الفائدة المركبة

إجمالي القيمة المتراكمة، بما في ذلك المبلغ الأساسي${\displaystyle P}$بالإضافة إلى الفائدة المركبة${\displaystyle I}$، ويتم حسابها بالصيغة التالية: ^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

أين:

• أ هو المبلغ النهائي
• P هو المجموع الرئيسي الأصلي
• r هو معدل الفائدة السنوي الاسمي
• n هو معدل التراكم (1: سنويًا، 12: شهريًا، 52: أسبوعيًا، 365: يوميًا) ^{[ 10 ]}
• يمثل t إجمالي المدة الزمنية التي يتم فيها تطبيق الفائدة (يتم التعبير عنها باستخدام نفس وحدات الوقت مثل r ، وعادة ما تكون سنوات).

إجمالي الفائدة المركبة المتولدة هو المبلغ النهائي مطروحًا منه رأس المال الأولي، لأن المبلغ النهائي يساوي رأس المال بالإضافة إلى الفائدة: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}-P}$$

بما أن رأس المال الأساسي P هو مجرد معامل، فإنه يُحذف غالبًا للتبسيط، ويُستخدم بدلًا منه دالة التراكم الناتجة . تُظهر دالة التراكم قيمة الدولار الواحد بعد أي فترة زمنية. دالة التراكم للفائدة المركبة هي:$${\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

عندما يزداد عدد فترات التراكم في السنة بلا حدود، يحدث التراكم المستمر، وفي هذه الحالة يقترب المعدل السنوي الفعلي من حد أقصى قدره e ^r − 1. يمكن اعتبار التراكم المستمر بمثابة جعل فترة التراكم صغيرة للغاية، ويتحقق ذلك بأخذ النهاية عندما يؤول n إلى اللانهاية . يمكن التعبير عن المبلغ بعد t فترة من التراكم المستمر بدلالة المبلغ الأولي P ₀ كما يلي:

$${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}.}$$

عدد فترات التراكم${\displaystyle n}$يميل معدل الفائدة المركبة المستمرة إلى اللانهاية، ويُشار إلى معدل الفائدة المركبة المستمرة باسم قوة الفائدة.${\displaystyle \delta }$بالنسبة لأي دالة تراكم قابلة للتفاضل باستمرار a(t)، فإن قوة الفائدة، أو بشكل أعم العائد اللوغاريتمي أو العائد المركب باستمرار ، هي دالة للوقت على النحو التالي:

$${\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)}$$

هذا هو المشتق اللوغاريتمي لدالة التراكم.

وعلى العكس: $${\displaystyle a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,}$$(منذ${\displaystyle a(0)=1}$، ويمكن اعتبار هذا حالة خاصة من التكامل الناتج .

عند كتابة الصيغة أعلاه بصيغة معادلة تفاضلية، فإن قوة الاهتمام هي ببساطة معامل مقدار التغير: $${\displaystyle da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt}$$

بالنسبة للفائدة المركبة ذات معدل الفائدة السنوي الثابت r ، فإن قوة الفائدة ثابتة، ودالة تراكم الفائدة المركبة بدلالة قوة الفائدة هي قوة بسيطة لـ e : $${\displaystyle \delta =\ln(1+r)}$$أو $${\displaystyle a(t)=e^{t\delta }}$$

قوة الفائدة أقل من معدل الفائدة الفعلي السنوي، ولكنها أكبر من معدل الخصم الفعلي السنوي . وهي مقلوب زمن التضاعف الأسي .

إحدى طرق نمذجة قوة التضخم هي باستخدام صيغة ستودلي:${\displaystyle \delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}}$حيث يتم تقدير قيم p و r و s .

لتحويل معدل الفائدة من أساس حساب مركب إلى أساس حساب مركب آخر، بحيث

$${\displaystyle \left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{n_{1}}=\left(1+{\frac {r_{2}}{n_{2}}}\right)^{n_{2}}}$$

يستخدم

$${\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},}$$

حيث r ₁ هو معدل الفائدة بتردد تراكم n ₁ ، و r ₂ هو معدل الفائدة بتردد تراكم n ₂ .

عند احتساب الفائدة بشكل مستمر ، استخدم

$${\displaystyle \delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},}$$

أين${\displaystyle \delta }$يمثل معدل الفائدة على أساس التراكم المستمر، و r هو معدل الفائدة المعلن بتردد تراكم n .

غالباً ما تُضاف الفائدة شهرياً على القروض والرهونات العقارية التي تُسدد على أقساط شهرية منتظمة حتى سداد القرض بالكامل. ويمكن استنتاج صيغة حساب الأقساط من خلال الحجة التالية.

PMT(معدل_الفائدة، عدد_الدفعات، القيمة_الحالية، القيمة_المستقبلية، [النوع])

بافتراض وجود وديعة أساسية ووديعة دورية، يمكن حساب إجمالي عائد الاستثمار من خلال الفائدة المركبة المكتسبة لكل وحدة زمنية. وإذا لزم الأمر، يمكن أيضًا تحديد الفائدة على الودائع الإضافية غير الدورية والدائمة ضمن الصيغة نفسها (انظر أدناه). ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle P}$= الوديعة الرئيسية
• ${\displaystyle r}$= معدل العائد (شهريًا)
• ${\displaystyle M}$= إيداع شهري، و
• ${\displaystyle t}$= الوقت، بالأشهر

الفائدة المركبة لكل وديعة هي: $${\displaystyle M'=M(1+r)^{t}}$$ بإضافة جميع الودائع المتكررة على مدار الفترة الإجمالية t، (يبدأ i من 0 إذا بدأت الودائع مع استثمار رأس المال؛ ويبدأ i من 1 إذا بدأت الودائع في الشهر التالي): $${\displaystyle M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}}$$ التعرف على المتسلسلة الهندسية :${\displaystyle M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}}$وبتطبيق الصيغة المغلقة (النسبة المشتركة:${\displaystyle 1/(1+r)}$):

$${\displaystyle P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}}$$

إذا حدث نوعان أو أكثر من الإيداعات (سواء كانت متكررة أو غير متكررة)، فيمكن تمثيل القيمة المركبة المكتسبة على النحو التالي:

$${\displaystyle {\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}}$$

حيث C هو كل مبلغ إجمالي و k هي الودائع المتكررة غير الشهرية على التوالي، و x و y هما الفرق في الوقت بين الإيداع الجديد والفترة الإجمالية التي يتم نمذجتها t.

التقدير العملي للحساب العكسي لمعدل العائد عندما لا يكون التاريخ والمبلغ الدقيق لكل إيداع متكرر معروفًا، وهي صيغة تفترض إيداعًا شهريًا متكررًا موحدًا على مدار الفترة، هو: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}}$$أو$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1}$$