صلة القرابة

في المنطق الرياضي ، فإن العلاقة السلفية (التي غالباً ما يتم اختصارها إلى سلفية ) للعلاقة الثنائية R هي إغلاقها المتعدي ، ولكن يتم تعريفها بطريقة مختلفة، انظر أدناه.

ظهرت العلاقات السلفية لأول مرة في كتاب فريجه " Begriffsschrift ". ثم استخدمها فريجه لاحقًا في كتابه "Grundgesetze " كجزء من تعريفه للأعداد الأصلية المحدودة . لذا، كان الأصل جزءًا أساسيًا من بحثه عن أساس منطقي للحساب.

تم أخذ الافتراضات المرقمة أدناه من كتابه Begriffsschrift وأعيد صياغتها في تدوين معاصر.

تُسمى الخاصية P وراثية R إذا كان، كلما كانت x هي P وكان xRy صحيحًا، فإن y هي أيضًا P :

${\displaystyle (Px\land xRy)\rightarrow Py}$

يقال إن الفرد b هو سلف R للفرد a ، ويكتب aR ^* b ، إذا كان b يمتلك كل خاصية وراثية R التي تمتلكها جميع الكائنات x التي يكون aRx يمتلكها:

${\displaystyle \mathbf {76:} \ \vdash aR^{*}b\leftrightarrow \forall F[\forall x(aRx\to Fx)\land \forall x\forall y(Fx\land xRy\to Fy)\to Fb]}$

العلاقة السلفية هي علاقة متعدية :

${\displaystyle \mathbf {98:} \ \vdash (aR^{*}b\land bR^{*}c)\rightarrow aR^{*}c}$

لنفترض أن الرمز I ( R ) يشير إلى أن R دالة (يسمي فريجه هذه العلاقات "علاقة متعددة-واحد"):

${\displaystyle \mathbf {115:} \ \vdash I(R)\leftrightarrow \forall x\forall y\forall z[(xRy\land xRz)\rightarrow y=z]}$

إذا كانت R وظيفية ، فإن سلف R هو ما يسمى اليوم متصل :

${\displaystyle \mathbf {133:} \ \vdash (I(R)\land aR^{*}b\land aR^{*}c)\rightarrow (bR^{*}c\lor b=c\lor cR^{*}b)}$

العلاقة السلفية${\displaystyle R^{*}}$يساوي الإغلاق المتعدي${\displaystyle R^{+}}$ل${\displaystyle R}$. بالفعل،${\displaystyle R^{*}}$هو فعل متعدٍ (انظر 98 أعلاه)،${\displaystyle R^{*}}$يتضمن${\displaystyle R}$(في الواقع، إذا كان aRb ، فمن الطبيعي أن يكون b يمتلك كل خاصية وراثية R التي تمتلكها جميع الكائنات x التي يكون aRx يمتلكها، لأن b هو واحد منها)، وأخيرًا،${\displaystyle R^{*}}$موجود في${\displaystyle R^{+}}$(في الواقع، افترض${\displaystyle aR^{*}b}$استولِ على الملكية${\displaystyle Fx}$يكون${\displaystyle aR^{+}x}$ثم المقدمتان،${\displaystyle \forall x(aRx\to Fx)}$و${\displaystyle \forall x\forall y(Fx\land xRy\to Fy)}$، من الواضح أنهم راضون؛ لذلك،${\displaystyle Fb}$وهذا يعني${\displaystyle aR^{+}b}$، باختيارنا لـ${\displaystyle F}$انظر أيضًا كتاب بولوس أدناه، الصفحة 8.

استخدم كتاب Principia Mathematica بشكل متكرر مفهوم السلف، ^{[ 1 ]} كما فعل كتاب كواين (1951) في المنطق الرياضي . ^{[ 2 ]}

مع ذلك، لا يمكن تعريف العلاقة السلفية في منطق الرتبة الأولى ، ^{[ 3 ]} ويُثار جدلٌ حول ما إذا كان منطق الرتبة الثانية ذو الدلالات القياسية يُعدّ "منطقًا" حقًا. زعم كواين أنه في الحقيقة "نظرية مجموعات مُقنّعة". ^{[ 4 ]} في كتبه التي تُبيّن الأنظمة الرسمية المتعلقة بعلم الرياضيات والقادرة على نمذجة أجزاء كبيرة من الرياضيات، وهي - بحسب ترتيب النشر - "نظام المنطق اللوجستي"، و"المنطق الرياضي"، و"نظرية المجموعات ومنطقها"، يبدو أن وجهة نظر كواين النهائية بشأن الفصل الصحيح بين الأنظمة المنطقية وغير المنطقية هي أنه بمجرد إضافة بديهيات تسمح بظهور ظواهر عدم الاكتمال إلى نظام ما، فإن هذا النظام لم يعد منطقيًا بحتًا.

• Begriffsschrift
• غوتلوب فريج
• إغلاق متعدٍ

• جورج بولوس ، 1998. المنطق، المنطق، والمنطق . مطبعة جامعة هارفارد.
• إيفور غراتان-غينيس ، 2000. في البحث عن الجذور الرياضية . مطبعة جامعة برينستون.
• ويلارد فان أورمان كواين ، 1951 (1940). المنطق الرياضي . مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 0-674-55451-5.

• موسوعة ستانفورد للفلسفة : " منطق فريجه، ونظريته، وأسسه في الحساب " - بقلم إدوارد ن. زالتا . القسم 4.2.