5040 (رقم)

5040 ( خمسة آلاف وأربعون ) هو العدد الطبيعي الذي يلي 5039 ويسبق 5041.

هو مضروب (7!)، وهو العدد الثامن من الأعداد المركبة الفائقة ، ^{[ 1 ]} والعدد التاسع عشر من الأعداد المركبة الفائقة ، ^{[ 2 ]} وعدد وفير ، والعدد الثامن من الأعداد الوفيرة للغاية ^{، [ 3 ]} وعدد تباديل 4 عناصر من أصل 10 خيارات (10 × 9 × 8 × 7 = 5040). وهو أيضًا أقل بواحد من مربع، مما يجعل (7، 71) زوجًا من أعداد براون .

يذكر أفلاطون في حواره "القوانين" أن العدد 5040 عددٌ ملائمٌ لتقسيم أشياء كثيرة (بما في ذلك مواطني وأرض المدينة أو الدولة ) إلى أجزاء أصغر، مما يجعله عددًا مثاليًا لعدد المواطنين (أرباب الأسر) الذين يشكلون الدولة . ^{[ 4 ]} ويشير إلى أن هذا العدد يقبل القسمة على جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 12 باستثناء 11 (مع ذلك، فهو ليس أصغر عدد يتمتع بهذه الخاصية؛ إذ إن 2520 هو أصغرها). ويصحح هذا "النقص" باقتراحه أنه يمكن طرح عائلتين من عدد المواطنين للحصول على العدد 5038، وهو يقبل القسمة على 11. كما لاحظ أفلاطون أيضًا أن العدد 5040 يقبل القسمة على 12 مرتين. في الواقع، إن إصرار أفلاطون المتكرر على استخدام 5040 لأغراض الدولة المختلفة واضح لدرجة أن بنيامين جويت كتب في مقدمة ترجمته لكتاب القوانين : "يبدو أن أفلاطون، الذي كتب متأثرًا بفيثاغورس ، قد افترض حقًا أن رفاهية المدينة تعتمد تقريبًا على الرقم 5040 بقدر اعتمادها على العدل والاعتدال." ^{[ 5 ]}

اقترح جان بيير كاهان أن استخدام أفلاطون للعدد 5040 يمثل الظهور الأول لمفهوم العدد المركب للغاية ، وهو عدد له قواسم أكثر من أي عدد أصغر منه. ^{[ 6 ]}

لو${\displaystyle \sigma (n)}$هي دالة مجموع القواسم و${\displaystyle \gamma }$إذا كان ثابت أويلر-ماسكيروني ، فإن 5040 هو أكبر عدد من بين 27 عددًا معروفًا (المتتالية A067698 في OEIS ) التي تتحقق فيها هذه المتباينة :

${\displaystyle \sigma (n)\geq e^{\gamma }n\log \log n}$.

هذا أمر غير معتاد إلى حد ما، لأنه في النهاية لدينا:

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.}$

أظهر جاي روبن في عام 1984 أن المتباينة تفشل لجميع الأعداد الأكبر إذا وفقط إذا كانت فرضية ريمان صحيحة . ^{[ 7 ]}

• العدد 5040 له 60 قاسمًا بالضبط ، بما في ذلك نفسه والعدد 1 .
• العدد 5040 هو أكبر مضروب (7! = 5040) وهو عدد مركب للغاية . جميع المضروبات الأصغر من 8! = 40320 هي أعداد مركبة للغاية.
• 5040 هو مجموع 42 عددًا أوليًا متتاليًا (23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 + 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 + 223 + 227 + 229).
• 5040 هو المضاعف المشترك الأصغر لأول 10 مضاعفات للعدد 2 (2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18 و20).

• مقال من موقع Mathworld حول أرقام أفلاطون