صحيحًا مناسبًا مثل${\displaystyle 10^{5}}$أو${\displaystyle 10^{6}}$[ ^{1 ]​}

${\displaystyle \omega }$يمثل هذا العمر الحد الأقصى للعمر المحدد في الجدول. عند هذا العمر وما بعده، تكون المجموعة قد استُنفدت، لذا${\displaystyle l_{n}=0}$للجميع${\displaystyle n\geq \omega }$[ ^{1 ]​}

${\displaystyle d_{x}}$هو عدد الذين يموتون بين عمرين محددين${\displaystyle x}$و${\displaystyle x+1}$يتم حسابها من جدول الأرواح بواسطة${\displaystyle d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$[ ^{1 ]​}

رسم توضيحي لجدول الحياة

${\displaystyle x}$	${\displaystyle l_{x}}$	${\displaystyle d_{x}}$
0	${\displaystyle l_{0}}$
...	...	...
${\displaystyle x}$	${\displaystyle l_{x}}$	${\displaystyle d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$
${\displaystyle x+1}$	${\displaystyle l_{x+1}}$	${\displaystyle d_{x+1}}$
...	...	...
${\displaystyle \omega -1}$	${\displaystyle l_{\omega -1}}$	${\displaystyle d_{\أوميغا -1}=l_{\أوميغا -1}}$
${\displaystyle \omega }$	0	0

${\displaystyle q_{x}}$هو احتمال أن يعيش شخص عمره${\displaystyle x}$يموت قبل بلوغ سن الرشد${\displaystyle x+1}$. ثم

${\displaystyle q_{x}={\frac {d_{x}}{l_{x}}}}$[ ^{1 ]​}

${\displaystyle p_{x}}$هو احتمال أن يعيش شخص عمره${\displaystyle x}$يعيش حتى سن الشيخوخة${\displaystyle x+1}$. ثم

${\displaystyle p_{x}={\frac {l_{x+1}}{l_{x}}}}$.

بما أن البقاء على قيد الحياة أو الموت هما الاحتمالان الوحيدان على مدار العام،

${\displaystyle p_{x}+q_{x}=1}$[ ^{1 ]​}

تمتد هذه الرموز بشكل طبيعي لتشمل سنوات متعددة عن طريق وضع عدد السنوات في أسفل اليسار. على سبيل المثال،

${\displaystyle {}_{n}d_{x}=l_{x}-l_{x+n}}$

هو عدد الذين يموتون بين سن${\displaystyle x}$و${\displaystyle x+n}$والاحتمالات المقابلة هي

${\displaystyle {}_{n}q_{x}={\frac {{}_{n}d_{x}}{l_{x}}}}$و${\displaystyle {}_{n}p_{x}={\frac {l_{x+n}}{l_{x}}}}$[ ^{1 ]​}

إحصائية أخرى مستمدة من جداول الحياة هي متوسط ​​العمر المتوقع .${\displaystyle e_{x}}$هو العدد المتوقع للسنوات الكاملة من الحياة المستقبلية لشخص يبلغ من العمر${\displaystyle x}$، وهو ما يساوي

${\displaystyle e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }{}_{t}p_{x}}$[ ^{2 ]​}

يُظهر جدول الحياة عادةً${\displaystyle l_{x}}$في الأعمار الصحيحة، بينما تحتاج العديد من النماذج الإكتوارية إلى قيم ضمن السنة. ومن الافتراضات التبسيطية الشائعة التوزيع المنتظم للوفيات ضمن كل سنة عمرية، مما يُتيح الاستيفاء الخطي بين${\displaystyle l_{x}}$و${\displaystyle l_{x+1}}$:

${\displaystyle l_{x+t}=(1-t)l_{x}+t\,l_{x+1}}$ل${\displaystyle 0\leq t<1}$[ ^{1 ]​}

الرمز الأساسي للقيمة الحالية للدفعات الدورية هو${\displaystyle \,a}$ويمكن بعد ذلك إضافة الرموز التالية:

• يشير الرمز الموجود في أعلى اليمين إلى وتيرة الدفع (أي عدد دفعات المعاش التي ستُدفع خلال كل عام). وعدم وجود هذا الرمز يعني أن الدفعات تُدفع سنوياً.
• تشير الملاحظة الموجودة في أسفل اليمين إلى عمر الشخص عند بدء صرف المعاش التقاعدي والفترة التي يتم خلالها صرف المعاش التقاعدي.
• تشير العلامة الموجودة أعلى الرمز الأساسي مباشرةً إلى موعد سداد الدفعات. تشير النقطتان إلى دفعة سنوية تُسدد في بداية كل عام ("دفعة سنوية مستحقة")؛ ويشير الخط الأفقي أعلى الرمز إلى دفعة سنوية تُدفع باستمرار ("دفعة سنوية مستمرة")؛ ولا توجد علامة أعلى الرمز الأساسي تشير إلى دفعة سنوية تُسدد في نهاية كل عام ("دفعة سنوية فورية").

إذا كانت المدفوعات التي تُدفع بموجب عقد المعاش مستقلة عن أي حدث في حياة المستفيد، يُعرف هذا العقد باسم عقد المعاش المحدد . أما إذا كانت المدفوعات تتوقف عند وفاة المستفيد ، فيُطلق عليه اسم عقد المعاش مدى الحياة .

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}}$(يُقرأ a-angle-n at i ) يُمثل القيمة الحالية لدفعات دورية فورية، وهي عبارة عن سلسلة من الدفعات الوحدوية في نهاية كل عام لـ${\displaystyle n}$سنوات (بمعنى آخر: القيمة قبل فترة واحدة من أول دفعة من أصل n دفعة). يتم الحصول على هذه القيمة من:

${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i}}}$

(${\displaystyle i}$(يتطابق المقام مع 'i' في القيمة المباشرة)

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$يمثل القيمة الحالية لدفعات سنوية مستحقة، وهي عبارة عن سلسلة من الدفعات الموحدة في بداية كل عام لـ${\displaystyle n}$سنوات (بمعنى آخر: القيمة عند أول دفعة من أصل n دفعة). يتم الحصول على هذه القيمة من:

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{d}}}$

(${\displaystyle d}$(يتطابق المقام مع 'د' في كلمة due)

${\displaystyle \,s_{{\overline {n|}}i}}$هي القيمة وقت آخر دفعة،${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}}$القيمة بعد فترة واحدة.

إذا كان الرمز${\displaystyle \,(m)}$يُضاف إلى الزاوية العلوية اليمنى، وهو يمثل القيمة الحالية لدفعات سنوية تُدفع كل عام${\displaystyle m}$ثلث السنة لفترة من${\displaystyle n}$سنوات، وكل دفعة هي واحدة${\displaystyle m}$جزء من الوحدة.

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}}$،${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}}$هي القيمة الحدية لـ${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}}$متى${\displaystyle m}$تزداد بلا حدود. يُعرف هذا النوع من الدفعات السنوية بالدفعات السنوية المستمرة .

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}}$

يمكن مقارنة القيم الحالية لهذه المعاشات السنوية على النحو التالي:

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}<a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$

لفهم العلاقات الموضحة أعلاه، ضع في اعتبارك أن التدفقات النقدية المدفوعة في وقت لاحق لها قيمة حالية أقل من التدفقات النقدية التي لها نفس المبلغ الإجمالي والتي يتم دفعها في أوقات سابقة.

• الرمز السفلي${\displaystyle i}$والتي تمثل معدل الفائدة يمكن استبدالها بـ${\displaystyle d}$أو${\displaystyle \delta }$وغالباً ما يتم حذفها إذا كان المعدل معروفاً بوضوح من السياق.
• عند استخدام هذه الرموز، لا يكون معدل الفائدة ثابتًا بالضرورة طوال مدة سداد الدفعات. ومع ذلك، عندما يتغير المعدل، تصبح الصيغ المذكورة أعلاه غير صالحة؛ ويمكن وضع صيغ خاصة لكل تغير في المعدل.

المعاش التقاعدي مدى الحياة هو معاش تقاعدي تعتمد مدفوعاته على استمرار حياة المستفيد. ويُعدّ عمر المستفيد عاملاً مهماً في حساب القيمة الحالية الاكتوارية للمعاش التقاعدي.

• يتم وضع عمر صاحب المعاش التقاعدي في أسفل يمين الرمز، بدون علامة "زاوية".

على سبيل المثال:

${\displaystyle \,a_{65}}$يشير هذا إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة يُدفع في نهاية كل عام حتى الوفاة لشخص يبلغ من العمر حاليًا 65 عامًا

${\displaystyle a_{\overline {10|}}}$يشير هذا إلى دفعة سنوية قدرها وحدة واحدة تُدفع لمدة 10 سنوات، وتُسدد الدفعات في نهاية كل عام.

${\displaystyle a_{65:{\overline {10|}}}}$يشير هذا إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة لمدة 10 سنوات، أو حتى الوفاة أيهما أقرب، لشخص يبلغ من العمر حاليًا 65 عامًا

${\displaystyle a_{65:64}}$يشير هذا إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة في السنة حتى وفاة العضو أو وفاة الزوج/الزوجة، أيهما أقرب، لشخص يبلغ من العمر حاليًا 65 عامًا وزوجه/زوجته يبلغ من العمر 64 عامًا

${\displaystyle a_{\overline {65:64}}}$يشير ذلك إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة في السنة حتى وفاة العضو أو وفاة الزوج/الزوجة، لشخص يبلغ من العمر حاليًا 65 عامًا وزوجه/زوجته يبلغ من العمر 64 عامًا.

${\displaystyle a_{65}^{(12)}}$يشير هذا إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة يُدفع 12 مرة في السنة (1/12 وحدة شهريًا) حتى الوفاة لشخص يبلغ من العمر حاليًا 65 عامًا

${\displaystyle {\ddot {a}}_{65}}$يشير هذا إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة يُدفع في بداية كل عام حتى الوفاة لشخص يبلغ من العمر حاليًا 65 عامًا

أو بشكل عام:

${\displaystyle a_{x:{\overline {n|}}i}^{(m)}}$، أين${\displaystyle x}$هو عمر صاحب المعاش التقاعدي،${\displaystyle n}$هو عدد سنوات الدفعات (أو حتى الوفاة إذا كان ذلك قبل ذلك)،${\displaystyle m}$يمثل عدد الدفعات في السنة، و${\displaystyle i}$هو معدل الفائدة.

من أجل التبسيط، فإن الترميز محدود ولا يوضح، على سبيل المثال، ما إذا كان المعاش السنوي مستحق الدفع لرجل أو امرأة (وهي حقيقة يتم تحديدها عادة من السياق، بما في ذلك ما إذا كان جدول الحياة يستند إلى معدلات وفيات الذكور أو الإناث).

يمكن التعامل مع القيمة الحالية الاكتوارية للمدفوعات المشروطة بالحياة على أنها التوقع الرياضي لمتغير عشوائي للقيمة الحالية، أو يتم حسابها من خلال شكل الدفع الحالي.

الرمز الأساسي للتأمين على الحياة هو${\displaystyle \,A}$ويمكن بعد ذلك إضافة الرموز التالية:

• تشير العلامة في أعلى اليمين إلى توقيت دفع استحقاقات الوفاة. عدم وجود علامة يعني أن الدفعات تتم في نهاية عام الوفاة. الرقم بين قوسين (على سبيل المثال)${\displaystyle A^{(12)}}$) يعني أن الاستحقاق مستحق الدفع في نهاية الفترة المشار إليها (12 شهريًا؛ 4 ربع سنويًا؛ 2 نصف سنويًا؛ 365 يوميًا).
• تشير الملاحظة الموجودة في أسفل اليمين إلى عمر الشخص عند بدء سريان التأمين على الحياة.
• تشير العلامة الموجودة أعلى الرمز الأساسي مباشرةً إلى نوع التأمين على الحياة، سواء كان الدفع مستحقًا في نهاية المدة أو فورًا. يشير الخط الأفقي إلى التأمين على الحياة المستحق فورًا، بينما عدم وجود علامة أعلى الرمز يشير إلى أن الدفع سيتم في نهاية المدة المحددة.

على سبيل المثال:

${\displaystyle \,A_{x}}$يشير ذلك إلى استحقاق تأمين على الحياة بقيمة 1 يُدفع في نهاية عام الوفاة.

${\displaystyle \,A_{x}^{(12)}}$يشير ذلك إلى استحقاق تأمين على الحياة بقيمة 1 يُدفع في نهاية شهر الوفاة.

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}}$يشير ذلك إلى استحقاق تأمين على الحياة بقيمة 1 يُدفع في اللحظة (الرياضية) للوفاة.

الرمز الأساسي للعلامة المميزة هو${\displaystyle \,P}$أو ${\displaystyle \,\pi }$.${\displaystyle \,P}$يشير عموماً إلى صافي الأقساط السنوية،${\displaystyle \,\pi }$إلى علاوات خاصة، كعلاوة فريدة.

يسرد الجدول أدناه الأحرف الرئيسية التي تظهر في مجالات العمل والتمويل المرتبطة بالحياة، مع شروح موجزة؛ ترد التفاصيل والاختلافات في الأقسام التالية. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

رمز	المعنى النموذجي (باللغة الإنجليزية البسيطة)
${\displaystyle i}$	معدل الفائدة الفعلي لكل فترة
${\displaystyle v=(1+i)^{-1}}$	عامل الخصم لكل فترة
${\displaystyle d={\tfrac {i}{1+i}}}$	معدل الخصم لكل فترة
${\displaystyle \delta }$	قوة الفائدة (التراكم المستمر)
${\displaystyle l_{x}}$،${\displaystyle d_{x}}$	عدد الأحياء في سن${\displaystyle x}$الوفيات بين الأعمار${\displaystyle x}$و${\displaystyle x+1}$
${\displaystyle p_{x}}$،${\displaystyle q_{x}}$	احتمالية البقاء على قيد الحياة لمدة عام واحد من عمر${\displaystyle x}$احتمال الوفاة خلال سنة واحدة من العمر${\displaystyle x}$
${\displaystyle a}$،${\displaystyle {\ddot {a}}}$	القيمة الحالية لدفعات دورية فورية؛ القيمة الحالية لدفعات دورية مستحقة
${\displaystyle s}$،${\displaystyle {\ddot {s}}}$	القيمة المتراكمة لدفعات دورية فورية؛ القيمة المتراكمة لدفعات دورية مستحقة
${\displaystyle A_{x}}$،${\displaystyle {\overline {A}}_{x}}$	القيمة الحالية لتأمين على الحياة يُدفع في نهاية عام الوفاة؛ القيمة الحالية عند استحقاق الدفع في لحظة الوفاة
${\displaystyle P}$،${\displaystyle V}$	معدل القسط الصافي؛ قيمة الوثيقة المستقبلية أو السابقة