بدائل للنسبية العامة

إذا كانت لنظرية ما كثافة لاغرانجية للجاذبية، على سبيل المثال${\displaystyle L\,}$ثم الجزء المتعلق بالجاذبية من الفعل${\displaystyle S\,}$هو تكامل ذلك:

${\displaystyle S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

في هذه المعادلة، من المعتاد، وإن لم يكن ضرورياً، أن يكون${\displaystyle g=-1\,}$عند اللانهاية المكانية عند استخدام الإحداثيات الديكارتية. على سبيل المثال، يستخدم فعل أينشتاين-هيلبرت${\displaystyle L\,\propto \,R}$حيث R هو الانحناء القياسي ، وهو مقياس لانحناء الفضاء.

تتضمن كل نظرية تقريبًا موصوفة في هذه المقالة فعلًا. وهو الطريقة الأكثر كفاءة المعروفة لضمان تضمين قوانين حفظ الطاقة والزخم والزخم الزاوي تلقائيًا؛ مع أنه من السهل بناء فعل يُخالف هذه القوانين. توفر الطرق التقليدية طريقة أخرى لبناء أنظمة تتضمن قوانين الحفظ المطلوبة، لكن هذا النهج أكثر تعقيدًا في التطبيق. ^{[ 16 ]} لم تتضمن النسخة الأصلية من نظرية الديناميكا الحرارية النيوكليوزيدية المعدلة (MOND) الصادرة عام 1983 فعلًا.

تتضمن بعض النظريات فعلًا ولكن ليس كثافة لاغرانجية. ومن الأمثلة الجيدة على ذلك نظرية وايتهيد ^{[ 13 ]} ، حيث يُطلق على الفعل فيها اسم "غير محلي".

تُعتبر نظرية الجاذبية "نظرية مترية" إذا وفقط إذا أمكن تمثيلها رياضياً بشرطين: الشرط الأول : وجود موتر متري متناظر${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$التوقيع (−, +, +, + )، الذي يحكم قياسات الطول والزمن المناسبين بالطريقة المعتادة للنسبية الخاصة والعامة:

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

حيث يوجد جمع على المؤشرات${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$الشرط الثاني : تستجيب المادة والمجالات المجهدة التي تؤثر عليها الجاذبية وفقًا للمعادلة التالية:

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,}$

أين${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$يمثل موتر الإجهاد والطاقة لجميع المواد والمجالات غير الجاذبية، وحيث${\displaystyle \nabla _{\nu }}$هي المشتقة المتغيرة بالنسبة للمقياس و${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,}$هو رمز كريستوفيل . يجب أن يحقق موتر الإجهاد والطاقة شرطًا للطاقة أيضًا .

تشمل النظريات المترية (من الأبسط إلى الأكثر تعقيدًا):

• نظريات الحقل القياسي (بما في ذلك النظريات المسطحة المطابقة والنظريات الطبقية ذات الشرائح الفضائية المسطحة المطابقة)
  • بيرغمان
  • كولمان
  • أينشتاين (1912)
  • نظرية أينشتاين-فوكر
  • لي – لايتمان – ني
  • ليتلوود
  • ني
  • نظرية نوردستروم للجاذبية (أول نظرية مترية للجاذبية يتم تطويرها)
  • بيج-توبر
  • بابابترو
  • روزن (1971)
  • ويتراو-موردوخ
  • نظرية يلماز للجاذبية (حاولت إزالة آفاق الحدث من النظرية).
• النظريات شبه الخطية (بما في ذلك القياس الخطي الثابت)
  • بوليني-جيامبياجي-تيومنو
  • ديزير لوران
  • نظرية وايتهيد للجاذبية (التي تهدف إلى استخدام الكمونات المتأخرة فقط )
• نظريات الموتر
  • النسبية العامة لأينشتاين
  • الجاذبية من الدرجة الرابعة (تسمح لدالة لاغرانج بالاعتماد على انكماشات من الدرجة الثانية لموتر انحناء ريمان )
  • جاذبية f(R) (تسمح لدالة لاغرانج بالاعتماد على قوى أعلى من مقياس ريتشي)
  • جاذبية غاوس-بونيه
  • نظرية لوفلوك للجاذبية (تسمح لدالة لاغرانج بالاعتماد على انكماشات من الرتبة الأعلى لموتر انحناء ريمان)
  • جاذبية المشتقة اللانهائية
• نظريات الكميات القياسية والموترية
  • تيفيس من بيكنشتاين
  • بيرغمان-فاغونر
  • نظرية برانز-ديك (البديل الأكثر شهرة للنسبية العامة، والمصممة لتكون أفضل في تطبيق مبدأ ماخ)
  • الأردن
  • نوردتفيت
  • ثلاثة
  • حرباء
  • بريسورون
• نظريات المتجهات والموترات
  • هيلينغز - نوردتفيت
  • ويل – نوردتفيت
• النظريات ثنائية القياس
  • لايتمان – لي
  • راستال
  • روزن (1975)
• نظريات قياس أخرى

(انظر قسم النظريات الحديثة أدناه)

تشمل النظريات غير المترية

• بيلينفانت-سويارت
• نظرية أينشتاين-كارتان (المخصصة للتعامل مع تبادل الزخم الزاوي المداري المغزلي)
• كوستانهيمو (1967)
• التوازي عن بعد
• نظرية القياس والجاذبية

سبق أن نوقشت نظريات الحقل القياسي لنوردستروم ^{[ 55 ] [ 56 ] . أما نظريات ليتلوود [ 28 ]} ، وبيرغمان ^{[ 30 ]} ، ويلماز ^{[ 33 ]} ، وويتراو وموردوخ ^{[ 35 ] [ 36 ]} ، وبيج وتوبر ^{[ 40 ]} فتتبع الصيغة العامة التي وضعها بيج وتوبر.

وفقًا لـ Page و Tupper، ^{[ 40 ]} اللذان يناقشان كل هذه الأمور باستثناء Nordström، ^{[ 56 ]} فإن نظرية المجال القياسي العامة تأتي من مبدأ الفعل الأدنى:

${\displaystyle \delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0}$

حيث يوجد الحقل القياسي،

${\displaystyle \varphi ={\frac {GM}{r}}}$

وقد يعتمد ج أو لا يعتمد على${\displaystyle \varphi }$.

في نوردستروم، ^{[ 55 ]}

${\displaystyle f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }}$

في ليتلوود ^{[ 28 ]} وبرغمان، ^{[ 30 ]}

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,}$

في ويتراو وموردوخ، ^{[ 35 ]}

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

في ويتراو وموردوخ، ^{[ 36 ]}

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right),\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

في بيج وتوبر، ^{[ 40 ]}

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)^{2}}$

يطابق بيج وتوبر ^{[ 40 ]} نظرية يلماز ^{[ 33 ]} إلى الدرجة الثانية عندما${\displaystyle \alpha =-7/2}$.

يجب أن يكون انحراف الضوء بفعل الجاذبية معدومًا عندما تكون قيمة سرعة الضوء ثابتة. ونظرًا لأن كلًا من تغير سرعة الضوء وانعدام انحراف الضوء يتعارض مع التجربة، فإن احتمال نجاح نظرية قياسية للجاذبية يبدو ضئيلًا للغاية. علاوة على ذلك، إذا تم تعديل معايير النظرية القياسية بحيث يكون انحراف الضوء صحيحًا، فمن المرجح أن يكون الانزياح الأحمر بفعل الجاذبية خاطئًا.

لخص ني ^{[ 18 ]} بعض النظريات، كما ابتكر نظريتين إضافيتين. في الأولى، يتفاعل الزمكان الخاص بالنسبية الخاصة وإحداثيات الزمن الكوني الموجودة مسبقًا مع المادة والحقول غير الجاذبية لتوليد حقل قياسي. ويتفاعل هذا الحقل القياسي مع جميع الحقول الأخرى لتوليد المقياس.

الإجراء هو:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi }$

يقدم ميسنر وآخرون ^{[ 57 ]} هذا بدون${\displaystyle \varphi R}$شرط.${\displaystyle S_{m}}$الأمر يتعلق بالفعل.

${\displaystyle \Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi }+e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]}$

يمثل t إحداثية الزمن الكونية. هذه النظرية متسقة بذاتها وكاملة. لكن حركة النظام الشمسي عبر الكون تؤدي إلى اختلاف جوهري مع التجربة.

في النظرية الثانية لـ Ni ^{[ 18 ]} توجد دالتان اختياريتان${\displaystyle f(\varphi )}$و${\displaystyle k(\varphi )}$والتي ترتبط بالمقياس من خلال:

${\displaystyle ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )}$

يستشهد ني ^{[ 18 ]} بروزن ^{[ 45 ]} على أنه يمتلك حقلين قياسيين${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle \psi }$والتي ترتبط بالمقياس من خلال:

${\displaystyle ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

في بابابترو ^{[ 26 ]،} يكون الجزء الجاذبي من لاغرانجيان كما يلي:

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)}$

يوجد في بابابترو ^{[ 27 ]} حقل قياسي ثانٍ${\displaystyle \chi }$الجزء المتعلق بالجاذبية من لاغرانجيان هو الآن:

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,}$

تحتوي النظريات ثنائية القياس على كل من مقياس الموتر العادي ومقياس مينكوفسكي (أو مقياس الانحناء الثابت)، وقد تحتوي على حقول قياسية أو متجهة أخرى.

قام روزن ^{[ 58 ]} (1975) بتطوير نظرية ثنائية القياس. وتتلخص هذه النظرية فيما يلي:

${\displaystyle S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}}$

${\displaystyle \Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)\,}$

طوّر لايتمان-لي ^{[ 50 ]} نظرية مترية استنادًا إلى النظرية غير المترية لبيلينفانتي وسويارت. ^{[ 31 ] [ 32 ]} تُعرف هذه النتيجة بنظرية BSLL. بالنظر إلى حقل موتر،${\displaystyle B_{\mu \nu }\,}$،${\displaystyle B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,}$وثابتان${\displaystyle a\,}$و${\displaystyle f\,}$الإجراء هو:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu |\alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}}$

ويأتي موتر الإجهاد والطاقة من:

${\displaystyle a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/\eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)}$

في راستال، ^{[ 54 ]،} المقياس هو دالة جبرية لمقياس مينكوفسكي وحقل متجهي . ويكون الفعل كالتالي:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu$ ;\nu }K_{\mu  ;\nu }+S_{m}}

أين

${\displaystyle F(N)=-{\frac {N}{2+N}}}$ و ${\displaystyle N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;}$.

في وايتهيد ، ^{[ 13 ]} المقياس الفيزيائي${\displaystyle g\;}$تم بناؤها (بواسطة سينج ) جبريًا من مقياس مينكوفسكي${\displaystyle \eta \;}$والمتغيرات المادية، لذا فهو لا يحتوي حتى على حقل قياسي. ويكون تركيبه كالتالي:

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{\alpha }\right]^{-}}$

حيث يشير الرمز العلوي (−) إلى الكميات التي تم تقييمها على مدار الماضي${\displaystyle \eta \;}$مخروط الضوء لنقطة المجال${\displaystyle x^{\alpha }\;}$و

${\displaystyle {\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}}$

ومع ذلك، فإن البناء المتري (من نظرية غير مترية) باستخدام فرضية "انكماش الطول" يتعرض للنقد. ^{[ 59 ]}

تُعدّ نظريات ديسير ولوران ^{[ 39 ]} وبوليني-جيامبياجي-تيومنو ^{[ 42 ]} نظريات قياس خطية ثابتة. وباتباع نهج من نظرية الحقل الكمومي، يتم دمج فضاء مينكوفسكي مع الفعل الثابت للمقياس لحقل موتر ذي لف مغزلي اثنين (أي الجرافيتون).${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$لتحديد

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;}$

الإجراء هو:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;}$

إن متطابقة بيانكي المرتبطة بهذا الثبات الجزئي للمقياس خاطئة. وتسعى نظريات المقياس الثابت الخطي إلى معالجة هذا الخطأ عن طريق كسر ثبات مقياس الفعل الجاذبي من خلال إدخال حقول جاذبية مساعدة تقترن بـ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$.

يمكن إدخال ثابت كوني في نظرية شبه خطية عن طريق تغيير خلفية مينكوفسكي إلى زمكان دي سيتر أو زمكان دي سيتر المضاد ، كما اقترح جي. تمبل في عام 1923. وقد انتقد سي بي راينر اقتراحات تمبل حول كيفية القيام بذلك في عام 1955. ^{[ 60 ]}

تُعدّ نظرية النسبية العامة لأينشتاين أبسط نظرية معقولة للجاذبية يمكن أن تستند إلى حقل موتر متناظر واحد فقط ( موتر القياس ). ^{[ 61 ]} ومن النظريات الأخرى: جاذبية ستاروبينسكي (R+R^2)، وجاذبية غاوس-بونيه ، وجاذبية f(R) ، ونظرية لوفلوك للجاذبية .

تحتوي جميع هذه النظريات على معلمة حرة واحدة على الأقل، على عكس النسبية العامة التي لا تحتوي على معلمات حرة.

على الرغم من أن نظرية كالوزا-كلاين لا تُعتبر عادةً نظريةً قياسيةً-موتريةً للجاذبية، إلا أن مقياسها الخماسي-الخماسي يُختزل إلى مقياس رباعي-رباعي وكمية قياسية واحدة. لذا، إذا عُومِلَ العنصر الخامس كحقل جاذبية قياسي بدلاً من حقل كهرومغناطيسي، فيمكن اعتبار نظرية كالوزا-كلاين أصل النظريات القياسية-الموترية للجاذبية. وقد أقرّ ثيري بذلك. ^{[ 25 ]}

تشمل نظريات الكميات القياسية والموترية نظريات ثيري، ^{[ 25 ]} وجوردان، ^{[ 29 ]} وبرانز وديك، ^{[ 15 ]} وبيرغمان، ^{[ 41 ]} ونوردتفيلدت (1970)، وواغنر، ^{[ 44 ]} وبيكنشتاين، ^{[ 52 ]} وباركر. ^{[ 53 ]}

الحدث${\displaystyle S\;}$يعتمد على تكامل لاغرانجيان${\displaystyle L_{\varphi }\;}$.

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;}$

${\displaystyle S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}}$

أين${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$هي دالة لا بُعدية مختلفة لكل نظرية قياسية-موترية مختلفة.${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$يلعب نفس دور الثابت الكوني في النسبية العامة.${\displaystyle G_{N}\;}$هو ثابت تطبيع عديم الأبعاد يحدد القيمة الحالية لـ${\displaystyle G\;}$يمكن إضافة جهد عشوائي للكمية العددية.

تم الاحتفاظ بالنسخة الكاملة في أعمال بيرغمان ^{[ 41 ]} وواغنر ^{[ 44 ]} . وتشمل الحالات الخاصة ما يلي:

نوردتفيت، ^{[ 43 ]}${\displaystyle \lambda =0\;}$

منذ${\displaystyle \lambda }$كان يُعتقد أن قيمته صفر في ذلك الوقت، لذا لم يكن هذا ليُعتبر فرقًا ذا أهمية. يُناقش دور الثابت الكوني في الدراسات الحديثة تحت عنوان " الثابت الكوني" .

برانز-ديك، ^{[ 15 ]}${\displaystyle \omega \;}$ثابت

نظرية بيكنشتاين ^{[ 52 ]} للكتلة المتغيرة بدءًا من المعاملات${\displaystyle r\;}$و${\displaystyle q\;}$، تم التوصل إليها من خلال حل كوني، ${\displaystyle \varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;}$يحدد الوظيفة${\displaystyle f\;}$ثم

${\displaystyle \omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;}$

نظرية باركر ^{[ 53 ]} الثابتة G

${\displaystyle \omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}}$

تعديل${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$تسمح نظريات الموتر القياسي بالاقتراب من النسبية العامة في حالة الحد من${\displaystyle \omega \rightarrow \infty \;}$في العصر الحالي. ومع ذلك، قد تكون هناك اختلافات كبيرة عن النسبية العامة في الكون المبكر.

طالما تم تأكيد النسبية العامة من خلال التجربة، فلا يمكن استبعاد نظريات Scalar-Tensor العامة (بما في ذلك Brans-Dicke ^{[ 15 ]} ) تمامًا، ولكن مع استمرار التجارب في تأكيد النسبية العامة بدقة أكبر، يجب ضبط المعلمات بدقة بحيث تتطابق التنبؤات بشكل أوثق مع تلك الخاصة بالنسبية العامة.

الأمثلة المذكورة أعلاه هي حالات خاصة من نظرية هورنديسكي ، ^{[ 63 ] [ 64 ]} وهي أكثر لاغرانجية عامة مبنية على موتر القياس وحقل قياسي، مما يؤدي إلى معادلات حركة من الرتبة الثانية في فضاء رباعي الأبعاد. وقد ثبت وجود نظريات قابلة للتطبيق تتجاوز نظرية هورنديسكي (بمعادلات حركة من رتب أعلى). ^{[ 65 ] [ 66 ] [ 67 ]}

قبل أن نبدأ، قال ويل (2001): "يمكن اعتبار العديد من نظريات القياس البديلة التي طُوّرت خلال سبعينيات وثمانينيات القرن الماضي نظرياتٍ "وهمية"، اختُرعت لإثبات وجود مثل هذه النظريات أو لتوضيح خصائص معينة. وقليلٌ منها يُمكن اعتباره نظرياتٍ مُبرّرة جيدًا من وجهة نظر، على سبيل المثال، نظرية المجال أو فيزياء الجسيمات. ومن الأمثلة على ذلك نظريات المتجهات والموترات التي درسها ويل ونوردتفيت وهيلينغز." ^{[ 17 ]}

تُعدّ كلٌّ من نظريتي هيلينغز ونوردتفيت ^{[ 49 ]} وويل ونوردتفيت ^{[ 48 ]} نظريات متجهة-موترية. بالإضافة إلى موتر القياس، يوجد حقل متجه زمني.${\displaystyle K_{\mu }.}$الفعل الجاذبي هو:

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu$ ;\nu }K^{\mu  ;\nu }\right]+S_{m}}

أين${\displaystyle \omega ,\eta ,\epsilon ,\tau }$هي ثوابت و

${\displaystyle F_{\mu \nu }=K_{\nu$ ;\mu }-K_{\mu  ;\nu }.} (انظر ويل ^{[ 17 ]} لمعادلات المجال لـ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$و${\displaystyle K_{\mu }.}$)

تُعتبر قضية ويل ونوردتفيت ^{[ 48 ]} حالة خاصة حيث

${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1}$

تُعدّ قضية هيلينغز ونوردتفيت ^{[ 49 ]} حالة خاصة حيث

${\displaystyle \tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega }$

تُعتبر نظريات المتجهات والموترات هذه شبه محافظة، مما يعني أنها تُحقق قوانين حفظ الزخم والزخم الزاوي، ولكنها قد تُظهر تأثيرات الإطار المرجعي المُفضّل.${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =\tau =0}$إنها تختزل إلى النسبية العامة، لذلك، طالما تم تأكيد النسبية العامة بالتجربة، فلا يمكن استبعاد نظريات المتجهات والموترات العامة.

وقد تم اقتراح نظريات مترية أخرى؛ وتتم مناقشة نظرية بيكنشتاين ^{[ 68 ] تحت عنوان النظريات الحديثة.}

تُعدّ نظرية كارتان مثيرة للاهتمام بشكل خاص لكونها نظرية غير مترية، ولقدمها. ولا يزال وضعها غير مؤكد. يزعم ويل ^{[ 17 ]} أن مبدأ التكافؤ لأينشتاين يُلغي جميع النظريات غير المترية. ويُخفف ويل من حدة هذا الزعم بشرحه للمعايير التجريبية لاختبار النظريات غير المترية في ضوء مبدأ التكافؤ لأينشتاين في طبعة عام 2001. ^{[ 17 ]} بينما يزعم ميسنر وآخرون ^{[ 57 ]} أن نظرية كارتان هي النظرية غير المترية الوحيدة التي صمدت أمام جميع الاختبارات التجريبية حتى ذلك التاريخ، ويُدرجها توريشيف ^{[ 69 ]} ضمن النظريات القليلة التي صمدت أمام جميع الاختبارات التجريبية حتى ذلك التاريخ. وفيما يلي عرض موجز لنظرية كارتان كما أعاد تراوتمان صياغتها. ^{[ 70 ]}

اقترح كارتان ^{[ 20 ] [ 21 ]} تعميمًا بسيطًا لنظرية أينشتاين في الجاذبية. فقد اقترح نموذجًا للزمكان يتضمن موترًا متريًا و"وصلة" خطية متوافقة مع المقياس، ولكنها ليست بالضرورة متناظرة. ويرتبط موتر الالتواء لهذه الوصلة بكثافة الزخم الزاوي الذاتي. وبشكل مستقل عن كارتان، طُرحت أفكار مماثلة من قِبل سياما وكيبيل في الفترة ما بين عامي 1958 و1966، وبلغت ذروتها في مراجعة أجراها هيل وآخرون عام 1976.

الوصف الأصلي مُصاغٌ باستخدام الصيغ التفاضلية، ولكن في هذه المقالة، استُبدل ذلك بلغة الموترات الأكثر شيوعًا (مع احتمال فقدان الدقة). وكما هو الحال في النسبية العامة، يتكون لاغرانجيان من جزء عديم الكتلة وجزء ذي كتلة. لاغرانجيان الجزء عديم الكتلة هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}}}$

ال${\displaystyle \omega _{\nu }^{\mu }\;}$هو الاتصال الخطي.${\displaystyle \varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;}$هو الموتر الزائف المتناظر تمامًا ( رمز ليفي-سيفيتا ) مع${\displaystyle \varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;}$، و${\displaystyle g^{\nu \xi }\,}$هو موتر القياس كالمعتاد. بافتراض أن الاتصال الخطي متري، يمكن إزالة الحرية غير المرغوب فيها المتأصلة في النظرية غير المترية. يُحسب موتر الإجهاد-الطاقة من:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;}$

إن انحناء الفضاء ليس ريمانيًا، ولكن في فضاء-زمن ريماني، فإن اللاغرانجي سيختزل إلى لاغرانجي النسبية العامة.

تمت مناقشة بعض المعادلات الخاصة بنظرية غير المترية لـ Belinfante و Swihart ^{[ 31 ] [ 32 ]} بالفعل في القسم الخاص بنظريات ثنائية القياس .

تُقدّم نظرية الجاذبية القياسية نظريةً غير مترية مميزة ، إذ تستبدل المقياس في معادلاتها الحقلية بزوج من الحقول القياسية في الزمكان المسطح. من جهة، تُعتبر هذه النظرية محافظة إلى حد كبير لأنها تُكافئ إلى حد كبير نظرية أينشتاين-كارتان (أو النسبية العامة في حالة انعدام اللف المغزلي)، وتختلف عنها في الغالب في طبيعة حلولها الشاملة. ومن جهة أخرى، تُعتبر جذرية لأنها تستبدل الهندسة التفاضلية بالجبر الهندسي .

تكاد تكون دوافع البدائل الحديثة للنسبية العامة ذات طابع كوني، إذ ترتبط بمفاهيم مثل "التضخم" و"المادة المظلمة" و"الطاقة المظلمة" أو تحل محلها. وتتلخص الفكرة الأساسية في أن الجاذبية تتوافق مع النسبية العامة في العصر الحالي، لكنها ربما كانت مختلفة تمامًا في بدايات الكون. ^{[ 75 ] [ 76 ]}

في ثمانينيات القرن العشرين، بدأ عالم الفيزياء يدرك تدريجيًا وجود عدة مشاكل متأصلة في نظرية الانفجار العظيم السائدة آنذاك، بما في ذلك مشكلة الأفق وملاحظة أنه في المراحل المبكرة لتكوّن الكواركات، لم يكن هناك مساحة كافية في الكون لاحتواء كوارك واحد. ولتجاوز هذه الصعوبات، طُوّرت نظرية التضخم الكوني. وكان من البدائل الأخرى بناء نموذج بديل للنسبية العامة يفترض أن سرعة الضوء أعلى في الكون المبكر. وقد فاجأ اكتشاف منحنيات دوران غير متوقعة للمجرات الجميع. فهل من الممكن أن تكون كتلة الكون أكبر مما نتصور، أم أن نظرية الجاذبية نفسها خاطئة؟ ويُجمع العلماء الآن على أن الكتلة المفقودة هي "المادة المظلمة الباردة"، ولكن هذا الإجماع لم يُتوصل إليه إلا بعد تجربة بدائل للنسبية العامة، ولا يزال بعض الفيزيائيين يعتقدون أن نماذج بديلة للجاذبية قد تحمل الإجابة.

في تسعينيات القرن العشرين، كشفت مسوحات المستعرات العظمى عن تسارع تمدد الكون، والذي يُعزى عادةً إلى الطاقة المظلمة . وقد أدى ذلك إلى إعادة تأكيد ثابت أينشتاين الكوني بسرعة، وظهرت نظرية الجوهر كبديل له. وحاولت نظرية بديلة جديدة واحدة على الأقل للنسبية العامة تفسير نتائج مسوحات المستعرات العظمى بطريقة مختلفة تمامًا. وقد استبعد قياس سرعة الجاذبية باستخدام حدث الموجات الثقالية GW170817 العديد من النظريات البديلة للجاذبية كتفسيرات لتسارع التمدد. ^{[ 77 ] [ 78 ] [ 79 ]}

ومن الملاحظات الأخرى التي أثارت اهتمامًا متزايدًا مؤخرًا ببدائل النظرية النسبية العامة، ظاهرة شذوذ بايونير . وسرعان ما اكتُشف أن بدائل النظرية النسبية العامة قادرة على تفسير هذا الشذوذ. ويُعتقد الآن أن هذا الشذوذ يُعزى إلى الإشعاع الحراري غير المنتظم. ^{[ 80 ]}

الثابت الكوني${\displaystyle \Lambda \;}$هي فكرة قديمة جدًا، تعود إلى أينشتاين عام 1917. ^{[ 12 ]} نجاح نموذج فريدمان للكون الذي${\displaystyle \Lambda =0\;}$أدى ذلك إلى القبول العام بأنها تساوي صفرًا، ولكن عاد استخدام قيمة غير صفرية عندما أشارت البيانات المستقاة من المستعرات العظمى إلى أن توسع الكون يتسارع. ^{[ 81 ]}

في نظرية الجاذبية النيوتونية، تؤدي إضافة الثابت الكوني إلى تغيير معادلة نيوتن-بواسون من:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;}$

ل

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;}$

في النسبية العامة، يغير ذلك فعل أينشتاين-هيلبرت من

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

ل

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

مما يغير معادلة المجال من:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\;}$

ل:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;}$

في النظريات البديلة للجاذبية، يمكن إضافة ثابت كوني إلى الفعل بنفس الطريقة.

وبشكل أعم، جهد قياسي${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$يمكن إضافتها إلى نظريات الموتر القياسي. ويمكن القيام بذلك في كل بديل من بدائل النسبية العامة التي تحتوي على حقل قياسي${\displaystyle \varphi \;}$بإضافة المصطلح${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$داخل لاغرانجيان الجزء المتعلق بالجاذبية من الفعل،${\displaystyle L_{\varphi }\;}$جزء من

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;}$

لأن${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$هي دالة اختيارية للحقل القياسي وليست ثابتة، ويمكن ضبطها لإعطاء تسارع كبير في الكون المبكر وصغير في العصر الحالي. وهذا ما يُعرف بالجوهر.

يمكن استخدام طريقة مماثلة في بدائل النسبية العامة التي تستخدم حقول المتجهات، بما في ذلك نظرية راستال ^{[ 54 ]} ونظريات المتجهات والموترات. مصطلح يتناسب مع

${\displaystyle K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;}$

تُضاف إلى لاغرانجيان الجزء المتعلق بالجاذبية من الفعل.

في ديسمبر 2018، اقترح عالم الفيزياء الفلكية جيمي فارنز من جامعة أكسفورد نظرية السائل المظلم ، المرتبطة بمفاهيم الكتل السالبة ذات التنافر الجاذبي التي طرحها ألبرت أينشتاين سابقًا . قد تساعد هذه النظرية في فهم أفضل للكميات الهائلة من المادة المظلمة والطاقة المظلمة غير المعروفة في الكون . ^{[ 82 ]}

تعتمد هذه النظرية على مفهوم الكتلة السالبة ، وتعيد تقديم موتر الخلق لفريد هويل للسماح بتكوين المادة فقط للجسيمات ذات الكتلة السالبة. وبهذه الطريقة، تُحيط الجسيمات ذات الكتلة السالبة بالمجرات وتُمارس ضغطًا عليها، مما يُشبه المادة المظلمة. ونظرًا لتنافر هذه الجسيمات المفترضة، فإنها تُباعد الكون، مما يُشبه الطاقة المظلمة. يسمح تكوين المادة بثبات كثافة الجسيمات الغريبة ذات الكتلة السالبة مع مرور الوقت، فتبدو كثابت كوني . وقد عُدّلت معادلات أينشتاين للمجال لتصبح :

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)}$

تُعدّ نظرية فارنز بديلاً أبسط لنموذج لامدا سي دي إم التقليدي، إذ تُحلّ كلٌّ من الطاقة المظلمة والمادة المظلمة (فرضيتان) باستخدام سائل واحد ذي كتلة سالبة (فرضية واحدة). ويمكن اختبار هذه النظرية مباشرةً باستخدام تلسكوب مصفوفة الكيلومتر المربع الراديوي قيد الإنشاء حاليًا. ^{[ 83 ]}

طُوِّرت نظرية الديناميكا النيوتونية المعدلة (MOND) الأصلية بواسطة ميلغروم عام 1983 كبديل لنظرية "المادة المظلمة". ^{[ 84 ]} وتخضع الانحرافات عن قانون نيوتن للجاذبية لمقياس التسارع، وليس لمقياس المسافة. وقد حققت نظرية MOND عددًا من التنبؤات "السابقة" الناجحة، أي تنبؤات بحقائق غير معروفة تم تأكيدها لاحقًا بالملاحظة. ^{[ 85 ] : 9.} على سبيل المثال، تنبأ ميلغروم عام 1993 بأن الكتلة الباريونية للمجرة تتناسب طرديًا مع القوة الرابعة لسرعة دورانها، وقد تم تأكيد ذلك لاحقًا بالملاحظة. ^{[ 86 ]}

توجد محاولات عديدة لصياغة نسخة نسبية من نظرية الديناميكا النيوتونية المعدلة (MOND)، كما استعرضها فاماي وماكغاو. ^{[ 87 ]} وبقدر ما تُختزل هذه النظريات فعليًا إلى نظرية الديناميكا النيوتونية المعدلة غير النسبية في حالة المجال الضعيف، فإنها ترث فشلها الظاهر في إعادة إنتاج كمونات الجاذبية الصحيحة لتجمعات المجرات. ^{[ 88 ]}

معادلة RAQUAL، وهي النسخة النسبية من معادلة المجال لـ MOND، لها تأثير ثلاثي الأجزاء: ^{[ 89 ] : 13}

${\displaystyle S=S_{g}+S_{s}+S_{m}}$

${\displaystyle S_{g}={c^{4} \over 16\pi G}\int e^{-2\phi ^{2}}\left[R({\tilde {g}}_{\mu \nu })+{\dfrac {6}{c^{4}}}\phi _{,\alpha }\phi _{,}^{\alpha }\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

${\displaystyle S_{\phi }={\dfrac {-a_{0}^{2}\beta (1+\beta )^{2}}{8\pi G}}\int e^{-4\phi ^{2}}f\left[{\dfrac {e^{-2\phi ^{2}}\phi _{,\mu }\phi _{,}^{\mu }}{a_{0}^{2}(1+\beta ^{2})}}\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

مع فعل جماعي قياسي. هنا${\displaystyle f}$هي دالة اختيارية تُحدد سلوك نيوتن وسلوك نظرية الديناميكا النيوتونية المعدلة (MOND) ضمن الحدود الصحيحة. في حالة المجال القوي، تتحول هذه الدالة إلى نظرية برانز-ديك القياسية-الموترية مع${\displaystyle \beta =2\omega +3}$سرعان ما رُفضت هذه النظرية لأنها سمحت للأمواج في المجال القياسي بالانتشار بسرعة تفوق سرعة الضوء. ^{[ 85 ]} وبحلول عام 1988، عالج مجال قياسي ثانٍ (PCC) مشاكل النسخة القياسية-الموترية السابقة، ولكنه يتعارض مع ترنح الحضيض الشمسي لعطارد وعدسات الجاذبية الناتجة عن المجرات والعناقيد. وبحلول عام 1997، تم دمج نظرية MOND بنجاح في نظرية نسبية طبقية [ساندرز]، ولكن نظرًا لأن هذه النظرية إطار مرجعي مفضل، فإنها تعاني من مشاكلها الخاصة. وعلى الرغم من هذه المشاكل، فإن المفاهيم الأساسية لنظرية RAQUAL، مثل حد المجال الضعيف الذي يتبع${\displaystyle f(\chi )\approx \chi ^{\frac {3}{2}}}$تم اعتمادها تحت مسمى " الجاذبية الممتدة ". طور جاكوب بيكنشتاين تعميمًا نسبيًا لنظرية MOND في عام 2004، أطلق عليه اسم TeVeS ، والذي واجه بدوره مجموعة من المشاكل (انظر أدناه). وقد زُعم أن محاولة سكوردس وزلوسنيك في عام 2021 متوافقة مع رصد إشعاع الخلفية الكونية الميكروي، ولكنها تبدو مصطنعة للغاية. ^{[ 9 ] [ 90 ]}

طوّر جيه دبليو موفات ^{[ 71 ]} نظرية جاذبية غير متناظرة . وهي ليست نظرية مترية. زُعم في البداية أنها لا تحتوي على أفق ثقب أسود، لكن بوركو وأوري ^{[ 96 ]} وجدا أن نظرية الجاذبية غير المتناظرة يمكن أن تحتوي على ثقوب سوداء. لاحقًا، ادعى موفات أنه تم تطبيقها أيضًا لتفسير منحنيات دوران المجرات دون اللجوء إلى "المادة المظلمة". انتقد دامور وديزر وماكارثي ^{[ 97 ]} نظرية الجاذبية غير المتناظرة، قائلين إن لها سلوكًا تقاربيًا غير مقبول.

الرياضيات ليست صعبة، لكنها متشابكة، لذا فإن ما يلي مجرد لمحة موجزة. نبدأ بموتر غير متناظر${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$، يتم تقسيم كثافة لاغرانج إلى

${\displaystyle L=L_{R}+L_{M}\;}$

أين${\displaystyle L_{M}\;}$وهو نفس ما ينطبق على المادة في النسبية العامة.

${\displaystyle L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;}$

أين${\displaystyle R(W)\;}$هو مصطلح انحناء مشابه لانحناء ريتشي في النسبية العامة ولكنه ليس مساوياً له،${\displaystyle \lambda \;}$و${\displaystyle \mu ^{2}\;}$هي ثوابت كونية،${\displaystyle g_{[\nu \mu ]}\;}$هو الجزء غير المتناظر من${\displaystyle g_{\nu \mu }\;}$. ${\displaystyle W_{\mu }\;}$هو عبارة عن اتصال، ويصعب شرحه بعض الشيء لأنه يُعرَّف بشكل تكراري. ومع ذلك،${\displaystyle W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;}$

استخدم هوجان وكوفمان ^{[ 98 ]} قياسات استقطاب الضوء المنبعث من المجرات لفرض قيود دقيقة على مقدار بعض معلمات نظرية الجاذبية غير المتناظرة. كما استخدما تجارب هيوز-دريفر لتقييد درجات الحرية المتبقية. وكانت قيودهما أدق بثمانية مراتب من التقديرات السابقة.

تستطيع نظرية موفات ^{[ 73 ]} للجاذبية المترية-المائلة-الموترية (MSTG) التنبؤ بمنحنيات دوران المجرات دون الحاجة إلى المادة المظلمة أو نظرية الديناميكا النيوترونية المعدلة (MOND)، وتزعم أنها قادرة أيضًا على تفسير عدسة الجاذبية لتجمعات المجرات دون الحاجة إلى المادة المظلمة. وتختلف هذه النظرية في خصائصها.${\displaystyle G\;}$، وتزداد إلى قيمة ثابتة نهائية بعد حوالي مليون سنة من الانفجار العظيم.

يبدو أن النظرية تحتوي على موتر غير متماثل${\displaystyle A_{\mu \nu }\;}$المجال وتيار المصدر${\displaystyle J_{\mu }\;}$متجه. ينقسم الإجراء إلى:

${\displaystyle S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;}$

يتطابق كل من مصطلحي الجاذبية والكتلة مع مصطلحي النسبية العامة مع الثابت الكوني. أما فعل المجال المنحرف واقتران المادة بالمجال المنحرف فهما:

${\displaystyle S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^{\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;}$

${\displaystyle S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu }\;}$

أين

${\displaystyle F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }}$

و${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;}$هو رمز ليفي-تشيفيتا . اقتران المجال المائل هو اقتران باولي، وهو ثابت قياسياً لأي تيار مصدر. يبدو تيار المصدر كمجال فرميوني مادي مرتبط بعدد الباريونات واللبتونات .

بهدف إزالة الأشباح في المُوَصِّل المُعدَّل، وكذلك للحصول على الحرية التقاربية، قام بيسواس ومازومدار وسيجل ( 2005 ) بدراسة مجموعة لانهائية مستوحاة من نظرية الأوتار من حدود المشتقات العليا

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)}$

أين${\displaystyle F(\Box )}$هو الدالة الأسية لدالة كاملة لمؤثر دالمبير . ^{[ 99 ] [ 100 ]} وهذا يتجنب تفرد الثقب الأسود بالقرب من نقطة الأصل، مع استعادة انخفاض جهد النسبية العامة بنسبة 1/r عند المسافات الكبيرة. ^{[ 101 ]} وجد لوستو ومازيتيلي (1997) حلاً دقيقاً لهذه النظريات التي تمثل موجة صدمة جاذبية. ^{[ 102 ]}

يُعدّ نموذج التفاعل الذاتي في النسبية العامة ( GRSI ) ^{[ 103 ]} محاولةً لتفسير الملاحظات الفيزيائية الفلكية والكونية دون الحاجة إلى المادة المظلمة أو الطاقة المظلمة ، وذلك بإضافة حدود التفاعل الذاتي عند حساب التأثيرات الجاذبية في النسبية العامة ، على غرار حدود التفاعل الذاتي في الديناميكا اللونية الكمومية . ^{[ 104 ]} إضافةً إلى ذلك، يُفسّر النموذج علاقة تولي-فيشر ، ^{[ 105 ]} وعلاقة التسارع الشعاعي ، ^{[ 106 ]} وهي ملاحظات يصعب فهمها حاليًا ضمن نموذج لامدا-سي دي إم .

طُرح هذا النموذج في سلسلة من المقالات، يعود تاريخ أولها إلى عام 2003. ^{[ 107 ]} وتتلخص الفكرة الأساسية في أنه بما أن الحقول الجاذبية في النسبية العامة تتفاعل مع بعضها البعض، فإن هذا التفاعل الجاذبي بين الأجسام الضخمة يزيد بشكل فعال من قوة الجاذبية. وبالتالي، فإن هذه القوة الجاذبية الإضافية تُغني عن الحاجة إلى المادة المظلمة. ويُعد هذا التفاعل بين الحقول أصل السلوك غير الخطي للنسبية العامة . ويمكن فهمه، بلغة الجسيمات، على أنه تفاعل الجرافيتونات مع بعضها البعض (على الرغم من كونها عديمة الكتلة ) لأنها تحمل طاقة-زخم .

من النتائج الطبيعية لهذا النموذج تفسيره لتسارع توسع الكون دون اللجوء إلى الطاقة المظلمة . ^{[ 104 ]} تتطلب زيادة طاقة الربط داخل المجرة، وفقًا لقانون حفظ الطاقة ، ضعفًا في قوة الجذب خارجها. وهذا يحاكي تنافر الطاقة المظلمة.

يستلهم نموذج GRSI من القوة النووية القوية ، حيث تحدث ظاهرة مماثلة. يؤدي التفاعل بين الغلوونات المنبعثة من الكواركات الساكنة أو شبه الساكنة إلى تعزيز تفاعل الكواركات بشكل كبير، مما يؤدي في النهاية إلى حصر الكواركات من جهة (على غرار الحاجة إلى جاذبية أقوى لتفسير المادة المظلمة)، وإلى كبح القوة النووية القوية خارج الهادرونات من جهة أخرى (على غرار تنافر الطاقة المظلمة الذي يوازن التجاذب الجاذبي على نطاقات واسعة). ومن الظواهر الموازية الأخرى علاقة تولي-فيشر في ديناميكيات المجرات، والتي تُشابه مسارات ريجي الناشئة عن القوة القوية. في كلتا الحالتين، تتشابه الصيغ الظاهرية التي تصف هذه الملاحظات، وإن اختلفت العوامل العددية.

هذه أوجه التشابه متوقعة من وجهة نظر نظرية: فلكل من النسبية العامة ولاغرانجيات التفاعل القوي نفس الشكل. ^{[ 108 ] [ 109 ]} وتعتمد صحة نموذج GRSI ببساطة على ما إذا كان اقتران الحقول الجاذبية كبيرًا بما يكفي لحدوث التأثيرات نفسها التي تحدث في الهادرونات في الأنظمة ذات الكتلة الكبيرة جدًا. ويُعطى هذا الاقتران فعليًا بواسطة${\displaystyle {\sqrt {GM/L}}}$، أين${\displaystyle G}$هو ثابت الجاذبية ،${\displaystyle M}$كتلة النظام، و${\displaystyle L}$يمثل طولًا مميزًا للنظام. ويزعم مؤيدو نظرية GRSI، استنادًا إما إلى حسابات الشبكة ^{[ 109 ]} ، أو نموذج المجال الخلفي ^{[ 110 ]} ، أو الظواهر العرضية في ديناميكيات المجرات أو الهادرونات المذكورة في الفقرة السابقة، أن${\displaystyle {\sqrt {GM/L}}}$إنها بالفعل كبيرة بما يكفي للأنظمة الكبيرة مثل المجرات.

يشمل الاتساق الذاتي بين النظريات غير المترية استبعاد النظريات التي تسمح بوجود التاكيونات والأقطاب الوهمية والأقطاب ذات الرتب العليا، وتلك التي تعاني من مشاكل في السلوك عند اللانهاية. أما في النظريات المترية، فيتضح الاتساق الذاتي بشكل أفضل من خلال وصف العديد من النظريات التي تفشل في هذا الاختبار. المثال الكلاسيكي هو نظرية المجال الدوراني الثنائي لفيرز وباولي؛ ^{[ 22 ]} حيث تشير معادلات المجال إلى أن الأجسام المتأثرة بالجاذبية تتحرك في خطوط مستقيمة، بينما تؤكد معادلات الحركة أن الجاذبية تحرف الأجسام بعيدًا عن الحركة في خط مستقيم. يحتوي بحث يلماز (1971) ^{[ 34 ]} على مجال جاذبية موتر يُستخدم لبناء مقياس؛ وهو غير متسق رياضيًا لأن الاعتماد الوظيفي للمقياس على مجال الموتر غير محدد بدقة.

لكي تكون نظرية الجاذبية كاملة، يجب أن تكون قادرة على تحليل نتائج كل تجربة ذات أهمية. ولذلك، يجب أن تتوافق مع الكهرومغناطيسية وجميع فروع الفيزياء الأخرى. على سبيل المثال، أي نظرية لا تستطيع التنبؤ، انطلاقاً من المبادئ الأساسية، بحركة الكواكب أو سلوك الساعات الذرية تُعتبر ناقصة.

العديد من النظريات المبكرة غير مكتملة، إذ أنه من غير الواضح ما إذا كانت الكثافة${\displaystyle \rho }$ينبغي حساب القيم المستخدمة في النظرية من موتر الإجهاد والطاقة.${\displaystyle T}$مثل${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$أو كما${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }}$، أين${\displaystyle u}$هي السرعة الرباعية ، و${\displaystyle \delta }$هي دلتا كرونكر . نظريات ثيري (1948) وجوردان ^{[ 29 ]} غير مكتملة ما لم يتم إدخال معامل جوردان.${\displaystyle \eta \;}$إذا تم ضبطها على -1، فإنها تتطابق مع نظرية برانز-ديك ^{[ 15 ]} ، وبالتالي تستحق مزيدًا من الدراسة. نظرية ميلن ^{[ 24 ]} غير مكتملة لأنها لا تقدم أي تنبؤ بالانزياح الأحمر التثاقلي. أما نظريات ويتراو وموردوخ ^{[ 35 ] [ 36 ]} ، وكوستانهيمو ^{[ 37 ]} ، وكوستانهيمو ونووتيو ^{[ 38 ]} فهي إما غير مكتملة أو غير متسقة. إن دمج معادلات ماكسويل غير مكتمل ما لم يُفترض أنها مفروضة على الزمكان المسطح، وعندها تصبح غير متسقة، لأنها تتنبأ بانزياح أحمر تثاقلي صفري عند استخدام النسخة الموجية للضوء (نظرية ماكسويل)، وانزياح أحمر غير صفري عند استخدام النسخة الجسيمية (الفوتون). مثال آخر أكثر وضوحًا هو جاذبية نيوتن مع معادلات ماكسويل. ينحرف الضوء على شكل فوتونات بفعل المجالات الجاذبية (بنصف ما تنص عليه النسبية العامة) لكن الضوء على شكل موجات لا ينحرف.