عدد وفير

في نظرية الأعداد ، يُعرف العدد الوفير أو العدد الزائد بأنه عدد صحيح موجب يكون مجموع قواسمه الحقيقية أكبر منه. العدد الصحيح 12 هو أول عدد وفير: قواسمه الحقيقية هي 1، 2، 3، 4، و6، ومجموعها 16 أكبر من 12. مقدار الزيادة بين المجموع والعدد هو الوفرة . على سبيل المثال، العدد 12 لديه وفرة مقدارها 4.

العدد الوفير هو عدد طبيعي n بحيث يكون مجموع قواسمه σ ( n ) أكبر من 2n ، أو بصورة مكافئة ، يكون مجموع قواسمه الفعلية (أو مجموع الأجزاء ) s ( n ) أكبر من n . ^{[ 1 ]} : ^{84 [ 2 ] : 693 [ 3 ] : 273 [ 4 ] : ​​185} وفرة العدد الطبيعي هي العدد الصحيح σ ( n ) - ²ⁿ ( أو بصورة مكافئة، ^s ( n ) - n ⁾ . ^[ 5 ]

الأعداد الوفيرة الأصغر من 100 هي

12، 18، 20، 24، 30، 36، 40، 42، 48، 54، 56، 60، 66، 70، 72، 78، 80، 84، 88، 90، و96 (التسلسل A005101 في OEIS ) .

على سبيل المثال، القواسم الصحيحة للعدد 24 هي 1، 2، 3، 4، 6، 8، و12، ومجموعها 36. ولأن 36 أكبر من 24، فإن العدد 24 وفير، ووفرته هي 36 - 24 = 12 .

الأرقام غير الوفيرة إما أن تكون مثالية (إذا كان σ ( n ) = 2 n ) أو ناقصة (إذا كان σ ( n ) < 2 n ).

كل مضاعف لعدد وفير هو عدد وفير. ^{[ 2 ] : 695 [ 5 ]} على سبيل المثال، كل مضاعف للعدد 20 (بما في ذلك العدد 20 نفسه) هو عدد وفير لأنه إذا كان ن مضاعفًا للعدد 20 فإن${\displaystyle \sigma (n)\geq {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.}$ وبالمثل، فإن كل مضاعف للعدد الكامل (باستثناء العدد الكامل نفسه) يكون وفيراً. ^{[ 6 ] : 134} على سبيل المثال، كل مضاعف n للعدد 6 أكبر من 6 يكون وفيراً لأن${\displaystyle \sigma (n)\geq 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.}$يُطلق على العدد الوفير الذي ليس من مضاعفات العدد الوفير أو العدد الكامل (أي أن جميع قواسمه الصحيحة ناقصة) اسم العدد الوفير الأولي .

على عكس الأعداد الكاملة، من المعروف وجود أعداد وفيرة زوجية وفردية . أصغر عدد فردي وفير هو 945. ^{[ 7 ] [ 3 ] : 199.} بالتالي، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الوفيرة لكل زوجية . أصغر عدد وفير لا يقبل القسمة على 2 أو 3 هو 5391411025؛ عوامله الأولية المختلفة هي 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، و29. توضح خوارزمية قدمها إيانوتشي عام 2005 كيفية إيجاد أصغر عدد وفير لا يقبل القسمة على أول k عدد أولي (المتتالية A047802 في OEIS ) . ^{[ 8 ]} إذا${\displaystyle A(k)}$يمثل أصغر عدد وفير لا يقبل القسمة على أول k عدد أولي، ثم لجميع${\displaystyle \epsilon >0}$لدينا$${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$$بالنسبة لقيم k الكبيرة بما فيه الكفاية .

تتمتع مجموعة الأعداد الوفيرة بكثافة طبيعية غير صفرية : أي أنه كلما ازداد حجم N ، اقتربت نسبة الأعداد الطبيعية الأقل من N والوفيرة من قيمة ثابتة. تقع هذه النسبة الحدية بين 0.2476171 و0.2476475. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

أول زوج من الأعداد الوفيرة المتتالية هو (5775، 5776)، وأول ثلاثية متتالية هي (171078830، 171078831، 171078832). ^{[ 12 ]} ليكن${\displaystyle E(n)}$ليكن طول أطول سلسلة من الأعداد الوفيرة المتتالية التي لا تتجاوز${\displaystyle n}$أظهر بول إيردوس (1935) وجود ثابتين .${\displaystyle c_{1},c_{2}}$بحيث${\displaystyle c_{1}\log \log \log n\leq E(n)\leq c_{2}\log \log \log n}$لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$[ ^{13 ]} في الواقع، ^الحد$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dfrac {E(n)}{\log \log \log n}}}$$موجود، بقيمة تتراوح بين 3.24 و 3.54. ^{[ 14 ]}

يمكن كتابة كل عدد صحيح أكبر من 20161 على شكل مجموع عددين كبيرين. ^{[ 3 ] : 273} أكبر عدد زوجي ليس مجموع عددين كبيرين هو 46. ^{[ 15 ]}

الأعداد التي يساوي مجموع عواملها العدد نفسه (مثل 6 و28) تُسمى أعدادًا كاملة ، ^{[ 4 ] : ​​11 [ 1 ] : 84،} بينما الأعداد التي يقل مجموع عواملها عن العدد نفسه تُسمى أعدادًا ناقصة . ^{[ 4 ] : ​​185 [ 1 ] : 84.} أول تصنيف معروف للأعداد إلى ناقصة وكاملة ووفيرة كان من قِبل نيكوماخوس في كتابه "مقدمة في الحساب" (حوالي 100 م)، ومن قِبل ثيون السمرني في كتابه "في الرياضيات المفيدة لفهم أفلاطون " (حوالي 100 م). ^{[ 16 ] : 74 [ 6 ] : 128}

مؤشر وفرة العدد n هو النسبة σ ( n )/ n . ^{[ 1 ] : 84 يُطلق} على العدد الذي يكون مؤشر وفرته أكبر من أي عدد أصغر منه اسم العدد الفائق الوفرة (المتتالية A004394 في OEIS ) . ^{[ 1 ] : 88} تُسمى الأعداد المختلفة n1 _، n2 _، ... (سواء كانت وفيرة أم لا) التي لها نفس مؤشر الوفرة بالأعداد المتوافقة .

تنمو متتالية ( a _k ) من أصغر الأعداد n التي تحقق σ ( n ) > kn ، حيث a ₂ = 12 هو أول عدد وفير، بسرعة كبيرة (المتتالية A134716 في OEIS ) . أصغر عدد فردي بمؤشر وفرة يتجاوز 3 هو 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29. ^{[ 17 ]}

إذا كانت p = ( p1 _, ..., pn ) قائمةً من الأعداد الأولية، فإن p تُسمى وفيرة إذا كان هناك عدد صحيح مُكوَّن من أعداد أولية فقط في p وفيرًا. والشرط اللازم والكافي لذلك هو أن _يكون حاصل ضرب الأعداد${\displaystyle {\frac {p_{k}}{p_{k}-1}}}$أن يكون أكبر من 2. ^{[ 18 ]}

يُطلق على العدد n الذي يكون مجموع قواسمه (بما في ذلك نفسه) أكبر من مجموع قواسم أي عدد طبيعي أصغر منه اسم العدد الوفير للغاية .

يُطلق على العدد الوفير الذي لا يُعدّ عددًا شبه كامل اسم العدد الغريب . ^{[ 6 ] : 144} ويُطلق على العدد الوفير الذي تبلغ وفرته 1 اسم العدد شبه الكامل ؛ ولا يُعرف ما إذا كانت هناك أعداد شبه كاملة موجودة.

• المعجم الرئيسي: عدد وفير
• عدد كبير في موقع PlanetMath .