نظرية الأعداد التحليلية

استُلهم جزء كبير من نظرية الأعداد التحليلية من نظرية الأعداد الأولية . لنفترض أن π( x ) هي دالة عدّ الأعداد الأولية التي تُعطي عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي x ، لأي عدد حقيقي x . على سبيل المثال، π(10) = 4 لأن هناك أربعة أعداد أولية (2، 3، 5، و7) أقل من أو تساوي 10. تنص نظرية الأعداد الأولية على أن x /ln( x ) هو تقريب جيد لـ π( x )، بمعنى أن نهاية حاصل قسمة الدالتين π( x ) و x /ln( x ) عندما يقترب x من اللانهاية تساوي 1.   

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

يُعرف باسم قانون التوزيع التقاربي للأعداد الأولية.

افترض أدريان ماري ليجندر في عام 1797 أو 1798 أن π( a ) تُقارب بالدالة a /( A ln( a )  + B )، حيث A و B ثابتان غير محددين. وفي الطبعة الثانية من كتابه عن نظرية الأعداد (1808)، قدم تخمينًا أكثر دقة، حيث A = 1 و B ≈ −1.08366 . تناول كارل فريدريش جاوس المسألة نفسها: "في عام 1792 أو 1793"، وفقًا لما يتذكره. بعد ما يقرب من ستين عامًا، في رسالة إلى إنكه (1849)، كتب في جدول اللوغاريتمات الخاص به (كان عمره آنذاك 15 أو 16 عامًا) الملاحظة القصيرة "Primzahlen unter     ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$"(الأعداد الأولية تحت${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$لكن غاوس لم ينشر هذه الفرضية قط. في عام 1838، ابتكر بيتر غوستاف ليجون ديريشليه دالته التقريبية الخاصة، وهي التكامل اللوغاريتمي π( x ) (بصيغة متسلسلة مختلفة قليلاً، والتي أبلغ بها غاوس). تشير صيغتا ليجندر وديريشليه إلى نفس التكافؤ التقاربي المفترض لـ π( x ) و x  /  ln( x ) المذكور أعلاه، على الرغم من أنه تبين أن تقريب ديريشليه أفضل بكثير إذا أخذنا في الاعتبار الفروق بدلاً من نواتج القسمة.

يُنسب إلى يوهان بيتر غوستاف ليجون ديريشليه الفضل في تأسيس نظرية الأعداد التحليلية، ^{[ 6 ]} وهو مجالٌ توصل فيه إلى العديد من النتائج العميقة، وقدم في إثباتها بعض الأدوات الأساسية، التي سُمّي الكثير منها لاحقًا باسمه. في عام 1837، نشر ديريشليه نظرية المتتابعات الحسابية ، مستخدمًا مفاهيم التحليل الرياضي لمعالجة مسألة جبرية، وبذلك أسس فرعًا من نظرية الأعداد التحليلية. وفي إثبات النظرية، قدم ديريشليه مُؤشرات ديريشليه ودوال L. ^{[ 6 ] [ 7 ]} وفي عام 1841، عمّم ديريشليه نظريته في المتتابعات الحسابية من الأعداد الصحيحة إلى حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية .${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$[ ^{8 ]​}

في ورقتين بحثيتين نُشرتا عامي 1848 و1850، حاول عالم الرياضيات الروسي بافنوتي لفوفيتش تشيبيشيف إثبات قانون التوزيع التقاربي للأعداد الأولية. ويُذكر عمله لاستخدامه دالة زيتا ζ( s ) (للقيم الحقيقية للمتغير s، كما هو الحال في أعمال ليونارد أويلر ، منذ عام 1737)، وهو ما سبق مذكرة ريمان الشهيرة عام 1859. وقد نجح في إثبات صيغة أضعف قليلاً من القانون التقاربي، وهي أنه إذا وُجدت نهاية π( x )/( x /ln( x )) عندما تؤول x إلى اللانهاية، فإنها تساوي بالضرورة واحدًا. ^{[ 9 ]} وقد استطاع أن يُثبت بشكل قاطع أن هذه النسبة محدودة من الأعلى والأسفل بثابتين معطيين صراحةً قريبين من 1 لجميع قيم x . ^{[ 10 ]} على الرغم من أن ورقة تشيبيشيف لم تثبت نظرية الأعداد الأولية، إلا أن تقديراته لـ π( x ) كانت قوية بما يكفي لإثبات فرضية برتراند التي تنص على وجود عدد أولي بين n و 2 n لأي عدد صحيح n  ≥  2.

قدّم برنارد ريمان إسهاماتٍ بارزةً في نظرية الأعداد التحليلية الحديثة. ففي ورقةٍ بحثيةٍ قصيرةٍ واحدة (وهي الوحيدة التي نشرها في مجال نظرية الأعداد)، درس دالة زيتا لريمان ، وأثبت أهميتها في فهم توزيع الأعداد الأولية . كما طرح سلسلةً من التخمينات حول خصائص دالة زيتا ، من بينها فرضية ريمان الشهيرة .

استنادًا إلى أفكار ريمان، توصل جاك هادامارد وشارل جان دي لا فالي بوسان بشكل مستقل إلى برهانين لنظرية الأعداد الأولية ، ونُشرا في العام نفسه (1896). استخدم كلا البرهانين أساليب من التحليل المركب ، حيث أثبتا كخطوة رئيسية في البرهان أن دالة زيتا لريمان ζ( s ) لا تساوي الصفر لجميع القيم المركبة للمتغير s التي تأخذ الشكل s = 1 + it حيث t > 0. ^{[ 12 ]}      

كان أبرز تغيير تقني بعد عام 1950 هو تطوير طرق الغربلة ، ^{[ 13 ]} لا سيما في مسائل الضرب. هذه الطرق ذات طبيعة توافقية ومتنوعة للغاية. وقد تأثر فرع التطرف في النظرية التوافقية بشكل كبير بالقيمة التي توليها نظرية الأعداد التحليلية للحدود العليا والدنيا الكمية. ومن التطورات الحديثة الأخرى نظرية الأعداد الاحتمالية ، ^{[ 14 ]} التي تستخدم أساليب من نظرية الاحتمالات لتقدير توزيع الدوال العددية، مثل عدد القواسم الأولية لعدد ما.

وعلى وجه التحديد، فقد استخدمت جميع الإنجازات التي حققها كل من ييتانغ تشانغ وجيمس ماينارد وتيرينس تاو وبن غرين طريقة غولدستون - بينتز - يلدريم ، والتي استخدموها في الأصل لإثبات أن ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

$${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).}$$

غالبًا ما تُمثل التطورات في نظرية الأعداد التحليلية تحسيناتٍ للتقنيات السابقة، مما يُقلل من حدود الخطأ ويُوسع نطاق تطبيقها. على سبيل المثال، صُممت طريقة الدائرة لهاردي وليتلوود لتطبيقها على متسلسلات القوى بالقرب من دائرة الوحدة في المستوى المركب ؛ أما الآن ، فيُنظر إليها من منظور المجاميع الأسية المحدودة (أي على دائرة الوحدة، ولكن مع اقتطاع متسلسلة القوى). تكمن احتياجات التقريب الديوفانتي في الدوال المساعدة التي ليست دوالًا مولدة - حيث تُبنى معاملاتها باستخدام مبدأ التوزيع - والتي تتضمن عدة متغيرات مركبة . وقد توسعت مجالات التقريب الديوفانتي ونظرية التجاوز ، لدرجة أنه تم تطبيق هذه التقنيات على حدسية مورديل .

أثبت إقليدس وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. ومن الأسئلة المهمة تحديد التوزيع التقاربي للأعداد الأولية؛ أي وصف تقريبي لعدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين. وقد افترض غاوس ، من بين آخرين، بعد حساب قائمة كبيرة من الأعداد الأولية، أن عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي عددًا كبيرًا N قريب من قيمة التكامل .

$${\displaystyle \int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}}\,dt.}$$

في عام 1859، استخدم برنارد ريمان التحليل المركب ودالة ميرومورفية خاصة تُعرف الآن بدالة زيتا لريمان، لاستنتاج صيغة تحليلية لعدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي عددًا حقيقيًا x . والجدير بالذكر أن الحد الرئيسي في صيغة ريمان كان هو التكامل المذكور أعلاه تحديدًا، مما أعطى وزنًا كبيرًا لتخمين غاوس. وجد ريمان أن حدود الخطأ في هذه الصيغة، وبالتالي طريقة توزيع الأعداد الأولية، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالأصفار المركبة لدالة زيتا. وباستخدام أفكار ريمان، ومن خلال الحصول على مزيد من المعلومات حول أصفار دالة زيتا، تمكن جاك هادامارد وشارل جان دي لا فالي بوسان من إكمال برهان تخمين غاوس. وعلى وجه الخصوص، أثبتا أنه إذا  $${\displaystyle \pi (x)=({\text{عدد الأعداد الأولية }}\leq x),}$$ ثم $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$$

تُعرف هذه النتيجة المذهلة الآن باسم نظرية الأعداد الأولية ، وهي نتيجة محورية في نظرية الأعداد التحليلية. وبعبارة أخرى، تنص هذه النظرية على أنه إذا كان لدينا عدد كبير N ، فإن عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي N يساوي تقريبًا N /log( N ).

بشكلٍ أعم، يمكن طرح السؤال نفسه حول عدد الأعداد الأولية في أي متتالية حسابية a + nq لأي عدد صحيح n . في أحد التطبيقات الأولى للتقنيات التحليلية في نظرية الأعداد، أثبت ديريشليه أن أي متتالية حسابية يكون فيها a و q أوليين فيما بينهما تحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. يمكن تعميم نظرية الأعداد الأولية على هذه المسألة؛ بفرض $${\displaystyle \pi (x,a,q)=({\text{عدد الأعداد الأولية}}\leq x{\text{ في المتتابعة الحسابية}}a+nq,\ n\in \mathbf {Z} ),}$$ إذا كان a و q عددين أوليين فيما بينهما، $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1,}$$ أين${\displaystyle \phi }$هي دالة الشد . ^{[ 21 ]}

توجد أيضًا العديد من التخمينات العميقة والواسعة النطاق في نظرية الأعداد، والتي تبدو براهينها صعبة للغاية بالنسبة للتقنيات الحالية، مثل تخمين الأعداد الأولية التوأم ، الذي يسأل عما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية p بحيث يكون p  +  2 عددًا أوليًا. وبناءً على فرضية إليوت-هالبرستام، فقد ثبت مؤخرًا وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية p بحيث يكون p  + k عددًا أوليًا لبعض الأعداد الزوجية الموجبة k التي لا تتجاوز 12. كما ثبت بشكل قاطع (أي دون الاعتماد على تخمينات غير مثبتة) وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية p بحيث يكون p + k عددًا أوليًا لبعض الأعداد الزوجية الموجبة k التي لا تتجاوز 246.     

تُعد مسألة وارينغ واحدة من أهم المشكلات في نظرية الأعداد الجمعية ، والتي تسأل عما إذا كان من الممكن، لأي عدد صحيح موجب k  ≥  2، كتابة أي عدد صحيح موجب على شكل مجموع عدد محدود من القوى k .

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.}$

أجاب لاغرانج عام 1770 على مسألة المربعات، حيث k  =  2، مُثبتًا أن كل عدد صحيح موجب هو مجموع أربعة مربعات على الأكثر. أما الحالة العامة، فقد أثبتها هيلبرت عام 1909 باستخدام تقنيات جبرية لم تُعطِ حدودًا صريحة. وكان من أهم الإنجازات تطبيق الأدوات التحليلية على هذه المسألة من قِبل هاردي وليتلوود . تُعرف هذه التقنيات باسم طريقة الدائرة، وتُعطي حدودًا عليا صريحة للدالة G ( k )، وهي أصغر عدد من القوى k اللازمة، مثل حد فينوغرادوف .

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).}$

تتعلق المسائل الديوفانتية بالحلول الصحيحة للمعادلات متعددة الحدود: يمكن للمرء أن يدرس توزيع الحلول، أي حساب الحلول وفقًا لمقياس "الحجم" أو الارتفاع .

ومن الأمثلة المهمة مسألة دائرة جاوس ، التي تطلب إيجاد نقاط صحيحة ( س ص ) تحقق 

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

من الناحية الهندسية، إذا كانت لدينا دائرة مركزها نقطة الأصل في المستوى ونصف قطرها r ، فإن المسألة تسأل عن عدد نقاط الشبكة الصحيحة التي تقع على الدائرة أو داخلها. ليس من الصعب إثبات أن الإجابة هي${\displaystyle \pi r^{2}+E(r)}$، أين${\displaystyle E(r)/r^{2}\to 0}$مثل${\displaystyle r\to \infty }$ومرة أخرى، فإن الجزء الصعب والإنجاز العظيم لنظرية الأعداد التحليلية هو الحصول على حدود عليا محددة على حد الخطأ E ( r ). 

وقد أثبت غاوس أن${\displaystyle E(r)=O(r)}$بشكل عام، يمكن الحصول على حد خطأ من الرتبة O ( r ) باستبدال دائرة الوحدة (أو، بشكل أدق، قرص الوحدة المغلق) بامتدادات أي منطقة مستوية محدودة ذات حدود ناعمة جزئيًا. علاوة على ذلك، باستبدال دائرة الوحدة بمربع الوحدة، يمكن أن يكون حد الخطأ للمسألة العامة كبيرًا كدالة خطية في r . وبالتالي، نحصل على حد خطأ من الشكل التالي: ${\displaystyle O(r^{\delta })}$ بالنسبة للبعض${\displaystyle \delta <1}$في حالة الدائرة، يُعد هذا تحسناً ملحوظاً. وكان سيربينسكي أول من حقق ذلك في عام 1906، الذي أظهر${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$في عام 1915، أثبت كل من هاردي ولاندو أن المرء لا يمتلك${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}$ومنذ ذلك الحين، كان الهدف هو إثبات أنه لكل قيمة ثابتة${\displaystyle \epsilon >0}$يوجد عدد حقيقي${\displaystyle C(\epsilon )}$بحيث${\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$.

في عام 2000، أظهر هكسلي ^{[ 22 ]} أن${\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}$، وهي أفضل نتيجة منشورة.

تُعد متسلسلات ديريشليه من أكثر الأدوات فائدة في نظرية الأعداد الضربية ، وهي عبارة عن دوال لمتغير مركب تُعرَّف بواسطة متسلسلة لانهائية من الشكل التالي:

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}n^{-s}.}$

يعتمد ذلك على اختيار المعاملات${\displaystyle a_{n}}$قد تتقارب هذه المتسلسلة في كل مكان، أو لا تتقارب في أي مكان، أو تتقارب في نصف مستوى عقدي. في كثير من الحالات، حتى عندما لا تتقارب المتسلسلة في كل مكان، يمكن تمديد الدالة التحليلية التي تُعرّفها إلى دالة تحليلية على كامل المستوى العقدي. وتتجلى فائدة هذه الدوال في مسائل الضرب من خلال المتطابقة الرسمية.

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

وبالتالي، فإن معاملات حاصل ضرب متسلسلتين من نوع ديريشليه هي عمليات الالتفاف الضربي للمعاملات الأصلية. علاوة على ذلك، يمكن استخدام تقنيات مثل الجمع الجزئي ونظريات تاوبر للحصول على معلومات حول المعاملات من المعلومات التحليلية المتعلقة بمتسلسلة ديريشليه. لذا، فإن إحدى الطرق الشائعة لتقدير دالة ضربية هي التعبير عنها كمتسلسلة ديريشليه (أو حاصل ضرب متسلسلات ديريشليه أبسط باستخدام متطابقات الالتفاف)، ثم دراسة هذه المتسلسلة كدالة مركبة، ومن ثم تحويل هذه المعلومات التحليلية إلى معلومات حول الدالة الأصلية.

أثبت أويلر أن النظرية الأساسية للحساب تستلزم (على الأقل شكليًا) جداء أويلر

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ for }}s>1}$

حيث يتم حساب الناتج على جميع الأعداد الأولية p .

يعتمد برهان أويلر على لانهائية الأعداد الأولية على تباعد الحد الموجود في الطرف الأيسر عندما يكون s = 1 (ما يُعرف بالمتسلسلة التوافقية )، وهي نتيجة تحليلية بحتة. وكان أويلر أيضًا أول من استخدم الحجج التحليلية لدراسة خصائص الأعداد الصحيحة، وتحديدًا من خلال بناء متسلسلات القوى المولدة . وكانت هذه بداية نظرية الأعداد التحليلية. ^{[ 20 ]}

لاحقًا، درس ريمان هذه الدالة لقيم s المركبة ، وأظهر إمكانية توسيعها لتصبح دالة ميرومورفية على كامل المستوى، ذات قطب بسيط عند s  =  1. تُعرف هذه الدالة الآن بدالة زيتا لريمان، ويُرمز لها بـ ζ ( s ). يوجد العديد من المؤلفات حول هذه الدالة، وهي حالة خاصة من دوال ديريشليه L الأكثر عمومية .

يهتم علماء نظرية الأعداد التحليلية غالبًا بخطأ التقريبات، مثل نظرية الأعداد الأولية. في هذه الحالة، يكون الخطأ أصغر من x /log x . تُظهر صيغة ريمان لـ π( x ) أن حد الخطأ في هذا التقريب يُمكن التعبير عنه بدلالة أصفار دالة زيتا. في بحثه المنشور عام 1859 ، افترض ريمان أن جميع أصفار ζ "غير التافهة" تقع على الخط ${\displaystyle \Re (s)=1/2}$لكنهم لم يقدموا برهانًا على هذه المقولة. تُعرف هذه الفرضية الشهيرة والقديمة باسم فرضية ريمان ، ولها آثار عميقة في نظرية الأعداد؛ في الواقع، تم إثبات العديد من النظريات المهمة بافتراض صحة هذه الفرضية. على سبيل المثال، بافتراض صحة فرضية ريمان، يكون حد الخطأ في نظرية الأعداد الأولية هو${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$.

في أوائل القرن العشرين، أثبت جي إتش هاردي وليتلوود العديد من النتائج المتعلقة بدالة زيتا في محاولة لإثبات فرضية ريمان. في الواقع، في عام 1914، أثبت هاردي وجود عدد لا نهائي من أصفار دالة زيتا على الخط الحرج .

${\displaystyle \Re (z)=1/2.}$

وقد أدى ذلك إلى ظهور العديد من النظريات التي تصف كثافة الأصفار على الخط الحرج.