اختبار أندرسون-دارلينج

يقيس اختبار أندرسون-دارلينج ما إذا كانت عينة ما تنتمي إلى توزيع محدد. ويعتمد هذا الاختبار على حقيقة أنه عند افتراض توزيع أساسي معين، وبافتراض أن البيانات تنتمي إلى هذا التوزيع، يمكن تحويل دالة التوزيع التراكمي (CDF) للبيانات إلى ما يُفترض أن يتبع توزيعًا منتظمًا . بعد ذلك، يمكن اختبار انتظام البيانات باستخدام اختبار المسافة (شابيرو، 1980). صيغة إحصائية الاختبار هي${\displaystyle A}$لتقييم ما إذا كانت البيانات${\displaystyle \{Y_{1}<\cdots <Y_{n}\}}$(لاحظ أنه يجب ترتيب البيانات) يأتي من دالة التوزيع التراكمي (CDF)${\displaystyle F}$يكون

$${\displaystyle A^{2}=-nS\,,}$$

أين

$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2i-1}{n}}\left[\ln(F(Y_{i}))+\ln \left(1-F(Y_{n+1-i})\right)\right].}$$

يمكن بعد ذلك مقارنة إحصائية الاختبار بالقيم الحرجة للتوزيع النظري. في هذه الحالة، لا يتم تقدير أي معلمات فيما يتعلق بدالة التوزيع التراكمي.${\displaystyle F}$.

أظهرت الاختبارات التجريبية ^{[ 5 ]} أن اختبار أندرسون-دارلينج ليس بجودة اختبار شابيرو-ويلك ، ولكنه أفضل من الاختبارات الأخرى. وقد وجد ستيفنز ^{[ 1 ]}${\displaystyle A^{2}}$لتكون واحدة من أفضل إحصائيات دالة التوزيع التجريبية للكشف عن معظم الانحرافات عن التوزيع الطبيعي.

تختلف الحسابات بناءً على ما هو معروف عن التوزيع: ^{[ 6 ]}

• الحالة 0: المتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$كلاهما معروف.
• الحالة 1: التباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$معروف، لكن المتوسط${\displaystyle \mu }$غير معروف.
• الحالة الثانية: المتوسط${\displaystyle \mu }$معروف، لكن التباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$غير معروف.
• الحالة الثالثة: كلا المتوسطين${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$غير معروفة.

الملاحظات n ،${\displaystyle X_{i}}$، ل${\displaystyle i=1,\ldots n}$، من المتغير${\displaystyle X}$يجب فرزها بحيث${\displaystyle X_{1}\leq X_{2}\leq \dots \leq X_{n}}$ويفترض الترميز الوارد فيما يلي أن X _i يمثل المشاهدات المرتبة. $${\displaystyle {\hat {\mu }}={\begin{cases}\mu ,&{\text{إذا كان المتوسط ​​معروفًا.}}\\{\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i},&{\text{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\begin{cases}\sigma ^{2},&{\text{إذا كان التباين معروفًا.}}\\{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2},&{\text{إذا كان التباين غير معروف، ولكن المتوسط ​​معروف.}}\\{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2},&{\text{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}$$ القيم${\displaystyle X_{i}}$يتم توحيدها لخلق قيم جديدة${\displaystyle Y_{i}}$، مقدمة من $${\displaystyle Y_{i}={\frac {X_{i}-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}.}$$ مع دالة التوزيع التراكمي القياسية العادية${\displaystyle \Phi }$،${\displaystyle A^{2}}$يتم حسابها باستخدام $${\displaystyle A^{2}=-n-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(2i-1\right)\left[\ln \Phi (Y_{i})+\ln(1-\Phi (Y_{n+1-i}))\right].}$$ صيغة بديلة يتم فيها التعامل مع ملاحظة واحدة فقط في كل خطوة من خطوات الجمع هي: $${\displaystyle A^{2}=-n-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[(2i-1)\ln \Phi (Y_{i})+(2(n-i)+1)\ln(1-\Phi (Y_{i}))\right].}$$ يمكن حساب إحصائية معدلة باستخدام $${\displaystyle A^{*2}={\begin{cases}A^{2}\left(1+{\frac {0.75}{n}}+{\frac {2.25}{n^{2}}}\right),&{\text{if the variance and the mean are both unknown.}}\\A^{2},&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

^{[ 2 ]} إذا${\displaystyle A^{2}}$أو${\displaystyle A^{*2}}$إذا تجاوزت قيمة معينة قيمة حرجة، يتم رفض فرضية التوزيع الطبيعي بمستوى دلالة معين. ترد القيم الحرجة في الجدول أدناه لقيم${\displaystyle A^{*2}}$[ ^{1 ] [ 2 ] [ 7 ]​}

ملاحظة 1: إذا${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$= 0 أو أي${\displaystyle \Phi (Y_{i})=}$(0 أو 1) ثم${\displaystyle A^{2}}$لا يمكن حسابها وهي غير محددة.

ملاحظة 2: الصيغة المذكورة أعلاه للإحصائية المعدلة${\displaystyle A^{*2}}$هذا مقتبس من داغوستينو (1986، ص  123). يجب توخي الحذر عند المقارنة بين المصادر المختلفة، حيث لا يتم ذكر صيغة التعديل المحددة في كثير من الأحيان.

ملاحظة 3: يشير ستيفنز ^{[ 1 ]} إلى أن الاختبار يصبح أفضل عندما يتم حساب المعلمات من البيانات، حتى لو كانت معروفة.

ملاحظة 4: يقدم Marsaglia & Marsaglia ^{[ 7 ]} نتيجة أكثر دقة للحالة 0 عند 85٪ و 99٪.

أعلاه، تم افتراض أن المتغير${\displaystyle X_{i}}$كان يتم اختبار التوزيع الطبيعي. يمكن اختبار أي عائلة أخرى من التوزيعات، ولكن يتم تطبيق اختبار كل عائلة باستخدام تعديل مختلف لإحصائية الاختبار الأساسية، مع الإشارة إلى القيم الحرجة الخاصة بتلك العائلة من التوزيعات. قدم ستيفنز (1986) ^{[ 2 ]} تعديلات الإحصائية وجداول القيم الحرجة لتوزيعات الأسي، والقيمة القصوى، وويبول، وجاما، واللوجستي، وكوشي، وفون ميزس. يمكن تطبيق اختبارات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي (ذو المعلمتين) عن طريق تحويل البيانات باستخدام اللوغاريتم واستخدام اختبار التوزيع الطبيعي المذكور أعلاه. نُشرت تفاصيل التعديلات المطلوبة على إحصائية الاختبار والقيم الحرجة للتوزيع الطبيعي والتوزيع الأسي بواسطة بيرسون وهارتلي (1972، الجدول 54). كما قدم شوراك وويلنر (1986، ص 239) تفاصيل هذه التوزيعات، بالإضافة إلى توزيع جامبل . يُقدّم ستيفنز (1979) تفاصيل التوزيع اللوجستي . ويمكن الحصول على اختبار لتوزيع ويبول (ذي المعلمتين) بالاستفادة من حقيقة أن لوغاريتم متغير ويبول يتبع توزيع غامبل .