تحليل البقاء

تُستخدم المصطلحات التالية بشكل شائع في تحليلات البقاء على قيد الحياة: ^{[ 3 ]}

• الحدث: الوفاة، أو الإصابة بمرض، أو عودة المرض، أو الشفاء، أو أي تجربة أخرى ذات أهمية
• الوقت: الوقت من بداية فترة الملاحظة (مثل الجراحة أو بدء العلاج) إلى (1) حدث ما، أو (2) نهاية الدراسة، أو (3) فقدان الاتصال أو الانسحاب من الدراسة.
• الرقابة / الملاحظة الخاضعة للرقابة: تحدث الرقابة عندما تتوفر لدينا معلومات حول مدة بقاء الفرد، ولكننا لا نعرف مدة البقاء بدقة. يُعتبر الفرد خاضعًا للرقابة بمعنى أنه لا يُلاحظ أو يُعرف عنه شيء بعد انتهاء فترة الرقابة. قد يحدث حدث ما للفرد الخاضع للرقابة بعد انتهاء فترة الملاحظة، أو قد لا يحدث.
• دالة البقاء S(t): احتمال أن يعيش الشخص لفترة أطول من الزمن t.

يستخدم هذا المثال مجموعة بيانات البقاء على قيد الحياة لسرطان الدم النخاعي الحاد "aml" من حزمة "survival" في R. مجموعة البيانات مأخوذة من ميلر (1997) ^{[ 4 ]} والسؤال هو ما إذا كان ينبغي تمديد المسار القياسي للعلاج الكيميائي ("المحافظة عليه") لدورات إضافية.

تظهر مجموعة بيانات سرطان الدم النخاعي الحاد مرتبة حسب مدة البقاء على قيد الحياة في المربع.

• يُشار إلى الوقت بالمتغير "time"، وهو وقت البقاء أو وقت الرقابة
• يُشار إلى الحدث (عودة سرطان الدم النخاعي الحاد) بالمتغير "الحالة". 0  = لا يوجد حدث (مراقبة)، 1  = حدث (عودة).
• مجموعة العلاج: يشير المتغير "x" إلى ما إذا تم إعطاء العلاج الكيميائي الوقائي

تم استبعاد آخر مشاهدة (11)، عند الأسبوع 161. يشير الاستبعاد إلى أن المريض لم يُعانِ من أي حدث (أي لم تحدث انتكاسة لسرطان الدم النخاعي الحاد). كما تم استبعاد مشاهدة مريض آخر، وهو المشاهدة رقم 3، عند الأسبوع 13 (كما هو موضح بالحالة = 0). شارك هذا المريض في الدراسة لمدة 13 أسبوعًا فقط، ولم تحدث انتكاسة لسرطان الدم النخاعي الحاد خلال هذه الفترة. من المحتمل أن يكون هذا المريض قد انضم للدراسة قرب نهايتها، مما أتاح متابعته لمدة 13 أسبوعًا فقط. ومن المحتمل أيضًا أن يكون قد انضم للدراسة في وقت مبكر، ولكن فُقدت متابعته أو انسحب منها. يُظهر الجدول أن مشاهدات أخرى تم استبعادها عند الأسابيع 16 و28 و45 (المشاهدات 17 و6 و  9، والحالة = 0). أما بقية المشاركين، فقد عانوا جميعًا من أحداث (انتكاسة لسرطان الدم النخاعي الحاد) أثناء مشاركتهم في الدراسة. والسؤال المطروح هو: هل تحدث الانتكاسة في وقت لاحق لدى المرضى الذين يتلقون العلاج المستمر مقارنةً بالمرضى الذين لا يتلقونه؟

اختبار لوغ رانك: اختبار الاختلافات في معدلات البقاء على قيد الحياة في بيانات ابيضاض الدم النخاعي الحاد

يقارن اختبار رتبة السجل أوقات البقاء على قيد الحياة لمجموعتين أو أكثر. ^{[ 6 ]} يستخدم هذا المثال اختبار رتبة السجل للتحقق من وجود فرق في البقاء على قيد الحياة بين مجموعتي العلاج المستمر وغير المستمر في بيانات ابيضاض الدم النخاعي الحاد. يوضح الرسم البياني مخططات كابلان-ماير لبيانات ابيضاض الدم النخاعي الحاد مصنفة حسب مجموعة العلاج، المشار إليها بالمتغير "x" في البيانات.

الفرضية الصفرية لاختبار رتبة السجل هي أن المجموعات لها نفس معدل البقاء على قيد الحياة. يتم تعديل العدد المتوقع للأفراد الباقين على قيد الحياة عند كل نقطة زمنية في كل مجموعة وفقًا لعدد الأفراد المعرضين للخطر في كل مجموعة عند كل وقت حدث. يحدد اختبار رتبة السجل ما إذا كان عدد الأحداث الملاحظ في كل مجموعة يختلف اختلافًا معنويًا عن العدد المتوقع. ^{[ 7 ]} يعتمد الاختبار الرسمي على إحصائية مربع كاي. عندما تكون إحصائية رتبة السجل كبيرة، فهذا دليل على وجود فرق في أوقات البقاء على قيد الحياة بين المجموعات. تمتلك إحصائية رتبة السجل تقريبًا توزيع مربع كاي بدرجة حرية واحدة، ويتم حساب قيمة الاحتمال باستخدام اختبار مربع كاي .

بالنسبة لبيانات المثال، يُعطي اختبار لوغ رانك للفرق في معدل البقاء قيمة احتمالية (p-value) تساوي 0.0653، مما يشير إلى عدم وجود فرق معنوي بين مجموعات العلاج في معدل البقاء، بافتراض مستوى دلالة إحصائية (ألفا) قدره 0.05. يُعد حجم العينة (23 فردًا) صغيرًا، لذا فإن القدرة على رصد الفروق بين مجموعات العلاج محدودة. يعتمد اختبار مربع كاي على التقريب التقاربي، لذا يجب التعامل مع قيمة الاحتمالية (p-value) بحذر في حالة أحجام العينات الصغيرة . ^{[ 8 ]}

تُعدّ منحنيات كابلان-ماير واختبارات الرتبة اللوغاريتمية مفيدةً للغاية عندما يكون المتغير التنبؤي فئويًا (مثل الدواء مقابل الدواء الوهمي)، أو يأخذ عددًا قليلًا من القيم (مثل جرعات الدواء 0، 20، 50، و100  ملغ/يوم) التي يمكن التعامل معها كمتغيرات فئوية. ^{[ 9 ]} لا يُجدي اختبار الرتبة اللوغاريتمية ومنحنيات كابلان-ماير نفعًا مع المتغيرات التنبؤية الكمية مثل التعبير الجيني، أو تعداد خلايا الدم البيضاء، أو العمر. بالنسبة للمتغيرات التنبؤية الكمية، يُعدّ تحليل انحدار المخاطر النسبية لكوكس طريقةً بديلة . تعمل نماذج كوكس للمخاطر النسبية أيضًا مع المتغيرات التنبؤية الفئوية، والتي تُشفّر كمتغيرات مؤشرية أو وهمية {0،1}. يُعدّ اختبار الرتبة اللوغاريتمية حالةً خاصةً من تحليل كوكس للمخاطر النسبية، ويمكن إجراؤه باستخدام برنامج كوكس للمخاطر النسبية.

مثال: تحليل انحدار المخاطر النسبية لكوكس لسرطان الجلد الميلانيني

يستخدم هذا المثال مجموعة بيانات سرطان الجلد من الفصل 14 من كتاب دالغارد. ^{[ 10 ]}

البيانات موجودة في حزمة ISwR الخاصة ببرنامج R. ويُظهر تحليل انحدار المخاطر النسبية لكوكس باستخدام  برنامج R النتائج الموضحة في المربع.

تُفسر نتائج تحليل انحدار كوكس على النحو التالي.

• يُرمز للجنس كمتجه رقمي (1: أنثى، 2: ذكر).  يُظهر ملخص R لنموذج كوكس نسبة المخاطر (HR) للمجموعة الثانية مقارنةً بالمجموعة الأولى، أي الذكور مقابل الإناث.
• coef = 0.662 هو اللوغاريتم المقدر لنسبة الخطر للذكور مقابل الإناث.
• exp(coef) = 1.94 = exp(0.662) - يتم تحويل لوغاريتم نسبة المخاطر (coef= 0.662) إلى نسبة المخاطر باستخدام exp(coef). يُلخص نموذج كوكس نسبة المخاطر للمجموعة الثانية مقارنةً بالمجموعة الأولى، أي الذكور مقابل الإناث. تشير نسبة المخاطر المُقدَّرة البالغة 1.94 إلى أن الذكور أكثر عرضةً للوفاة (معدلات بقاء أقل) من الإناث، وفقًا لهذه البيانات.
• se(coef) = 0.265 هو الخطأ المعياري لنسبة المخاطر اللوغاريتمية.
• z = 2.5 = coef/se(coef) = 0.662/0.265. قسمة المعامل على خطأه المعياري تعطي قيمة z.
• p=0.013. قيمة p المقابلة لـ z=2.5 للجنس هي p=0.013، مما يشير إلى وجود فرق كبير في البقاء على قيد الحياة كدالة للجنس.

كما يقدم الناتج الموجز فترات الثقة العليا والدنيا بنسبة 95٪ لنسبة المخاطر: الحد الأدنى بنسبة 95٪ = 1.15؛ الحد الأعلى بنسبة 95٪ = 3.26.

وأخيرًا، تُعطي النتائج قيم p لثلاثة اختبارات بديلة للأهمية الإجمالية للنموذج:

• اختبار نسبة الاحتمال = 6.15 على درجة حرية واحدة، قيمة الاحتمال = 0.0131
• اختبار والد = 6.24 على درجة حرية واحدة، قيمة الاحتمال = 0.0125
• نتيجة اختبار (log-rank) = 6.47 على درجة حرية واحدة، قيمة p = 0.0110

هذه الاختبارات الثلاثة متكافئة تقاربياً. بالنسبة لحجم عينة كبير بما يكفي (N)، ستعطي نتائج متقاربة. أما بالنسبة لحجم عينة صغير (N)، فقد تختلف النتائج قليلاً. السطر الأخير، "اختبار النتيجة (لوغاريتم الرتبة)"، هو نتيجة اختبار لوغاريتم الرتبة، بقيمة احتمالية (p) تساوي 0.011، وهي نفس نتيجة اختبار لوغاريتم الرتبة، لأن اختبار لوغاريتم الرتبة هو حالة خاصة من انحدار كوكس النسبي للمخاطر. يتميز اختبار نسبة الاحتمال بأداء أفضل مع أحجام العينات الصغيرة، لذا يُفضل استخدامه عموماً.

نموذج كوكس باستخدام متغير مشترك في بيانات الورم الميلانيني

يُوسّع نموذج كوكس اختبار الرتبة اللوغاريتمية من خلال السماح بإدراج متغيرات مشتركة إضافية. ^{[ 11 ]} يستخدم هذا المثال مجموعة بيانات الورم الميلانيني حيث تتضمن متغيرات التنبؤ متغيرًا مشتركًا مستمرًا، وهو سُمك الورم (اسم المتغير = "thick").

في المدرجات التكرارية، تظهر قيم السُمك انحرافًا موجبًا ، ولا تتبع توزيعًا احتماليًا متماثلًا يشبه التوزيع الطبيعي . تُعطي نماذج الانحدار، بما فيها نموذج كوكس، نتائج أكثر موثوقية مع المتغيرات ذات التوزيع الطبيعي. في هذا المثال، قد نستخدم التحويل اللوغاريتمي . يبدو أن لوغاريتم سُمك الورم أقرب إلى التوزيع الطبيعي، لذا ستستخدم نماذج كوكس لوغاريتم السُمك. يُظهر تحليل كوكس للمخاطر النسبية باستخدام لغة R النتائج الموضحة أدناه.

مكتبة ( ISwR ) # CRAN الإصدار 2.0-11 مكتبة ( survival ) # CRAN الإصدار 3.8-3# تشغيل تحليل كوكس للمخاطر النسبية لمجموعة بيانات سرطان الجلد الميلانيني مع متغير مشترك هو لوغاريتم سمك الورم f <- coxph ( Surv ( days , status == 1 ) ~ sex + log ( thick ), data = melanom )# عرض ملخص مخرجات Cox PH ( f ) # الاستدعاء: # coxph(formula = Surv(days, status == 1) ~ sex + log(thick), data = melanom) # # n= 205, عدد الأحداث= 57 # # coef exp(coef) se(coef) z Pr(>|z|) # sex 0.4580 1.5809 0.2687 1.705 0.0883 . # log(thick) 0.7809 2.1834 0.1573 4.963 6.94e-07 *** # --- # رموز الدلالة: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 # # exp(coef) exp(-coef) الحد الأدنى 0.95 الحد الأعلى 0.95 # الجنس 1.581 0.6326 0.9337 2.677 # log(thick) 2.183 0.4580 1.6040 2.972 # # التوافق = 0.749 (الخطأ المعياري = 0.033) # اختبار نسبة الاحتمال = 33.45 على درجتي حرية، قيمة p = 5e-08 # اختبار والد = 31 على درجتي حرية، قيمة p = 2e-07 # اختبار النتيجة (لوغرانك) = 32.52 على درجتي حرية، قيمة p = 9e-08

كانت قيمة p لجميع الاختبارات الثلاثة الإجمالية (الاحتمالية، ووالد، والنتيجة) دالة إحصائيًا، مما يشير إلى أن النموذج ذو دلالة إحصائية. قيمة p لـ${\displaystyle \log({\text{thick}})}$يكون6.94 × 10 ⁻⁷ ، مع نسبة خطر${\displaystyle HR=\exp({\text{coef}})=2.183}$مما يشير إلى وجود علاقة قوية بين سمك الورم وزيادة خطر الوفاة.

في المقابل، قيمة p لـ${\displaystyle {\text{sex}}}$هو الآن${\displaystyle p=0.088}$نسبة الخطر${\displaystyle HR=\exp({\text{coef}})=1.581}$، مع فاصل ثقة بنسبة 95% يتراوح بين 0.9337 و2.677. ولأن فاصل الثقة لنسبة المخاطر يشمل الرقم 1، فإن هذه النتائج تشير إلى أن الجنس يُسهم بشكل أقل في الفرق في نسبة المخاطر بعد ضبط سُمك الورم. تم فحص الرسوم البيانية لـ${\displaystyle log({\text{thick}})}$حسب الجنس واختبار t لـ${\displaystyle log({\text{thick}})}$يشير كلا الجنسين إلى وجود فرق كبير بين الرجال والنساء في سمك الورم عند رؤيتهم للطبيب لأول مرة.

يفترض نموذج كوكس أن المخاطر متناسبة. ويمكن اختبار هذا الافتراض باستخدام  دالة R cox.zph()من حزمة survival R. وتشير قيمة p الأقل من 0.05 إلى أن المخاطر غير متناسبة.

cox.zph ( f ) # chisq df p # sex 1.33 1 0.248 # log(thick) 6.23 1 0.013 # GLOBAL 6.70 2 0.035

بالنسبة لبيانات سرطان الجلد، نحصل على${\displaystyle p=0.248}$بالنسبة للجنس. وبالتالي، لا يمكننا رفض الفرضية الصفرية القائلة بأن مخاطر الجنس متناسبة.

يُعد نموذج انحدار كوكس النسبي للمخاطر نموذجًا خطيًا. وهو مشابه للانحدار الخطي والانحدار اللوجستي. تحديدًا، تفترض هذه الطرق أن خطًا واحدًا أو منحنى أو مستوى أو سطحًا واحدًا يكفي لفصل المجموعات (الأحياء، الأموات) أو لتقدير استجابة كمية (مدة البقاء).

في بعض الحالات، تُتيح التقسيمات البديلة تصنيفًا أو تقديرات كمية أكثر دقة. ومن بين هذه الطرق البديلة نماذج البقاء ذات البنية الشجرية، ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} بما في ذلك غابات البقاء العشوائية. ^{[ 15 ]} قد تُعطي نماذج البقاء ذات البنية الشجرية تنبؤات أكثر دقة من نماذج كوكس. ويُعدّ فحص كلا النوعين من النماذج لمجموعة بيانات مُحددة استراتيجيةً مُجدية.

مثال على تحليل شجرة البقاء

يستخدم هذا المثال لتحليل شجرة البقاء  حزمة "rpart" في لغة البرمجة R. ^{[ 16 ]} يستند المثال إلى بيانات 146  مريضًا بسرطان البروستاتا في المرحلة C، والموجودة في مجموعة البيانات stagec ضمن حزمة rpart. وُصفت حزمة rpart ومثال stagec في دراسة أتكينسون وثيرنو (1997)، ^{[ 17 ]} والتي تُوزع أيضًا كملحق لحزمة rpart. ^{[ 16 ]}

المتغيرات في المراحل هي:

• pgtime : الوقت اللازم لتطور الحالة، أو آخر متابعة خالية من تطور الحالة.
• pgstat : الحالة عند آخر متابعة (1=متقدم، 0=خاضع للرقابة)
• العمر : العمر عند التشخيص
• العلاج الهرموني المبكر (1=لا، 0=نعم)
• التعدد الصبغي : نمط الحمض النووي ثنائي/رباعي/غير منتظم الصبغيات
• g2 :  نسبة الخلايا في طور G2
• الدرجة : درجة الورم (1-4)
• غليسون : درجة غليسون (3-10)

يظهر الشكل شجرة البقاء التي تم إنتاجها من خلال التحليل.

يمثل كل فرع في الشجرة تقسيمًا لقيمة متغير ما. على سبيل المثال، يقسم جذر الشجرة الطلاب الحاصلين على درجة أقل من 2.5 إلى طلاب حاصلين على درجة 2.5 أو أعلى. تشير العقد الطرفية إلى عدد الطلاب في العقدة، وعدد الطلاب الذين تعرضوا لأحداث، ومعدل حدوث هذه الأحداث مقارنةً بالجذر. في العقدة الموجودة في أقصى اليسار، تشير القيمة 1/33 إلى أن طالبًا واحدًا من أصل 33 طالبًا في العقدة قد تعرض لحدث، وأن معدل حدوث هذه الأحداث هو 0.122. في العقدة الموجودة في أسفل اليمين، تشير القيمة 11/15 إلى أن 11 طالبًا من أصل 15 طالبًا في العقدة قد تعرضوا لحدث، وأن معدل حدوث هذه الأحداث هو 2.7.

امتدت التطورات الحديثة في مجال التعلم العميق للتمثيل إلى تقدير البقاء. يقترح نموذج DeepSurv ^{[ 19 ]} استبدال المعلمة اللوغاريتمية الخطية لنموذج CoxPH بشبكة عصبية متعددة الطبقات. وتتضمن امتدادات أخرى، مثل Deep Survival Machines ^{[ 20 ]} وDeep Cox Mixtures ^{[ 21 ]} ، استخدام نماذج خليط المتغيرات الكامنة لنمذجة توزيع الوقت حتى وقوع الحدث كمزيج من التوزيعات البارامترية أو شبه البارامترية، مع التعلم المشترك لتمثيلات المتغيرات المصاحبة المدخلة. وقد أظهرت مناهج التعلم العميق أداءً فائقًا، لا سيما على أنماط بيانات الإدخال المعقدة، مثل الصور والسلاسل الزمنية السريرية.

إن موضوع الاهتمام الأساسي هو دالة البقاء ، والتي يُرمز لها اصطلاحًا بالرمز S ، والتي تُعرَّف على النحو التالي:$${\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)}$$ حيث t هو زمن ما، و T متغير عشوائي يدل على وقت الوفاة، أو بشكل أعم، أي حدث، و"Pr" يرمز إلى الاحتمال . أي أن دالة البقاء هي احتمال حدوث حدث ما بعد زمن محدد t . ^{[ 7 ]} تُسمى دالة البقاء أيضًا دالة الناجي أو دالة البقاء في مسائل البقاء البيولوجي، ودالة الموثوقية في مسائل البقاء الميكانيكي. ^{[ 22 ]} في الحالة الأخيرة، يُرمز لدالة الموثوقية بـ R ( t ).

عادة ما يفترض المرء أن S (0) = 1، على الرغم من أنه قد يكون أقل من 1  إذا كان هناك احتمال للموت الفوري أو الفشل.

يجب أن تكون دالة البقاء غير متزايدة: S ( u ) ≤ S ( t ) إذا كان u ≥ t . وتنتج هذه الخاصية مباشرةً لأن T > u يستلزم T > t . وهذا يعكس فكرة أن البقاء على قيد الحياة حتى سن متأخرة ممكن فقط إذا تم بلوغ جميع الأعمار الأصغر. وبناءً على هذه الخاصية، فإن دالة توزيع العمر وكثافة الحدث ( F و f أدناه) تكونان محددتين جيدًا. ^{[ 2 ]}

يُفترض عادةً أن دالة البقاء تقترب من الصفر مع ازدياد العمر بلا حدود (أي، S ( t ) → 0 عندما t → ∞)، مع أن هذه النهاية قد تكون أكبر من الصفر إذا كان الخلود ممكنًا. على سبيل المثال، يمكننا تطبيق تحليل البقاء على خليط من نظائر الكربون المستقرة وغير المستقرة ؛ فالنظائر غير المستقرة ستتحلل عاجلاً أم آجلاً، بينما ستبقى النظائر المستقرة إلى الأبد.

يتم تعريف الكميات المرتبطة بدلالة دالة البقاء.

تُعرَّف دالة توزيع العمر ، والتي يُشار إليها عادةً بالرمز F ، بأنها مكمل دالة البقاء.

$${\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t)=1-S(t).}$$ إذا كانت F قابلة للتفاضل، فإن المشتقة، وهي دالة كثافة توزيع العمر، يُرمز لها اصطلاحًا بـ f .

$${\displaystyle f(t)=F'(t)={\frac {d}{dt}}F(t).}$$تُسمى الدالة f أحيانًا بكثافة الأحداث ؛ وهي معدل أحداث الوفاة أو الفشل لكل وحدة زمنية.

يمكن التعبير عن دالة البقاء بدلالة دوال التوزيع الاحتمالي ودوال الكثافة الاحتمالية

$${\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=1-F(t).}$$ وبالمثل، يمكن تعريف دالة كثافة أحداث البقاء على النحو التالي:

$${\displaystyle s(t)=S'(t)={\frac {d}{dt}}S(t)={\frac {d}{dt}}\int _{t}^{\infty }f(u)\,du={\frac {d}{dt}}[1-F(t)]=-f(t).}$$ في مجالات أخرى، مثل الفيزياء الإحصائية، تُعرف دالة كثافة حدث البقاء باسم كثافة وقت المرور الأول .

دالة المخاطرة${\displaystyle h}$يُعرَّف بأنه معدل حدوث الحدث في وقت معين${\displaystyle t,}$بشرط البقاء على قيد الحياة في ذلك الوقت${\displaystyle t.}$

تشمل المرادفات لدالة الخطر في مختلف المجالات معدل الخطر، ودالة الشدة، ^{[ 23 ]} وقوة الوفيات ( في علم السكان وعلم الإحصاءات الاكتوارية ، ويرمز لها بـ${\displaystyle \mu }$قوة الفشل، أو معدل الفشل ( في الهندسة ، يُشار إليه بـ${\displaystyle \lambda }$على سبيل المثال، في علم الإكتوارية،${\displaystyle \mu (x)}$يشير إلى معدل الوفيات للأشخاص الذين تبلغ أعمارهم${\displaystyle x}$أما في هندسة الموثوقية${\displaystyle \lambda (t)}$يشير إلى معدل فشل المكونات بعد التشغيل لفترة زمنية${\displaystyle t}$.

تمثل دالة الخطر احتمال تعرض شخص ما لحدث ما في الفترة الزمنية القصيرة التالية، مقسومًا على طول هذه الفترة، بافتراض أنه قد نجا حتى وقت معين.${\displaystyle t}$[ ^{23 ]} يمكن كتابة ذلك رسميًا على النحو التالي ^:

$${\displaystyle h(t)=\lim _{dt\rightarrow 0}{\frac {\Pr(t<T<t+dt|T>t)}{dt}}=\lim _{dt\rightarrow 0}{\frac {\Pr(t<T<t+dt)}{dt\cdot S(t)}}={\frac {f(t)}{S(t)}}=-{\frac {S'(t)}{S(t)}},}$$

حيث نظرية بايز ، وتحديد${\displaystyle \Pr(T>t)}$تم استخدام دالة البقاء في المساواة الأولى، وتعريف دالة الكثافة لتوزيع العمر في المساواة الثانية.

أي وظيفة${\displaystyle h}$تُعتبر دالة خطر إذا وفقط إذا استوفت الخصائص التالية:

1. ${\displaystyle \forall x\geq 0\left(h(x)\geq 0\right)}$،
2. ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }h(x)dx=\infty }$.

في الواقع، عادةً ما يكون معدل الخطر أكثر إفادة بشأن الآلية الأساسية للفشل من التمثيلات الأخرى لتوزيع العمر الافتراضي.

يجب أن تكون دالة المخاطر غير سالبة،${\displaystyle \lambda (t)\geq 0}$، وتكاملها على${\displaystyle [0,\infty ]}$يجب أن تكون لانهائية، ولكنها غير مقيدة بأي شكل آخر؛ فقد تكون متزايدة أو متناقصة، أو غير رتيبة، أو غير متصلة. ومن الأمثلة على ذلك دالة المخاطرة على شكل منحنى حوض الاستحمام ، والتي تكون كبيرة بالنسبة للقيم الصغيرة لـ${\displaystyle t}$، تنخفض إلى حد أدنى معين، ثم تزداد مرة أخرى؛ وهذا يمكن أن يمثل خاصية بعض الأنظمة الميكانيكية إما أن تفشل بعد فترة وجيزة من التشغيل، أو بعد ذلك بوقت طويل، مع تقدم عمر النظام.

يمكن تمثيل دالة المخاطر بدلاً من ذلك بدلالة دالة المخاطر التراكمية ، والتي يُشار إليها عادةً بـ${\displaystyle \Lambda }$أو${\displaystyle H}$:

$${\displaystyle \,\Lambda (t)=-\log S(t)}$$ لذا يتم تبديل الإشارات ورفعها إلى الأسس

$${\displaystyle \,S(t)=\exp(-\Lambda (t))}$$ أو التفاضل (باستخدام قاعدة السلسلة)

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Lambda (t)=-{\frac {S'(t)}{S(t)}}=\lambda (t).}$$ يُشتق اسم "دالة المخاطر التراكمية" من حقيقة أن

$${\displaystyle \Lambda (t)=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,du}$$ وهو ما يُعرف بـ "تراكم" الخطر بمرور الوقت.

من تعريف${\displaystyle \Lambda (t)}$نلاحظ أنها تزداد بلا حدود عندما يؤول t إلى اللانهاية (بافتراض أن${\displaystyle S(t)}$(يؤول إلى الصفر). وهذا يعني أن${\displaystyle \lambda (t)}$يجب ألا ينخفض ​​بسرعة كبيرة، لأنه بحكم التعريف، يجب أن يتباعد الخطر التراكمي. على سبيل المثال،${\displaystyle \exp(-t)}$ليست دالة المخاطر لأي توزيع للبقاء، لأن تكاملها يتقارب إلى 1.

دالة البقاء${\displaystyle S(t)}$دالة المخاطر التراكمية${\displaystyle \Lambda (t)}$الكثافة${\displaystyle f(t)}$دالة المخاطرة${\displaystyle \lambda (t)}$ودالة توزيع العمر${\displaystyle F(t)}$ترتبط من خلال $${\displaystyle S(t)=\exp[-\Lambda (t)]={\frac {f(t)}{\lambda (t)}}=1-F(t),\quad t>0.}$$

العمر المستقبلي في وقت معين${\displaystyle t_{0}}$هو الوقت المتبقي حتى الوفاة، بافتراض البقاء على قيد الحياة حتى سن معينة.${\displaystyle t_{0}}$وبالتالي، فهو${\displaystyle T-t_{0}}$في الصيغة الحالية. العمر المتوقع في المستقبل هو القيمة المتوقعة للعمر المتوقع في المستقبل. احتمال الوفاة عند أو قبل سن${\displaystyle t_{0}+t}$، بافتراض البقاء على قيد الحياة حتى سن${\displaystyle t_{0}}$، هو فقط

$${\displaystyle P(T\leq t_{0}+t\mid T>t_{0})={\frac {P(t_{0}<T\leq t_{0}+t)}{P(T>t_{0})}}={\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}.}$$ وبالتالي، فإن كثافة احتمال العمر المستقبلي هي

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}={\frac {f(t_{0}+t)}{S(t_{0})}}}$$ والعمر المتوقع في المستقبل هو

$${\displaystyle {\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{0}^{\infty }t\,f(t_{0}+t)\,dt={\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{t_{0}}^{\infty }S(t)\,dt,}$$ حيث يتم الحصول على التعبير الثاني باستخدام التكامل بالتجزئة .

ل${\displaystyle t_{0}=0}$أي أن هذا يتقلص عند الولادة إلى العمر المتوقع.

في مشاكل الموثوقية، يُطلق على العمر المتوقع اسم متوسط ​​الوقت حتى الفشل ، ويُطلق على العمر المتوقع في المستقبل اسم متوسط ​​العمر المتبقي .

بما أن احتمال بقاء الفرد على قيد الحياة حتى سن t أو ما بعدها هو S ( t )، فإن العدد المتوقع للناجين عند سن t من بين مجموعة أولية مكونة من n مولودًا جديدًا هو n × S ( t )، بافتراض دالة البقاء نفسها لجميع الأفراد. وبالتالي، فإن النسبة المتوقعة للناجين هي S ( t ). إذا كان بقاء الأفراد المختلفين على قيد الحياة مستقلًا، فإن عدد الناجين عند سن t يتبع توزيعًا ثنائيًا بمعاملات n و S ( t )، ويكون تباين نسبة الناجين هو S ( t ) × (1 - S ( t )) / n .

يمكن إيجاد العمر الذي تبقى فيه نسبة معينة من الناجين بحل المعادلة S ( t ) = q لـ t ، حيث q هي النسبة المئوية المطلوبة. عادةً ما يكون الاهتمام منصباً على متوسط ​​العمر ، الذي تكون فيه q = 1/2، أو نسب مئوية أخرى مثل q = 0.90 أو q = 0.99.