أناتولي كاراتسوبا

في ورقة إدوارد ف. مور ، ^{[ 5 ]}${\displaystyle (n;m;p)}$، آلة ذاتية الحركة (أو آلة)${\displaystyle S}$يُعرَّف بأنه جهاز مزود بـ${\displaystyle n}$الولايات،${\displaystyle m}$رموز الإدخال و${\displaystyle p}$رموز الإخراج. تسع نظريات حول بنية${\displaystyle S}$وتجارب مع${\displaystyle S}$وقد ثبت ذلك. وفي وقت لاحق، مثل هذا${\displaystyle S}$حصلت الآلات على اسم آلات مور . في نهاية الورقة، في فصل «المشاكل الجديدة»، يصوغ مور مشكلة تحسين التقديرات التي حصل عليها في النظريتين 8 و9:

النظرية 8 (مور)

بافتراض قيمة عشوائية${\displaystyle (n;m;p)}$آلة${\displaystyle S}$بحيث يمكن تمييز كل حالتين عن بعضهما البعض، توجد تجربة بطول${\displaystyle n(n-1)/2}$الذي يحدد حالة${\displaystyle S}$في نهاية هذه التجربة.

في عام 1957 أثبت كاراتسوبا نظريتين حلتا بشكل كامل مشكلة مور المتعلقة بتحسين تقدير طول التجربة في نظريته رقم 8 .

النظرية أ (كاراتسوبا)

لو${\displaystyle S}$هو${\displaystyle (n;m;p)}$إذا كانت الآلة بحيث يمكن تمييز كل حالتين من حالاتها عن بعضهما البعض، فإنه يوجد تجربة متفرعة طولها على الأكثر${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$، والتي من خلالها يمكن للمرء أن يجد الحالة${\displaystyle S}$في نهاية التجربة.

النظرية ب (كاراتسوبا)

يوجد${\displaystyle (n;m;p)}$آلة، يمكن تمييز كل حالة من حالاتها عن الأخرى، بحيث يكون طول أقصر تجربة لإيجاد حالة الآلة في نهاية التجربة مساوياً لـ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$.

أثبت كاراتسوبا هاتين النظريتين في سنته الرابعة كأساس لمشروع تخرجه؛ وقُدِّم البحث ذو الصلة إلى مجلة "Uspekhi Mat. Nauk" في 17 ديسمبر 1958 ونُشر في يونيو 1960. ^{[ 6 ]} وحتى يومنا هذا (2011)، لا تزال نتيجة كاراتسوبا هذه، التي اكتسبت فيما بعد اسم "نظرية مور-كاراتسوبا"، النتيجة غير الخطية الدقيقة الوحيدة (الترتيب غير الخطي الدقيق الوحيد للتقدير) في كل من نظرية الأوتوماتا وفي المشكلات المماثلة لنظرية تعقيد الحسابات.

قامت شركة AAKaratsuba ببناء مبنى جديد${\displaystyle p}$الطريقة -adic في نظرية المجاميع المثلثية. ^{[ 11 ]} تقديرات ما يسمى${\displaystyle L}$-مجاميع من الشكل

${\displaystyle S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\cdots +a_{n}x^{n}/p)},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,}$

أدى ذلك ^{[ 12 ]} إلى الحدود الجديدة لأصفار دالة ديريشليه${\displaystyle L}$-متسلسلة modulo a قوة لعدد أولي ، إلى الصيغة التقاربية لعدد تطابق Waring من الشكل

${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},}$

لحل مشكلة توزيع الأجزاء الكسرية لكثير الحدود ذي المعاملات الصحيحة modulo${\displaystyle p^{k}}$كانت AA Karatsuba أول من أدرك ذلك ^{[ 13 ]} في${\displaystyle p}$-adic form «مبدأ التضمين» الخاص بأويلر-فينوغرادوف ولحساب a${\displaystyle p}$نظير -adic لفينوغرادوف${\displaystyle u}$-الأرقام عند تقدير عدد حلول التطابق من نوع Waring.

افترض أن  :${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)}$وعلاوة على ذلك  :${\displaystyle P^{r}\leq Q<P^{r+1},\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12}}{\sqrt {n}},\quad Q=p^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,}$أين${\displaystyle p}$هو عدد أولي. أثبت كاراتسوبا أنه في هذه الحالة لأي عدد طبيعي${\displaystyle n\geq 144}$يوجد${\displaystyle p_{0}=p_{0}(n)}$بحيث يكون لأي${\displaystyle p_{0}>p_{0}(n)}$كل عدد طبيعي${\displaystyle N}$يمكن تمثيلها بالشكل (1) لـ${\displaystyle t\geq 20r+1}$و لـ${\displaystyle t<r}$يوجد${\displaystyle N}$بحيث لا يكون للتطابق (1) حلول.

أدى هذا النهج الجديد، الذي توصل إليه كاراتسوبا، إلى جديد${\displaystyle p}$برهان -adic لنظرية القيمة المتوسطة لفينوغرادوف ، والتي تلعب الدور المركزي في طريقة فينوغرادوف للمجاميع المثلثية.

مكون آخر من${\displaystyle p}$طريقة -adic لـ AA Karatsuba هي الانتقال من أنظمة المعادلات غير الكاملة إلى أنظمة المعادلات الكاملة على حساب المحلي${\displaystyle p}$تغيير -adic للمجاهيل. ^{[ 14 ]}

يترك${\displaystyle r}$ليكن عددًا طبيعيًا كيفيًا ،${\displaystyle 1\leq r\leq n}$حدد عددًا صحيحًا${\displaystyle t}$بسبب عدم المساواة${\displaystyle m_{t}\leq r\leq m_{t+1}}$انظر إلى نظام المعادلات

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}}\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}}\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}\end{cases}}}$

${\displaystyle 1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots <m_{s}<m_{s+1}=n.}$

أثبت كاراتسوبا أن عدد الحلول${\displaystyle I_{k}}$من هذا النظام من المعادلات لـ${\displaystyle k\geq 6rn\log n}$يفي بالتقدير

${\displaystyle I_{k}\ll P^{2k-\delta },\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.}$

بالنسبة لأنظمة المعادلات غير المكتملة، التي تتضمن متغيرات ذات قواسم أولية صغيرة، طبق كاراتسوبا التحويل الضربي للمتغيرات. وقد أدى ذلك إلى تقدير جديد جوهريًا للمجاميع المثلثية ونظرية جديدة للقيمة المتوسطة لمثل هذه الأنظمة من المعادلات.

${\displaystyle p}$تتضمن طريقة AAKaratsuba-adic تقنيات تقدير مقياس مجموعة النقاط ذات القيم الصغيرة للدوال بدلالة قيم معلماتها (المعاملات وما إلى ذلك)، وعلى العكس من ذلك، تقنيات تقدير تلك المعلمات بدلالة مقياس هذه المجموعة في الأعداد الحقيقية و${\displaystyle p}$المقاييس -adic. تجلى هذا الجانب من طريقة كاراتسوبا بوضوح خاص في تقدير التكاملات المثلثية، مما أدى إلى حل مسألة هوا لوغينغ . في عام 1979، حصل كاراتسوبا، بالتعاون مع تلميذيه جي. آي. أرخيبوف وفي. إن. تشوباريكوف، على حل كامل ^{[ 15 ]} لمسألة هوا لوغينغ لإيجاد أس تقارب التكامل.

${\displaystyle \vartheta _{0}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\cdots +\alpha _{1}x)}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}\ldots d\alpha _{1},}$

أين${\displaystyle n\geq 2}$هو رقم ثابت.

في هذه الحالة، يعني أس التقارب القيمة${\displaystyle \gamma }$بحيث${\displaystyle \vartheta _{0}}$يتقارب لـ${\displaystyle 2k>\gamma +\varepsilon }$ويختلف لـ${\displaystyle 2k<\gamma -\varepsilon }$، أين${\displaystyle \varepsilon >0}$صغير بشكل تعسفي. وقد ثبت أن التكامل${\displaystyle \vartheta _{0}}$يتقارب لـ${\displaystyle 2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$ويختلف لـ ${\displaystyle 2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$.

وفي الوقت نفسه، تم حل المشكلة المماثلة المتعلقة بالتكامل: ${\displaystyle \vartheta _{1}=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots +\alpha _{r}x^{r})}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}d\alpha _{m}\ldots d\alpha _{r},}$ أين${\displaystyle n,m,\ldots ,r}$هي أعداد صحيحة، تحقق الشروط التالية  :${\displaystyle 1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

أثبت كاراتسوبا وطلابه أن التكامل${\displaystyle \vartheta _{1}}$يتقارب، إذا${\displaystyle 2k>n+m+\ldots +r}$ويتباعد، إذا${\displaystyle 2k\leq n+m+\ldots +r}$.

التكاملات${\displaystyle \vartheta _{0}}$و${\displaystyle \vartheta _{1}}$ظهرت هذه النتائج في دراسة ما يُسمى بمسألة بروهيه-تاري-إسكوت . وقد حصل كاراتسوبا وطلابه على سلسلة من النتائج الجديدة المتعلقة بالنظير متعدد الأبعاد لمسألة تاري. وعلى وجه الخصوص، أثبتوا أنه إذا${\displaystyle F}$هي متعددة الحدود في${\displaystyle r}$المتغيرات (${\displaystyle r\geq 2}$) على شكل  : ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{r})\,=\,\sum \limits _{\nu _{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{\nu _{r}=0}^{n_{r}}\alpha (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})x_{1}^{\nu _{1}}\ldots x_{r}^{\nu _{r}},}$ مع وجود حد حر صفري، ${\displaystyle m=(n_{1}+1)\ldots (n_{r}+1)-1}$،${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$هو${\displaystyle m}$متجه ذو أبعاد، يتكون من معاملات${\displaystyle F}$ثم التكامل  : ${\displaystyle \vartheta _{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}\cdots \int \limits _{0}^{1}e^{2\pi iF(x_{1},\ldots ,x_{r})}dx_{1}\ldots dx_{r}{\biggr |}^{2k}d{\bar {\alpha }}}$يتقارب لـ${\displaystyle 2k>mn}$، أين${\displaystyle n}$هو أعلى الأرقام${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$هذه النتيجة، لكونها ليست نهائية، ولّدت مجالًا جديدًا في نظرية التكاملات المثلثية، يرتبط بتحسين حدود أس التقارب.${\displaystyle \vartheta _{2}}$(IA Ikromov، M. A. Chahkiev وآخرون).

في الفترة ما بين عامي 1966 و1980، قام كاراتسوبا بتطوير ^{[ 16 ] [ 17 ]} (بمشاركة تلميذيه جي آي أرخيبوف وفي إن تشوباريكوف) نظرية المجاميع المثلثية المتعددة لهيرمان فايل ، أي المجاميع من الشكل

${\displaystyle S=S(A)=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\dots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}$، أين${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}\dots \sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}\dots x_{r}^{t_{r}}}$،

${\displaystyle A}$هو نظام من المعاملات الحقيقية${\displaystyle \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})}$إن النقطة المركزية لتلك النظرية، كما هو الحال في نظرية المجاميع المثلثية لفينوغرادوف، هي نظرية القيمة المتوسطة التالية .

يترك${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}}$لتكن أعدادًا طبيعية،${\displaystyle P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})}$،${\displaystyle m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)}$علاوة على ذلك، دع${\displaystyle \Omega }$كن${\displaystyle m}$مكعب ذو أبعاد من الشكل  ::${\displaystyle 0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1}$،${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}}$، في الفضاء الإقليدي  : و  ::${\displaystyle J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int }}|S(A)|^{2K}dA}$ثم  لأي${\displaystyle \tau \geq 0}$و${\displaystyle K\geq K_{\tau }=m\tau }$القيمة${\displaystyle J}$يمكن تقديرها على النحو التالي

${\displaystyle J\leq K_{\tau }^{2m\tau }\varkappa ^{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}2^{8m\varkappa \tau }(P_{1}\dots P_{r})^{2K}P^{-\varkappa \Delta (\tau )}}$،  :

أين${\displaystyle \varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}}$،${\displaystyle \gamma \varkappa =1}$،${\displaystyle \Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{\tau })}$،${\displaystyle P=(P_{1}^{n_{1}}\dots P_{r}^{n_{r}})^{\gamma }}$والأعداد الطبيعية${\displaystyle \nu _{1},\dots ,\nu _{r}}$هي بحيث:  ::${\displaystyle -1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0}$،${\displaystyle s=1,\dots ,r}$.

تشكل نظرية القيمة المتوسطة واللمة المتعلقة بتعدد تقاطع متوازيات السطوح متعددة الأبعاد أساس تقدير المجموع المثلثي المتعدد، الذي توصل إليه كاراتسوبا (وقد اشتق جي. آي. أرخيبوف ^{[ 18 ]} الحالة ثنائية الأبعاد ). بالرمز${\displaystyle Q_{0}}$المضاعف المشترك الأصغر للأعداد${\displaystyle q(t_{1},\dots ,t_{r})}$مع الشرط${\displaystyle t_{1}+\dots t_{r}\geq 1}$، ل${\displaystyle Q_{0}\geq P^{1/6}}$التقدير صحيح

${\displaystyle |S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu (Q_{0})}(\tau (Q_{0}))^{r-1}P_{1}\dots P_{r}Q^{-0.1\mu }+2^{8r}(r\mu ^{-1})^{r-1}P_{1}\dots P_{r}P^{-0.05\mu }}$،

أين${\displaystyle \tau (Q)}$هو عدد قواسم العدد الصحيح${\displaystyle Q}$، و${\displaystyle \nu (Q)}$هو عدد القواسم الأولية المختلفة للعدد${\displaystyle Q}$.

تطبيق${\displaystyle p}$باستخدام الصيغة -adic لطريقة هاردي-ليتلوود-رامانوجان-فينوغرادوف لتقدير المجاميع المثلثية، حيث يتم الجمع على الأعداد ذات القواسم الأولية الصغيرة، حصل كاراتسوبا ^{[ 19 ]} على تقدير جديد لدالة هاردي المعروفة.${\displaystyle G(n)}$في مسألة وارينغ (لـ${\displaystyle n\geq 400}$):

${\displaystyle \!G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.}$

وفي بحثه اللاحق لمسألة وارينغ، حصل كاراتسوبا ^{[ 20 ]} على التعميم ثنائي الأبعاد التالي لتلك المسألة:

لننظر في نظام المعادلات

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}}$ ، ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$،

أين${\displaystyle N_{i}}$يتم إعطاؤها أعدادًا صحيحة موجبة من نفس رتبة النمو،${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$، و${\displaystyle x_{\varkappa },y_{\varkappa }}$هي مجاهيل، وهي أيضًا أعداد صحيحة موجبة. هذا النظام له حلول، إذا${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$وإذا${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$إذن يوجد مثل هذا${\displaystyle N_{i}}$، أي أن النظام ليس لديه حلول.

طرح إميل أرتين المشكلة على${\displaystyle p}$_{تمثيل الصفر في فضاء} p-adic بواسطة شكل من الدرجة d العشوائية . افترض آرتين في البداية نتيجةً تُوصف الآن بأن حقل p-adic هو حقل C² ؛ أي أن تمثيل الصفر غير تافه سيحدث إذا كان عدد المتغيرات على الأقل d² ^. وقد ثبت عدم صحة ذلك من خلال مثال قدمه جاي تيرجانيان . أظهر كاراتسوبا أنه لكي يكون للصفر تمثيل غير تافه بواسطة شكل، يجب أن ينمو عدد المتغيرات أسرع من النمو متعدد الحدود في الدرجة d ؛ بل يجب أن ينمو هذا العدد نموًا أُسّيًا تقريبًا، اعتمادًا على الدرجة. أثبت كاراتسوبا وطالبه أرخيبوف ^{[ 21 ]} أنه لأي عدد طبيعي${\displaystyle r}$يوجد${\displaystyle n_{0}=n_{0}(r)}$بحيث يكون لأي${\displaystyle n\geq n_{0}}$يوجد شكل ذو معاملات صحيحة${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{k})}$من درجة أصغر من${\displaystyle n}$، وعدد متغيراتها هو${\displaystyle k}$،${\displaystyle k\geq 2^{u}}$،

${\displaystyle u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)} _{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}} _{r+1}}}}$

والذي لا يملك سوى تمثيل تافه للصفر في الأعداد الثنائية. كما حصلوا على نتيجة مماثلة لأي عدد أولي فردي ذي معامل${\displaystyle p}$.

قام كاراتسوبا بتطوير ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]} (1993-1999) طريقة جديدة لتقدير مجاميع كلوسترمان القصيرة ، أي المجاميع المثلثية من الشكل

${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr )}},}$

أين${\displaystyle n}$يمر عبر مجموعة${\displaystyle A}$من الأعداد، الأولية فيما بينها${\displaystyle m}$عدد العناصر${\displaystyle \|A\|}$حيث يكون أصغر بشكل أساسي من${\displaystyle m}$والرمز${\displaystyle n^{*}}$يشير إلى فئة التطابق، عكس لـ${\displaystyle n}$modulo${\displaystyle m}$:${\displaystyle nn^{*}\equiv 1(\mod m)}$.

حتى أوائل التسعينيات، كانت التقديرات من هذا النوع معروفة، بشكل رئيسي، للمجاميع التي يكون فيها عدد الحدود أعلى من${\displaystyle {\sqrt {m}}}$( إتش دي كلوسترمان ، آي إم فينوغرادوف ، إتش سالي، إل كارليتز ، إس أوتشياما، إيه ويل ). الاستثناء الوحيد كان المعاملات الخاصة من الشكل${\displaystyle m=p^{\alpha }}$، أين${\displaystyle p}$هو عدد أولي ثابت والأس${\displaystyle \alpha }$تزداد إلى ما لا نهاية (درس هذه الحالة أ. ج. بوستنيكوف باستخدام طريقة فينوغرادوف). تُمكّن طريقة كاراتسوبا من تقدير مجاميع كلوسترمان حيث لا يتجاوز عدد الحدود

${\displaystyle m^{\varepsilon },}$

وفي بعض الحالات حتى

${\displaystyle \exp {\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}},}$

أين${\displaystyle \varepsilon >0}$هو عدد ثابت صغير بشكل تعسفي. نُشرت الورقة البحثية الأخيرة لكاراتسوبا حول هذا الموضوع ^{[ 25 ] بعد وفاته.}

وجدت جوانب مختلفة من طريقة كاراتسوبا تطبيقات في المسائل التالية من نظرية الأعداد التحليلية:

• إيجاد السلوك التقاربي لمجموع الأجزاء الكسرية من الشكل التالي  :${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{p\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{*}+bp}{m}}{\biggr \}},}$ : أين${\displaystyle n}$يتم تشغيلها، واحدة تلو الأخرى، عبر الأعداد الصحيحة التي تحقق الشرط${\displaystyle (n,m)=1}$، و${\displaystyle p}$يمر عبر الأعداد الأولية التي لا تقسم الوحدة${\displaystyle m}$(كاراتسوبا)؛

• إيجاد حد أدنى لعدد حلول المتباينات من الشكل التالي  :${\displaystyle \alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta }$ : في الأعداد الصحيحة${\displaystyle n}$،${\displaystyle 1\leq n\leq x}$، أولي نسبيًا لـ${\displaystyle m}$،${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$(كاراتسوبا)؛
• دقة تقريب عدد حقيقي عشوائي في القطعة${\displaystyle [0,1]}$بأجزاء كسرية من الشكل التالي  :

${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},}$ : أين${\displaystyle 1\leq n\leq x}$،${\displaystyle (n,m)=1}$،${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$ (كاراتسوبا)؛

• ثابت أكثر دقة${\displaystyle c}$في نظرية برون-تيتشمارش  :

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$ : أين${\displaystyle \pi (x;q,l)}$عدد الأعداد الأولية${\displaystyle p}$، على ألا تتجاوز${\displaystyle x}$وينتمي إلى المتتابعة الحسابية${\displaystyle p\equiv l{\pmod {q}}}$ ( ج. فريدلاندر ، ه. إيوانيك )؛

• حد أدنى لأكبر قاسم أولي لحاصل ضرب أعداد من الشكل  :

${\displaystyle n^{3}+2}$،${\displaystyle N<n\leq 2N}$ ( دكتور هيث براون )؛

• إثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية من الشكل التالي:

${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ ( ج. فريدلاندر ، ه. إيوانيك )؛

• الخصائص التوافقية لمجموعة الأعداد  :

${\displaystyle n^{*}{\pmod {m}}}$${\displaystyle 1\leq n\leq m^{\varepsilon }}$ (أ.أ. غليبتشوك).